动能定理和机械能守恒

由于动能定理只需考虑过程中力做功的情况和初、末状态的动能，而无需考虑运动状态的细节，所以运用动能定理解题，往往比用牛顿运动定律要简便．用动能定理还能解决一些牛顿运动定律难以求解的问题，如变力做功，曲线运动等，所以解题时，应优先考虑用动能定理．

运用动能定理解题的一般步骤．

①明确研究对象的受力情况和运动过程．

②分析整个过程中各力对研究对象的做功情况．

③明确初、末状态的动能．

④列出动能定理方程，并求解．

动能定理实际上是根据一个过程中做了多少功，导致动能变化了多少来列方程的，所以运用动能定理时要注意选定过程．

1．（单选）从地面竖直上抛一个质量为 m 的小球，小球上升的最大高度为 h .设上升和下降过程中空气阻力大小恒定为 f .下列说法正确的是( )

A ．小球上升的过程中动能减少了 mgh

B ．小球上升和下降的整个过程中机械能减少了 f h

C ．小球上升的过程中重力势能增加了 mgh

D ．小球上升和下降的整个过程中动能减少了 f h

2、（单选）一质量为 m 的小球用长为 l 的轻绳悬挂于 O 点，小球在

水平力 F 作用下，从平衡位置 P 点缓慢地移动，当悬线偏离竖直方向

θ角到达 Q 点时，如图所示，则水平力F 所做的功为( )

A ．mgl cos θ

B ．Fl sin θ

C ．mgl (1－cos θ)

D ．Fl cos θ

3．(双选)如图所示，长为 L 的长木板水平放置，在木板的 A 端放置一个质量为 m 的小物块，现缓慢地抬高 A 端，使木板以左端为轴转动，当木板转到与水平面

的夹角为α时小物块开始滑动，此时停止转动木板，小物块滑到底端的速

度为 v ，则在整个过程中( )

A ．支持力对物块做功为 0

B ．支持力对小物块做功为 mgL sin α

C ．摩擦力对小物块做功为 mgL sin α

D ．滑动摩擦力对小物块做功为12

m v 2－mgL sin α 4．（单选）如图所示，斜面AB 、DB 动摩擦因数相同．可视为质点的物体，

分别沿AB 、DB 从斜面顶端由静止下滑到底端，下列说法正确的是( )

A ．物体沿斜面D

B 滑动到底端时动能较大

B ．物体沿斜面AB 滑动到底端时动能较大

C ．物体沿斜面DB 滑动到底端过程中克服摩擦力做的功较多

D ．物体沿斜面AB 滑动到底端过程中克服摩擦力做的功较多

5．（单选）如图甲所示，质量不计的弹簧竖直固定在水平面上，t ＝0时刻，将一金属小球从弹簧正上方某一高度处由静止释放，小球落到弹簧上压缩弹簧到最低点，然后又被弹起离开弹簧，上升到一定高度后再下落，如此反复．通过安装在弹簧下端的压力传感器，测出这一过程弹簧弹力F 随时间t 变化的图象如图乙所示，则( )

A ．t 1时刻小球动能最大

B ．t 2时刻小球动能最大

C ．t 2～t 3这段时间内，小球的动能先增加后

减少

D ．t 2～t 3这段时间内，小球增加的动能等于

弹簧减少的弹性势能

6．如图，粗糙水平面与半径R ＝1.5 m 的光滑14

圆弧轨道相切于B 点，静止于A 处m ＝1 kg 的物体在大小为10 N 、方向与水平面成37°角的拉力F 作用下沿水平面运动，到达B 点时立刻撤去F ，物体沿光滑圆弧向上冲并越过C 点，然后返回经过B 处的速度v B ＝15 m/s.已知s AB ＝15 m ，g ＝10 m/s 2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8.求：

(1)物体到达C 点时对轨道的压力；

(2)物体与水平面的动摩擦因数μ.

7．(2011 年苏北模拟)如图 5－2－4 所示装置由 AB 、BC 、CD 三段轨道组成，轨道交接处均由很小的圆弧平滑连接，其中轨道 AB 、CD 段是光滑的，水平轨道BC 的长度 x ＝5 m ，轨道CD 足够长且倾角θ＝37°，A 、D 两点离轨道BC 的高度分别为h 1＝4.30 m 、h 2＝1.35 m ．现让质量为m 的小滑块自 A 点由静止释放．已知小

滑块与轨道BC 间的动摩擦因数为μ＝0.5，取重力加速度

g ＝10 m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8.求：

(1)小滑块第一次到达 D 点时的速度大小；

(2)小滑块第一次与第二次通过 C 点的时间间隔；

(3)小滑块最终停止的位置距 B 点的距离．

1/C 2/C 3/BD 4/B 5/C

6．解：(1)设物体在C 处的速度为v C ，由机械能守恒定律有

mgR ＋12m v 2C ＝12

m v 2B ① 在C 处，由牛顿第二定律知

F C ＝m v 2C R

② 联立①②并代入数据解得轨道对物体的支持力

F C ＝130 N

由牛顿第三定律可知，物体在C 点对轨道的压力

F C ′＝130 N.

(2)由于圆弧轨道光滑，物体第一次通过B 处与第二次通过的速度大小相等．从A 到B 的过程，由动能定理知

[F cos37°－μ(mg －F sin37°)]s AB ＝12m v 2B

解得μ＝0.125.

7、解：(1)小滑块从 A →B →C →D 过程中，由动能定理得

mg (h 1－h 2)－μmgx ＝12m v 2D

－0 将h 1、h 2、x 、μ、g 代入得v D ＝3 m/s.

(2)小滑块从 A →B →C 过程中，由动能定理得

mgh 1－μmgx ＝12m v 2C

将h 1、x 、μ、g 代入得v C ＝6 m/s

小滑块沿CD 段上滑的加速度大小a ＝g sin θ＝6 m/s 2

小滑块沿CD 段上滑到最高点的时间t 1＝v C a

＝1 s 由对称性可知，小滑块从最高点滑回C 点的时间t 2＝t 1＝1 s

故小滑块第一次与第二次通过C 点的时间间隔t ＝t 1＋t 2＝2 s.

(3)设小滑块在水平轨道上运动的总路程为 x 总 ．对小滑块运动全过程利用动能定理，有

mgh 1＝μmgx 总

将 h 1、μ代入得 x 总＝8.6 m

故小滑块最终停止的位置距 B 点的距离为 2x －x 总＝1.4 m.