数学分析试题与答案

2014---2015学年度第二学期《数学分析2》A 试卷一. 1.若f 2... .二. 1.若2.A.()x f 在[]b a ,上一定不可积；B.()x f 在[]b a ,上一定可积,但是()()⎰⎰≠ba ba dx x g dx x f ；C.()x f 在[]b a ,上一定可积，并且()()⎰⎰=b ab a dx x g dx x f ；D.()x f 在[]b a ,上的可积性不能确定.3.级数()∑∞=--+12111n n n nA.发散B.绝对收敛C.条件收敛D.不确定 4.设∑n u 为任一项级数，则下列说法正确的是（） A.若0lim =∞→n n u ，则级数∑nu 一定收敛；B.若1lim1<=+∞→ρnn n u u ，则级数∑n u 一定收敛；1.1.⎰+02.∑∞=1!n n n n 3.()nnn nn21211+-∑∞= 五.判别在数集D 上的一致收敛性（每小题5分，共10分）1.()()+∞∞-===,,2,1,sin D n nnxx f n2.(][)∞+⋃-∞-=∑,22,2D xn n六．已知一圆柱体的的半径为R ，经过圆柱下底圆直径线并保持与底圆面030角向斜上方切割，求从圆柱体上切下的这块立体的体积。

（本题满10分） 七.将一等腰三角形铁板倒立竖直置于水中（即底边在上），且上底边距水表面距离为10米，已知三角形底边长为20米，高为10米，求该三角形铁板所受的静压力。

(本题满分10分)八.证明：函数()∑=3cos nnxx f 在()∞+∞-,上连续，且有连续的导函数.（本题满分9分）2014---2015学年度第二学期《数学分析2》B 卷•答案一、 1.?2.?3.?4.?5.?6.?7.?二=tdt t tt cos sin 2sin cos ⎰=⎰tdt t sin 2-----------------------------------4分 =2cos 2sin t t t C -++=C ----------------5分四.判别敛散性（每小题5分，共10分）1.dx xx ⎰-121arctan解：()241arctan lim1arctan 1lim 012211π=+=---→-→xx xx x x x -------3分且121<=p ，∴由柯西判别法知， 瑕积分dx xx ⎰-121arctan 收敛-------------------------5分2.()∑∞=2ln ln 1n nn解：ln lim n ∞→ 有五.1.f n 又f n 从而故知该函数列在D 上一致收敛.-------------------------5分 2.]1,1[,3sin 2-=∑D x nn解：因当D x ∈时，()nn n n x x u ⎪⎭⎫⎝⎛≤=323sin 2--------------2分而正项级数∑⎪⎭⎫⎝⎛n32收敛，-----------------------------4分由优级数判别法知，该函数列在D 上一致收敛.-------------5分 3.()()∑+∞∞-=+-,,12D nx n解：易知，级数()∑-n1的部分和序列{}n S 一致有界，---2分 而对()n x x V D x n +=∈∀21,是单调的，又由于 ()()∞→→≤+=∈∀n nn x x V D x n 011,2，------------------4分六.(⎰=12V π=76π七.dW ==1250πν=12250π（千焦）-----------------------------------10分 八．设()() 2,1=n x u n 是],[b a 上的单调函数，证明：若()∑a u n 与()∑b u n 都绝对收敛，则()∑x u n 在],[b a 上绝对且一致收敛.（本题满分9分） 证明：()() 2,1=n x u n 是],[b a 上的单调函数，所以有()()()b u a u x u n n n +≤------------------------------4分又由()∑a u n 与()∑b u n 都绝对收敛，所以()()[]∑+b u a u n n 收敛，--------------------------------------7分 由优级数判别法知：()∑x u n在],[b a 上绝对且一致收敛.--------------------------------2013---2014学年度第二学期《数学分析2》A试卷一.5.若6.若an=7.若8.二.1.A⎰101dxxB⎰∞+11dxxC⎰+∞sin xdx D⎰-1131dxx2.级数∑∞=1nna收敛是∑∞=1nna部分和有界的（）A必要条件B充分条件C充分必要条件D无关条件3.正项级数∑n u收敛的充要条件是（）A.0lim =∞→n n u B.数列{}n u 单调有界C.部分和数列{}n s 有上界D.1lim1<=+∞→ρnn n u n4.设a a a nn n =+∞→1lim则幂级数()1>∑b x a bn n 的收敛半径R=（）A.aB.ba 1C.a 1D.ba 11⎪⎭⎫ ⎝⎛5.6..A.三.2.3．-⎰114.四.（16分）判别下列反常积分和级数的敛散性. 1.⎰+∞+-1324332x x dx ；2.dx x x ⎰++1)1ln(113.∑∞=-21ln n nn n； 4.∑∞=1!n n n nn e 五、判别函数序列或函数项级数在所给范围上的一致收敛性（每题5分，共10分）1.),(;,2,1,)(42∞-∞∈=+=-x n n x x f n2.nn n n 1)1(21∑∞=-+；+∞⋃-∞-=∈,5.05.0,D x 六.1.7π（2.七已知f2013---2014学年度第二学期《数学分析2》B 试卷一、 1.对任何可导函数()x f 而言，()()C x f dx x f +='⎰成立。

（）f ab 1⎰∞+- ⎝⎛在，则()()x f x f n n x x n x x n ∞→→→∞→=lim lim lim lim 00.二.单项选择题（每小题3分，共15分）1.函数)(x f 在],[b a 上可积的必要条件是（） A 连续B 有界C 无间断点D 有原函数2.下列说法正确的是（）A.∑∞=1n n a 和∑∞=1n n b 收敛，∑∞=1n n n b a 也收敛B.∑∞=1n n a 和∑∞=1n n b 发散，∑∞=+1)(n n n b a 发散C.∑∞=1n n a 收敛和∑∞=1n n b 发散，∑∞=+1)(n n n b a 发散∞∞∞3.A.a n ∑∞=1C.∑⎰∞=n 14.三. 3.()()[]nn n n n n n111lim-++∞→ 4.dx b a x b a⎰--2四.判别敛散性（每小题4分，共16分）1.dx x xx ⎰+∞+131arctan ； 2.dx xx⎰-1013.()∑∞=+-+1111n n n n n .4.∑+∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛-11cos 1n n n五.判别在所示区间上的一致收敛性（每小题5分，共10分）1.()⎩⎨⎧<<++≤≤+-=1)1/(1,0)1/(10,)1(1x n n x x n x f n [)1,0.,2,1∈=x n六.1.2.将⎰0一.七.（.014---2015学年度第二学期《数学分析2》A 卷•答案三. 判断题（每小题3分，共21分） 1.?2.?3.?4.?5.?6.?7.?二.单项选择题（每小题3分，共15分） B,C,C,D,A三.计算与求值（每小题5分，共10分）1.=⎩⎨⎧∞→k n exp lim =⎩⎨⎧∞→k n lim exp =2.==四.1.lim 23+∞→xx ∴2.由比式判别法=+∞→nn n a a 1lim()()=+++∞→nnn n n n n !1!1lim1()1/111lim1<=+-∞→e n n -----4分故该级数收敛.-------------------------------5分 3.解：由莱布尼兹判别法知，交错级数()∑∞=-11n n n收敛-----------2分又121112120<+-=+<nn n 知其单调且有界，---------4分 故由阿贝尔判别法知，级数收敛.--------------------------------5分五.1.解：极限函数为()()D x x f x f n n ∈==∞→0lim ---------------------2分又()()nn nx x f x f n 1sin ≤=----------------------------------4分 0sup lim =-∴∞→f f n n 故知该函数列在D 上一致收敛.-----------5分2.解:过()x S =⎰-=RV 七.dx x F ⎰-=021002ν----------------------------------------7分()吨ν33.1333≈()千牛67.13066≈------10分八.证明：()() 2,1cos 3==n n nxx u n 每一项在()∞+∞-,上连续，又()331cos n n nx x u n ≤=而∑31n收敛所以∑3cos nnx在()∞+∞-,上一致收敛，-------------------------------3分 故由定理结论知()∑=3cos nnxx f 在()∞+∞-,上连续，------------------------------5分再者()221sin n n nx x u n≤-='而∑21n收敛 所以()∑'x u n在()∞+∞-,上一致收敛，结合()x u n '在()∞+∞-,上的连续性 可知2014---2015学年度第二学期《数学分析2》B 试卷二、 1.若()x f 为偶函数，则()⎰dx x f 必为奇函数（）.2.3.4.5.6.（）.7.)(x u n 也在[]b a ,二.1.2.dx xx -021A.此为普通积分B.此为瑕积分且瑕点为0C.此为瑕积分且瑕点为1D.此为瑕积分且瑕点为0,13.就级数∑nn p ln 12（0>p ）的敛散性而言，它是（）A.收敛的B.发散的C.仅1>p 时收D.仅1≤p 时收敛4..函数列{}n f 在区间I 上一致收敛于0的充要条件是（） A.()0lim ,=∈∀∞→x f I x n n B.()0lim ,=∈∃∞→n n n x f I xC.()0lim =∈∀∞→+x f N n n x D.(){}0sup lim =∈∞→x f n Ix n5.幂级数∑∞=+0212n nn x n 的收敛域为： A.（-0.5,0.5）B.[-0.5,0.5]C.[)5.0,5.0- D.(]5.0,5.0-三.四.1.dx x x ⎰-1021arctan 2.()∑∞=2ln ln 1n nn五.1.f n 3.六.设平面区域D 是由圆222=+y x ，抛物线2x y =及x 轴所围第一象限部分，求由D 绕y 轴旋转一周而形成的旋转体的体积（本题满分10分）七.现有一直径与高均为10米的圆柱形铁桶（厚度忽略不计），内中盛满水，求从中将水抽出需要做多少功？（本题满分10分）八．设()() 2,1=n x u n 是],[b a 上的单调函数，证明：若()∑a u n 与()∑b u n 都绝对收敛，则()∑x u n 在],[b a 上绝对且一致收敛.（本题满分9分）。