矩阵的相似变换和特征值

n
i =1
i
=
detA
=
|A|
第五章 矩阵的相似变换和特征值
§5.1 方阵的特征值和特征向量
定理5.2. 设是方阵A的一个特征值, f是一个 多项式, 则f()是方阵f(A)的一个特
征值.
推论. 若f是多项式, A是一个方阵, 使f(A) = O (这时称f为A的一个零化多项式), 则A
的任一特征值 必满足f() = 0.
所以f()为f(A)的特征值.
第五章 矩阵的相似变换和特征值
§5.1 方阵的特征值和特征向量
二. 特征值, 特征向量的性质
定理5.1. 设1, …, n(实数或复数, 可以重复)
是n阶方阵A=[aij]的n个特征值, 即
|I–A| = (–1) (–2)…(–n).
则
n
n
i=1i = trA =i=1aii
4 1 3
解: |I–A| = (+1)( –2)2.
所以A的特征值为1= –1, 2= 3= 2. (–I–A)x = 的基础解系: p1=(1,0,1)T. 对应于1= –1的特征向量为kp1 (0kR). (2I–A)x = 的基础解系:
p2=(0, 1, –1)T, p3=(1, 0, 4)T.
A的对应于2=4的特征向量为
k k
(0
kR).
第五章 矩阵的相似变换和特征值
§5.1 方阵的特征值和特征向量
1 1 0
例2. 求 A 4 3 0的特征值和特征向量.
1 0 2
解: |I–A| = (–2)(–1)2.
所以A的特征值为1=2, 2= 3= 1.
对于1=2,
求得(2I–A)x = 的基础解系: p1=(0,0,1)T.
第五章 矩阵的相似变换和特征值
§5.1 方阵的特征值和特征向量
例1.
求
A
3 1
1 3
的特征值和特征向量.
解:
|I
A|
3 1
1 3
(
4)(
2),
所以A的特征值为1=2, 2=4.
对于1=2,
(2I–A)x
=
即
x1 x1
x2 x2
0 0
解之得
x1 x2
k
1 1
(0 kR).
A的对应于1=2的特征向量为
§5.1 方阵的特征值和特征向量 一. 特征值, 特征向量的定义和计算
1. 设A是n阶方阵, 为数, 为n维非零向量. 若A = , 则称为A的特征值, 称为A 的对应于的特征向量.
2. 由A =得齐次线性方程组(I–A) =, 它有非零解系数行列式|I–A|=0, 这个 关于的一元n次方程, 称为A的特征方程, |I–A|称为A的特征多项式.
k k
(0
k
R
).
第五章 矩阵的相似变换和特征值
§5.1 方阵的特征值和特征向量
例1.
求
A
3 1
1 3
的特征值和特征向量.
解:
|I
A|
3 1
1 3
(
4)(
2),
所以A的特征值为1=2, 2=4.
对于2=ຫໍສະໝຸດ Baidu,
(4I–A)x
=
即
x1 x1
x2 x2
0 0
解之得
x1 x2
k
1 1
(0 kR).
对应于1=2的特征向量为kp1 (0kR).
对于2=3=1,
求得(I–A)x = 的基础解系: p2=(–1, –2,1)T.
对应于2=3 =1的特征向量为kp2 (0kR).
第五章 矩阵的相似变换和特征值
§5.1 方阵的特征值和特征向量
2 1 1
例3. 求 A 0 2 0的特征值和特征向量.
但是若有P –1AP = B, 则A = PBP –1 = B.
矛盾!
第五章 矩阵的相似变换和特征值
§5.2 相似矩阵
二. 方阵与对角矩阵相似的充要条件
§5.2 相似矩阵
定理5.5. 设n阶方阵A与B相似, 则有相同的特 征多项式和特征值.
事实上, 设P –1AP = B, 则
|I–A| = |P –1|·|I–A|·|P|= |I–B|.
注: 特征多项式相同的矩阵未必相似.
例如 A =
1 0
1 1
, B=
1 0
0 1
,
它们的特征多项式都是(1)2.
注: A的零化多项式的根未必都是A的特征值.
例如f(x) = x21,
A1 =
1 0
0 1
,
A2 =
1 0 0 1
,
A3 =
0 1
1 0
.
第五章 矩阵的相似变换和特征值
§5.2 相似矩阵
§5.2 相似矩阵
一. 相似矩阵的定义和性质
设A, B都是n阶方阵, 若有可逆矩阵P, 使得
P 1AP =B, 则称矩阵A与B相似. 记为A~B.
例5. 设为方阵A的特征值, 证明() = 22 –3 +4.
为(A) = 2A2 –3A +4I的特征值.
证明: 因为为A的特征值, 即有非零向量x使Ax = x,
于是(A)x = (2A2 –3A +4I)x
= 2(A2)x–3Ax +4x
= 22x–3x +4x
= (22 –3 +4)x
= ()x,
线性代数与空间解析几何电子教案网络版
第五章 矩阵的相似变换和特征值
§5.1 方阵的特征值和特征向量 §5.2 相似矩阵 §5.3 实对称矩阵的相似对角化
说明: 由于PowerPoint软件版本差异, 在您 的电脑上浏览本电子课件可能有些 内容出现会出现异常. ——课件作者：王小才
返回主界面
第五章 矩阵的相似变换和特征值
P称为相似变换矩阵或过渡矩阵.
易见, 矩阵间的相似关系满足
(1) 反身性: A~A;
(2) 对称性: A~B B~A; (3) 传递性: A~B, B~C A~C. 即矩阵间的相似关系是一种等价关系.
且A与B相似 A与B相抵. 但反之未必.
第五章 矩阵的相似变换和特征值
§5.2 相似矩阵
命题: 设A~B, f是一个多项式, 则f(A)~ f(B).
证明: 设P 1AP =B, f(x) = anxn+…+a1x+a0, 则 P 1f(A)P
= P 1(anAn+…+a1A+a0I)P
= anP 1AnP+…+A1p 1AP+a0 P 1IP = an(P 1AP)n+…+a1P 1AP+a0I = anBn+…+a1B+a0I
= f(B).
第五章 矩阵的相似变换和特征值
对应于2=3 =2的特征向量为k2p2 +k3p3
(k2, k3不同时为零).
第五章 矩阵的相似变换和特征值
§5.1 方阵的特征值和特征向量
例4. 设为方阵A的特征值, 证明2为A2的特征值. 证明: 因为为A的特征值, 即有非零向量x使Ax = x,
于是(A2)x = A(Ax) = A(x) = (Ax) = 2x, 所以2为A2的特征值.