2011年—2017年新课标全国卷1理科数学分类汇编——14.不等式选讲

2011年—2017年新课标全国卷Ⅰ理科数学分类汇编

14．不等式选讲

一、解答题

【2017，23】已知函数()2

4f x x ax =-++，()11g x x x =++-．

（1）当1a =时，求不等式()()f x g x ≥的解集；

（2）若不等式()()f x g x ≥的解集包含[]1,1-，求a 的取值范围．

【2016，23】已知函数321)(--+=x x x f ． （Ⅰ）在答题卡第（24）题图中画出)(x f y =的图像； （Ⅱ）求不等式1)(>x f 的解集．

【2015，24】已知函数()12,0f x x x a a =+-->.

（I ）当1a =时求不等式()1f x >的解集；

（II ）若()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围

.

【2014，24）】若0,0a b >>，且

11

a b

+=. (Ⅰ) 求33a b +的最小值；（Ⅱ）是否存在,a b ，使得236a b +=？并说明理由.

【2013，24】已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3.

(1)当a ＝－2时，求不等式f (x )＜g (x )的解集；

(2)设a ＞－1，且当x ∈1,22a ⎡⎫

-⎪⎢⎣

⎭时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围．

【2012，24】已知函数()|||2|f x x a x =++-。

（1)当3-=a 时，求不等式3)(≥x f 的解集；（2）若|4|)(-≤x x f 的解集包含[1，2]，求a 的取值范围。

【2011，24】设函数()3f x x a x =-+,其中0a >。 （Ⅰ）当1a =时，求不等式()32f x x ≥+的解集； （Ⅱ）若不等式()0f x ≤的解集为{}|1

x x ≤- ，求a 的值。

2011年—2017年新课标全国卷Ⅰ理科数学分类汇编

14．不等式选讲（解析版）

一、解答题

【2017，23】已知函数()2

4f x x ax =-++，()11g x x x =++-．

（1）当1a =时，求不等式()()f x g x ≥的解集；

（2）若不等式()()f x g x ≥的解集包含[]1,1-，求a 的取值范围．

【解析】（1）当1a =时，()2

4f x x x =-++，是开口向下，对称轴1

2

x =

的二次函数． ()211121121

x x g x x x x x >⎧⎪

=++-=-⎨⎪-<-⎩

，，≤x ≤，，当(1,)x ∈+∞时，令242x x x -++=

，解得x =，()g x 在

()1+∞，上单调递增，()f x 在()1+∞，上单调递减，∴此时()()f x g x ≥

解集为1⎛

⎝

⎦

． 当[]11x ∈-，

时，()2g x =，()()12f x f -=≥． 当()1x ∈-∞-，时，()g x 单调递减，()f x 单调递增，且()()112g f -=-=． 综上所述，()()f x g x ≥

解集1⎡-⎢⎣⎦

．

（2）依题意得：242x ax -++≥在[]11-，

恒成立．即220x ax --≤在[]11-，恒成立． 则只须()()2

2

1120

1120

a a ⎧-⋅-⎪⎨----⎪⎩≤≤，解出：11a -≤≤．故a 取值范围是[]11-，．

【2016，23】已知函数321)(--+=x x x f ．

（Ⅰ）在答题卡第（24）题图中画出)(x f y =的图像； （Ⅱ）求不等式1)(>x f 的解集．

【解析】：⑴ 如图所示：

⑵ ()4133212342x x f x x x x x ⎧

⎪--⎪

⎪

=--<<

⎨⎪

⎪

-⎪⎩，≤，，≥ ,

()1f x >, ①1x -≤，41x ->，解得5x >或3x <,1x -∴≤ ②312x -<<

，321x ->，解得1x >或13x <，113x -<<∴或3

12

x << ③32x ≥，41x ->，解得5x >或3x <，3

32

x <∴≤或5x >

综上，1

3

x <或13x <<或5x >

()1f x >∴，解集为()()11353⎛⎫-∞+∞ ⎪

⎝⎭

，，，

【2015，24】已知函数()12,0f x x x a a =+-->.

（I ）当1a =时求不等式()1f x >的解集；

（II ）若()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围.

解析：（I ）（方法一）当1a =时，不等式()1f x >可化为1211x x +-->，等价于1

1221

x x x ≤-⎧⎨

--+->⎩或111221x x x -<<⎧⎨++->⎩或11221

x x x ≥⎧⎨+-+>⎩，解得223x <<.

（方法二）当1a =时，不等式()1f x >可化为1211x x +-->，结合绝对值的几何意义，不等式的含义为：数轴上一点x 到点1-的距离与它到1的距离的2倍之差大于1.