基本图形分析法--逆平行线型相似三角形(2)
相似三角形-2022年中考数学专练(解析版)
热点07 相似三角形相似三角形在中考数学中的地址永远都是无法撼动的第一，不管是对相似三角形性质、判定、亦或是应用的考察，都有出题类型多变，出题形式随意的特点，并且，因为其高度的融合性，不管是在选择题、填空题、解答题的压轴题中，都可以作为压轴题的问题背景出现，也是解决压轴题问题不可或缺的方法途径。
基于以上特征，相似三角的考察难度可以从中等跨越到较难，属于中考数学中较为重要的压轴考点。
1.相似三角形的性质：分类记忆——边、角、线、面积＋周长；相似三角形的性质有：对应边成比例、对应角相等、对应边上的“三线”之比=相似比、对应面积之比=相似比的平方、对应周长之比=相似比。
另外，相似三角形之前还有有关平行线分线段成比例的基本性质的考察。
2.相似三角形的判定：重点记“AA”与“SAS”类型，小题勿忘“SSS”类型；相似三角形的判定方法中，最常用的是有两个角对应相等的两个三角形相似，其次是对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。
三边对应成比例的两个三角形相似不长出现，但是个别小题，特别是和网格结合的问题小题中，也是有出现几率的。
3.相似三角形的应用：理解题意、提炼模型、注意特殊要求；相似三角形的应用多与实际生活结合，考察树或者楼的高度、物体的某些边的长度等。
此时通常需要自己提炼出应用的相似模型，并根据需要添加辅助线等，个别时候还会要求结果符合一定的要求，需要特点别注意。
当相似三角形与函数结合考察时，通常为压轴题，需要同时注意相似三角形与函数各自的性质的融合。
相似三角形的考察热点有：平行线分线段成比例的基本性质、相似三角形的性质、判定以及其综合应用。
近几年也常考察相似里的几何模型，如：手拉手模型、K型图模型、A字图与8字图模型、母子三角形模型等。
A卷（建议用时：60分钟）1．（2021•攀枝花·中考真题）若（x、y、z均不为0），则＝．【分析】设比值为k，然后用k表示出x、y、z，再代入比例式进行计算即可得解．【解答】解：设＝＝＝k（k≠0），则x＝6k，y＝4k，z＝3k，所以，＝＝3．故答案为：3．2．（2021•百色·中考真题）如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝72°，∠ACB的平分线CD交AB于点D，则点D是线段AB的黄金分割点．若AC＝2，则BD＝．【分析】证AD＝CD＝BC，再证△BCD∽△BAC，得BC：AB＝BD：BC，则AD：AB＝BD：AD，得点D是AB边上的黄金分割点，AD＞BD，求出AD＝AB＝﹣1，即可求解．【解答】解：∵AB＝AC＝2，∴∠B＝∠ACB＝72°，∠A＝36°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝36°，∴∠A＝∠ACD，∴AD＝CD，∵∠CDB＝180°﹣∠B﹣∠BCD＝72°，∴∠CDB＝∠B，∴BC＝CD，∴BC＝AD，∵∠B＝∠B，∠BCD＝∠A＝36°，∴△BCD∽△BAC，∴BC：AB＝BD：BC，∴AD：AB＝BD：AD，∴点D是AB边上的黄金分割点，AD＞BD，∴AD＝AB＝﹣1，∴BD＝AB﹣AD＝2﹣（﹣1）＝3﹣，故答案为：3﹣．3．（2021•哈尔滨·中考真题）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，BD＝3，AC＝10，则AE的长为（）A．3B．4C．5D．6【分析】根据平行线分线段成比例由DE∥BC得到，然后根据比例的性质可求出AE．【解答】解：∵DE∥BC，∴，∵AD＝2，BD＝3，AC＝10，∴，∴AE＝4．故选：B．4．（2021•上海·中考真题）如图所示，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，＝，则＝．【分析】过D作DM⊥BC于M，过B作BN⊥AD于N，由四边形BMDN是矩形，可得DM＝BN，＝，根据AD∥BC，可得＝＝，＝，即可得到＝．【解答】解：过D作DM⊥BC于M，过B作BN⊥AD于N，如图：∵AD∥BC，DM⊥BC，BN⊥AD，∴四边形BMDN是矩形，DM＝BN，∵＝，∴＝，∴＝，∵AD∥BC，∴＝＝，∴＝，∴＝，故答案为：．5．（2021•镇江·中考真题）如图，点D，E分别在△ABC的边AC，AB上，△ADE∽△ABC，M，N分别是DE，BC的中点，若＝，则＝．【分析】根据相似三角形对应中线的比等于相似比求出，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．【解答】解：∵M，N分别是DE，BC的中点，∴AM、AN分别为△ADE、△ABC的中线，∵△ADE∽△ABC，∴＝＝，∴＝（）2＝，故答案为：．6．（2021•湘潭·中考真题）如图，在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC上的点，试添加一个条件：，使得△ADE与△ABC相似．（任意写出一个满足条件的即可）【分析】根据相似三角形判定定理：两个角相等的三角形相似；夹角相等，对应边成比例的两个三角形相似，即可解题．【解答】解：添加∠ADE＝∠C，又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB，故答案为：∠ADE＝∠C（答案不唯一）．7．（2021•巴中·中考真题）如图，△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，且＝＝，下列结论正确的是（）A．DE：BC＝1：2B．△ADE与△ABC的面积比为1：3C．△ADE与△ABC的周长比为1：2D．DE∥BC【分析】根据相似三角形的判定与性质进行逐一判断即可．【解答】解：∵＝＝，∴AD：AB＝AE：AC＝1：3，∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴DE：BC＝1：3，故A错误；∵△ADE∽△ABC，∴△ADE与△ABC的面积比为1：9，周长的比为1：3，故B和C错误；∵△ADE∽△ABC，∴∠ADE＝∠B，∴DE∥BC．故D正确．故选：D．8．（2021•恩施州·中考真题）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，E为BD与正方形网格线的交点，下列结论正确的是（）A．CE≠BD B．△ABC≌△CBD C．AC＝CD D．∠ABC＝∠CBD【分析】根据勾股定理可以得到BC、CD、BD的长，再根据勾股定理的逆定理可以得到△BCD的形状，利用相似三角形的判定与性质，可以得到EF的长，然后即可得到CE的长，从而可以得到CE和BD的关系；根据图形，很容易判断△ABC≌△CBD和AC＝CD不成立；再根据锐角三角函数可以得到∠ABC 和∠CBD的关系．【解答】解：由图可得，BC＝＝2，CD＝＝，BD＝＝5，∴BC2+CD2＝（2）2+（）2＝25＝BD2，∴△BCD是直角三角形，∵EF∥GD，∴△BFE∽△BGD，∴，即，解得EF＝1.5，∴CE＝CF﹣EF＝4﹣1.5＝2.5，∴＝，故选项A错误；由图可知，显然△ABC和△CBD不全等，故选项B错误；∵AC＝2，CD＝，∴AC≠CD，故选项C错误；∵tan∠ABC＝＝，tan∠＝＝，∴∠ABC＝∠CBD，故选项D正确；故选：D．9．（2021•内江·中考真题）在同一时刻，物体的高度与它在阳光下的影长成正比．在某一时刻，有人测得一高为1.8m的竹竿的影长为3m，某一高楼的影长为60m，那么这幢高楼的高度是（）A．18m B．20m C．30m D．36m【分析】设此高楼的高度为x米，再根据同一时刻物高与影长成正比例出关于x的比例式，求出x的值即可．【解答】解：设这幢高楼的高度为x米，依题意得：＝，解得：x＝36．故这幢高楼的高度为36米．故选：D．10．（2021•兰州·中考真题）如图，小明探究课本“综合与实践”板块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为5m时，标准视力表中最大的“”字高度为72.7mm，当测试距离为3m时，最大的“”字高度为（）A．121.17mm B．43.62mm C．29.08mm D．4.36mm【分析】直接利用平行线分线段成比例定理列比例式，代入可得结论．【解答】解：由题意得：CB∥DF，，∵AD＝3m，AB＝5m，BC＝72.7mm，，∴DF＝43.62（mm），故选：B．11．（2021•锦州·中考真题）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，D为⊙O上一点（位于AB下方），CD交AB于点E，若∠BDC＝45°，BC＝6，CE＝2DE，则CE的长为（）A．2B．4C．3D．4【分析】连接CO，过点D作DG⊥AB于点G，连接AD，因为CE＝2DE，构造△DGE∽△COE，求出DG＝3，设GE＝x，则OE＝2x，DG＝3，则AG＝6﹣3x，BG＝6+3x，再利用△AGD∽△ADB，列出方程即可解决．【解答】解：方法一、连接CO，过点D作DG⊥AB于点G，连接AD，∵∠BDC＝45°，∴∠CAO＝∠CDB＝45°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∵BC＝6，∴AB＝BC＝12，∵OA＝OB，∴CO⊥AB，∴∠COA＝∠DGE＝90°，∵∠DEG＝∠CEO，∴△DGE∽△COE，∴＝，∵CE＝2DE，设GE＝x，则OE＝2x，DG＝3，∴AG＝6﹣3x，BG＝6+3x，∵∠ADB＝∠AGB＝90°，∠DAG＝∠BAD，∴△AGD∽△ADB，∴DG2＝AG•BG，∴9＝（6﹣3x）（6+3x），∵x＞0，∴x＝，∴OE＝2，在Rt△OCE中，由勾股定理得：CE＝，方法二、∵∠CDB＝∠A＝45°，∴∠ABC＝∠A＝45°，∵∠BCE＝∠DCB，∴△BCE∽△DCB，∴BC2＝CE×CD，设DE＝x，则CE＝2x，∴（6）2＝2x×3x，∵x＞0，∴x＝2，∴CE＝4，故选：D．12．（2021•连云港·中考真题）如图，△ABC中，BD⊥AB，BD、AC相交于点D，AD＝AC，AB＝2，∠ABC＝150°，则△DBC的面积是（）A．B．C．D．【分析】过点C作BD的垂线，交BD的延长线于点E，可得△ABD∽△CED，可得＝＝，由AD＝AC，AB＝2，可求出CE的长，又∠ABC＝150°，∠ABD＝90°，则∠CBD＝60°，解直角△BCE，可分别求出BE和BD的长，进而可求出△BCD的面积．【解答】解：如图，过点C作BD的垂线，交BD的延长线于点E，则∠E＝90°，∵BD⊥AB，CE⊥BD，∴AB∥CE，∠ABD＝90°，∴△ABD∽△CED，∴＝＝，∵AD＝AC，∴＝，∴＝＝＝，则CE＝，∵∠ABC＝150°，∠ABD＝90°，∴∠CBE＝60°，∴BE＝CE＝，∴BD＝BE＝，∴S△BCD＝•BD•CE＝×＝．故选：A．13．（2021•济南·中考真题）如图，一个由8个正方形组成的“C”模板恰好完全放入一个矩形框内，模板四周的直角顶点M，N，O，P，Q都在矩形ABCD的边上，若8个小正方形的面积均为1，则边AB的长为．【分析】如解答图所示，连接EG，则∠OEP＝90°，由题意得，小正方形的边长为1，根据勾股定理得出OP＝，根据矩形的性质可判定△OEP∽△QBM，得到＝＝＝，进而得出BM＝，QB＝，利用AAS证明△QBM≌△MAN，根据全等三角形的性质及线段的和差即可得解．【解答】解：如下图所示，连接EG，则∠OEP＝90°，由题意得，小正方形的边长为1，∴OP＝＝＝，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝∠A＝90°，∠MQP＝90°，∴∠BMQ＝∠CQP＝90°﹣∠MQP，同理∠EPO＝∠CQP＝90°﹣∠QPC，∴∠BMQ＝∠EPO，又∠OEP＝∠B＝90°，∴△OEP∽△QBM，∴＝＝＝，∴BM＝＝＝，QB＝＝＝，∵∠B＝∠A＝90°，∠NMQ＝90°，∴∠BMQ＝∠ANM＝90°﹣∠AMN，在△QBM和△MAN中，，∴△QBM≌△MAN（AAS），∴AM＝QB＝，∴AB＝BM+AM＝+＝．故答案为：．14．（2021•鄂州·中考真题）如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，且∠ABE＝∠CDF．（1）探究四边形BEDF的形状，并说明理由；（2）连接AC，分别交BE、DF于点G、H，连接BD交AC于点O．若＝，AE＝4，求BC的长．【分析】（1）利用∠ABE＝∠CDF以及平行四边形的性质，求证BE∥DF，AD∥BC即可判断四边形BEDF 的形状；（2）设AG＝2a，通过已知条件即可推出的值，再通过求证△AGE∽△CGB，利用相似比即可求出BC的长．【解答】解：（1）四边形BEDF为平行四边形，理由如下：∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠ABC＝∠ADC，∵∠ABE＝∠CDF，∴∠EBF＝∠EDF，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴∠EDF＝∠DFC＝∠EBF，∴BE∥DF，∵AD∥BC，∴四边形BEDF为平行四边形；（2）设AG＝2a，∵，∴OG＝3a，AO＝5a，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AO＝CO＝5a，AC＝10a，CG＝8a，∵AD∥BC，∴△AGE∽△CGB，∴，∵AE＝4，∴BC＝16．15．（2021•聊城·中考真题）如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，AE是直径，交BC 于点H，点D在上，连接AD，CD过点E作EF∥BC交AD的延长线于点F，延长BC交AF于点G．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若BC＝2，AH＝CG＝3，求EF和CD的长．【分析】（1）由题意可证∠BAE＝∠CAE，由等腰三角形的性质可得AE⊥BC，由平行线的性质可证EF ⊥AE，可得结论；（2）在Rt△OHC中，利用勾股定理可求半径，可得AE的长，通过证明△AEF∽△AHG，可得，可求EF的长，通过证明△DCG∽△BAG，可得，可求CD的长．【解答】证明：（1）∵AB＝AC，∴＝，∵AE是直径，∴＝，∴∠BAE＝∠CAE，又∵AB＝AC，∴AE⊥BC，又∵EF∥BC，∴EF⊥AE，∴EF是⊙O的切线；（2）连接OC，设⊙O的半径为r，∵AE⊥BC，∴CH＝BH＝BC＝1，∴HG＝HC+CG＝4，∴AG＝＝＝5，在Rt△OHC中，OH2+CH2＝OC2，∴（3﹣r）2+1＝r2，解得：r＝，∴AE＝，∵EF∥BC，∴△AEF∽△AHG，∴，∴＝，∴EF＝，∵AH＝3，BH＝1，∴AB＝＝＝，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠B+∠ADC＝180°，∵∠ADC+∠CDG＝180°，∴∠B＝∠CDG，又∵∠DGC＝∠AGB，∴△DCG∽△BAG，∴，∴＝，∴CD＝．B卷（建议用时：80分钟）1．（2021•大庆·中考真题）已知＝＝，则＝．【分析】设＝＝＝k，分别求出x、y、z的值，代入所求式子化简即可．【解答】解：设＝＝＝k，∴x＝2k，y＝3k，z＝4k，∴＝＝＝，故答案为．2．（2021•德阳·中考真题）我们把宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形ABCD是黄金矩形，边AB的长度为﹣1，则该矩形的周长为．【分析】分两种情况：①边AB为矩形的长时，则矩形的宽为3﹣，求出矩形的周长即可；②边AB为矩形的宽时，则矩形的长为＝2，求出矩形的周长即可．【解答】解：分两种情况：①边AB为矩形的长时，则矩形的宽为×（﹣1）＝3﹣，∴矩形的周长为：2（﹣1+3﹣）＝4；②边AB为矩形的宽时，则矩形的长为：（﹣1）÷＝2，∴矩形的周长为2（﹣1+2）＝2+2；综上所述，该矩形的周长为2+2或4．3．（2021•阿坝州·中考真题）如图，直线l1∥l2∥l3，直线a，b与l1，l2，l3分别交于点A，B，C和点D，E，F．若AB：BC＝2：3，EF＝9，则DE的长是（）A．4B．6C．7D．12【分析】根据平行线分线段成比例定理得出AB：BC＝DE：EF，再求出答案即可．【解答】解：∵l1∥l2∥l3，∴AB：BC＝DE：EF．∵AB：BC＝2：3，EF＝9，∴DE＝6．故选：B．4．（2021•宿迁·中考真题）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝5，点D、E分别在BC、AC上，CD＝2BD，CE＝2AE，BE交AD于点F，则△AFE面积的最大值是．【分析】连接DE．首先证明DE∥AB，推出S△ABE＝S△ABD，推出S△AEF＝S△BDF，可得S△AEF＝S△ABD，求出△ABD面积的最大值即可解决问题．【解答】解：连接DE．∵CD＝2BD，CE＝2AE，∴＝＝2，∴DE∥AB，∴△CDE∽△CBA，∴＝＝，∴＝＝，∵DE∥AB，∴S△ABE＝S△ABD，∴S△AEF＝S△BDF，∴S△AEF＝S△ABD，∵BD＝BC＝，∴当AB⊥BD时，△ABD的面积最大，最大值＝××4＝，∴△AEF的面积的最大值＝×＝，故答案为：5．（2021•盘锦·中考真题）“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由示意图获得，设井深为x尺，所列方程正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【分析】如图，设AD交BE于K．利用相似三角形的性质求解即可．【解答】解：如图，设AD交BE于K．∵DK∥BC，∴△EKD∽△EBC，∴＝，∴＝，故选：A．6．（2021•临沂·中考真题）如图，点A，B都在格点上，若BC＝，则AC的长为（）A．B．C．2D．3【分析】根据相似三角形的判定和性质可以得到AB的长，然后由图可知AC＝AB﹣BC，然后代入数据计算即可．【解答】解：作CD⊥BD于点D，作AE⊥BD于点E，如右图所示，则CD∥AE，∴△BDC∽△BEA，∴，∴＝，解得BA＝2，∴AC＝BA﹣BC＝2﹣＝，故选：B．7．（2021•湘西州·中考真题）如图，在△ECD中，∠C＝90°，AB⊥EC于点B，AB＝1.2，EB＝1.6，BC ＝12.4，则CD的长是（）A．14B．12.4C．10.5D．9.3【分析】由∠ABE＝∠C，∠E＝∠E，证明△ABE∽△DCE，得＝，即可求解．【解答】解：∵EB＝1.6，BC＝12.4，∴EC＝EB+BC＝14，∵AB⊥EC，∴∠ABE＝90°，∵∠C＝90°，∴∠ABE＝∠C，又∵∠E＝∠E，∴△ABE∽△DCE，∴＝，即＝，解得：CD＝10.5，故选：C．8．（2021•益阳·中考真题）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，tan∠ABC＝，将△ABC绕A点顺时针方向旋转角α（0°＜α＜90°）得到△AB′C′，连接BB′，CC′，则△CAC′与△BAB′的面积之比等于．【分析】证明△ACC′∽△ABB′，可得＝（）2，解决问题．【解答】解：由旋转的性质可知，∠BAC＝∠B′AC′，∴∠BAB′＝∠CAC′，∵AB＝AB′，AC＝AC′，∴＝，∴△ACC′∽△ABB′，∴＝（）2，∵∠CAB＝90°，∴tan∠ABC＝＝，∴＝（）2＝．故答案为：9：4．9．（2021•常州·中考真题）如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，D、E分别在CA、CB上，点F在△ABC 内．若四边形CDFE是边长为1的正方形，则sin∠FBA＝．【分析】连接AF，过点F作FG⊥AB于G，由四边形CDFE是边长为1的正方形可得AD＝2，BE＝3，根据勾股定理求出AB＝5，AF＝，BF＝，设BG＝x，利用勾股定理求出x＝3，可得FG＝1，即可得sin∠FBA的值．【解答】解：连接AF，过点F作FG⊥AB于G，∵四边形CDFE是边长为1的正方形，∴CD＝CE＝DF＝EF＝1，∠C＝∠ADF＝90°，∵AC＝3，BC＝4，∴AD＝2，BE＝3，∴AB＝＝5，AF＝＝，BF＝＝，设BG＝x，∵FG2＝AF2﹣AG2＝BF2﹣BG2，∴5﹣（5﹣x）2＝10﹣x2，解得：x＝3，∴FG＝＝1，∴sin∠FBA＝＝．故答案为：．10．（2021•绵阳·中考真题）如图，在△ACD中，AD＝6，BC＝5，AC2＝AB（AB+BC），且△DAB∽△DCA，若AD＝3AP，点Q是线段AB上的动点，则PQ的最小值是（）A．B．C．D．【分析】根据相似三角形的性质得到＝，得到BD＝4（负值舍去），AB＝BD＝4，过B作BH⊥AD 于H，根据等腰三角形的性质得到AH＝AD＝3，根据勾股定理得到BH＝＝＝，当PQ⊥AB时，PQ的值最小，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵△DAB∽△DCA，∴＝，∴＝，解得：BD＝4（负值舍去），∵△DAB∽△DCA，∴，∴AC＝，∵AC2＝AB（AB+BC），∴（AB）2＝AB（AB+BC），∴AB＝4，∴AB＝BD＝4，过B作BH⊥AD于H，∴AH＝AD＝3，∴BH＝＝＝，∵AD＝3AP，AD＝6，∴AP＝2，当PQ⊥AB时，PQ的值最小，∵∠AQP＝∠AHB＝90°，∠P AQ＝∠BAH，∴△APQ∽△ABH，∴，∴＝，∴PQ＝，故选：A．11．（2021•温州·中考真题）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示．过点D作DF的垂线交小正方形对角线EF的延长线于点G，连结CG，延长BE交CG于点H．若AE＝2BE，则的值为（）A．B．C．D．【分析】如图，过点G作GT⊥CF交CF的延长线于T，设BH交CF于M，AE交DF于N．设BE＝AN ＝CM＝DF＝a，则AE＝BM＝CF＝DN＝2a，想办法求出BH，CG，可得结论．【解答】解：如图，过点G作GT⊥CF交CF的延长线于T，设BH交CF于M，AE交DF于N．设BE ＝AN＝CM＝DF＝a，则AE＝BM＝CF＝DN＝2a，∴EN＝EM＝MF＝FN＝a，∵四边形ENFM是正方形，∴∠EFH＝∠TFG＝45°，∠NFE＝∠DFG＝45°，∵GT⊥TF，DF⊥DG，∴∠TGF＝∠TFG＝∠DFG＝∠DGF＝45°，∴TG＝FT＝DF＝DG＝a，∴CT＝3a，CG＝＝a，∵MH∥TG，∴△CMH∽△CTG，∴CM：CT＝MH：TG＝1：3，∴MH＝a，∴BH＝2a+a＝a，∴＝＝，故选：C．12．（2021•山西·中考真题）如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点，且AD＝3BD，连接CD并取CD 的中点E，连接BE，若∠ACD＝∠BED＝45°，且CD＝6，则AB的长为．【分析】取AD中点F，连接EF，过点D作DG⊥EF于G，DH⊥BE于H，设BD＝a，由三角形中位线定理可得DF＝a，EF∥AC，DE＝3，通过证明四边形DGEH是正方形，可得DE＝DG＝3，DH∥EF，通过证明△BDH∽△DFG，可得，可求BH的长，在Rt△DHB中，利用勾股定理可求BD的长，即可求解．【解答】解：如图，取AD中点F，连接EF，过点D作DG⊥EF于G，DH⊥BE于H，设BD＝a，∴AD＝3BD＝3a，AB＝4a，∵点E为CD中点，点F为AD中点，CD＝6，∴DF＝a，EF∥AC，DE＝3，∴∠FED＝∠ACD＝45°，∵∠BED＝45°，∴∠FED＝∠BED，∠FEB＝90°，∵DG⊥EF，DH⊥BE，∴四边形EHDG是矩形，DG＝DH，∴四边形DGEH是正方形，∴DE＝DG＝3，DH∥EF，∴DG＝DH＝3，∵DH∥EF，∴∠BDH＝∠DFG，∴△BDH∽△DFG，∴，∴＝，∴BH＝2，∴BD＝＝＝，∴AB＝4，故答案为：4．13．（2021•鞍山·中考真题）如图，△ABC的顶点B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，顶点C在x 轴负半轴上，AB∥x轴，AB，BC分别交y轴于点D，E．若＝＝，S△ABC＝13，则k＝．【分析】过点B作BF⊥x轴于点F，通过设参数表示出三角形ABC的面积，从而求出参数的值，再利用三角形ABC与矩形ODBF的关系求出矩形面积，即可求得k的值．【解答】解：如图，过点B作BF⊥x轴于点F．∵AB∥x轴，∴△DBE∽△OCE，∴＝，∵＝＝，∴＝＝＝＝，设CO＝3a，DE＝3b，则AD＝2a，OE＝2b，∴，OD＝5b，∴BD＝，∴AB＝AD+DB＝，∵S△ABC＝＝＝13，∴ab＝，∵S矩形ODBF＝BD•OD＝＝＝18，又∵反比例函数图象在第一象限，∴k＝18，故答案为18．14．（2021•营口·中考真题）如图，AB是⊙O直径，点C，D为⊙O上的两点，且＝，连接AC，BD 交于点E，⊙O的切线AF与BD延长线相交于点F，A为切点．（1）求证：AF＝AE；（2）若AB＝8，BC＝2，求AF的长．【分析】（1）利用AB是⊙O直径，AF是⊙O的切线，得到∠DAF＝∠ABF，利用＝得到∠ABF＝∠CAD，进而证得∠F＝∠AEF，根据等角对等边即可证得AF＝AE；（2）利用勾股定理求得AC，利用△BCE∽△BAF得到＝，求得CE＝AF＝AE，根据AE+CE ＝AC即可求得AF．【解答】（1）证明：连接AD，∵AB是⊙O直径，∴∠ADB＝∠ADF＝90°，∴∠F+∠DAF＝90°，∵AF是⊙O的切线，∴∠F AB＝90°，∴∠F+∠ABF＝90°，∴∠DAF＝∠ABF，∵＝，∴∠ABF＝∠CAD，∴∠DAF＝∠CAD，∴∠F＝∠AEF，∴AF＝AE；（2）解：∵AB是⊙O直径，∴∠C＝90°，∵AB＝8，BC＝2，∴AC＝＝＝2，∵∠C＝∠F AB＝90°，∠CEB＝∠AEF＝∠F，∴△BCE∽△BAF，∴＝，即＝，∴CE＝AF，∵AF＝AE，∴CE＝AE，∵AE+CE＝AC＝2，∴AE＝，∴AF＝AE＝．15．（2021•杭州·中考真题）如图，锐角三角形ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线AG交⊙O于点G，交BC边于点F，连接BG．（1）求证：△ABG∽△AFC．（2）已知AB＝a，AC＝AF＝b，求线段FG的长（用含a，b的代数式表示）．（3）已知点E在线段AF上（不与点A，点F重合），点D在线段AE上（不与点A，点E重合），∠ABD ＝∠CBE，求证：BG2＝GE•GD．【分析】（1）根据∠BAC的平分线AG交⊙O于点G，知∠BAG＝∠F AC，由圆周角定理知∠G＝∠C，即可证△ABG∽△AFC；（2）由（1）知＝，由AC＝AF得AG＝AB，即可计算FG的长度；（3）先证△DGB∽△BGE，得出线段比例关系，即可得证BG2＝GE•GD．【解答】（1）证明：∵AG平分∠BAC，∴∠BAG＝∠F AC，又∵∠G＝∠C，∴△ABG∽△AFC；（2）解：由（1）知，△ABG∽△AFC，∴＝，∵AC＝AF＝b，∴AB＝AG＝a，∴FG＝AG﹣AF＝a﹣b；（3）证明：∵∠CAG＝∠CBG，∠BAG＝∠CAG，∴∠BAG＝∠CBG，∵∠ABD＝∠CBE，∴∠BDG＝∠BAG+∠ABD＝∠CBG+∠CBE＝∠EBG，又∵∠DGB＝∠BGE，∴△DGB∽△BGE，∴＝，∴BG2＝GE•GD．16．（2021•罗湖区·中考真题）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AC与BD交于点E，∠ADB＝∠ACB．（1）求证：＝；（2）若AB⊥AC，AE：EC＝1：2，F是BC中点，求证：四边形ABFD是菱形．【分析】（1）利用相似三角形的判定得出△ABE∽△ACB，进而求出答案；（2）首先证明AD＝BF，进而得出AD∥BF，即可得出四边形ABFD是平行四边形，再利用AD＝AB，得出四边形ABFD是菱形．【解答】证明：（1）∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABE，又∵∠ADB＝∠ACB，∴∠ABE＝∠ACB，又∵∠BAE＝∠CAB，∴△ABE∽△ACB，∴＝，又∵AB＝AD，∴＝；（2）设AE＝x，∵AE：EC＝1：2，∴EC＝2x，由（1）得：AB2＝AE•AC，即AB2＝x•3x∴AB＝x，又∵BA⊥AC，∴BC＝2x，∴∠ACB＝30°，∵F是BC中点，∴BF＝x，∴BF＝AB＝AD，连接AF，则AF＝BF＝CF，∠ACB＝30°，∠ABC＝60°，又∵∠ABD＝∠ADB＝30°，∴∠CBD＝30°，∴∠ADB＝∠CBD＝∠ACB＝30°，∴AD∥BF，∴四边形ABFD是平行四边形，又∵AD＝AB，∴四边形ABFD是菱形．。
三角形全等、相似及综合应用模型(6大模型+解题技巧)—2024年中考数学(全国通用)(解析版)
三角形全等、相似及综合应用模型题型解读｜模型构建｜通关试练三角形基础知识部分多以选择或者填空题形式，考察其三边关系、内角和/外角和定理、“三线”基本性质等。
特殊三角形的性质与判定也是考查重点，年年都会考查，最为经典的“手拉手”模型就是以等腰三角形为特征总结的，且等腰三角形单独出题的可能性还是比较大。
直角三角形的出题类型可以是选择填空题这类小题，也可以是各类解答题，以及融合在综合压轴题中，作为问题的几何背景进行拓展延伸。
模型01 与三角形有关的线段应用高（AD）中线（AD）角平分线（AD）中位线（DE）模型02 与三角形有关的角的应用（1）三角形的内角：（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．（3）三角形内角和定理的证明证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．（4）三角形内角和定理的应用主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．（2）三角形的外角：（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．（2）三角形的外角性质：①三角形的外角和为360°．②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．模型03 三角形全等的判定及应用（1）全等三角形的定义：全等的图形必须满足：（1）形状相同；（2）大小相等能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
相似三角形(解析版)
4.3相似三角形一、相似图形及比例线段1．相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形. 要点：(1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形； (2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两 个图形全等；二、相似三角形 在和中，如果我们就说与相似，记作∽.k 就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”一、单选题 1．若ABC A B C '''，40A ∠=︒，110B ∠=︒，则'C ∠的度数为（ ）A ．30°B ．40°C ．70°D ．110°【解答】A【提示】若ABC A B C '''∽△△，则说明点A 的对应点为点'A ，点B 的对应点B '，点C 的对应点为点C ',且对应角相等.【详解】因为ABC A B C '''∽△△，所以'C C ∠=∠.因为40A ∠=︒，110B ∠=︒，所以30C ∠=︒，所以'30C ∠=︒故选A.【点睛】考核知识点：相似比.熟记相似三角形性质:对应角相等，是关键. 2．若ABCA B C ''''，3BC =，'' 1.8B C =，则A B C '''与ABC 的相似比为（ ）A ．5∶3B ．32∶C ．23∶D ．35∶ 【解答】D【提示】根据相似三角形的对应角相等、对应边成比例可得：A B C '''与ABC 的相似比为1.83B C BC =''. 【详解】因为ABC A B C '''∽△△，3BC =，'' 1.8B C =，所以A B C '''与ABC 的相似比为1.8335B C BC ''==. 故选D.【点睛】考核知识点：相似比.熟记相似三角形性质是关键. 3．如图，已知ADEACB ，若AB=10，AC=8，AD=4，则AE 的长是（ ）A ．4B ．3.2C ．20D ．5【解答】D【提示】根据相似三角形对应边成比例直接建立等式求解即可． 【详解】由相似三角形的性质可得：AD AEAC AB=， 则·41058AD AB AE AC ⨯===， 故选：D ．【点睛】本题考查相似三角形的性质，熟记相似三角形对应边成比例是解题关键．4．如果ABC DEF ∆∆∽，A 、B 分别对应D 、E ，且:1:2AB DE =，那么下列等式一定成立的是（ ） A ．:1:2BC DE =B ．ABC ∆的面积：DEF ∆的面积1:2=C ．A ∠的度数：D ∠的度数1:2= D ．ABC ∆的周长：DEF ∆的周长1:2= 【解答】D【提示】相似三角形对应边的比等于相似比，面积之比等于相似比的平方,对应角相等.【详解】根据相似三角形性质可得：A ：BC 和DE 不是对应边，故错；B ：面积比应该是1:4，故错；C:对应角相等，故错；D ：周长比等于相似比，故正确. 故选：D【点睛】考核知识点：相似三角形性质.理解基本性质是关键.5．如图所示，△ACB ∽△A′CB′，∠BCB′＝30°，则∠ACA′的度数为（ ）A ．20°B ．30°C ．35°D ．40° 【解答】B【提示】根据相似三角形性质求出∠ACB=∠A′CB′，都减去∠A′CB 即可． 【详解】解：∵△ACB ∽△A′CB′，∴∠ACB=∠A′CB′，∴∠ACB-∠A′CB=∠A′CB′-∠A′CB ， ∴∠ACA′=∠BCB′， ∵∠BCB′=30°， ∴∠ACA′=30°， 故选：B ．【点睛】本题考查了相似三角形性质，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键．6．如图，在△ABC 中，∠A ＝75°，AB ＝6，AC ＝8，将△ABC 沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】D【提示】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．【详解】A 、根据平行线截得的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误； B 、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误； C 、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误． D 、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确； 故选D ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．7．在△ABC 中，已知AB ＝5，BC ＝4，AC ＝8.若△ABC ∽△A1B1C1，△A1B1C1的最长边的长为16，则其他两边的长分别为( )A ．A1B1＝8，B1C1＝10B ．A1B1＝10，B1C1＝8C ．A1B1＝5，B1C1＝8D ．A1B1＝10，B1C1＝4【解答】B【详解】分析：根据相似三角形对应边的比相等解答即可．详解：∵两个三角形中最长边和最长边是对应边，△ABC ∽△A1B1C1，∴111111AB BC ACA B B C AC == ，∴111154816A B B C ==，∴A1B1＝10，B1C1＝8． 故选B ．点睛：本题主要考查学生对两个三角形相似的性质的理解及运用．掌握相似三角形的性质是解题的关键．8．若ABC DEF △△，且ABC 与DEF 的相似比为m ，DEF 与ABC 的相似比为n ，则（.）： A ．m n = B ．0m n += C ．1⋅=m n D ．1m n ⋅=-【解答】C【提示】根据题意，可判定ABC 与DEF 的相似比为m ，则DEF 与ABC 的相似比为其倒数，所以两者积为1.【详解】解：∵ABC 与DEF 的相似比为m ， ∴DEF 与ABC 的相似比为1m ，即1n m=， ∴1⋅=m n 故答案为C.【点睛】此题主要考查相似三角形相似比的性质，熟练掌握，即可解题.9．△ABC ∽△A′B′C′，已知AB ＝5，A′B′＝6，△ABC 面积为10，那么另一个三角形的面积为( ) A ．15B ．14.4C ．12D ．10.8【解答】B【提示】利用相似三角形的性质得出两三角形的面积比，进而求出即可． 【详解】解：∵△ABC ∽△A′B′C′，AB ＝5，A′B′＝6， ∴A'B'C'2536ABC S S =， ∵△ABC 面积为10， ∴解得：S △A′B′C′＝14.4． 故选B ．【点睛】本题考查相似三角形的性质，利用相似比与面积比的关系得出是解题关键．10．如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，BD 平分∠ABC ，DE ∥BC ，那么在下列三角形中，与△EBD 相似的三角形是（ ）A ．ABCB ．ADEC ．DABD ．BDC 【解答】C【提示】由于∠A=36°，AB=AC ，易求∠ABC=∠C=72°，而BD 是角平分线，易求∠ABD=∠CBD=36°，又DE ∥BC ，那么有∠EDB=∠CBD=36°，即∠A=∠BDE ，∠ABD=∠DBE ，从而可证△ABD ∽△DBE ． 【详解】∵∠A=36°，AB=AC ， ∴∠ABC=∠C=72°， 又∵BD 是∠ABC 的平分线， ∴∠ABD=∠CBD=36°， ∵DE ∥BC ，∴∠EDB=∠CBD=36°，即∠A=∠BDE ，∠ABD=∠DBE ， ∴△ABD ∽△DBE ， 故选C ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定、等腰三角形的性质、三角形内角和定理．解题的关键是求出相关角的度数．二、填空题11．已知111ABC A B C △△，相似比为23，111222A B C A B C △△，相似比为54，则222ABC A B C △△，其相似比为________. 【解答】56【提示】根据相似三角形的性质可得1123AB A B =，112254A B A B =，故可得2256AB A B =. 【详解】因为111ABC A B C ∽△△，相似比为23，所以1123AB A B =，因为111222A B C A B C ∽△△，相似比为54，所以112254A B A B =，所以2256AB A B =，即所求相似比为56. 故答案为56【点睛】考核知识点：相似三角形的性质.根据相似三角形性质和比例性质求解是关键.12．ΔABC 与△DEF 中，65A ∠=︒，42B ∠=︒，65D ∠=︒，73F ∠=︒，3AB =，5AC =，6BC =，6DE =，10DF =，12EF =，则△DEF 与△ABC________【解答】相似【提示】根据相似三角形的判定方法解答即可. 【详解】∵65A ∠=︒，42B ∠=︒， ∴∠C=180°-65°-42°=73°. ∵65D ∠=︒，73F ∠=︒， ∴∠A=∠D, ∠C=∠F, ∴△DEF 与△ABC 相似. 故答案为相似.【点睛】本题考查了相似三角形的判定方法，相似三角形的判定方法有：①对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形；②平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似；③两角相等的两个三角形相似；④两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似判定即可；⑤三边对应成比例的两个三角形相似.13．已知ABC 的三边分别是4，5，6，则与它相似'''A B C 的最长边为12，则'''A B C 的周长是________． 【解答】30【提示】由于A B C '''的最大边为12，所以边长12对应的边只能是ABC 中边长为6的边，进而再由对应边成比例即可求解．【详解】∵△ABC ∽△A′B′C′，且其最大边为12，所以边长12对应的边只能是△ABC 中边长为6的边，∴△′B′C′的另两边的长为8，10， 故△′B′C′的周长为8+10+12=30. 故答案为:30.【点睛】考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解决问题的关键. 14．若ABC DEF ∽，50B ∠=，70C ∠=，则D ∠的度数为________． 【解答】60【提示】根据三角形的内角和定理求出∠A ，再根据相似三角形的对应角相等可得∠D=∠A ． 【详解】∵50B ∠=，70C ∠=∴180180507060,A B C ∠=-∠-∠=--= ∵△ABC ∽△DEF ， ∴60.D A ∠=∠=故答案为60.【点睛】考查相似三角形的性质，掌握相似三角形对应角相等是解题的关键.15．如图，在△ ABC 中， DE ∥ BC ， AD ＝3cm ， BD ＝2cm ，则△ ADE 与△ ABC 相似比是_____；若 DE ＝4cm ，则 BC ＝________．【解答】 3：5203cm ； 【详解】∵AD=3cm ，BD=2cm ， ∴AB=AD+DB=5cm. ∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，且相似比为：35AD AB =； ∴35DE AD BC AB ==，即435BC =， ∴BC=203. 故答案为（1）35；（2）203.点睛：本题解题的要点是根据“平行于三角形一边的直线截另外两边（或两边的延长线），所得新三角形与原三角形相似”由DE ∥BC 得到△ADE ∽△ABC ，这样利用相似三角形的性质即可求得所求量了.16．在ABC 中，5AB AC ==，6BC =，点E 、F 分别在AB 、BC 边上，将BEF 沿直线EF 翻折后，点B 落在对边AC 的点为'B ，若'B FC 与ABC 相似，那么BF =________．【解答】3或3011【提示】由于对应边不确定,所以本题应分两种情况进行讨论:①△ABC ∽△B ' FC;②△ABC ∽△F B 'C.【详解】①当△ABC ∽△B 'FC 时:根据△ABC 是等腰三角形,则△B 'FC 也是等腰三角形, 则B 'FC=∠C=∠B,设BF=x,则CF=6-x, B 'F=B 'C=x,根据△ABC ∽△B 'FC ,得到:B F CFAB BC'=,得到656x x -=,解得x=3011;②当△ABC ∽△F B 'C 则FC=B 'F=BF,则x=6-x,解得x=3. 因而BF=3或3011. 【点睛】本题考查了相似三角形的性质,对应边的比相等,注意到分两种情况进行讨论是解决本题的关键.17．如图，已知ADE ABC ∽，相似比为2:3，则:BC DE 的值为________．【解答】3:2【提示】由于△ADE ∽△ABC ，且已知了它们的相似比，因此两三角形的对应边的比等于相似比．由此可求出BC 、DE 的比例关系．【详解】∵△ADE ∽△ABC ，且相似比为2：3， ∴BC ：DE=3：2， 故答案为3：2．【点睛】本题考查对相似三角形性质的理解． （1）相似三角形面积的比等于相似比的平方；（2）相似三角形周长的比等于相似比； （3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．18．如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在边BC 上，连接AD ，将线段AD 绕点A 逆时针旋转到AE ，使得∠DAE=∠BAC ，连接DE 交AC 于F ，请写出图中一对相似的三角形：________（只要写出一对即可）．【解答】△ABD ∽△AEF(或△ABD ∽△DCF 或△DCF ∽△AEF 或△ADE ∽△ABC) 【详解】分析：先根据等腰三角形的性质，由AB=AC 得∠B=∠C ，再利用旋转的性质得∠ADE=∠E=∠B=∠C ，且∠BAD=∠CAE ，于是根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断△ABD ∽AEF ． 详解：∵AB=AC ， ∴∠B=∠C ，∵线段AD 绕点A 逆时针旋转到AE ，使得∠DAE=∠BAC ，∴∠ADE=∠E=∠B=∠C，∴∠BAD=∠CAE，∴△ABD∽AEF．故答案为△ABD∽AEF．点睛：本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．三、解答题19．根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由（1）AB=12，BC=15，AC=24，A′B′=25，B′C′=40，C′A′=20（2）AB=3，BC=4，AC=5，A′B′=12，B′C′=16，C′A′=20【解答】(1)见解析;(2)见解析.【提示】（1）通过计算得出两个三角形三边成比例，即可得出结论．（2）通过计算得出两个三角形三边成比例，即可得出结论．【详解】解：（1）∵AB123BC153AC243C'A'205A'B'255B'C'405 ======，，，∴△ABC∽△C′A′B′（2）∵AB31BC41AC51 A'B'124B'C'164A'C'204 ======，，∴△ABC∽△A′B′C′．【点睛】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法，通过计算得出三边成比例是解题的关键．20．如图，在△ABC中，D、E两点分别在AC、AB两边上，∠ABC=∠ADE，AB=7，AD=3，AE=2.7,求AC的长．【解答】6.3.【详解】试题分析：已知∠ABC=∠ADE，∠A=∠A，则可推出△ABC∽△ADE，根据相似三角形的相似比即可求得AC的长．试题解析：在△ABC和△ADE中，∵∠ABC=∠ADE，∠A=∠A∴△ABC∽△ADE.∴AB ACAD AE=，即AB AE7 2.7AC 6.3AD3⋅⨯===.考点：相似三角形的判定和性质．21．如图，在正方形网格上有△ABC 和△DEF ．（1）这两个三角形相似吗？为什么？ （2）请直接写出∠A 的度数 ；（3）在上边的网格内再画一个三角形，使它与△ABC 相似，并求出其相似比． 【解答】（1）相似，理由见解析；（2）45º；（3）见解析【提示】（1）根据勾股定理列式求出AB 、AC 、BC 、DE 、DF 、EF 的长度，然后根据三边对应成比例，两三角形相似解答；（2）取AC 的中点O ，连接BO ，根据网格结构可以判断∠ABO=90°，△ABO 是等腰直角三角形，即可得解；（3）把△ABC 三边扩大2倍，然后利用网格结构作出即可． 【详解】（1）AB=22152=+， AC=22026=21+， BC=5， DE=1，DF=22152=+， EF=22222=2+， ∵5AB AC BCDE EF DF===， ∴△ABC ∽△DEF ；（2）如图，取AC 的中点O ，连接BO ， 则△ABO 是等腰直角三角形， ∴∠A=45°；（3）如图，△A′B′C′与△ABC 相似，它们的相似比是2．【点睛】本题考查了利用相似变换作图，熟练掌握相似三角形的判定与性质，网格结构的特点是解题的关键．22．已知：如图AB//CD//EF ，AC 、BD 相交于点O ，E 在AC 上，F 在BD 上，且AE:EC=2:3，BD=10.（1）求BF 的长；（2）当AB=12，CD=8时，求EF 的长.【解答】（1）4 （2）4【提示】（1）根据平行线分线段成比例定理得出BF ：FD 的值，从而得出BF 与FD 的数量关系，再再结合BF+DF=BD=10求出BF 的值.（2）先证明~,~OEF OAB OEF OCD 从而得出两组关于EF 的比例式，再根据和比的性质对比例式进行变形得出23AB EF AE CD EF EC -==+，代入AB 和CD 的值即可求出EF. 【详解】解：（1）∵AB//CD//EFAE BF EC DF∴= :2:3AE EC =23BF DF ∴= 23DF BF ∴= 10BD = 10DF BD BF BF ∴=-=-2(10)3BF BF ∴-=4BF ∴=（2）AB CD EF ‖‖~,~OEF OAB OEF OCD ∴,AB OA CD OC EF OE EF OE ∴== ,AB EF OA OE CD EF OC OE EF OE EF OE--++∴== ,AB EF AE CD EF EC EF OE EF OE-+==23AB EF AE CD EF EC -∴==+ 3()2()AB EF CD EF ∴-=+12,8AB CD ==3(12)2(8)EF EF ∴-=+4EF ∴=【点睛】本题考查平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，比例的性质.（1）中能根据平行线分线段成比例得出BF 与FD 的数量关系是解决此问的关键；（2）中的难度在于能根据和比的性质将比例式进行变形，建立EF 有关的比例式和AE:EC 之间的等量关系.23．如图，直线EF 分别交ABC 的边AB ，AC 于点F ，E ，交BC 的延长线于点D ，已知BF BA BC BD ⋅=⋅.求证：AE CE DE EF ⋅=⋅.【解答】见解析【提示】由对应线段成比例且夹角相等可证ABC DBF ∽△△，根据两组对应角相等即证AEF DEC ∽△△，由相似三角形对应线段成比例的性质可得结论.【详解】证：BF BA BC BD ⋅=⋅，∴AB BC BD BF =， 又ABC DBF ∠=∠，∴ABC DBF ∽△△，∴A D ∠=∠.又AEF DEC ∠=∠，∴AEF DEC ∽△△，∴AE EF DE EC=，即AE CE DE EF ⋅=⋅. 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，综合利用其判定和性质进行证明是解题的关键. 24．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D ，E 分别在BC ，AB 上，且∠BDE ＝∠CAD.求证：△ADE ∽△ABD.【解答】证明见解析.【详解】试题分析：由等腰三角形的性质得出∠B=∠C，由三角形的外角性质和已知条件得出∠ADE=∠C，因此∠B=∠ADE，再由公共角∠DAE=∠BAD，即可得出△ADE∽△ABD.试题解析：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵∠ADB＝∠C＋∠CAD＝∠BDE＋∠ADE，∠BDE＝∠CAD，∴∠ADE＝∠C，∠B＝∠ADE.∵∠DAE＝∠BAD，∴△ADE∽△ABD.25．点D、E分别是△ABC两边AB、BC所在直线上的点，∠BDE＋∠ACB＝180°，DE＝AC，AD ＝2BD．(1) 如图1，当点D、E分别在AB、CB的延长线上时，求证：BE＝BD(2) 如图2，当点D、E分别在AB、BC边上时，BE与BD存在怎样的数量关系？请写出你的结论，并证明【解答】（1）证明见解析；（2）BE=3BD【提示】（1）在BD上找一点M，连接EM，使EM=ED，如图1.证明EMB ACB≅可得EB=AB，利用AD=2BD，AB=AD-BD即可得结论；（2）在AB上找一点M，连接EM，使EM=ED，如图2.证明EBM ABC可得BE EMAB AC=由AD=2BD,可得AB=AD+BD=3BD代入，即可得结论.【详解】（1）在BD上找一点M，连接EM，使EM=ED，如图1.则∠BDE=∠EMD.∵∠BDE+∠ACB=180°，∴∠EMB=∠ACB.∵DE=AC,∴EM=AC在△EMB 和△ACB 中，EBM ABC EMB ACB EM AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()EMB ACB AAS ∴≅∴EB=AB∵AD=2BD ，∴AB=AD-BD=BD.∴BE=BD ；(2) BE=3BD ，理由如下：在AB 上找一点M ，连接EM ，使EM=ED ，如图 2.则∠MDE=∠EMD.∵DE=AC,∴EM=AC.∵∠BDE+∠ACB=180, ∠EDM+∠BDE=180，∴∠EMD=∠ACB∵∠EBM=∠ABC,EBMABC ∴ BE EM AB AC∴= ∵AD=2BD,∴AB=AD+BD=3BD3BE AC BD AC∴=. ∴BE=3BD【点睛】本题考查了三角形全等的判定及性质以及相似三角形的判定及性质，掌握三角形全等的判定方法及相似三角形的判定及性质是解题的关键.。
初中相似三角形基本知识点和经典例题
初中相似三角形基本知识点和经典例题-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN初三相似三角形知识点与经典题型知识点1 有关相似形的概念(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.(2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多 边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．知识点2 比例线段的相关概念（1）如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是nmb a =，或写成n m b a ::=．注：在求线段比时，线段单位要统一。
（2）在四条线段dc b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：a d c b =．②()a ca b c d b d==在比例式：：中，a 、d 叫比例外项，b 、c 叫比例内项, a 、c 叫比例前项，b 、d 叫比例后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，即 a b b d =：：那么b 叫做a 、d 的比例中项， 此时有2b ad =。
（3）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =⋅，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=≈0.618AB．即12AC BC AB AC ==简记为：长短＝全长注：黄金三角形：顶角是360的等腰三角形。
黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形知识点3 比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0）（1） 基本性质：①bc ad d c b a =⇔=::；②2::a b b c b a c =⇔=⋅．注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除 了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=，c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=．（2） 更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a bc d a c d cb d b a d bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项 （3）反比性质(把比的前项、后项交换)： a c b db d a c=⇔=．（4）合、分比性质：a c a b c db d b d±±=⇔=．注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=d c d c b a b a ccd a a b d c b a 等等．（5）等比性质：如果)0(≠++++====n f d b nm f e d c b a ，那么b an f d b m e c a =++++++++ ．注：①此性质的证明运用了“设k 法”（即引入新的参数k ）这样可以减少未知数的个数，这种方法是有关比例计算变形中一种常用方法．②应用等比性质时，要考虑到分母是否为零． ③可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如：baf d b e c a f e d c b a f e d c b a =+-+-⇒=--=⇒==32323322；其中032≠+-f d b ． 知识点4 比例线段的有关定理1.三角形中平行线分线段成比例定理:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.由DE ∥BC 可得：ACAEAB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或 注：①重要结论：平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边．．．．．．与原三角形．．．．三边．．对应成比例. ②三角形中平行线分线段成比例定理的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边. 此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.③平行线的应用：在证明有关比例线段时，辅助线往往做平行线,但应遵循的原则是不要破坏条件中的两条线段的比及所求的两条线段的比.2.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,已知AD ∥BE ∥CF,B可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BC BC EF AC DF AB DE AC DF DE EF=====或或或或等.注：平行线分线段成比例定理的推论：平行线等分线段定理：两条直线被三条平行线所截，如果在其中一条上截得的线段相等，那么在另一条上截得的线段也相等。
相似三角形证明技巧5.24
证明技巧（分类）5.25一、证明两线段相等1.两全等三角形中对应边相等。
2.同一三角形中等角对等边。
3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。
4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。
5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。
6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。
7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。
8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。
*9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。
*10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。
11.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。
*12.两圆的内（外）公切线的长相等。
13.等于同一线段的两条线段相等。
二、证明两个角相等1.两全等三角形的对应角相等。
2.同一三角形中等边对等角。
3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。
4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。
5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。
*6.同圆（或圆）中，等弦（或弧）所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。
*7.圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
8.相似三角形的对应角相等。
*9.圆的内接四边形的外角等于内对角。
10.等于同一角的两个角相等。
三、证明两条直线互相垂直1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。
2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。
3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。
4.邻补角的平分线互相垂直。
5.一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条。
6.两条直线相交成直角则两直线垂直。
7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。
8.利用勾股定理的逆定理。
9.利用菱形的对角线互相垂直。
*10.在圆中平分弦（或弧）的直径垂直于弦。
2025年四川省聚焦中考数学必备考点透析-第4章 三角形微专题三 三角形中的基本模型
12
证明：如后图，过点 P 作 PM ⊥ AB 于点 M ， PN ⊥ AC 于点 N .
由折叠可知∠ DPE ＝∠ A ＝90°，
∴∠ ADP ＋∠ AEP ＝180°.
∵∠ PEN ＋∠ AEP ＝180°，
∴∠ ADP ＝∠ PEN .
∵∠ DMP ＝∠ ENP ＝90°，
∴△ DMP ∽△ ENP ，∴ ＝ .
AC 、 BD 交于点 P ，∴ PA ＝ PD ，∠ PAE ＝∠ PDF ＝45°.∵∠ APE ＋
∠ EPD ＝∠ DPF ＋∠ EPD ＝90°，∴∠ APE ＝∠ DPF . 在△ APE 和
∠＝∠，
△ DPF 中，∵ቐ＝，
∴△ APE ≌△ DPF （ ASA ），∴ AE ＝
△ AFE ≌△ AGE .
返回目录
6
证明：如后图，将△ ADF 绕点 A 顺时针旋转90°得到△ ABG ，使
AD 与 AB 重合.
由旋转的性质可知△ ADF ≌△ ABG ，
∴ DF ＝ BG ，∠ D ＝∠ ABG ＝90°， AF ＝ AG ，∠ FAD ＝
∠ GAB ，∴∠ ABG ＋∠ ABE ＝180°，即点 G 、 B 、 E 三点共线.
∵∠ EAF ＝45°，∠ BAD ＝90°，∴∠ BAE ＋∠ FAD ＝45°，
∴∠ BAE ＋∠ GAB ＝45°，即∠ EAG ＝45°，∴∠ EAG ＝∠ EAF ，
∴△ AFE ≌△ AGE （ SAS ），∴ EF ＝ EG .
∵ EG ＝ BE ＋ BG ，∴ EF ＝ BE ＋ DF .
∴ PC ·PD ＝ PB ·PE .
返回目录
《相似三角形》全章复习与巩固(基础)-知识讲解
《相似三角形》全章复习与巩固（基础）知识讲解【学习目标】（1）了解比例的基本性质,了解线段的比、成比例线段的概念;（2)通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，周长的比等于对应边的比，面积的比等于对应边比的平方;(3）了解两个三角形相似的概念,探索两个三角形相似的条件；(4）通过典型实例观察和认识现实生活中物体的相似，利用图形的相似解决一些实际问题( 如利用相似测量旗杆的高度)；（5)理解实数与向量相乘的定义及向量数乘的运算律。
【知识网络】【要点梳理】要点一、比例线段及比例的性质1。
比例线段：（1)线段的比:如果选用同一长度单位量得两条线段a，b的长度分别是m，n,那么就说这两条线段的比是a:b=m：n，或写成,其中a叫做比的前项;b叫做比的后项.(2）成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．（3）比例的项:已知四条线段ａ,ｂ，ｃ,ｄ,如果，那么ａ，ｂ,ｃ,ｄ，叫做组成比例的项，线段ａ，d叫做比例外项，线段ｂ,ｃ叫做比例内项,线段ｄ还叫做ａ,ｂ，ｃ的第四比例项．（4）比例中项：如果作为比例线段的内项是两条相同的线段，即a:b=b：c或,那么线段ｂ叫做线段ａ和ｃ的比例中项．要点诠释：通常四条线段a,b,c,d的单位应该一致,但有时为了计算方便，a，b的单位一致，c,d的单位一2。
比例的性质（1）比例的基本性质：(2）反比性质:(3）更比性质: 或（4）合比性质：（5）等比性质: 且3。
平行线分线段成比例定理（1)三角形一边的平行线性质定理：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线）所得的对应线段成比例。
（2）三角形一边的平行线性质定理推论：平行于三角形一边并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边的对应成比例.(3)三角形一边的平行线判定定理：如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边。
九年级数学相似三角形
是 ．【分析】分PM ＞PN 和PM ＜PN 两种情况，根据黄金比值计算． 【解答】解：当PM ＞PN 时，PM =√5−12MN =√5−12，当PM ＜PN 时，PM ＝MN −√5−12MN =3−√52， 故答案为：√5−12或3−√52．【点评】本题考查的是黄金分割，掌握黄金比值是√5−12是解题的关键． 【变式2-1】（2020秋•静安区期中）如果点C 是线段AB 的黄金分割点，那么下列线段比的值不可能是√5−12的为（ ） A ．ACBCB ．BCACC ．BCABD ．ABBC【分析】根据把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（√5−12）叫做黄金比作出判断． 【解答】解：∵点C 是线段AB 的黄金分割点，∴AC 2＝AB •BC （AC ＞BC ），则AC AB=BC AC=√5−12； 或BC 2＝AB •AC （AC ＜BC ），则ACBC=BC AB=√5−12．故只有AB BC 的值不可能是√5−12．故选：D ． 【点评】此题主要考查了黄金分割比的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．【变式2-2】（2020春•相城区期末）如图，已知点E 是正方形ABCD 的边AB 边上的黄金分割点，且AE ＞EB ，若S 1表示AE 为边长的正方形面积，S 2表示以BC 为长，BE 为宽的矩形面积，S 3表示正方形ABCD 除去S 1和S 2剩余的面积，则S 3：S 2的值为（ ） A ．√5−12B ．√5+12C ．3−√52D ．3+√52【分析】根据黄金分割的定义：把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），且使AC 是AB 和BC 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点．其中AC =√5−12AB ，进行计算即可．【解答】解：如图，设AB ＝1，∵点E 是正方形ABCD 的边AB 边上的黄金分割点，且AE ＞EB ， ∴AE ＝GF =√5−12，∴BE ＝FH ＝AB ﹣AE =3−√52， ∴S 3：S 2＝（GF •FH ）：（BC •BE ）＝（√5−12×3−√52）：（1×3−√52） =√5−12．故选：A ．【点评】本题考查了黄金分割、矩形的性质、正方形的性质，解决本题的关键是掌握黄金分割定义．【变式2-3】（2020•泸州）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G 将一线段MN 分为两线段MG ，GN ，使得其中较长的一段MG 是全长MN 与较短的一段GN 的比例中项，即满足MG MN =GNMG =√5−12，后人把√5−12这个数称为“黄金分割”数，把点G 称为线段MN 的“黄金分割”点．如图，在△ABC 中，已知AB ＝AC ＝3，BC ＝4，若D ，E 是边BC 的两个“黄金分割”点，则△ADE 的面积为（ ） A ．10﹣4√5B ．3√5−5C ．5−2√52D ．20﹣8√5【分析】作AH ⊥BC 于H ，如图，根据等腰三角形的性质得到BH ＝CH =12BC ＝2，则根据勾股定理可计算出AH =√5，接着根据线段的“黄金分割”点的定义得到BE =√5−12BC ＝2√5−2，则计算出HE ＝2√5−4，然后根据三角形面积公式计算．【解答】解：作AH ⊥BC 于H ，如图，∵AB ＝AC ，∴BH ＝CH =12BC ＝2， 在Rt △ABH 中，AH =√32−22=√5，∵D ，E 是边BC 的两个“黄金分割”点， ∴BE =√5−12BC ＝2（√5−1）＝2√5−2，∴HE ＝BE ﹣BH ＝2√5−2﹣2＝2√5−4，∴DE ＝2HE ＝4√5−8∴S △ADE =12×（4√5−8）×√5=10﹣4√5．故选：A ．【点评】本题考查了黄金分割：把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即AB ：AC ＝AC ：BC ），叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点．其中AC =√5−12AB ≈0.618AB ，并且线段AB 的黄金分割点有两个．也考查了等腰三角形的性质．三、成比例线段、比例的基本性质（1）①a ：b=c ：d ad=bc ②a ：b=b ：c .（a,b,c,d,都不为0）；（2）合比性质：d dc b b ad c b a ±=±⇔=； （3）等比性质：ban d b m c a n d b n m d c b a =++++++⇔≠+++=== )0(例3.已知非零实数a,b,c,满足,34,13125=+==b a cb a 且求c 的值。
相似三角形与三角函数
初三数学---相似三角形和解直角三角形一、相似三角形1．相似三角形判定定理：（1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似. （2）判定定理1如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．即“两角对应相等，两三角形相似”．（3）判定定理2如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．即“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”．（4）判定定理3如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．即“三边对应成比例，两三角形相似”．（5）若△1∽△2、△2∽△3、则△1∽△3．对于直角三角形相似，还有如下判定定理：（6）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．（7）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似．2．相似三角形的性质（1）相似三角形的对应角相等；（2）相似三角形的对应边成比例；（3）相似三角形的对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比；（4）相似三角形周长比等于相似比；（5）相似三角形面积的比等于相似比的平方．二、锐角三角函数1．掌握锐角三角函数的定义，准确地进行计算．2．互余角的三角函数间的关系（1）sin（90°－）＝cos；（2）cos（90°－）＝sin；（3）．3．同角三角函数间的关系（1）；（2）．三、解直角三角形1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，（1）三边之间的关系：a2＋b2＝c2；（2）两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；（3）边与角之间的关系：，，．2．如图，若直角三角形ABC中，CD⊥AB于点D，设CD＝h，AD＝q，DB＝p，则由△CBD∽△ABC，得a2＝pc；由△CAD∽△BAC，得b2＝qc；由△ACD∽△CBD，得h2＝pq；由△ACD∽△ABC或由△ABC的面积，得ab＝ch．从三角函数的角度考虑，有由，得a2＝pc；同理，得b2＝qc；由，得h2＝pq；由，得ab＝ch．在有关直角三角形的相似问题中，可以尝试运用三角函数的知识来解题，即“三角法”．3．如图1，若CD是直角三角形ABC中斜边上的中线，则（1）CD＝AD＝BD＝；（2）点D是Rt△ABC的外心，外接圆半径．4．如图2，若r是直角三角形ABC的内切圆半径，则．图1 图2 图3 5．直角三角形的面积：（1）如图2，S△ABC．（2）如图3，S△ABC．6B＝90°－A，，，由求角A，B＝90°－A，由求角A，B＝90°－A例题分析例1．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，BC＝7，∠B＝60°，P为下底BC上一点（不与B，C重合），连接AP，过P点作PE交DC于E，使得∠APE＝∠B．（1）你认为图中哪两个三角形相似，为什么?（2）当点P在底边BC上自点B向C移动的过程中，是否存在一点P，使得DE∶EC＝5∶3?如果存在，求BP的长；如果不存在，请说明理由．例2．如图，正方形ABCD的边长为4，M，N分别是BC，CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直．（1）求证：Rt△ABM∽Rt△MCN；（2）设BM＝x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置时，四边形ABCN的面积最大，并求出最大面积；（3）当M点运动到什么位置时，Rt△ABM∽Rt△AMN，并求x的值．例3．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝10，AC＝5，求sin B·sin C的值．例4．如图，D是AB上一点，且CD⊥AC于C，S△ACD∶S△CDB＝2∶3，，AC＋CD＝18，求tan A的值和AB的长．5．如图，△OAB是边长为2的等边三角形，过点A的直线y＝与x轴交于点E．求点E的坐标．6．已知：如图（a），梯形ABCD中，AB∥CD，∠C＝90°，AB＝BC＝4，CD＝6．（1）E为BC边上一点，EF∥AD，交CD边于点F，FG∥EA，交AD边于点G，若四边形AEFG为矩形，求BE的长；（2）如图（b），将（1）中的∠AEF绕E点逆时针旋转为∠A′EF′，EF′交CD边于F′点，且F′点与D点不重合，射线EA′交AB边于点M，作F′N∥EA′交AD边于点N，设BM为x，△NF′D中，F′D边上的高为y，求y关于x的函数解析式及自变量x的取值范围．图（a）图（b）答案例1、解：（1）△ABP∽△PCE．其理由是除∠B＝∠C外，由于∠APE＝∠B＝60°，∠APC＝∠B＋∠BAP＝∠APE＋∠CPE，∴∠BAP＝∠CPE．由“两角对应相等，两三角形相似”可得△ABP∽△PCE．说明：此图形结构可以称为“一线三等角问题”．（2）作DF⊥BC于F，由已知可得CF＝，腰长AB＝CD＝2CF＝4，这样原问题转化为在底边BC上是否存在一点P，使得CE＝1.5．假设存在P点，使CE＝1.5，由△ABP∽△PCE，得，可得BP·PC＝AB·CE＝6．设BP＝x，∵BC＝BP＋PC＝7，∴PC＝7－x．∴x（7－x）＝6，即x2－7x＋6＝0．解得x1＝1，x2＝6．答：当BP＝1或BP＝6时，使得DE∶EC＝5∶3．例2、解：（1）在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝4，∠B＝∠C＝90°．∵AM⊥MN，∴∠AMN＝90°．∴∠CMN＋∠AMB＝90°．在Rt△ABM中，∠MAB＋∠AMB＝90°，∴∠MAB＝∠CMN．∴Rt△ABM∽Rt△MCN．（2）∵Rt△ABM∽Rt△MCN，，即．．．当x＝2时，y取最大值，最大值为10．（3）∵∠B＝∠AMN＝90°，∴要使△ABM ∽△AMN，只需．由（1）知．∴BM＝MC．∴当点M运动到BC的中点时，△ABM∽△AMN，此时x＝2．例3、分析:为求sin B，sin C，需将∠B，∠C分别置于直角三角形之中，另外已知∠A的邻补角是60°，若要使其充分发挥作用，也需要将其置于直角三角形中，所以应分别过点B，C，向CA，BA的延长线作垂线段，即可顺利求解．解：过点B作BD⊥CA的延长线于点D，过点C作CE⊥BA的延长线于点E．∵∠BAC＝120°，∴∠BAD＝60°．；．又∵CD＝CA＋AD＝10，，．同理，可求得．．说明：由于锐角的三角函数是在直角三角形中定义的，因此若要求某个角的三角函数值，一般可以通过作垂线段等方法将其置于直角三角形中．例4、解：作DE∥AC交CB于E，则∠EDC＝∠ACD＝90°．∵，设CD＝4k（k＞0），则CE＝5k，由勾股定理得DE＝3k．∵△ACD和△CDB在AB边上的高相同，∴AD∶DB＝S△ACD∶S△CDB＝2∶3．．即．．∵AC＋CD＝18，∴5k＋4k＝18．解得k＝2．．．说明：本章解题的基本思路是将问题转化为解直角三角形的问题，转化的目标主要有两个，一是构造可解的直角三角形；二是利用已知条件通过设参数列方程．在解直角三角形时，常用的等量关系是：勾股定理、三角函数关系式、相等的线段、面积关系等．例5、解：作AF⊥x轴于F．∴OF＝OA·cos60°＝1，AF＝OF·．∴点A坐标为（1，）．代入直线解析式，得．．．当y＝0即时，x＝4．∴点E坐标为（4，0）．例6、解：（1）作AH⊥CD于点H（如图（c））可得∠1＝∠2＝∠D．由AB＝BC＝CH＝4可得HD＝CD－CH＝2．．．∴BE＝2，即E为BC的中点．（2）图（d），作NP⊥CD于点P，则PN＝y．可得∠4＝∠5＝∠6，它们的正切值相等．，即．，．，，∵CD＝CF′＋PF′＋PD，，即．整理，得．若点F′与点D重合（见图（e）），则∠BEM＝∠EDC，．．．∴x的取值范围为。
平行线、相似三角形
平行于三角形一边的直线截其 他两边(或两边的延长线)所得 的线段对应成比例.
如果一条直线截三角形的 两边的延长线(这两边的 延长线在第三边 的同侧), 所得的对应线段成比例， 那么这条直线平行于三角 形的第三边.
平行线等分线段定理
两条直线被三条平行线所截，如果在一直 线上所截得的线段相等，那么在另一直线 上所截得的线段也相等
B A
D A
D
C
C
由公边共角的两个相似三角形中，公边是两个三角形中落在一条直线上的两边的 比例中项，即若△ABD∽△ACB，则AB² =AD· AC。
相似三角形判定的变化模型
8字型拓展
A
A
E
F G
D
B
C
E
共享性
B
C
一线三等角的变形
一线三直角的变形
∽
平移 平行型
旋转180°
平行型 翻折180° 翻折180° 一般
B
A
D
E C
DB EC 下 下 AB AC 全 全
DE ∥BC
2.三角形一边的平行线的判定定理的推论
如果一条直线截三角形的两边的延 长线(这两边的延长线在第三边 的 同侧),所得的对应线段成比例，那 么这条直线平行于三角形的第三边.
AD AE 上 上 AB C 下下
E D
1.三角形一边的平行线的性质定理
平行于三角形一边的直线截其他两 边所在的直线，截得的对应线段成 比例.
字母 A 型
A
复 习
字母 X 型
E D
A
D B
E C
B C
2.三角形一边的平行线的性质定理的推论
平行于三角形的一边的直线，截其它两 边所在的直线，截得的三角形的三边与 原三角形的三边对应成比例.
(2021年整理)相似图形知识点与题型分析
相似图形知识点与题型分析编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（相似图形知识点与题型分析）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为相似图形知识点与题型分析的全部内容。
相似图形的知识与题型知识点1：比例线段的相关概念1.比例线段：对于四条线段a b c d 、、、,如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等,即a cb d=（或:=a b c d :）那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
注意：⑴ 在求线段比时,线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位．⑵ 当两个比例式的每一项都对应相同，两个比例式才是同一比例式． ⑶ 比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：ad cb =．2.比例中项：如果cbb a =（或ac b =2），则b 叫做a 、c 的比例中项. 知识点2：比例的性质基本性质：(1）bc ad d c b a =⇔=::；（2)b a c b c c a ⋅=⇔=2::．反比性质(把比的前项、后项交换)：cd a b d c b a =⇒=． 合比性质：ddc b b ad c b a ±=±⇒=．发生同样和差变化比例仍成立. 等比性质：若)0(≠+⋅⋅⋅+++=⋅⋅⋅===n f d b n m f e d c b a ，则ban f d b m e c a =+⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+++。
注意：由一个比例式只可化成一个等积式,而一个等积式共可化成八个比例式,如bc ad =，除了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=,b a d c ::=，c a d b ::=，c d a b ::=,b d a c ::=，a b c d ::=,a c b d ::=．说明:①比例的基本性质是比例变形的重要依据．②比例的基本性质的互逆关系的变形，可引用比值k 的方法, 设dcb a = ＝k ，那么a ＝kb,c ＝kd,ad ＝kb ×d ＝b ×kd ＝bc知识点3：比例线段的有关定理平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等。
九年级相似三角形知识点总结及例题讲解
相似三角形基本知识知识点一：放缩与相似1.图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。
2.把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性。
注意：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。
⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。
⑶我们可以这样理解相似形:两个图形相似,其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的.⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例一一全等形.3.相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形,那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。
注意：X两个相似的女边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是1.知识点二:比例线段有关概念及性质（1）有关概念1、比：选用同一长度单位量得两条线段。
a、b的长度分别是m、n,那么就说这两条线段的比是8 :b=m：na _ m（或厂T）2、比的前项，比的后项:两条线段的比a： b中。
a叫做比的前项，b叫做比的后项。
说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。
3、比例：两个比相等的式子叫做比例,如厂7Λ _ C4、比例外项:在比例厂7 （或a：b=c： d）中a、d叫做比例外项。
« _ C5、比例内项:在比例厂7（或8：b=C： d）中b、C叫做比例内项。
α _ c6、第四比例项：在比例丁万（或a： b二c：d）中，d叫a、b、C的第四比例项。
d _b7、比例中项:如果比例中两个比例内项相等，即比例为厂万（或a：b=b:C时，我们把b叫做a和d的比例中项。
8、比例线段：对于四条线段a、b、c、d,如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即-=-（或a： b=c： d）,那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
（注总:在求线段比时，线段单位b d 要统一,单位不统一应先化成同一单位）（2）比例性质1.基本性质：— = — <=> Cld = beb d（两外项的积等于两内项积）a Cb dFd GC （把比的前项、后项交换）2.反比性质:3•更比性质（交换比例的内项或外项）：-=^（交换内项）C a（交换外项）b d b a侗时交换内外项）C a4.合比性质：?=匚=P =仝L（分子加（减）分母，分母不变）b d b d■注意：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项.后项之间b _ a _ d _ C发生同样和差变化比例仍成立.⅛∣:- = -^ " C .b d a_b _c_d.a + b c + d5•等比性质：（分子分母分别相加，比值不变•）a Ce m Zt f G …a+ c + e + ・・• + 〃】a如果—=—=—= ・・・ =—（b + d + / +・-• + n ≠ 0）,那么---------------------- =—.b Clf n/? + 〃 + /+ ・• + 〃/?注意：⑴此性质的证明运用r “设£法”，这种方法是有关比例汁算,变形中一种常用方法.（2）应用等比性质时.要考虑到分母是否为零・（3）可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数,再利用等比性质也成立. 知识点三:黄金分割Λ C RCD定义：在线段AB上,点C把线段/1B分成两条线段AC和BC （AC> BC）,如果—=—•即AC⅛A AB AC BxBC,那么称线段AB彼点C黄金分割,点C叫做线段SB的黄金分割点,SC与AB的比叫做黄金√5-1比。
相似三角形法分析动态平衡问题)
类似三角形法分析动态平衡成绩之杨若古兰创作（1）类似三角形：准确作出力的三角形后，如能判定力的三角形与图形中已知长度的三角形（几何三角形）类似，则可用类似三角形对应边成比例求出三角形中力的比例关系，从而达到求未知量的目的.（2）常常涉及三个力，其中一个力为恒力，另两个力的大小和方向均发生变更，则此时用类似三角形分析.类似三角形法是解平衡成绩时常碰到的一种方法，解题的关键是准确的受力分析，寻觅力三角形和结构三角形类似.例1、拉住，使小球静止，如图1-1所示，现缓慢地拉绳，在使小）大小解析：如图1-2所示，对小球：受力平衡，因为缓慢地拉绳，所以小球活动缓慢视为始终处于平衡形态，其中重成封闭的动态三角形（图1-2中小暗影三角形）.因为在这.实物（小球、绳、球面的球心）构成的三角形也是一个动态的封闭三角形（图1-2中大暗影三角形），而且始终与三力构成的封闭三角形类似，则有如下比例式：可得：mg R h L T += 活动过程中L 变小，T 变小. mg R h R N += 活动中各量均为定值，撑持力N 不变.准确答案D.例2、如图2-1所示，竖直绝缘墙壁上的Q 处由一固定的质点A ，在Q 的正上方的P 点用细线吊挂一质点B ，A 、B 两点因为带电而彼此排斥，导致悬线与竖直方向成θ角，因为漏电使A 、B 两质点的电量逐步减小，在电荷漏空之前悬线对悬点P 的拉力T 大小（ ）A 、T 变小B 、T 变大C 、T 不变D 、T 没法确定解析：有漏电景象，AB F 减小，则漏电瞬间质点B 的静止形态被打破，肯定向下活动.对小球漏电前和漏电过程中进行受力分析有如图2-2所示，因为漏电过程缓慢进行，则任意时刻均可视为平衡形态.三力感化构成动态下的封闭三角形，而对应的实物资点A 、B 及绳墙和P 点构成动态封闭三角形，且有如图2-3分歧地位时暗影三角形的类似情况，则有如下类似比例：可得：m g PQ PB T ⋅= 变更过程PB 、PQ 、mg 均为定值，所以T 不变.准确答案C .以上两例题均通过类似关系求解，绝对平衡关系求解要直观、简洁得多，有些成绩也能够直接通过图示关系得出结论.巩固练习：1、如图所示，两球A 、B 用劲度系数为k 1的轻弹簧相连，球B用长为L的细绳悬于O点，球A固定在O点正下方，且点O、A之间的距离恰为L，零碎平衡时绳子所受的拉力为F1.现把A、B间的弹簧换成劲度系数为k2的轻弹簧，仍使零碎平衡，此时绳子所受的拉力为F2，则F1与F2的大小之间的关系为( B )A．F1>F2 B．F1＝F2 C．F1<F2 D．没法确定2、如图甲所示，AC是上端带定滑轮的固定竖直杆，质量不计的轻杆BC一端通过铰链固定在C点，另一端B吊挂一重为G的重物，且B端系有一根轻绳并绕过定滑轮A.现用力F拉绳，开始时∠BCA＞90°，使∠BCA缓慢减小，直到杆BC接近竖直杆AC.此过程中，杆BC所受的力( A )A．大小不变B．逐步增大C．逐步减小 D．先增大后减小3、如图.所示，有两个带有等量的同种电荷的小球A和B，质量都是m，分别悬于长为L的悬线的一端.今使B球固定不动，并使OB在竖竖立向上，A可以在竖直平面内自在摆动，因为静电斥力的感化，A球偏离B球的距离为x.如果其它条件不变，A球的质量要增大到本来的几倍，才会使AB圈套题--类似对比题1、如图所示，硬杆BC 一端固定在墙上的B 点，另一端装有滑轮C ，重物D 用绳拴住通过滑轮固定于墙上的A 点.若杆、滑轮及绳的质量和摩擦均不计，将绳的固定端从A 点稍向下移，则在挪动过程中( C )A.绳的拉力、滑轮对绳的感化力都增大B.绳的拉力减小，滑轮对绳的感化力增大C.绳的拉力不变，滑轮对绳的感化力增大D.绳的拉力、滑轮对绳的感化力都不变2、如图所示，竖直杆CB 顶端有光滑轻质滑轮，轻质杆OA自重不计，可绕O 点自在动弹OA ＝OB ．当绳缓慢放下，使∠AOB 由00逐步增大到1800的过程中（不包含00和180°．下列说法准确的是（ C D ）A ．绳上的拉力先逐步增大后逐步减小B ．杆上的压力先逐步减小后逐步增大C ．绳上的拉力愈来愈大，但不超出2GD ．杆上的压力大小始终等于G3、如图所示，质量不计的定滑轮用轻绳吊挂在B 点，另一条轻绳一端系重物C ，绕过滑轮后，另一端固定在墙上A 点，若改变B 点地位使滑轮地位 A CB发生挪动，但使A 段绳子始终坚持水平，则可以判断悬点B 所受拉力F T 的大小变更情况是（ B ）A ．若B 向左移，F T 将增大B ．若B 向右移，F T 将增大C ．不管B 向左、向右移，F T 都坚持不变D ．不管B 向左、向右移，F T 都减小例3 如图1所示，一个重力G 的匀质球放在光滑斜面住球，使的地方于静止形态.更？G 、形.F 1的方向不变，但方向不变，始终与斜面垂直.F 2的大小、方向均改变，随着挡板逆时针动弹时，F 2的方向也逆时针动弹，动态矢量三角形图1-3中一画出的一系列虚线暗示变更的F 2.由此可知，F 2先减小后增大，F 1终减小.例4所示，小球被轻质细绳系着，斜吊着放在光滑斜面上，小球质量为m ，斜面倾角为θ，向右缓慢推动斜面，图1-1 图1-2 G 图1-3直到细线与斜面平行，在这个过程中，绳上张力、斜面对小球的撑持力的变更情况？（答案：绳上张力减小，斜面对小球的撑持力增大）例5AO 上，A 处的左拉，使杆BO 与杆A O 间的夹角θ逐步减少，则在此过程中，拉力F 及杆BO 所受压力F N 的大小变更情况是( )A ．F N 先减小，后增大B .F N 始终不变C ．F 先减小，后增大 D.F 始终不变杆的B (大F N (大小为F N 与G 等值反向，如图(如图中画斜线部分)，力的三角形与几何三角形OBA 类似，利用类似三角形对应边成比例可得：(如图2-2所示，设AO 高为H ，BO 长为L ，绳长l G 、H 、L 均不变，l 逐步变小，所以可知F N 不变，F 逐步变小.准确答案为选项B例6：如图2-3所示，光滑的半球形物体固定在水平地图2-1 图2-2图1-4面上，球心正上方有一光滑的小滑轮，轻绳的一端系一小球，靠放在半球上的A 点，另一端绕过定滑轮，后用力拉住，使小球静止．现缓慢地拉绳，在使小球沿球面由A 到半球的顶点B 的过程中，半球对小球的撑持力N 和绳对小球的拉力T 的大小变更情况是( D ).(A)N 变大，T 变小，(B)N 变小，T 变大(C)N 变小，T 先变小后变大(D)N 不变，T 变小 例7、如图3-1所示，物体G 用两根绳子吊挂，开始时绳OA 水平，现将两绳同时顺时针转过90°，且坚持两绳中，设绳OA 的拉力为F 1，绳OB 的拉力为F 2，则（ ）.(A)F 1先减小后增大(B)F 1先增大后减小(C)F 2逐步减小(D)F 2终极变成零3形，需满足力F 3大小、方向不变，角∠ CDE 不变(因为角α不变)，因为角∠DCE 为直图3-1图3-2 图3-3 图2-3角，则三力的几何关系可以从以DE边为直径的圆中找，则动态矢量三角形如图3-3中一画出的一系列虚线暗示的三角形.由此可知，F1先增大后减小，F2随始终减小，且转过90°时，当好为零.准确答案选项为B、C、D例8如图3-4所示，在做“验证力的平行四边形定则”的实验时，用M、N点，使其到达O点，此时αM的读数是（ A ）.图3-4(A)减小N的读数同时减小β角(B)减小N的读数同时增大β角(C)增大N的读数同时增大β角(D)增大N的读数同时减小β角例9．如图4-1所示，在水平天花板与竖直墙壁间，通过不计质量的柔软绳子和光滑的轻小滑轮吊挂重物G=40N，绳长L=2.5m，OA=1.5m，求绳中张力的大小，并讨论：（1）当B点地位固定，A端缓慢左移时，绳中张力如何变更？（2）当A点地位固定，B端缓慢下移时，绳中张力又如何变更？长度等于绳长.设角∠OAD 为θ；根据三个力平衡可得：；在三角形AOD 如果A 端左移，AD 变成如图4－3中虚线A ′D ′所示，可知A ′D ′不变，OD F 1变大.如果B 端下移，BC 变成如图4－4虚线B ′C ′所示，可知AD 、OD 不变，F 1不变.同专题 ①图解法与类似三角形法 ②隔离法与全体法③平衡物体的临界、极值成绩一、图解法与类似三角形法图解法：就是通过平行四边形的邻边和对角线是非的关系或变更情况，做一些较为复杂的定性分析，从图形上一下就可以看出结果，得出结论.图解法具有直观、便于比较的特点，利用时应留意以下几点：①明确哪个力是合力，哪两个力是分力；②哪个力大小方向均不变，哪个力方向不变；③哪个力方向变更，变更的空间范围如何.例1、半圆形支架BAD 上悬着两细绳OA 和OB ，结于圆心O ，下悬重为G 的物体，使OA 绳固定不动，将OB 绳的B 图4－1 图4－2′ 图4－4端沿半圆支架从水平地位逐步移至竖直的地位C的过程中，OA绳和OB绳所受的力大小如何变更？练习：如图，一倾角为θ的固定斜面上有一块可绕其下端动弹的挡板P，今在挡板与斜面间夹一个重为G的光滑球，试分析挡板P由图示地位逆时针转到水平地位的过程中，球对挡板的压力如何变更？类似三角形法：就是利用力的三角形与边三角形类似，根据类似三角形对应边成比例求解未知量.例2、光滑的半球形物体固定在水平地面上，球心正上方有一光滑的小滑轮，轻绳的一端系一小球，靠放在半球上的A 点，另一端绕过定滑轮后用力拉住，使小球静止，如图.现缓慢地拉绳，在使小球沿球面由A到B的过程中，半球对小球的撑持力N和绳对小球的拉力T的大小如何变更？练习：为了用起重机缓慢吊起一均匀的钢梁，现用一根绳索拴牢此钢梁的两端，使起重机的吊钩钩在绳索的中点处，如图.若钢梁的长为L，重为G，绳索所能承受的最大拉力为F m，则绳索至多为多长？（绳索重不计）二、隔离法与全体法-----处理连结成绩的方法全体法：以几个物体构成的零碎为研讨对象进行求解的方法.隔离法：把零碎分成若干部分并隔离开来，分别以每一部分为研讨对象，一部分、一部分地进行受力分析，分别列出方程，再联立求解的方法.通常在分析外力对零碎的感化时用全体法，在分析零碎内各物体或各部分之间的彼此感化时用隔离法.有时须要两种方法交叉使用.例3、如图，半径为R的光滑球，重为G，光滑木块厚为h，重为G1，用至多多大的水平力F推木块才干使球离开地面？练习：如图，人重600N，水平木板重400N，如果人拉住木板处于静止形态，则人对木板的压力为多大？（滑轮重不计）练习：两堆叠在一路的滑块，置于固定的倾角为θ的斜面上，如图，滑块A、B的质量分别为m1、m2,A与斜面间的动摩擦因数为μ1，B与A的动摩擦因数为μ2.已知两滑块从斜面由静止以不异的加速度滑下，滑块B受到的摩擦力为：A．等于零B．方向沿斜面向上C．大小等于μ1m2gcosθD．大小等于μ2m2gcosθ三、平衡物体的临界、极值成绩平衡物体的临界成绩：某种物理景象变更为另一种物理景象的转机形态叫做临界形态.临界形态也可理解为“恰好出现”或“恰恰不出现”某种景象的形态.平衡物体的临界形态是指物体所处的平衡形态将要被破坏而尚未破坏的形态.涉及临界形态的成绩叫做临界成绩，解答临界成绩的基本思维方法是假设推理法.例4：跨过定滑轮的轻绳两端，分别系着物体A和B，物体A放在倾角为θ的斜面上，如图.已知物体A的质量为m，物体A与斜面间的动摩擦因数为μ(μ＜tanθ)，滑轮的摩擦不计，要使物体A静止在斜面上，求物体B的质量取值范围.练习：如图，不计重力的细绳AB与竖直墙夹角为60º，轻杆BC与竖直墙夹角为30º，杆可绕C自在动弹，若细绳承受的最大拉力为200N，轻杆能承受的最大压力为300N，则在B点最多能挂多重的物体？平衡物体的极值成绩：受几个力感化而处于平衡形态的物体，当其中某个力的大小或方向按某种方式发生改变时，为了保持物体的平衡，必惹起其它某些力的变更，在变更过程中可能会出现极大值或极小值的成绩.研讨平衡物体的极值成绩经常使用解析法和图解法（如例1）.例5：拉力F感化于重为G的物体上使物体沿水平面匀速前进.如图，若物体与地面间的动摩擦因数为μ，当拉力最小时，拉力F与地面间的夹角θ为多大？练习：如图，将质量为M的木块，分成质量为m1、m2两部分，并用细线连接，m1置于光滑水平桌面上，m2通过定滑轮竖直吊挂，m1和m2有何种关系才干使零碎在加速活动过程中绳的拉力最大?拉力的最大值是多少？练习：有三个质量相等，半径为r的圆柱体，同置于一块圆弧曲面上，为了使上面圆柱体不致分开，则圆弧曲面的半径R最大是多少？（所有摩擦均不计）。
初中数学-三角形公式大全
abCBc A。
ABC”三角形“读作，ABC 的三角形记作△C 、B 、A 来表示，顶点是”△“记法：三角形用符号1.5角：相邻两条边所组成的角，叫作三角形的内角，简称三角形的角。
1.4顶点：相邻两边的公共端点叫作三角形的顶点。
1.3。
BC 、AB 、AC 或c 、b 、a 形的边可以用一个小写字母或两个大写字母表示，如：边：组成三角形的线段叫作三角形的边．组成三角形的三条线段叫做三角形的三条边，三角1.2三角形：由不在同一条直线上的三条线段顺次首尾相接所组成的图形。
1.1相关概念3分类2定义1。
”内心“）三角形的三条角平分的交点是三角形的2（ ）三角形的角平分线、中线和高都有三条；1（ 【注意】）高：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高。
3（ ）中线：连接一个顶点与对边中点的线段叫做三角形的中线；2（ 叫做三角形的角平分线；）角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段1（ 三条重要的线3.1）顶点是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形。
3（ ）等边三角形是特殊的等腰三角形；2（ ）任何一个三角形最多有三个锐角，最少有两个锐角，最多有一个钝角，最多有一个直角；1（ 【注意】按边分：不等边三角形、等腰三角形、等边三角形。
2.2按角分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
2.1三角形AD BC 2=12BD=DC= BC12BDCBDC212C BAA∠180°+2=∠1+∠BOC∠C=∠B+∠A+∠OCBAD∠C+∠B=∠A+∠ODCBA14313221A ABDCA）BC=2BD=2DC （或所以的中线，ABC 是△AD 因为是BAC ∠∠1=所以∠（已知），的角平分线ABC 是△AD 因为是）ADC=ADB=90°（或∠D 于点所以的高（已知）ABC 是△AD 因为是几何语言定义名称图形三角形的中线三角形的角平分线交点叫作三角形的重心,形的三条中线相交于一点叫作三角形的中线．三角点和它的对边中点的线段在三角形中，连接一个顶线段叫作三角形的角平分线这个角的顶点与交点之间的,分线与这个角的对边相交在三角形中，一个内角的平形的高。
数学相似三角形的知识点归纳
数学相似三角形的知识点归纳数学相似三角形的知识点归纳数学是人们认识自然、认识社会的重要工具。
它是一门古老而崭新的科学，是整个科学技术的基础。
随着社会的发展、时代的变化，以及信息技术的发展，数学在社会各个方面的应用越来越广泛，作用越来越重要。
以下是店铺整理的数学相似三角形的知识点归纳，希望帮助到您。
数学相似三角形的知识点归纳篇1本章有以下几个主要内容：一、比例线段1、线段比，2、成比例线段，3、比例中项————黄金分割，4、比例的性质：基本性质；合比性质；等比性质（1）线段比：用同一长度单位度量两条线段a，b，把他们长度的比叫做这两条线段的比。
（2）比例线段：在四条线段a，b，c，d中，如果线段a，b的比等于线段c，d的比，那么，这四条线段叫做成比例线段。
简称比例线段。
（3）比例中项：如果a：b=b：c，那么b叫做a，c的比例中项（4）黄金分割：把一条线段分成两条线段，如果较长线段是全线段和较短线段的比例中项，那么这种分割叫做黄金分割。
这个点叫做黄金分割点。
顶角是36度的等腰三角形叫做黄金三角形宽和长的比等于黄金数的矩形叫做黄金矩形。
（5）比例的性质基本性质：内项积等于外项积。
（比例=====等积）。
主要作用：计算。
合比性质，主要作用：比例的互相转化。
等比性质，在使用时注意成立的条件。
二、相似三角形的判定平行线等分线段——————平行线分线段成比例————————平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所截线段对应成比例——————（预备定理）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边延长线）相交，所截三角形与原三角形相似——————相似三角形的判定：类比于全等三角形的判定。
三、相似三角形的性质1、定义：相似三角形对应角相等对应边成比例。
2、相似三角形对应线段（对应角平分线、对应中线、对应高等）的比等于相似比3、相似三角形周长的比等于相似比4、相似三角形面积的比等于相似比的平方四、图形的位似变换1、几何变换：平移，旋转，轴对称，相似变换2、相似变换：把一个图形变成另一个图形，并保持形状不变的几何变换叫做相似变换。
相似三角形-知识点总结
相似三角形-知识点总结第一节相似形与相似三角形基本概念：1.相似形：对应角相等，对应边成比例的两个多边形，我们称它们互为相似形。
2.相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形。
1．几个重要概念与性质（平行线分线段成比例定理）（1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.已知a∥b∥c,ADaBEbCFc可得等.（2）推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.ADEBC由DE∥BC可得：.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行.（3）推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.（4）定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.（5）①平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
②比例线段：四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即＝，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段。
2．比例的有关性质①比例的基本性质：如果，那么ad=bc。
如果ad=bc（a，b，c，d都不等于0），那么。
②合比性质：如果，那么。
③等比性质：如果==(b+d++n≠0)，那么④b是线段a、d的比例中项，则b2＝ad.典例剖析例1：①在比例尺是1：38000的南京交通游览图上，玄武湖隧道长约7cm，则它的实际长度约为______Km.②若=则=__________.③若=则a：b=__________.3．相似三角形的判定（1）如果两个三角形的两角分别于另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似。
（2）两边对应成比例并且它们的夹角也相等的两个三角形相似。
（3）三边对应成比例的两个三角形相似。
补充：相似三角形的识别方法(1)定义法：三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形相似。
相似三角形(知识导图+2个考点清单+4种题型解读)解析版—24-25学年九年级数学上学期期中(沪教版
相似三角形（考点清单，知识导图+2个考点清单+4种题型解读）【清单01】 相似三角形的判定相似三角形的123Rt .ìïïïïíïïïD ïî预备定理：平行于三角形的直线截其它两边所在的直线，与；判定定理：，两个三角形；判定定理：且截得的三角形原三角形相似两角对应相等相似角，两个三形；判定定理：，两个三角形；相似的判定：似和对应成比例，两相两边对应成比例夹角相等三边对应成比例相斜三个边直角边直角角形相似【清单02】相似三角形的性质123ìïïíïïî基本性质：相似三角形的，；性质定理：相似三角形、和都等于；性质定理：相似三角形的等对对于；分性质比定应理应角相等对应边成比例对似：相似三角形高的比应中线的比对应角平线的相比周长的比相似比面积比的等于.的比相似的平方注：以上定理均要从文字、图形、符号三个方面去理解掌握.【考点题型一】相似三角形的性质（共8小题）【例1】（2023秋•浦东新区校级月考）如果两个相似三角形的周长比为1:4，那么它们的对应中线的比为( )A ．1:16B ．1:2C ．1:4D ．【分析】据相似三角形的周长的比等于它们的相似比1:4，然后再利用对应中线的比等于相似比求解即可．【解答】解：Q 两个相似三角形的周长比为1:4，\它们的相似比为1:4．\它们的对应中线的比为1:4，故选：C ．【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，利用相似三角形的周长的比等于相似比是解答此题的关键．【变式1-1】（2024•崇明区）如果两个相似三角形的周长之比为1:4，那么它们对应边之比为( )A ．1:2B ．1:4C ．1:8D ．1:16【分析】直接根据相似三角形的性质进行解答即可．【解答】解：Q 两个相似三角形的周长比为1:4，\它们的对应边的比1:4=．故选：B ．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形对应边的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．【变式1-2】（2023秋•黄浦区期末）已知：△111A B C ∽△222A B C ∽△333A B C ，如果△111A B C 与△222A B C 的相似比为2，△222A B C 与△333A B C 相似比为4，那么△111A B C 与△333A B C 的相似比为( )A ．2B ．4C ．6D ．8【分析】根据相似三角形的相似比写出对应边的比，计算出11A B 与33A B 的比值，也就是两三角形的相似比．【解答】解：Q △111A B C ∽△222A B C ∽△333A B C ，如果△111A B C 与△222A B C 的相似比为2，△222A B C 与△333A B C 相似比为41122:2:1A B A B \=，2233:4:1A B A B =，设33A B x =，则221148A B xA B x ==，1133:8:1A B A B \=，\△111A B C 与△333A B C 的相似比为8．故选：D ．【点评】根据相似三角形的相似比写出对应边的比，计算出11A B 与33A B 的比值，也就是两三角形的相似比．【变式1-3】（2023秋•浦东新区校级月考）两个相似三角形的相似比是5:7，小三角形的周长为20cm ，大三角形的周长是 cm ．【分析】根据相似三角形的性质可知，周长比等于相似比，由此即可求解．【解答】解：根据题意得，相似比为5:7，\大三角形的周长是52028()7cm ¸=，故答案为：28．【点评】本题主要考查相似三角形的性质，理解和掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方，相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．【变式1-4】（2023秋•闵行区校级月考）已知两个相似三角形的周长比为4:9，那么这两个相似三角形的面积比为 ．【解答】解：Q 两个相似三角形的周长比为4:9，\相似比为4:9，\这两个相似三角形的面积比为16:81，故答案为：16:81．【点评】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．【变式1-5】（2023秋•虹口区期末）一个三角形框架模型的边长分别为3分米、4分米和5分米，木工要以一根长6分米的木条为一边，做与模型相似的三角形，那么做出的三角形中，面积最大的是 平方分米．【分析】由相似三角形的判定：三组对应边的比相等的两个三角形相似求出三角形最大的三边，根据勾股定理的逆定理判断新三角形是直角三角形，根据三角形的面积公式计算即可．【解答】解：当长是6分米的木条与三角形框架模型的边长最短的3分米一条边是对应边时，做出的三角形的三边最大，面积最大，设长是4分米，5分米的边的对应边的长分别是a 分米，b 分米，3:64:5:a b \==，8a \=，10b =，\其他两条边的长分别是8分米，10分米，2226810+=Q ，\做出的三角形是直角三角形，直角边分别是6分米，8分米，\做出的三角形的面积为168242´´=（平方分米）．故答案为：24．【点评】本题考查相似三角形的性质，勾股定理的逆定理，掌握当长是6分米的木条与三角形框架模型的边长最短的一条边是对应边时，做出的三角形的三边最大，是解决问题的关键．【变式1-6】（2023秋•金山区期末）在ABC D 中，6AC =，P 是AB 边上的一点，Q 为AC 边上一点，直线PQ 把ABC D 分成面积相等的两部分，且APQ D 和ABC D 相似，如果这样的直线PQ 有两条，那么边AB 长度的取值范围是 ．【分析】分两种情况进行讨论，画出图形，根据面积之比等于相似比的平方即可解答．【解答】解：如图，当APQ ABC D D ∽时，\21(2APQ ABCS AP S AB D D ==，\只要满足AP AQ AB AC ==如图，当APQ ABC D D ∽时，Q 直线PQ 把ABC D 分成面积相等的两部分，12APQ ABC S S D D \=，\21()2APQ ABCS AP S AC D D ==，\APAC=，AP \==，AQ =，APAB Q …，AQ AC …，AB \…6AB …，AB \…，当6AB AC ==时，金字塔型和子母型完全重合，此时只有一种情况，6AB \¹，综上所述，直线PQ 把ABC D 分成面积相等的两部分，且APQ D 和ABC D 相似，如果这样的直线PQ 有两条，那么边AB 长度的取值范围是AB…且6AB ¹．故答案为：AB …且6AB ¹．【点评】本题考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键．【变式1-7】（2023秋•普陀区期末）如图，在ABC D 中，90ACB Ð=°，CD 是AB 边上的高，如果5AC =，4CD=，那么ACD D 与CBD D 的相似比k = ．【分析】相似三角形对应边的比叫相似比，由此即即可求解．【解答】解：CDQ是AB边上的高，90ADC\Ð=°，5AC=Q，4CD=，3AD\==，90ACBÐ=°Q，CD是AB边上的高，90ADC BDC\Ð=Ð=°，90A ACD BCD ACDÐ+Ð=Ð+Ð=°Q，A BCD\Ð=Ð，ACD CBD\D D∽，ACD\D与CBDD的相似比34ADkCD==．故答案为：34．【点评】本题考查相似三角形的性质，关键是掌握相似三角形相似比的定义．【考点题型二】7小题）【例2】（2023秋•金山区期末）如图在41´的方格中，每一个小正方形的顶点叫做格点，以其中三个格点为顶点的三角形称为格点三角形，ABCD就是一个格点三角形，现从ABCD的三个顶点中选取两个格点，再从余下的格点中选取一个格点联结成格点三角形，其中与ABCD相似的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据“三边对应成比例的两个三角形相似”求解即可．【解答】解：如图，根据勾股定理得，AD ==，AC ==，BC ==BE ==，CF =，又2AB =Q ，2CD =，1BF =，\1AD CB =，1CDAB =，1ACAC =，AB BC =，AC BE ==，BC CE ==，BCBF=，AB BC ==AC CF =，\AD CD AC CB AB AC ==，AB AC BC BC BE CE ==，BC AB AC BF BC CF==，ABC CDA \D D ∽，ABC BCE D D ∽，ABC CBF D D ∽，故选：C ．【点评】此题考查了相似三角形的判定，熟记相似三角形的判定定理是解题的关键．【变式2-1】（2023秋•奉贤区期末）如图，将ABC D 绕点B 顺时针旋转，使得点A 落在边AC 上，点A 、C 的对应点分别为D 、E ，边DE 交BC 于点F ，联结CE ．下列两个三角形不一定相似的是( )A ．BAD D 与BCE DB ．BDF D 与ECF DC ．DCFD 与BEF D D ．DBF D 与DEBD 【分析】根据旋转的性质得到AB DB =，ABC DBE Ð=Ð，BC BE =，A BDD Ð=Ð，ACB DEB Ð=Ð，再根据相似三角形的判定定理判断求解即可．【解答】解：如图，根据旋转的性质得，ABC DBE D @D ，AB DB \=，ABC DBE Ð=Ð，BC BE =，A BDD Ð=Ð，ACB DEB Ð=Ð，ABD CBE \Ð=Ð，AB DBBC BE=，BAD BCE \D D ∽，故A 不符合题意；ABD CBE Ð=ÐQ ，AB AD =，BC BE =，A BDA BCE BEC \Ð=Ð=Ð=Ð，BDF ECF \Ð=Ð，又BFD EFC Ð=ÐQ ，BDF ECF \D D ∽，故B 不符合题意；DCF BEF Ð=ÐQ ，DFC BFE Ð=Ð，DCF BEF \D D ∽，故C 不符合题意；根据题意，无法求解DBF D 与DEB D 相似，故D 符合题意；故选：D ．【点评】此题考查了相似三角形的判定、旋转的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定、旋转的性质是解题的关键．【变式2-2】（2023秋•徐汇区期末）下列两个三角形一定相似的是( )A ．两个直角三角形B ．两个等腰三角形C ．两个等边三角形D ．两个面积相等的三角形【分析】由相似三角形的判定，即可判断．【解答】解：A 、B 、D 中的两个三角形不一定相似，故A 、B 、D 不符合题意；C 、两个等边三角形相似，故C 符合题意．故选：C ．【点评】本题考查相似三角形的判定，等边三角形、等腰三角形的性质，关键是掌握相似三角形的判定方法．【变式2-3】（2024•静安区校级模拟）如图，已知ABC D 与BDE D 都是等边三角形，点D 在边AC 上（不与点A 、C 重合），DE 与AB 相交于点F ，那么与BDF D 相似的三角形是( )A ．BEF DB ．BDA DC ．BDCD D ．AFDD 【分析】由相似三角形的判定，即可判断．【解答】解：ABC D Q 与BDE D 都是等边三角形，60E BDE EBD \Ð=Ð=Ð=°，C A ABC Ð=Ð=Ð．A 、只有60E BDF Ð=Ð=°，BEF D 和BDF D 不一定相似，故A 不符合题意；B 、由60BDF A Ð=Ð=°，DBF ABD Ð=Ð，推出BDF BAD D D ∽，故B 符合题意；C 、只有60BDF C Ð=Ð=°，BDFD 和BCD D 不一定相似，故C 不符合题意；D 、只有60BDF A Ð=Ð=°，BDF D 和AFD D 不一定相似，故D 不符合题意．故选：B ．【点评】本题考查相似三角形的判定，等边三角形，关键是掌握相似三角形的判定方法．【变式2-4】（2023秋•宝山区期末）如图，在正方形网格中，A 、B 、C 、D 、M 、N 都是格点，从A 、B 、C 、D 四个格点中选取三个构成一个与AMN D 相似的三角形，某同学得到两个三角形：①ABC D ；②ABD D ．关于这两个三角形，下列判断正确的是( )A ．只有①是B ．只有②是C ．①和②都是D ．①和②都不是【分析】根据勾股定理求出ABD D 、ABC D 、AMN D 的三边长，再根据相似三角形的对应边成比例判断即可．【解答】解：由图形可知，2AM =，4AN =，MN ==，AB ==AC ==，BC ==，AD ==，BD ==，QAB BD ADAM AN MN===，ABD MAN \D D ∽；QAB ACAM AN¹，ABC \D 与AMN D 不相似，故选：B ．【点评】本题考查了相似三角形的判定，熟记相似三角形的判定定理是解题的关键．【变式2-5】（2024•ABCD 中，//AD BC ，AC 与BD 相交于点O ，点E 在线段OB 上，AE 的延长线与BC 相交于点F ，2OD OB OE =×．（1）求证：四边形AFCD 是平行四边形；（2）如果BC BD =，AE AF AD BF ×=×，求证：ABE ACD D D ∽．【分析】（1）由已知得出OE OD OD OB =，由平行线得出AOD COB D D ∽，得出OA OD OC OB =，证出OA OEOC OD=，得出//AF CD ，即可得出结论；（2）由平行线得出AED BDC Ð=Ð，BEF BDC D D ∽，得出BE BFBD BC=，证出AEB ADC Ð=Ð．由已知得出AE AD BF AF =，由平行四边形的性质得出AF CD =，得出AE AD BE DC=，由相似三角形的判定定理即可得出结论．【解答】（1）证明：2OD OE OB =×Q ，\OE OD OD OB=，//AD BC Q ，AOD COB \D D ∽，\OA OD OC OB =\OA OE OC OD=//AF CD \，\四边形AFCD 是平行四边形；（2）证明：//AF CD Q ，AED BDC \Ð=Ð，BEF BDC D D ∽，\BE BF BD BC=，BC BD =Q ，BE BF \=，BDC BCD Ð=Ð，AED BCD \Ð=Ð．180AEB AED Ð=°-ÐQ ，ADC BCD а-Ð，AEB ADC \Ð=Ð．AE AF AD BF ×=×Q ，\AE AD BF AF=，Q 四边形AFCD 是平行四边形，AF CD \=，\AE AD BE DC=，ABE ADC \D D ∽．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、梯形的性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质和平行四边形的判定是解题的关键．【变式2-6】（2023秋•杨浦区期中）已知：如图，在ABC D 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，//DE BC ，EB 平分DEC Ð．（1）求证：AE AB ED BD=；（2）如果22BE AE BC AC=，求证：ABE ACB D D ∽．【分析】（1）根据平行线的性质得出AE AD CE BD =，BED CBE Ð=Ð，则AC AB CE BD=，根据角平分线定义及平行线的性质得到CBE BEC Ð=Ð，则BC CE =，根据相似三角形的判定与性质得出AE DE DE AC BC CE ==，根据比例的性质及等量代换即可得解；（2）结合（1）及题意推出BE DE CE BE=，结合BED BEC Ð=Ð，推出BED CEB D D ∽，根据相似三角形的性质得出DBE BCE Ð=Ð，结合BAE CAB Ð=Ð，即可判定ABE ACB D D ∽．【解答】证明：（1）//DE BC Q ，\AE AD CE BD =，BED CBE Ð=Ð，\11AE AD CE BD +=+，\AC AB CE BD=，EB Q 平分DEC Ð，BED BEC \Ð=Ð，CBE BEC \Ð=Ð，BC CE \=，//DE BC Q ，ADE ABC \D ∽，\AE DE DE AC BC CE ==，\AE AC DE CE=，Q AC AB CE BD=，\AE AB DE BD =；（2）Q 22BE AE BC AC =，BC CE =，AE DE AC CE=，\22BE DE CE CE=，\BE DE CE BE=，又BED BEC Ð=Ð，BED CEB \D D ∽，DBE BCE \Ð=Ð，即ABE ACB Ð=Ð，又BAE CAB Ð=Ð，ABE ACB \D D ∽．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键．【考点题型三】相似三角形的判定与性质（共13小题）【例3】（2023秋•长宁区期末）如果点D 、E 分别在ABC D 的两边AB 、AC 上，由下列哪一组条件可以推出//(DE BC )A ．23AD BD =，23CE AE =B ．22,33AD DE AB BC ==C ．32AB AD =，12EC AE =D ．44,33AB AE AD EC ==【分析】对于选项C ，证明DAE BAC D D ∽，根据相似三角形的性质得到ADE ABC Ð=Ð，根据平行线的判定定理证明．【解答】解：A 、不能推出//DE BC ，不符合题意；B 、不能推出//DE BC ，不符合题意；C 、Q 12EC AE =，\32AC AE =，Q 32AB AD =，\AC AB AE AD =，A A Ð=ÐQ ，DAE BAC \D D ∽，ADE ABC \Ð=Ð，//DE BC \，本选项符合题意；D 、不能推出//DE BC ，不符合题意；故选：C ．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行线的判定，熟记相似三角形的判定定理是解题的关键．【变式3-1】（2023秋•长宁区期末）已知在ABC D 与△A B C ¢¢¢中，点D 、D ¢分别在边BC 、B C ¢¢上，（点D 不与点B 、C 重合，点D ¢不与点B ¢、C ¢重合）．如果ADC D 与△A D C ¢¢¢相似，点A 、D 分别对应点A ¢、D ¢，那么添加下列条件可以证明ABC D 与△A B C ¢¢¢相似的是( )①AD 、A D ¢¢分别是ABC D 与△A B C ¢¢¢的角平分线；②AD 、A D ¢¢分别是ABC D 与△A B C ¢¢¢的中线；③AD 、A D ¢¢分别是ABC D 与△A B C ¢¢¢的高．A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③【分析】根据相似三角形的判定与性质逐一判断即可得出结论．【解答】解：如图，①AD 、A D ¢¢分别是ABC D 与△A B C ¢¢¢的角平分线，BAD CAD \Ð=Ð，B A D C A D ¢¢¢¢¢¢Ð=Ð，又ADC D Q ∽△A D C ¢¢¢，CAD C A D ¢¢¢\Ð=Ð，C C ¢Ð=Ð，BAC B A C ¢¢¢\Ð=Ð，BAC \D ∽△B A C ¢¢¢，故添加条件①可以证明ABC D 与△A B C ¢¢¢相似；②AD 、A D ¢¢分别是ABC D 与△A B C ¢¢¢的中线，BD CD \=，B D C D ¢¢¢¢=，又ADC D Q ∽△A D C ¢¢¢，ADC A D C ¢¢¢\Ð=Ð，AD CD A D C D =¢¢¢¢，\AD A D BD B D ¢¢=¢¢，ADB A D B ¢¢¢Ð=Ð，ABD \D ∽△A B D ¢¢¢，B B ¢\Ð=Ð，又C C ¢Ð=ÐQ ，BAC \D ∽△B A C ¢¢¢，故添加条件②可以证明ABC D 与△A B C ¢¢¢相似；③AD 、A D ¢¢分别是ABC D 与△A B C ¢¢¢的高，ADC D ∽△A D C ¢¢¢，由图形可知，ABC D 与△A B C ¢¢¢不相似，故选：A ．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键．【变式3-2】（2023秋•静安区期末）在ABC D 中，点D 、E 、F 分别在边BC 、AB 、AC 上，联结DE 、DF ，如果//DE AC ，//DF AB ，且:1:2AE EB =，那么:AF FC 的值是( )A ．3B ．13C ．2D ．12【分析】根据题目的已知条件画出图形，然后利用平行线分线段成比例解答即可．【解答】解：如图：//DE AC Q ，:1:2AE EB =，\12AE CD BE BD ==，\2BD CD=，//DF AB Q ，\2AF BD FC CD==，故选：C ．【点评】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例这个基本事实是解题的关键．【变式3-3】（2023秋•金山区期末）已知点E 是平行四边形ABCD 的边AD 上一点，联结CE 和BD 相交于点F ，如果:1:2AE ED =，那么:DF FB 为( )A ．1:2B ．1:3C ．2:3D ．2:5【分析】由平行四边形的性质得//AD CB ，AD CB =，由:1:2AE ED =，得23ED ED CB AD ==，再证明DFE BFC D D ∽，得23DF ED FB CB ==，于是得到问题的答案．【解答】解：Q 四边形ABCD 是平行四边形，//AD CB \，AD CB =，:1:2AE ED =Q ，\23ED ED CB AD ==，//ED CB Q ，DFE BFC \D D ∽，\23DF ED FB CB ==，故选：C ．【点评】此题重点考查平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明DFE BFC D D ∽是解题的关键．【变式3-4】（2023秋•黄浦区期末）如图，△ABC 三边上点D 、E 、F ，满足//DE BC ，//EF AB ，那么下列等式中，成立的是( )A ．DE AE EF EC =B ．AD BF DB FC =C ．DE AB EF BC =D ．AD BF DB BC=【分析】由题意可证四边形BDEF 是平行四边形，可得BD EF =，DE BF =，由相似三角形的性质和平行线分线段成比例依次判断可求解．【解答】解：//DE BC Q 、//EF AB ，ADE B EFC \Ð=Ð=Ð，AED C Ð=Ð，\△ADE ∽△EFC ，\DE AE CF EC =，故A 错误；AD DE EF CF=，//DE BC Q 、//EF AB ，\四边形BDEF 是平行四边形，BD EF \=，DE BF =，\AD BF BD FC =，故B 正确；\AB AD BC DE=，故C 错误；AD AE BF DB CE CF==，故D 错误，故选：B ．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，灵活运用相似三角形的性质是本题的关键．【变式3-5】（2023秋•徐汇区期末）如图，点D 是ABC D 内一点，点E 在线段BD 的延长线上，BE 与AC 交于点O ，分别联结AD 、AE 、CE ，如果AD AE DE AB AC BC==，那么下列结论正确的是( )A ．//CE ADB ．BD AD =C ．ABE CBE Ð=ÐD ．BO AE AO BC ×=×．【分析】利用相似三角形的判定与性质解答即可．【解答】解：Q AD AE DE AB AC BC==，ADE ABC \D D ∽，ACB AED \Ð=Ð，BAC DAE Ð=Ð，BAD CAE \Ð=Ð，AOE BOC Ð=ÐQ ，AOE BOC \D D ∽，\AO BO AE BC=，BO AE AO BC \×=×．D \选项的结论正确．Q AD AE AB AC=，BAD CAE \D D ∽，ABE ACE \Ð=Ð，显然OE 与OC 不一定相等，ACE \Ð与BEC Ð不一定相等，CE \与BD 不一定平行，A \，C 不一定正确，BD Q 与AD 不一定相等，B \不一定正确．故选：D ．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．【变式3-6】（2022秋•虹口区期末）如图，点D 、E 分别在ABC D 边AB 、AC 上，3AB AE AD CE==，且AED B Ð=Ð，那么AD AC的值为( )A ．12B ．13C ．14D ．23【分析】根据题意，可以先设3AB a =，AD a =，3AE b =，CE b =，再根据题意可以得到DAE CAB D D ∽，然后即可得到AD AC的值．【解答】解：Q3AB AE AD CE ==，\设3AB a =，AD a =，3AE b =，CE b =，则4AC b =，AED B Ð=ÐQ ，DAE CAB Ð=Ð，DAE CAB \D D ∽，\AD AE AC AB =，即343a b b a=，解得2a b =，\112442AD a AC b ==´=，故选：A ．【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【变式3-7】（2023秋•浦东新区校级月考）如图所示，过△ABC 的顶点C 作任一直线与边AB 及中线AD 分别交于点F 和E ，过点D 作//DM FC 交AB 于点M ．（1）若:2:3AEF MDEF S S =V 四边形，求:AE ED ．（2）试说明2AE FB AF ED ×=×．【分析】（1）利用相似三角形的性质解决问题即可．（2）利用平行线分线段成比例定理以及比例的基本性质证明即可．【解答】（1）解：//EF DM Q ，\△AEF ∽△ADM ，:2:3AEF MDEF S S =V Q 四边形，\AE AD ==\AE DE ==．（2）证明：DC DB =Q ，12FM MB FB \==，//DM CF Q ，::AE ED AF FM \=，即1::2AE ED AF FB =，:2:AE ED AF FB \=，2AE FB AF ED \×=×．【点评】此题主要考查平行线分线段成比例定理：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．同时考查了比例的性质．【变式3-8】（2022秋•长宁区期末）已知：如图，在△ABC 中，点D 在边BC 上，且AD AB =，边BC 的垂直平分线EF 交边AC 于点E ，BE 交AD 于点G ．（1）求证：△BDG ∽△CBA ；（2）如果△ADC 的面积为180，且18AB =，6DG =，求△ABG 的面积．【分析】（1）由AB AD =得到ABD ADB Ð=Ð，根据线段垂直平分线的性质得到EB EC =，则EBC C Ð=Ð，然后根据相似三角形的判定方法得到结论；（2）由（1）知△BDG ∽△CBA ，可得DG BD AB BC =，而18AB =，6DG =，即可得12BD CD =，12ABD ACD S S =V V ，又180ADC S =V ，故90ABD S =V ，因12AG =，12DG AG =，即得22906033ABG ABD S S ==´=V V ．【解答】（1）证明：AB AD =Q ，ABD ADB \Ð=Ð，EF Q 垂直平分BC ，EB EC \=，EBC C \Ð=Ð，GBD C Ð=ÐQ ，BDG CBA Ð=Ð，\△BDG ∽△CBA ；（2）解：由（1）知△BDG ∽△CBA ，\DG BD AB BC=，18AB =Q ，6DG =，\61183BD BC ==，\12BD CD =，\12ABD ACD S S =V V ，180ADC S =V Q ，90ABD S \=V ，18AD AB ==Q ，6DG =，12AG \=，\12DG AG =，\12BDG ABG S S =V V ，22906033ABG ABD S S \==´=V V ．【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，涉及三角形面积，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理．【变式3-9】（2022秋•杨浦区期末）如图，Rt ABC D 中，90ACB Ð=°，D 是斜边AB 上的中点，E 是边BC 上的点，AE 与CD 交于点F ，且2AC CE CB =×．（1）求证：AE CD ^；（2）连接BF ，如果点E 是BC 中点，求证：EBF EAB Ð=Ð．【分析】（1）先根据题意得出ACB ECA D D ∽，再由直角三角形的性质得出CD AD =，由90CAD ABC Ð+Ð=°可得出90ACD EAC Ð+Ð=°，进而可得出90AFC Ð=°；（2）根据AE CD ^可得出90EFC Ð=°，ACE EFC Ð=Ð，故可得出ECF EAC D D ∽，再由点E 是BC的中点可知CE BE =，故BE EF EA BE=，根据BEF AEB Ð=Ð得出BEF AEB D D ∽，进而可得出结论．【解答】证明：（1）2AC CE CB =×Q ，\AC CB CE AC=．又90ACB ECA Ð=Ð=°Q ACB ECA \D D ∽，ABC EAC \Ð=Ð．Q 点D 是AB 的中点，CD AD \=，ACD CAD\Ð=Ð90CAD ABC Ð+Ð=°Q ，90ACD EAC \Ð+Ð=°90AFC \Ð=°，AE CD\^（2）AE CD ^Q ，90EFC \Ð=°，ACE EFC\Ð=Ð又AEC CEF Ð=ÐQ ，ECF EAC\D D ∽\EC EF EA EC=Q 点E 是BC 的中点，CE BE \=，\BE EF EA BE=BEF AEB Ð=ÐQ ，BEF AEB\D D ∽EBF EAB \Ð=Ð．【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．【变式3-10】（2022秋•嘉定区期末）如图，已知在ABC D 中，AB AC =，点D 、E 分别在边CB 、AC 的延长线上，且DAB EBC Ð=Ð，EB 的延长线交AD 于点F ．（1）求证：DBF EBC D D ∽；（2）如果AB BC =，求证：2EC DF DA =×．【分析】（1）先根据三角形外角的定义得到D E Ð=Ð，即可证明DBF EBC D D ∽；（2）先证明DBF DAB D D ∽得到2DB DA DF =×，再根据AAS 证明ADB BEC D @D ，即可证明．【解答】证明：（1）AB AC =Q ABC ACB \Ð=Ð．ABC ÐQ 、ACB Ð分别是ADB D 和BCE D 的外角，ABC DAB D \Ð=Ð+Ð，ACB EBC E Ð=Ð+Ð，DAB EBC Ð=ÐQ ，D E \Ð=Ð．又DBF EBC Ð=Ð，DBF EBC \D D ∽．（2）DBF EBC Ð=ÐQ ，DAB EBC Ð=Ð，DBF DAB \Ð=Ð．D D Ð=ÐQ ，DBF DAB \D D ∽，\DB DF DA DB=，即2DB DA DF =×．在ADB D 和BEC D 中，D E DAB EBC AB BC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()ADB BEC AAS \D @D ，BD EC \=，2EC DF DA \=×．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．【变式3-11】（2022秋•闵行区期末）已知：如图，在ABC D 中，AB AC =，点D 、E 分别是边AC 、AB 的中点，DF AC ^，DF 与CE 相交于点F ，AF 的延长线与BD 相交于点G ．（1）求证：ABD ACE Ð=Ð；（2）求证：2CD DG BD =×．【分析】（1）利用等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质解答即可；（2）利用线段垂直平分线的性质和（1）的结论，依据相似三角形的判定与性质解答即可．【解答】证明：（1）Q 点D 、E 分别是边AC 、AB 的中点，12AE AB \=，12AD AC =，AB AC =Q ，AD AE \=．在ADB D 和AEC D 中，AD AE BAD CAE AB AC =ìïÐ=Ðíï=î，()ADB AEC SAS \D @D ，ABD ACE \Ð=Ð；（2）DF AC ^Q ，点D 是边AC 的中点，DF \是AC 的垂直平分线，FA FC \=，FAC ACE \Ð=Ð．由（1）知：ABD ACE Ð=Ð，FAC ABD \Ð=Ð．ADG BDA Ð=ÐQ ，ADG BDA \D D ∽，\AD BD DG AD=，2AD DG BD \=×．Q 点D 是边的中点，12AD AC CD \==，2CD DG BD \=×．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．【变式3-12】（2023秋•静安区期中）已知：如图，四边形ABCD 是平行四边形，在边AB 的延长线上截取BE AB =，点F 在AE 的延长线上，CE 和DF 交于点M ，BC 和DF 交于点N ．联结BD ．（1）求证：BND CNM D D ∽；（2）如果2AD AB AF =×，求证：CM AB DM CN ×=×．【分析】（1）利用平行四边形的性质得AB CD =，//AB CD ，再证明四边形BECD 为平行四边形得到//BD CE ，根据相似三角形的判定方法，由//CM DB 可判断BND CNM D D ∽；（2）先利用2AD AB AF =×可证明ADB AFD D D ∽，则1F Ð=Ð，再根据平行线的性质得4F Ð=Ð，23Ð=Ð，所以34Ð=Ð，加上NMC CMD Ð=Ð，于是可判断MNC MCD D D ∽，所以::MC MD CN CD =，然后利用CD AB =和比例的性质即可得到结论．【解答】证明：（1）Q 四边形ABCD 是平行四边形，AB CD \=，//AB CD ，而BE AB =，BE CD \=，而//BE CD ，\四边形BECD 为平行四边形，//BD CE \，//CM DB Q ，BND CNM \D D ∽；（2）2AD AB AF =×Q ，::AD AB AF AD \=，而DAB FAD Ð=Ð，ADB AFD \D D ∽，1F \Ð=Ð，//CD AF Q ，//BD CE ，4F \Ð=Ð，23Ð=Ð，34\Ð=Ð，而NMC CMD Ð=Ð，MNC MCD \D D ∽，::MC MD CN CD \=，MC CD MD CN \×=×，而CD AB =，CM AB DM CN \×=×．【点评】本题考查了三角形相似的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．在运用相似三角形的性质时主要利用相似比计算线段的长．也考查了平行四边形的判定与性质．【考点题型四】相似三角形的应用（共8小题）【例4】（2024秋•静安区校级月考）某班某同学要测量学校升旗的旗杆高度，在同一时刻，量得某一同学的身高是1.5m ，影长是1m ，旗杆的影长是8m ，则旗杆的高度是 m ．【分析】因为在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长比值是相同的，所以同学的身高与其影子长的比值等于旗杆的高与其影子长的比值．【解答】解：设旗杆的高度为x ，根据在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长比值是相同的，得：1.518x =，1.58121x m ´\==，\旗杆的高度是12m ．故答案为：12．【点评】本题考查了相似三角形的应用，解题关键是知道在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长比值是相同的．【变式4-1】（2023秋•浦东新区校级期中）如图，在一块斜边长30cm 的直角三角形木板(Rt ACB)D 上截取一个正方形CDEF ，点D 在边BC 上，点E 在斜边AB 上，点F 在边AC 上，若:1:3AF AC =，则这块木板截取正方形CDEF 后，剩余部分的面积为 ．【分析】设AF x =，根据正方形的性质用x 表示出EF 、CF ，证明AEF ABC D D ∽，根据相似三角形的性质求出BC ，根据勾股定理列式求出x ，根据三角形的面积公式、正方形的面积公式计算即可．【解答】解：设AF x =，则3AC x =，Q 四边形CDEF 为正方形，2EF CF x \==，//EF BC ，AEF ABC \D D ∽，\13EF AF BC AC ==，6BC x \=，在Rt ABC D 中，222AB AC BC =+，即22230(3)(6)x x =+，解得，x =，AC \=，BC =，\剩余部分的面积21100()2cm =´-=，故答案为：2100cm ．【点评】本题考查的是相似三角形的应用、正方形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．【变式4-2】（2024•静安区校级模拟）如图，用一个卡钳1(,)3OC OD AD BC OB OA ===测量某个零件的内孔直径AB ，量得CD 长度为6cm ，则AB 等于 cm ．AB 的长．【解答】解：Q 13OC OD OB OA ==，COD AOB Ð=Ð，COD AOB \D D ∽，:3AB CD \=，6CD cm =Q ，6318()AB cm \=´=，故答案为：18．【点评】本题考查相似三角形的应用，求出AB 的值是解答本题的关键．【变式4-2】（2023秋•浦东新区校级期中）图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面AB = ．【分析】高脚杯前后的两个三角形相似．根据相似三角形的判定和性质即可得出结果．【解答】解：如图：过O作OM CD^，垂足为M，过O作ON AB^，垂足为N，//CD ABQ，CDO ABO\D∽，即相似比为CD AB，\CD OMAB ON=，1578() OM cm=-=Q，1174()ON cm=-=，\684 AB=，3 AB cm\=，故答案为：3cm．【点评】本题考查相似三角形的应用，解本题的关键熟练掌握相似三角形的判定与性质．【变式4-3】（2023秋•松江区校级月考）如图，有一块面积等于21200cm的三角形纸片ABC，已知底边BC 与底边上的高的和为100cm（底边BC大于底边上的高），要把它加工成一个正方形纸片，使正方形的一边EF在边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上．（1）求BC和底边上的高；（2）求加工成的正方形纸片DEFG的边长．【分析】（1）设BC a=cm，BC边上的高AH为b cm，根据题意得出方程组求出BC和AH；（2）设DG DE x==cm，再由平行线得出ADG ABCD D∽，由相似三角形对应高的比等于相似比得出比例式，即可得出结果．【解答】解：（1）设BC a=cm，BC边上的高AH为b cm，DG DE x==cm，根据题意得：1001200a bab+=ìí=î，解得：6040ab=ìí=î，或4060ab=ìí=î（不合题意，舍去），60BC cm\=，40AH b cm==；（2）//DG BCQ，ADG ABC\D D∽，\AN DGAM BC=，即404060x x-=，解得：24x=，即加工成的正方形铁片DEFG的边长为24cm．【点评】本题考查了方程组的解法、相似三角形的运用；熟练掌握方程组的解法，证明三角形相似得出比例式是解决问题的关键．【变式4-4】（2023秋•宝山区期中）某社区两条平行的小道之间有一块三角形空地．如图，这两条小道m、n之间的距离为9米，ABCD表示这块空地，36BC=米．现要在空地内划出一个矩形DGHE区域建造花坛，使它的一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上．（1）如果矩形花坛的边:1:2DG DE=，求出这时矩形花坛的两条邻边的长；（2）矩形花坛的面积能否占空地面积的59？请作出判断并说明理由．【分析】（1）过点A 作AM DE ^，垂足为M ，延长AM 交BC 于点N ，根据题意可得：9AN =米，DG MN =，AN BC ^，再根据矩形的性质可得//DE BC ，从而可得ADE ABC Ð=Ð，AED ACB Ð=Ð，然后证明A 字模型相似ADE ABC D D ∽，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答；（2）设DG x =米，利用（1）的结论可得：ADE ABC D D ∽，从而利用相似三角形的性质可得(364)DE x =-米，然后根据题目的已知可得25136492x x BC AN -=´×，进行计算即可解答．【解答】解：（1）过点A 作AM DE ^，垂足为M ，延长AM 交BC 于点N ，由题意得：9AN =米，DG MN =，AN BC ^，Q 四边形DGHE 是矩形，//DE BC \，:1:2DG DE =Q ，2DE DG \=，//DE BC Q ，ADE ABC \Ð=Ð，AED ACB Ð=Ð，ADE ABC \D D ∽，\AM DE AN BC =，\92936DG DG -=，解得：6DG =，212DE DG \==，\这时矩形花坛的两条邻边的长分别为6和12；（2）矩形花坛的面积不能占空地面积的59，理由：设DG x =米，。
相似三角形知识点大总结(良心出品必属精品)
相似三角形知识点大总结知识点1 有关相似形的概念(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形. (2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)． 知识点2 比例线段的相关概念（1）如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是nmba=，或写成n m b a ::=．注：在求线段比时，线段单位要统一。
（2）在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段dc b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：a d cb =．②()a ca b c d b d==在比例式：：中，a 、d 叫比例外项，b 、c 叫比例内项, a 、c 叫比例前项，b 、d 叫比例后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，即 a b b d =：：那么b 叫做a 、d 的比例中项， 此时有2b ad =。
（3）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =⋅，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=≈0.618AB ．即12AC BC AB AC == 简记为：长短＝全长注：黄金三角形：顶角是360的等腰三角形。
黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形 知识点3 比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0）（1） 基本性质：①bc ad d c b a =⇔=::；②2::a b b c b a c =⇔=⋅．注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=，c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=．（2） 更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a bc d a c d cb db a d bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项 （3）反比性质(把比的前项、后项交换)： ac b db da c=⇔=．（4）合、分比性质：a c a b c dbd b d±±=⇔=．注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=dc dc b a b a c cd a a b d c b a 等等．（5）等比性质：如果)0(≠++++====n f d b nm f e d c ba，那么b a n f d b m e c a =++++++++ ．注：①此性质的证明运用了“设k 法”（即引入新的参数k ）这样可以减少未知数的个数，这种方法是有关比例计算变形中一种常用方法．②应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．③可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如：ba f db ec a f ed c b a fe d c ba =+-+-⇒=--=⇒==32323322；其中032≠+-f d b ．知识点4 比例线段的有关定理1.三角形中平行线分线段成比例定理:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.由DE ∥BC 可得：ACAEAB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或 注：B①重要结论：平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三．．．．．边．与原三角形三边．．．．．．对应成比例. ②三角形中平行线分线段成比例定理的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边. 此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.③平行线的应用：在证明有关比例线段时，辅助线往往做平行线,但应遵循的原则是不要破坏条件中的两条线段的比及所求的两条线段的比.2.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,已知AD ∥BE ∥CF,可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BCBC EF AC DF AB DE AC DF DE EF=====或或或或等.注：平行线分线段成比例定理的推论：平行线等分线段定理：两条直线被三条平行线所截，如果在其中一条上截得的线段相等，那么在另一条上截得的线段也相等。
中考全等三角形的判定与性质、平行四边形及特殊平行四边形、平行线分线段成比例定理、相似三角形
预测03 全等三角形的判定与性质、平行四边形及特殊平行四边形的性质及判定、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定2015-2020上海中考“23题几何证明”考点及分值分布年份题型考点分值15证明2323-1平行四边形的性质及判定23-2等角的余角相等相似三角形的判定（AA）1216证明2323-1垂径定理+全等三角形的判定、性质23-2全等三角形的判定、性质+平行四边形判定1217证明2323-1全等三角形的性质及判定，平行四边形的性质及判定，菱形的判定定理23-2等腰三角形三角形的内角和定理正方形的判定定理1218证明23正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质1219证明2323-1全等三角形的判定、性质23-2相似三角形的判定(SAS)+菱形判定1220证明23相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识12借助转化思想解决相似三角形中的证明问题2018徐汇一模23题：如上题的视频所示，解决相似三角形的线段比问题的步骤如下：①将已知（求证）条件标记在图上，借助线段勾画出需要求证的相似三角形，如果不能勾出三角形，借助线段间的相等关系，观察是否可以转化，继而找到题目中隐含的相似三角形或找到中间比。
②一般证明2个三角形相似，往往需要2个条件，而题目中往往都会出现一组等角，那么就根据题意，到底是用S.A.S还是用A.A.判定相似。
若用A.A判定相似，那么利用直角或外角性质，找到另一组等角；若用S.A.S判定相似，那么去寻找夹角所在的夹边对应的相似三角形，利用2次相似，得到题目中所需要的的线段间的比例关系。
(再复杂的证明题所需要的的相似也不超过2次)③善于挖掘题目中隐含的基本图形，这些基本图形往往是解决问题的桥梁，不要疏漏了。
双垂直基本模型：2020崇明一模23题：解题思路：(1)根据题目中的比例线段以及求证的结论可以确定要求证的是：△AEF∽△CDF；(2)根据结论中的比例关系，可以确定要证明的相似三角形是：△BDF∽△AFO.这对相似三角形的等角是∠BFD=∠AFC=90°，另外可以从A.A或S.A.S两个角度进行证明.2019普陀一模23题：解题思路：(1)根据条件中的等积式可以得到：△AEF∽△ABE，得到∠B=∠DAE，再根据∠DAF=∠EAC，得到另一组等角：∠DAE=∠BAC，得到△ADE∽△ACB；(2)根据结论中的比例关系，由于DF、DE，CE、CB在一直线上，因此无法勾画出要求证的相似三角形，因此将求证变形，得到DF:CE对应的相似三角形是△ADF∽△ACE、DE:CB对应的相似三角形是△ADE∽△ACB，而这两种比例线段得以转化的中间比是AD:AC，继而得到了等量关系.相似三角形与比例线段相似三角形与比例线段相关的几何证明题往往是23题几何证明的必考知识点，同时在25题压轴题中也常常会有类似知识点的问题呈现。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
△ABC中，D是AB上的一点，∠ACD=∠ABC => △ACD∽△ABC => AC²=AD•AB，AC与△BCD 的外接圆相切于C显然，这个基本图形是将三角形一条边的逆平行线平移到过三角形的一个顶点得到的，所以一组重叠在一直线上的相乘线段的积，就成为了一条边的平方。
在几何问题中，出现了两组相乘两线段分别重叠在一直线上，且其中的一组是线段的平方，就可以应用或添加过三角形顶点的逆平行线得到的逆平行线型相似三角形进行证明，这时过端点和内分点和重合顶点的连线就是逆平行线。
当这个三角形是一个直角三角形的时候，这条过三角形顶点的一条边的逆平行线就是直角三角形斜边上的高。
△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB是D => AC²=AD•AB，BC²=BD•BA.在几何问题中，出现了两组相乘两线段分别重叠在一直线上，且其中的一组是一个直角三角形的直角边的平方，就可以应用或添加过三角形顶点的逆平行线得到的逆平行线型相似三角形，也就是直角三角形斜边上的高的基本图形进行证明，这时斜边上的高和另一条直角边就是两条逆平行线。
例1，已知：△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AD的垂直平分线交AD于E、交BC的延长线于F．求证：FD2=FC•FB分析：本题要证明的结论〖FD〗^2=FC•FB是线段之间的比例关系，所以首先进行描图，搞清楚比例线段之间的位置关系，经过描图可以发现两组相乘线段FD、FD和FC、FB都重叠在一直线上，所以可应用或添加逆平行线型相似三角形进行证明，由于现在FD这两条相乘线段也重叠在FB上，所以它们不可能直接组成相似三角形，所以必须要使FD离开这条FB，又因为EF是AD的垂直平分线，所以就想到要应用线段的垂直平分线的性质，也就是等腰三角形中重要线段的基本图形的性质进行证明，由于这个等腰三角形有底边AD和一条腰FD，而另一条腰尚未出现，所以应先将这条腰添上，也就是连结FA，也就可得FA=FD，并可进一步推得∠FAD=∠FDA，所以问题转化为要证FA²=FC•FB，由于现在这两组重叠的相乘线段有公共端点F，且比例关系中出现了FA的平方，所以可应用由过三角形顶点的逆平行线得到的逆平行线型相似三角形进行证明，找相似三角形的方法是由端点B、内分点C与重合的端点A的连线组成相似三角形，于是就可找到AC、BA就是两条逆平行线，也就可以发现△ABF和△CAF是由过三角形顶点的逆平行线得到的逆平行线型相似三角形，从而问题就成为要证FA²=FC•FB的等价性质∠FAC=∠FBA，由于现在这两组重叠的相乘线段有公共端点F，且比例关系中出现了FA的平方，所以可应由端点B、内分点C与重合的端点A的连线组成相似三角形，于是就可找到AC、BA就是两条逆平行线，也就可以发现△ABF和△CAF是由过三角形顶点的逆平行线得到的逆平行线型相似三角形，从而问题就成为要证FA²=FC•FB的等价性质∠FAC=∠FBA，由于∠FAC=∠FAD-∠CAD，而已知B、D、F成一直线，∠FDA是△ABD的一个外角，所以∠FDA=∠FBA+∠DAB，也就可得∠FBA=∠FDA-∠DAB，由于条件给出∠CAD=∠DAB，且已经证明∠FAD=∠FDA，所以∠FBA=∠FA C 就可以证明，而∠BFA=∠AFC是公共角，从而就可以证明△ABF和△CAF相似，分析就可以完成。
例2，已知：△ABC中，D是AB上的一点，CE∥BA，CE=BD，BE交CD、CA于F、G，∠ABG=∠ACD．求证：〖FC〗^2=FB•FG分析：本题条件中给出CE∥BD，CE=BD,这两条线段平行且相等，同时它们的四个端点两两的连线DC、BE在F点相交，所以可应用中心对称型全等三角形进行证明，于是可找到这对全等三角形应是△BFD和△EFC，全等的条件是BD=EC，∠FDB=∠FCE，∠FBD=∠FEC，也就可进一步推得FB=FE，这样问题就转化成要证〖FC〗^2=FE•FG对这一比例关系可先进行描图，搞清楚比例线段之间的位置关系，经过描图可以发现FE、FG这两条相乘线段现在重叠在一直线上，所以可应用逆平行线型相似三角形进行证明，由于另一组相乘线段是FC的平方，所以要应用过端点的逆平行线组成的相似三角形进行问题也就成为应证〖FC〗^2=FE•FG的等价性质∠GCF=∠CEF，由条件∠ABG=∠ACD，而由CE∥BA，又可得∠ABG=∠CEF，所以∠GCF=∠CEF就可以证明。
例3，已知：△ABC中，∠ACB=90°，BC=4/3AC， O是AB上的一点，以O为圆心作半圆，AB交半圆O于D、E，BC与半圆O相切于F，连结EF，过E作EH⊥FE交BC的延长线于H，AC、EH相交于G．求证：CH=2CG （上海2005年25题）分析：本题要证明的结论是CH=2CG，由条件HE⊥FE，∠HEF=90°，且∠HCG也等于90°，所以就出现了CG是△HEF内一条边EF的逆平行线，所以可应用由三角形内一条边的逆平行线得到的逆平行线型相似三角形进行证明，也就可得△HGC和△HFE相似，所以HC/HE=CG/EF，也就可得HC/CG=HE/EF，这样问题就成为要证明HE=2EF，由条件BH与半圆O相切于点F，所以就想到要应用切线的性质，也就是切线垂直于过切点的半径的性质进行证明，但现在图形中是有切线，而没有过切点F的半径，所以应先将这条半径添上，也就是连结OF，就可得OF⊥BC，∠OFB=90°，又因为OF、OE是同圆的两条半径，当然相等，所以应用等腰三角形的性质，可得∠OEF=∠OFE，而已知条件还给出∠FEH=90°，所以∠BFE=∠BEH，而这两个角相等一出现，就出现了FE、EH是两条逆平行线，所以△BEF和△BHE就是一对由过三角形顶点的逆平行线得到的逆平行线型相似三角形，于是可得EF/HE=BF/BE，所以又出现了OF是△BAC内一条边AC的平行线段，从而又可以应用由三角形内一条边的平行线得到的平行线型相似三角形进行证明，从而可得△BOF和△BAC相似，所以BF/BC=OF/AC，于是可得EF/HE=BF/BE，这样问题又进一步转化为要证明BE=2BF，又因为条件还给出BC=4/3AC，且已经证明OF∥AC，所以又出现了OF是△BAC内一条边AC的平行线段，从而又可以应用由三角形内一条边的平行线得到的平行线型相似三角形进行证明，从而可得△BOF和△BAC相似，所以BF/BC=OF/AC，也就可得BF/OF=BC/AC=4/3，从而可得BF=4/3OF，这是直角三角形两条直角边之间的数量关系，所以可应用勾股定理进行证明，于是就可得OB²=OF²+BF²，所以OB²=OF²+(4/3OF)² =25/9OF²，从而就可得OB=5/3OF，所以OF=3/5OB，BF=4/5OB，于是就可得BE=OB+OE=OB+OF=OB+3/5OB=8/5OB，也就可以证明BE=2BF，分析就可以完成。
例4，已知：⊙O中，弦AB、CD相交于E，AD、CB的延长线相交于F，过E作EG∥AF交CF于G，求证：GE²=GB•GC分析：本题要证明的结论〖GE〗^2=GB•GC是线段之间的比例关系，所以首先进行描图，搞清楚比例线段之间的位置关系，经过描图可以发现两组相乘线段GE、GE和GB、GC都重叠在一直线上，所以可应用或添加逆平行线型相似三角形进行证明，由于现在这两组重叠的相乘线段有公共端点G，且比例关系中出现了GE的平方，所以可应用由过三角形顶点的逆平行线得到的逆平行线型相似三角形进行证明，就可找到EB、EC就是两条逆平行线，也就可以发现△GEB和△GCE是由过三角形顶点的逆平行线得到的逆平行线型相似三角形，从而问题就成为要证GE²=GB•GC的等价性质∠GEB=∠GCE，由于条件给出EG∥AF，∠GEB=∠DAB，而∠GCE=∠DAB是同弧所对的圆周角，所以∠GEB=∠GCE 就可以证明，而∠EGB=∠CGE是公共角，从而就可以证明△GEB和△GCE相似，分析就可以完成。
例5，已知：AB是⊙O的直径，CD是弦，CD⊥AB垂足是E，延长CD到F，AF交⊙O于G，求证：AC²=AG•AF经过描图可以发现两组相乘线段AC、AC和AG、AF都重叠在一直线上，所以可应用或添加逆平行线型相似三角形进行证明，由于现在这两组重叠的相乘线段有公共端点A，且比例关系中出现了AC的平方，所以可应用由分析：本题要证明的结论〖AC〗^2=AG•AF是线段之间的比例关系，所以首先进行描图，搞找相似三角形的方法是由端点F、内分点G与重合的端点C的连线组成相似三角形，于是联结CG，就可得到CG、FC就是两条逆平行线，也就可以发现△ACG和△AFC是由过三角形顶点的逆平行线得到的逆平行线型相似三角形，从而问题就成为要证AC²=AG•AF的等价性质∠ACG=∠AFC或∠AGC=∠ACF，由于∠ACG是圆周角，而圆上出现了A、C、B、G四点共圆，所以可应用圆周角的基本图形的性质进行证明，也就是联结BG，可得∠ACG=∠ABG，问题成为要证明∠ABG=∠AFC，由条件AB是⊙O的直径，应用直径的性质，也就是半圆上的圆周角的基本图形的性质，可得∠AGB=90°，又因为已知CD⊥AB垂足是E，∠BEF=90°，所以B、E、G、F四点共圆，所以∠ABG=∠AFC，分析就可以完成。
本题要证明的结论〖AC〗^2=AG•AF是线段之间的比例关系，所以首先进行描图，搞清楚比例线段之间的位置关系，本题要证明的结论〖AC〗^2=AG•AF是线段之间的比例关系，所以首先进行描图，搞清楚比例线段之间的位置关系，经过描图可以发现相乘线段AG、AF重叠在一直线上，所以可应用或添加逆平行线型相似三角形进行证明，由条件AB是⊙O的直径，应用直径的性质，也就是半圆上的圆周角的基本图形的性质，可得∠AGB=90°，而已知CD⊥AB垂足是E，所以∠AGB=∠AEF=90°，由条件AB是⊙O的直径，应用直径的性质，也就是半圆上的圆周角的基本图形的性质，可得∠AGB=90°，而已知CD⊥AB垂足是E，所以∠AGB=∠AEF=90°，就可得BG、EF是两条逆平行线，△ABG和△AFE是一对逆平行线型相似三角形，从而可得∠AGB=∠AEF=90°的等价性质AG•AF=AE•AB，这样问题就转化为要证明〖AC〗^2=AE•AB，这是线段之间的比例关系，所以首先进行描图，搞清楚比例线段之间的位置关系，经过描图可以发现相乘线段AC、AC和AE、A 这两组相乘线段都重叠在一直线上，所以可应用或添加逆平行线型相似三角形进行证明，由于出现了直角边AC的平方，所以可添加由过三角形顶点的逆平行线得到的逆平行线型相似三角形（现在就是直角三角形斜边上的高的基本图形）进行证明，于是，联结BC，由AB是直径，∠ACB=90°和CD⊥AB垂足是E，就可证明△ABC和△ACE是一对逆平行线型相似三角形，分析就可以完成。