矢量分析与场论第四版谢树艺习题答案高等教育出版社
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矢量分析与场论 第四版 谢树艺 习题答案 高等教育出版社
习题1 解答
1.写出下列曲线的矢量方程,并说明它们是何种曲线。
()1x a t y b t cos ,sin == ()
2x t y t z t 3sin ,4sin ,3cos ===
解: ()1r a ti b tj cos sin =+,其图形是xOy 平面上之椭圆。
()2r ti tj tk 3sin 4sin 3cos =++,其图形是平面430x y -=与圆柱面
2223x z +=之交线,为一椭圆。
2.设有定圆O 与动圆c ,半径均为a ,动圆在定圆外相切而滚动,求动圆上一定点M 所描曲线的矢量方程。
解:设M 点的矢径为OM r xi yj ==+u u u u r ,AOC θ∠=,CM u u u r
与x 轴的夹角为
2θπ-;因OM OC CM =+u u u u r u u u r u u u u r
有
()()r xi yj a i a j a i a j θθθπθπ2cos 2sin cos 2sin 2=+=++-+-
则
.2sin sin 2,2cos cos 2θθθθa a y a a x -=-=
故j a a i a a r )2sin sin 2()2cos cos 2(θθθθ-+-=
4.求曲线3
2
3
2,,t z t y t x =
==的一个切向单位矢量τ。 解:曲线的矢量方程为k t j t ti r 3
2
3
2++=
则其切向矢量为k t tj i dt
dr 2
22++= 模为24221441||
t t t dt
dr
+=++= 于是切向单位矢量为2
22122||/t k
t tj i dt dr dt dr +++=
6.求曲线x a t y a t z a t 2
sin ,sin 2,cos ,===在t π
4
=
处的一个切向矢量。
解:曲线矢量方程为
r a ti a tj a tk 2sin sin2cos =++
切向矢量为r
a ti a tj a tk t
τd sin22cos2sin d ==+- 在t π
4
=
处,t r ai a
k t
π
τ4
d d =
=
=- 7.求曲线t t z t y t x 62,34,12
2
-=-=+= 在对应于2=t 的点M 处的切线方程和法平面方程。
解:由题意得),4,5,5(-M 曲线矢量方程为,)62()34()1(22k t t j t i t r -+-++=
在2=t 的点M 处,切向矢量k j i k t j ti dt
dr t t 244])64(42[22
++=-++==
==τ
于是切线方程为
1
4
2525,244545+=-=-+=-=-z y x z y x 即 于是法平面方程为0)4()5(2)5(2=++-+-z y x ,即 01622=-++z y x
8.求曲线r ti t j t k 2
3
=++上的这样的点,使该点的切线平行于平面x y z 24++=。 解:曲线切向矢量为dr
i tj t k dt
τ223=
=++, ⑴ 平面的法矢量为n i j k 2=++,由题知
()
()i tj t k n i k t t j τ221432230=+⋅++⋅+++==
得t 1
1,3
=--
。将此依次代入⑴式,得k j i k j i t t 27
19131|
,|3
11-+-=-+-=-
=-=ττ
故所求点为()11
11,11,,,3927⎛⎫---
- ⎪⎝⎭
习题2 解答
1.说出下列数量场所在的空间区域,并求出其等值面。
()1u Ax By Cz D
1
;=
+++
()2u arc
=
解:()1场所在的空间区域是除Ax By Cz D 0+++=外的空间。 等值面为
01
11
1=-+++=+++C D Cz By Ax C D Cz By Ax 或为任意常数)(01≠C ,这是与平
面Ax By Cz D 0+++=平行的空间。
()2场所在的空间区域是除原点以外的z x y 222≤+的点所组成的空间部分。
等值面为)0(,sin )(2
2
2
2
2
2
≠++=y x c y x z ,
当c sin 0≠时,是顶点在坐标原点的一族圆锥面(除顶点外); 当c sin 0=时,是除原点外的xOy 平面。
2.求数量场x y u z
22
+=经过点()M 1,1,2的等值面方程。
解:经过点()M 1,1,2等值面方程为
x y u z 2222
1112
++===,
即z x y 2
2
=+,是除去原点的旋转抛物面。
3.已知数量场u xy =,求场中与直线x y 240+-=相切的等值线方程。 解:设切点为()
x y 00,,等值面方程为xy c x y 00==,因相切,则斜率为 2
1
00-=-
=x y k ,即002y x = 点()
x y 00,在所给直线上,有
x y 00240+-=
解之得y x 001,2==