结构图等效变换举例
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拉氏变换详解
原函数之和的拉氏变换等于各原函数的拉 氏变换之和。 (2)微分性质 若 L[ f (t )] F ( s) ，则有 L[ f (t )] sF (s) f (0) f(0)为原函数f(t) 在t=0时的初始值。
3
证：根据拉氏变换的定义有
L[ f (t )] f (t )e dt s f (t )e dt f (t )e
2t
cost 3e
2t
sin t
18
（3）情况3:F(s)有重极点,假若F(s)有L重 极点 p1 ,而其余极点均不相同。 那么
bl bl 1 M (s) b1 F (s) l l 1 D( s ) ( s p1 ) ( s p1 ) s p1 cl 1 cn s pl 1 s pn M (s) 式中b l [ ( s p1 ) l ]s p1 D( s) d M ( s) l bl 1 [ ( s p1 ) ] ds D( s ) s p1
依次类推，可以得到原函数n阶导数的拉氏 变换 L[ f n (t )] s n F (s) s n1 f (0) s n2 f (0) f n1 (0)
4
(3)积分性质
若 L[ f (t )] F ( s )
1
则
式中 f
F ( s) f (0) L[ f (t )dt] s s
19
, bl i
1 d M (s) l { [ ( s p1 ) ]}s p1 i! ds D( s )
l 1
i
1 d M (s) l b1 { [ ( s p1 ) ]}s p1 (l 1)! ds D( s ) 系数cl 1 , , cn , 仍按以前的方法计算
3
证：根据拉氏变换的定义有
L[ f (t )] f (t )e dt s f (t )e dt f (t )e
2t
cost 3e
2t
sin t
18
（3）情况3:F(s)有重极点,假若F(s)有L重 极点 p1 ,而其余极点均不相同。 那么
bl bl 1 M (s) b1 F (s) l l 1 D( s ) ( s p1 ) ( s p1 ) s p1 cl 1 cn s pl 1 s pn M (s) 式中b l [ ( s p1 ) l ]s p1 D( s) d M ( s) l bl 1 [ ( s p1 ) ] ds D( s ) s p1
依次类推，可以得到原函数n阶导数的拉氏 变换 L[ f n (t )] s n F (s) s n1 f (0) s n2 f (0) f n1 (0)
4
(3)积分性质
若 L[ f (t )] F ( s )
1
则
式中 f
F ( s) f (0) L[ f (t )dt] s s
19
, bl i
1 d M (s) l { [ ( s p1 ) ]}s p1 i! ds D( s )
l 1
i
1 d M (s) l b1 { [ ( s p1 ) ]}s p1 (l 1)! ds D( s ) 系数cl 1 , , cn , 仍按以前的方法计算
动态结构图及其等效变换
再进行内回路反馈和并联变换，得下图。
22
N1 +
解：
（2）求C/N1,设R=0,N2=0, 得右图。
C(s) G3(1 G2 ) N1(s) 1 G2 G1G2G3
23
解（3）求C(s)/N2(s)，设R=0,N1=0，得下图。
则：
0 N2(s) C(s)
C(s) 1 N2 (s)
24
X(s)
X(s)
R(s)
C(s)
R(s)
C(s)
Y(s)
C(s) R(s) X (s) Y (s)
Y(s)
C(s) R(s) Y (s) X (s)
7. 相邻的比较点和引出点之间可以调换位置，如下图 所示。
17
相邻引出点之间的移动
R(s)
R(s)
R(s)
R(s) C(s)
R(s)
R(s) R(s)
动态结构图及其等效变换
1
§ 2.3 动态结构图及其等效变换
一、动态结构图(方块图) 1.定义
动态结构图是图形化的数学模型，它是一种系 统输入和输出之间因果关系的简略图示方法，表示 了系统输出、输入信号之间的动态传递关系。
2
2. 组成要素 传递方块: 表示输入、输出信号之间的传递关系 C(s)=G(s)E(s)，B(s)=H(s)C(s)
(s) )
RI CsU
(s) I(s) c (s) Uc (
s)
1 R
U r
1 Cs
( I
s) (s)
U
c
(
s)
绘制上式各子方程的方框图：
r ( s ) r ( s ) - c ( s ) r ( s ) - c ( s ) I ( s ) I ( s ) c ( s )
22
N1 +
解：
（2）求C/N1,设R=0,N2=0, 得右图。
C(s) G3(1 G2 ) N1(s) 1 G2 G1G2G3
23
解（3）求C(s)/N2(s)，设R=0,N1=0，得下图。
则：
0 N2(s) C(s)
C(s) 1 N2 (s)
24
X(s)
X(s)
R(s)
C(s)
R(s)
C(s)
Y(s)
C(s) R(s) X (s) Y (s)
Y(s)
C(s) R(s) Y (s) X (s)
7. 相邻的比较点和引出点之间可以调换位置，如下图 所示。
17
相邻引出点之间的移动
R(s)
R(s)
R(s)
R(s) C(s)
R(s)
R(s) R(s)
动态结构图及其等效变换
1
§ 2.3 动态结构图及其等效变换
一、动态结构图(方块图) 1.定义
动态结构图是图形化的数学模型，它是一种系 统输入和输出之间因果关系的简略图示方法，表示 了系统输出、输入信号之间的动态传递关系。
2
2. 组成要素 传递方块: 表示输入、输出信号之间的传递关系 C(s)=G(s)E(s)，B(s)=H(s)C(s)
(s) )
RI CsU
(s) I(s) c (s) Uc (
s)
1 R
U r
1 Cs
( I
s) (s)
U
c
(
s)
绘制上式各子方程的方框图：
r ( s ) r ( s ) - c ( s ) r ( s ) - c ( s ) I ( s ) I ( s ) c ( s )
控制系统结构图及其等效转换
U (s) R I(s)
0 2
1 c
i dt R i
2
1 1
R I (s)
1 1
1 Cs
I (s )
2
由 (1) 式有
I1(s) + I(s)
+ I (s) 2
对 (2)式变换 1 I1 ( s ) [U i ( s ) U 0 ( s )] R
对(4)式变换 I 2 ( s) R1CsI1 ( s)
G7
解 : 将分支点 A移至B处
G6 G1 G2
-
-
G3 G4 G5
G4
G7 得系统的闭环传递函数为
G1G2 G3G4 (S ) 1 + G1G2G3G4 G7 + G3G4G5 + G2 G3G6
另外亦可把B点后移或者相加点后移
X1(s) G1(s)
X3(s) G2(s)
X2(s)
结论：二环节串联传递函数等于二传函之积。 推广：N环节串联，传递函数等于N个环节传 函之积。
G(s) G1 (s)G2 (s)G n (s)
2、并联连接的传递函数
X3(s) G1(s) + X2(s)
X1(s)
+
G2(s) X4(s)
X 2 (s) X 3 ( s) + X 4 ( s) G(s) G1 ( s) + G2 ( s) X1 (s) X 1 ( s)
+ UI(s) U0(s)
1/R I1(s) I2(s) Cs
R1 I1(s)
对(3)式有
I(s)
R2
U0(s)
Ui(s) U0(s) -
I1(s)
动态结构图.
U1 ( s )
I1 ( s )
1 U1 ( s ) C1 s
I 2 ( s)
1 I 2 ( s) R2
UC ( s)
I 2 ( s)
1 UC ( s) sC 2
动态结构图的建立
按图中关系联接各个方框
U r ( s)
1 I1 ( s ) R
I 2 ( s)
1 U1 ( s ) C1 s
U1 ( s )
( m)
∆k ——第k条前向通路特征式的余因子，即对于结构图的特征式∆，将与第k
条前向通路相接触的回路传递函数代以零值，余下的∆即为∆k。
1 I 2 ( s) R2
UC ( s)
1 UC ( s) sC 2
传递函数可由方程组消去中间变量得到
UC ( s) 1 2 U r ( s ) R1C1 R2C 2 s ( R1C1 R2C 2 R1C 2 ) s 1
动态结构图的建立
注意:双T网络不可看成两个RC网络的串联，即：
1 R 1 sC
I ( s)
UC ( s)
动态结构图的建立
连接各方框,得到动态结构图
U r ( s)
U ( s)
C
U R ( s) U R ( s)
1 R
I ( s)
I ( s)
1 sC
UC ( s)
R I(s) Ur(s)
1 sC
U r ( s)
UC(s)
U ( s)
C
U R ( s)
1 接的传递函数
X1(s) G1(s) G2(s) X3(s) X2(s) ±
X 2 (s) G ( s) X 1 (s) X 3 (s) X 4 (s) X 1 ( s)
I1 ( s )
1 U1 ( s ) C1 s
I 2 ( s)
1 I 2 ( s) R2
UC ( s)
I 2 ( s)
1 UC ( s) sC 2
动态结构图的建立
按图中关系联接各个方框
U r ( s)
1 I1 ( s ) R
I 2 ( s)
1 U1 ( s ) C1 s
U1 ( s )
( m)
∆k ——第k条前向通路特征式的余因子，即对于结构图的特征式∆，将与第k
条前向通路相接触的回路传递函数代以零值，余下的∆即为∆k。
1 I 2 ( s) R2
UC ( s)
1 UC ( s) sC 2
传递函数可由方程组消去中间变量得到
UC ( s) 1 2 U r ( s ) R1C1 R2C 2 s ( R1C1 R2C 2 R1C 2 ) s 1
动态结构图的建立
注意:双T网络不可看成两个RC网络的串联，即：
1 R 1 sC
I ( s)
UC ( s)
动态结构图的建立
连接各方框,得到动态结构图
U r ( s)
U ( s)
C
U R ( s) U R ( s)
1 R
I ( s)
I ( s)
1 sC
UC ( s)
R I(s) Ur(s)
1 sC
U r ( s)
UC(s)
U ( s)
C
U R ( s)
1 接的传递函数
X1(s) G1(s) G2(s) X3(s) X2(s) ±
X 2 (s) G ( s) X 1 (s) X 3 (s) X 4 (s) X 1 ( s)
动态结构图.
) i2(t)dt
i2(t)
uc (t)
1 c2
i2 (t )dt
拉氏变换
动态结构图的建立
• 方程组两边取零初始条件下的拉氏变换得：
Ur
(s) U1(s) R1
I1(s)
Ur (s)
1 I1(s)
R U1(s)
1 U1(s) C1s [I1(s) I2(s)]
I1(s)
1 U1(s)
述控制系统的系统结构关系。 （2）动态结构图上可以表示出系统的一些中间变量或
者系统的内部信息。这一点不同于仅符合端口关系的 传递函数。 （3）动态结构图与代数方程组等价。因此可以通过结 构图化简的方法来消去中间变量，化简方程组，将动 态结构图化为最简方块，即一个方块，来求得控制系 统的传递函数。
动态结构图的建立
X3(s) X4(s) X1(s)
函等于二环节传函之和(差)。 G1(s) G2 (s)
推广：n环节并联的等效传函等于n个环节传 函之和(差)。
G(s) G1(s) G2(s) ... Gn(s)
动态结构图的等效变换
(3)反馈回路传递函数
X2 (s) G1(s)E(s) E(s) X1(s) B(s)
(1) (2)
X1(s) + E(s)
B(s)
G1(s)
X2(s)
B(s) G2 (s)X 2(s) (3)
G2(s)
(2)代入(1) X2(s) G1(s)[X1(s) B(s)] (4)
(3)代入(4) X 2 (s) G1(s)[ X1(s) G2(s) X 2(s)]
X 2 (s) G1(s)X1(s) G1(s)G2 (s)X 2 (s)
R2 UC (s)
i2(t)
uc (t)
1 c2
i2 (t )dt
拉氏变换
动态结构图的建立
• 方程组两边取零初始条件下的拉氏变换得：
Ur
(s) U1(s) R1
I1(s)
Ur (s)
1 I1(s)
R U1(s)
1 U1(s) C1s [I1(s) I2(s)]
I1(s)
1 U1(s)
述控制系统的系统结构关系。 （2）动态结构图上可以表示出系统的一些中间变量或
者系统的内部信息。这一点不同于仅符合端口关系的 传递函数。 （3）动态结构图与代数方程组等价。因此可以通过结 构图化简的方法来消去中间变量，化简方程组，将动 态结构图化为最简方块，即一个方块，来求得控制系 统的传递函数。
动态结构图的建立
X3(s) X4(s) X1(s)
函等于二环节传函之和(差)。 G1(s) G2 (s)
推广：n环节并联的等效传函等于n个环节传 函之和(差)。
G(s) G1(s) G2(s) ... Gn(s)
动态结构图的等效变换
(3)反馈回路传递函数
X2 (s) G1(s)E(s) E(s) X1(s) B(s)
(1) (2)
X1(s) + E(s)
B(s)
G1(s)
X2(s)
B(s) G2 (s)X 2(s) (3)
G2(s)
(2)代入(1) X2(s) G1(s)[X1(s) B(s)] (4)
(3)代入(4) X 2 (s) G1(s)[ X1(s) G2(s) X 2(s)]
X 2 (s) G1(s)X1(s) G1(s)G2 (s)X 2 (s)
R2 UC (s)
2-4 方块图等效变换
25
5. 引出点的移动
引出点后移
R(s)
G(s)
C(s) R(s)
R(s)
C(s)
G(s)
？
R(s)
问题： 问题： 要保持原来的信号传递关系不变， 要保持原来的信号传递关系不变， 等于什么。 ？等于什么。
26
引出点后移等效变换图
R(s)
G(s)
C(s) R(s)
R(s)
C(s)
G(s)
R(s) 1/G(s)
R (s) +
B (s)
E (s)
_
C (s)
G (s)
H (s)
前向通道和反馈通道传递函数分别为G ( s )、 H ( s )
C(s) G(s) = R(s) 1 + G(s)H(s)
结论： 具有负反馈结构环节传递函数等于前向通 的传递函数除以1加（若正反馈为减）前向通道与反 馈通道传递函数的乘积。
H2 G1 G2 H1 G3
1 G4
a
G4
b
H3
40
综合点移动
G3 G1
向同类移动
G2 H1
G3 G1 G1
G2 H1
41
G4 G1 H1 G4 G1 H1 H1 G2 G2
作用分解
G3 H3
G3 H3 H3
42
三、系统的传递函数 系统的传递函数
1、开环传递函数 、
R(s) + B(s) H (s)
G(s) Q(s) 1/G(s)
23
综合点之间的移动
X(s) R(s)
±
X(s) C(s) R(s)
± ±
Y(s) ±
C(s)
Y(s)
5. 引出点的移动
引出点后移
R(s)
G(s)
C(s) R(s)
R(s)
C(s)
G(s)
？
R(s)
问题： 问题： 要保持原来的信号传递关系不变， 要保持原来的信号传递关系不变， 等于什么。 ？等于什么。
26
引出点后移等效变换图
R(s)
G(s)
C(s) R(s)
R(s)
C(s)
G(s)
R(s) 1/G(s)
R (s) +
B (s)
E (s)
_
C (s)
G (s)
H (s)
前向通道和反馈通道传递函数分别为G ( s )、 H ( s )
C(s) G(s) = R(s) 1 + G(s)H(s)
结论： 具有负反馈结构环节传递函数等于前向通 的传递函数除以1加（若正反馈为减）前向通道与反 馈通道传递函数的乘积。
H2 G1 G2 H1 G3
1 G4
a
G4
b
H3
40
综合点移动
G3 G1
向同类移动
G2 H1
G3 G1 G1
G2 H1
41
G4 G1 H1 G4 G1 H1 H1 G2 G2
作用分解
G3 H3
G3 H3 H3
42
三、系统的传递函数 系统的传递函数
1、开环传递函数 、
R(s) + B(s) H (s)
G(s) Q(s) 1/G(s)
23
综合点之间的移动
X(s) R(s)
±
X(s) C(s) R(s)
± ±
Y(s) ±
C(s)
Y(s)
自动控制原理2.4 结构图及其等效变换1.4 结构图及其等效变换
u R1
i1
u R1 R1
ur
i2
C
duR1 dt
uc iR2 (i1 i2 )R2
R1
R2
uc
结构图（续）
第二章 数学模型
U R1 (s) U r (s) U c (s) 1
I1 (s) R1 U R1 (s)
I 2 (s) CSU R1 (s) I(s) I1(s) I2(s) U c (s) R2 I (s)
-
(s)
Kf
三、结构图的等效变换：
第二章 数学模型
建立结构图的目的是求系统传递函数，对系统性能
进行分析。所以对于复杂的结构图就需要进行运算
和变换，设法将其化为一个等效的方框，其中的数
学表达式即为总传递函数。这一步骤相当于对方程
消元。
R
C
G
总传递函数
等效原则：
变换前后，输入输出总的数学关系应保持不变
Uc (s)
则
1
U ( s)
I(s)) 1
I(s)
R
R
及U c (s)
1 Cs
I(s)
(3)
I(s)
1 Uc (s) Cs
结构图（续）
第二章 数学模型
1．定义：由具有一定函数关系组成的、并标明信号 传递方向的系统方框图称为动态结构图。
2．组成：4个基本单元。
①信号线：带箭头的直线，表示信号传递的方向，
线上标注信号所对应的变量，信号传递
具有单向性。 X
②引出点：信号引出或测量的位置，从同一信号线
自动控制原理02结构图及其等效变换
e)
R( s )
G 1 G 2 G3G 4 C (s) 1 G 1 G 2 G3G 4 G 2 G3 H 1 G3G 4 H 2
f)
2.3 控制系统的结构图及等效变换
2.3.4 系统传递函数
典型闭环控制系统
N (s)
R( s )
E ( s)
G1 (s)
结构图。
2.3.2 结构图的建立
例2-7 RLC电路网络的结构图
解： U (s) U (s) U (s) U (s) i R L 0
U R ( s) RI ( s)
U L ( s) LsI ( s)
{
I ( s)
U i ( s) U 0 ( s ) U R ( s ) U L ( s )
C 传输到 ( s)
单位反馈： H ( s) 1 开环传递函数：
G( s) H ( s)
2.3.3 结构图的等效变换和简化
（4）比较点的移动
R1 (s)
G(s)
R2 ( s )
a)
C (s)
R2 ( s )
R1 (s)
G(s)
C (s)
1/ G(s)
b)
R1 (s)
R2 ( s )
a)
G(s)
C (s) G(s) ( s) R( s) 1 G ( s) H ( s )
2.3.3 结构图的等效变换和简化
反馈连接中的术语：
R( s)
E (s)
G (s)
H (s)
C (s)
B( s)
前向通道：信号从 R( 传输到 s) 反馈通道：信号从
的通道 C ( s) 的通道 R( s )
R(s)
R( s )
G 1 G 2 G3G 4 C (s) 1 G 1 G 2 G3G 4 G 2 G3 H 1 G3G 4 H 2
f)
2.3 控制系统的结构图及等效变换
2.3.4 系统传递函数
典型闭环控制系统
N (s)
R( s )
E ( s)
G1 (s)
结构图。
2.3.2 结构图的建立
例2-7 RLC电路网络的结构图
解： U (s) U (s) U (s) U (s) i R L 0
U R ( s) RI ( s)
U L ( s) LsI ( s)
{
I ( s)
U i ( s) U 0 ( s ) U R ( s ) U L ( s )
C 传输到 ( s)
单位反馈： H ( s) 1 开环传递函数：
G( s) H ( s)
2.3.3 结构图的等效变换和简化
（4）比较点的移动
R1 (s)
G(s)
R2 ( s )
a)
C (s)
R2 ( s )
R1 (s)
G(s)
C (s)
1/ G(s)
b)
R1 (s)
R2 ( s )
a)
G(s)
C (s) G(s) ( s) R( s) 1 G ( s) H ( s )
2.3.3 结构图的等效变换和简化
反馈连接中的术语：
R( s)
E (s)
G (s)
H (s)
C (s)
B( s)
前向通道：信号从 R( 传输到 s) 反馈通道：信号从
的通道 C ( s) 的通道 R( s )
R(s)
系统的结构图及其等效变换
控制系统的结构图及其等效变换项目内容学习目的掌握结构图的化简方法。
重点熟练掌握结构图化简求取传递函数的方法。
难点典型结构变换、结构图化简方法的灵活应用。
结构图的组成和绘制结构图的等效变换→求系统传递函数一结构图的组成和绘制系统的结构图是表示系统各元件特性、系统结构和信号流向的图示方法。
定义：将方块图中各时间域中的变量用其拉氏变换代替，各方框中元件的名称换成各元件的传递函数,这时方框图就变成了动态结构图，简称结构图，即传递函数的几何表达形式。
组成(1)信号线：带有箭头的直线，箭头表示信号的流向，在直线旁边标有信号的时间函数或象函数。
一条信号线上的信号处处相同。
X(s)(2)引出点:表示信号引出或测量的位置，同一位置引出的信号大小和性质完全相同。
(3)比较点(综合点、相加点)：表示对两个以上的信号进行加减运算，加号常省略,减号必须标出。
G(s)X(s)Y(s)(4)方框：表示对信号进行的数学变换，方框内的函数为元件或系统的传递函数。
结构图的绘制R C i （a ）i u ou 一阶RC 网络例1画出RC 电路的结构图。
解：利用复阻抗的概念及元件特性可得每一元件的输入量和输出量之间的关系如下：()()()(1)i o U s U s I s R -=()()(2)o I s U s sC =R ：C ：绘制每一元件的结构图，并把相同变量连接起来，得到系统的结构图。
1/sC U i (s)U o (s)-U o (s)I (s)1/R RC i （a ）i u ou 1/sc例2：绘制两级RC 网络的结构图。
r U cU 11sC 21sC 1R 2R 1I 2I 1U111112112222()()()1()[()()]()()()1()()r C C U s U s I s R U s I s I s sC U s U s I s R U s I s sC -⎧=⎪⎪⎪=-⋅⎪⎪⎨-⎪=⎪⎪⎪=⋅⎪⎩r U cU 11sC 21sC 1R 2R 1I 2I 1U 解：利用复阻抗的概念及元件特性可得每一元件的输入量和输出量之间的关系如下：111112112222()()()1()[()()]()()()1()()r C C U s U s I s R U s I s I s sC U s U s I s R U s I s sC -⎧=⎪⎪⎪=-⋅⎪⎪⎨-⎪=⎪⎪⎪=⋅⎪⎩1/R 11/sC 11/R 21/sC 2U C (s)U r (s)U 1(s)I 1(s)I 2(s)--U 1(s)-U C (s)绘制每一元件的结构图，并把相同变量连接起来，得到系统的结构图。
2.3动态结构图
X1(s) C(s)
R(s) B(s)
E(s)
G1(s)
C(s)
G2 ( s )
±
X2(s)
H(s)
并联连接
反馈连接
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2.3.2 动态结构图的等效变换
一、等效变换
（三）反馈连接框图的等效变化
R(s) B(s) H(s) E(s) G1(s) C(s)
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2.3.1 动态结构图的建立
【例2-16】 对RC串联电路建立动态结构图.
（3）依据信号的流向，将图中相同的信号连 起来，就组成了RC串联电路的动态结构图
U R ( s) U r ( s) U C ( s)
Ur(s) UC(s) UR(s)
1 I (s) U R (s) R
R(s) C(s)
G(s)
R(s)
G(s) 1 G(s)
C(s)
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2.3.2 动态结构图的等效变换
练一练1:对下图中的各结构图进行等效化简.
（1）
R(s)
R1
R2
C(s)
R(s)
（2）
R(s)
R1 R2
C(s)
-
（ 3）
R(s)
-
一、动态结构图的组成
4 分支点
X(s)
X(s) X(s)
分支点又称引出点，表示在此位置处将 该信号分成多路输出.由于信号线上只传送 信号，不传送能量，因此分出的每路信号大 小均与原信号相等.
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3.6-1系统框图的等效变换原则.
������ ������
1 ∓ ������ ������ ∙ ������(������)
������ ������ = ������ ������ ∙ ������(������) = ������(������)[������(s) ± ������(s)] = ������ ������ [������(s) ± ������ ������ ∙ ������(������)] = ������(������) ∙ ������(s) ± ������ ������ ������ ������ ∙ ������(������)
数的代数和。
������(������)
G1
(s)
������1(������) +������
������
������2 (s)
+
������(������)
������ ������
G1(s)+������2(s)
������ ������ ������ ������ = ������(������) = G1(s) + G2(s)
引出点移动规则
������(������)
①引出点前移
������(s)
������ ������
典型机电控制系统
������ ������
������(������)
������(s)
������ ������
������(������)
������ ������
������(s)
②引出点后移
������(������) ������(s)
典型机电控制系统
反馈联接变换规则
将环节的输出量反送到输入端与输入信号进行比较后作为环节的输入量，就构
3第二章(举例2)传递函数及结构图变换
K ( i s 1) ( l s 2 l l s 1) s
v
s
e
s
(T j s 1) (Tk s 2 k Tk s 1)
2 2 j 1 k 1
i 1 d
l 1 e
积分环节
惯性环节
振荡环节
延迟环节
环节是根据微分方程划分的，不是具体的物理
装置或元件。
C 2 ( s) G2 ( s)R( s)
2. 并联结构的等效变换
• 等 效 变 换 证 明 推 导
R(s) G1(s) G2(s)
C1(s)
C(s)
C2(s)
C ( s ) [G 1 ( s ) G 2 ( s )] R ( s ) C (s) R(s) G1 ( s ) G 2 ( s )
K ——环节的放大系数 T ——环节的时间常数 ——环节的阻尼比
d x r (t ) dt
2
2
2
dx r ( t ) dt
x r ( t )]
1 两个串联的一阶微分环节
延滞环节 例1：水箱进水管的延滞 传递函数：
G (s) X c (s) X r (s) e
s
运动方程式：
出值。
延迟环节从输入开始之初，在0 ~τ时间内没 有输出，但t=τ之后，输出完全等于输入。
水箱进水管的延滞
系统函数方块图
系统函数方块图是一种数学模型，采用
它将更便于求传递函数，同时能形 象直观地表明输入信号在系统或元 件中的传递过程。
1.
串联结构的等效变换（１）
• 串联方块图
R(s)
G1(s)
传递函数
传递函数的概念与定义
结构图及其等效变换
输入变量
传递函数G(s)
输出变量
方块内要填写元件或者环节的传递函数，方块的输出变 量等于方块的输入变量与与传递函数的乘积。
2012-03-06
第三节 控制系统的结构图及其等效变换
3
2）信号线：用带有箭头的有向直线表示，箭头方向表示信号 传递的方向，在信号线旁要标注信号时间函数或者像函数。
x(t )
ug ue+ u1
-
+
功率
u u 2 放大器 a
ω Mc
负载
uf
测速发电机
比较环节：
ue(s) = ug (s) − u f (s)
− u g (s) ue (s) u f (s)
运放Ⅰ：
u1 ( s) ue (s)
=
K1,
ue (s) K1 u1(s)
2012-03-06
第三节 控制系统的结构图及其等效变换
2012-03-06
第三节 控制系统的结构图及其等效变换
11
二、结构图的等效变换：
结结构构图图的的等等效效变变换换
[定义]：在结构图上进行数学方程的运算。 [类型]：①环节的合并；
--串联 --并联 --反馈连接 ②信号分支点移动或相加点的移动。
[变换原则]：变换前、后，环节的数学关系保持不变(即前向 通道的传递函数乘积不变,回路的传递函数保持不变,或者说变 换前、后有关部分的输入量、输出量之间的关系保持不变)。
u i = R i1 + u c1
uc1 = R i2 + uo
i1
−
i2
=
C
d u c1 dt
i2
=
C
duc2 dt
U i (s) = RI1(s) + U c1(s) U c1(s) = RI2 (s) + U o (s) I1(s) − I2 (s) = CsU c1(s) I2 (s) = CsU c2 (s)
自动控制原理2.4 结构图的等效变换及简化计算
Pk—从R(s)到C(s)的第k条前向通道增益 △k —第k条前向通道的余子式
在△中，去掉与第k条前向通 道相接触的回路对应的项后
剩余的部分。
求法: 去掉第k条前向通路后所求的△ 用梅森公式求上例信号流图对应的传函。
南京工业职业技术学院机械工程学院——自动控制原理
梅森公式例1
GG44((ss))
R(s)
注：比较点和引出点之间不能换位。 3. 通过在被变换的支路上乘或除某个传函来保持等效。 4. 根据环节方框的连接方式（串联、并联和反馈）进行简化
计算。
南京工业职业技术学院机械工程学院——自动控制原理
结构图三种连接形式及其计算
串联
G1
G2
G1 G2
n
G(s) Gi (s) i 1
并联 G1 G2
反馈 G1
G5
R –
X1 G1
– G2 X2 –
G3 X3
G4
C
X3
G6
G7
南京工业职业技术学院机械工程学院——自动控制原理
G8 G5
R – G1 X1
X2 – G2
–
X3
G3
G4
C
X3 G6
G7
（2）求传函。用梅逊公式：
1 G1G2G3G4G7 G1G2G3G4G8 G2G3G6 G3G4G5
R(s)
-
G4
A
G1
-
B
G2
H1
G3 H2
C C(s)
P1 G1G2G3 1 1
P2 G1G4 2 1
C(S) P(S) P11 P22
P11 P22
R(S)
1 (L1 L2 L3 L4 L5 )
在△中，去掉与第k条前向通 道相接触的回路对应的项后
剩余的部分。
求法: 去掉第k条前向通路后所求的△ 用梅森公式求上例信号流图对应的传函。
南京工业职业技术学院机械工程学院——自动控制原理
梅森公式例1
GG44((ss))
R(s)
注：比较点和引出点之间不能换位。 3. 通过在被变换的支路上乘或除某个传函来保持等效。 4. 根据环节方框的连接方式（串联、并联和反馈）进行简化
计算。
南京工业职业技术学院机械工程学院——自动控制原理
结构图三种连接形式及其计算
串联
G1
G2
G1 G2
n
G(s) Gi (s) i 1
并联 G1 G2
反馈 G1
G5
R –
X1 G1
– G2 X2 –
G3 X3
G4
C
X3
G6
G7
南京工业职业技术学院机械工程学院——自动控制原理
G8 G5
R – G1 X1
X2 – G2
–
X3
G3
G4
C
X3 G6
G7
（2）求传函。用梅逊公式：
1 G1G2G3G4G7 G1G2G3G4G8 G2G3G6 G3G4G5
R(s)
-
G4
A
G1
-
B
G2
H1
G3 H2
C C(s)
P1 G1G2G3 1 1
P2 G1G4 2 1
C(S) P(S) P11 P22
P11 P22
R(S)
1 (L1 L2 L3 L4 L5 )
控制系统的结构图及其等效变换
Y (s)
前移 R1(s) G(s) Y (s)
注：
R2 (s)
R1 ( s )
Y (s)
G(s)
1/G(s) R2 (s)
相加点进入和出去的信号量纲必须相同，否则不能加减。
b引出点（信号由某一点分开）
分支点分出信号，数值相同
R(s) 后移
G(s)
Y (s)
R(s)
R(s) G(s)
Y (s) R(s)
4.比较点（求和点、综合点） 1.用符号“ ”及相应的信号箭头表示 2.箭头前方的“+”或“-”表示加上此信号 或减去此信号
! 注意量纲：相同量纲的物理量
例：二阶RC电气网络
结构图的等效变换和简化
➢系统的结构图通过等效变换和简化后可以方便、快速 地求取闭环系统的传递函数或系统输出量的响应。
➢等效变换和简化的过程对应于消去中间变量求系统传
信号流图的绘制 1. 根据微分方程绘制信号流图 2. 根据方框图绘制信号流图
1. 根据微分方程绘制信号流图
i
A
取Ui(s)、I1(s)、UA(s)、I2(s)、 Uo (s)作为信号流图的节点 Ui(s)、Uo(s)分别为输入及输出节点
2. 根据方框图绘制信号流图
方块图转换为信号流 图
信号流图的等效变换法则
•支路增益——支路传输定量地表明变量从支路一端沿箭头方 向传送到另一端的函数关系。用标在支路旁边的传递函数 “G”表示支路传输。
2.
通路
沿支路箭头方向穿过各相 连支路的路径。
前向通路 从源节点到阱节点的通路上通过任何节点 不多于一次的通路。前向通路上各支路增益之 乘积，称前向通路总增益，一般用pk表示。
信号流图梅森公式
梅逊公式
2-7 结构图等效变换及梅逊公式求传递函数时，需要对微分方程组（或变换方程组）进行消元，最后仅剩下输入、输出两个变量，因此中间变量的传递过程得不到反映。
若采用结构图，它就能形象地表明输入信号在系统或元件中的传递过程。
另外，下面将会看到，利用结构图，也便于求取传递函数。
所以，结构图在控制理论中应用十分广泛。
一、结构图在第2-6节中，我们曾采用消元法求得图2-24所示RC 网络的传递函数。
这里，我们采用结构图的方法求其传递函数。
RC 网络的微分方程组如下：⎪⎩⎪⎨⎧=+=⎰idt C u u Ri u c cr 1对上两式进行拉氏变换，得)()()(s U s RI s U c r +=或[])()()(1s I s U s U Rc r =- （2-54） )(1)(s I Css U r =（2-55）方程（2-54）可用图2-29)(a 表示，方程（2-55）可用图2-29)(b 表示。
将图2-29)(a )(b 按信号传递方向结合起来，网络的输入量置于图示的左端，输出量置于最右端，并将同一变量的信号连在一起，如图2-30)(a 所示，即得RC 网络结构图。
对图2-30)(a 进行所谓“等效变换”就可得出网络传递函数，因此网络结构就更为简单,如图2-30)(b 所示。
关于结构图等效变换的方法将另作介绍。
（1）建立控制系统各元、部件的微分方程。
（2）对各元、部件的微分方程进行拉氏变换，并做出各元、部件的结构图。
（3）按系统中各信号的传递顺序，依次将各元件结构图连接起来，便得到系统的结构图。
下面以图1-7所示随动系统为例。
把组成该系统各元部件的微分方程（2-18）进行拉氏变换，可得方程组（2-56e a ~），其中比较元件 )()()(s s s c r θθθε-=（2-56a ） 电位器 )()(1s K s U εεθ= （2-56b ） 放大器 )()(2s U k s U ε=（2-56c ） 电动机 )()()1(s U K s s T s m m =+εθ（2-56d ） 减速器)(1)(s is c θθ=（2-56e ）各元、部件的结构图如图2-31所示。
分支点或引出点的移动
Saturday, March 07,
2020
10
例2.7：图2-30 RC 网络的动态结构图如图2-31（a）。
图中有方框的并联连接、串联连接和反馈连接，对结构图
进行等效变换，求出网络的传递函数。
R1
+
+
ur
C
R2 uC
-
-
图2-30 RC网络
解：首先用并联连接将2-31（a）变换为（b）； 再用串联连接法则将结构图等效为典型的单回路结构（见图（ c））； 最后用反馈法则将图（c）等效为图（d）。
（1）分支点前移。分支点前移的等效变换法则是：乘C分
支点所经过的传递函数。如图2-26所示。
Saturday, March 07,
2020
7
R
C
前移 R
C
G(s)
G(s)
C
C
G(s)
图2-26 分支点前移
（2）分支点后移
分支点后移的等效变换法则是：除以分支点所经过的传递
函数。如图2-27所示。
R
G(s) C
后移 R G(s)
C
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R 图2-27 分支点后移
1R G(s)
8
3．相加点移动
在前面，我们介绍了分支点（或引出点）的移动，接下来 介绍相加点的移动，其具体的法则如下： （1）相加点前移。相加点前移等效变换法则：除以相加点 所经过的传递函数。如图2-28所示。
G2
H1 G3 图2-33 化简动态结构图的步骤
Saturday, March 07,
2020
16
5
（3）反馈连接。连接形式是两个方框反向并联，如图 2-25所示，相加点处做加法时为正反馈，做减时为负反馈。