梯形常用辅助线例析
梯形中常见的辅助线作法
’
Ａ ｆ Ｅ．Ｅ Ｄ． ￣Ｄ Ａ ＢｆＣ Ａ Ｂ 铸 Ｅ Ｂ．
．
‘
．
ＤＥ ＝Ａ 又 。 Ａ ＋Ｃ ＝１ Ｂ． ． Ｂ 。 Ｄ ４，
‘ ．
．
Ｄ ＋Ｃ ＝１ ． ： Ｅ＝１ ． Ｅ Ｄ ４即 Ｃ ４
１
例 ３ 在梯 形 Ａ Ｃ Ｂ Ｄ中 ，Ｄ／ Ｂ ， 曰＝ ０ ， Ｃ＝ Ａ ／ Ｃ ４ 。
在 ＲＡＡ Ｅ中 ，Ｃ＝ ｃ ７ ｔ Ｃ Ａ ÷ Ｅ＝ ．
； ・ 一 … … 一 － … … 一 一： 隧 一 一 一 一 一－ 一 ・ 一 ・一 一一 一 一 磊
． ． ．
Ａ Ｅ：、
化 到 直 角 三 角 形 和 平 行 四边 形 中去 ．
解析
要证 明梯 形 Ａ Ｃ Ｂ Ｄ是 等腰 梯形 ， 证 Ａ 须 Ｂ＝
Ａ ， 图 ２ 过 Ａ、 作 Ａ Ｃ如 ， Ｄ Ｅ上Ｂ Ｃ于 Ｅ， ＦＪＢ Ｄ Ｃ于 ’可 构 ＿ ，
即： 过 作 Ａ ∥Ｂ Ｅ Ｄ交 Ｃ Ｄ延长线于点 Ｅ，
即： １＜Ａ Ｂ＜ｌ ． １
例 ４ 如图 ４所 示 ， 梯形 Ａ Ｃ 中 ，Ｂ／ Ｄ Ａ ＢＤ Ａ ／ Ｃ．Ｂ＋
Ｃ ＝４对角线 Ａ Ｄ １， Ｃ上Ｂ Ｂ Ｃ ＝３ 。 求 ： 形 的 高 Ｄ， Ｄ ０， 梯
Ｍ
２ ．过 梯 形 一 底 两 端 点 作 梯 形 高 ． 例 ２ 在 同 一 底 上 的 两 个 角相等的梯形为等腰梯形．
７ 。求 证 ：Ｂ 十 Ｄ ＝ Ｃ ０， Ａ Ａ Ｂ． 解析
＝
如 图 ３ 要 证 Ａ ＋Ａ ， Ｂ Ｄ
日
题． 面举例说 明梯形 中常见 的辅 助线作法． 下
１ ．平移 一腰 。 即从 上底 的 一个顶 点作 一 腰的 平行 线
梯形中常见的辅助线
梯形中(de)常见辅助线一、平移 1、平移一腰：例1. 如图所示,在直角梯形ABCD 中,∠A ＝90°,AB ∥DC,AD ＝15,AB ＝16,BC ＝17. 求CD(de)长.例2如图,梯形ABCD(de)上底AB=3,下底CD=8,腰AD=4,求另一腰BC(de)取值范围.2、平移两腰： 例3如图,在梯形ABCD中,AD25如ABDCEHABCDA BCD图所示,四边形ABCD 中,AD 不平行于BC,AC ＝BD,AD ＝BC. 判断四边形ABCD(de)形状,并证明你(de)结论.三、作对角线即通过作对角线,使梯形转化为三角形. 例9如图6,在直角梯形ABCD中,AD )(21AD BC EF -=若等腰梯形(de)锐角是60°,它(de)两底分别为11cm ,35cm ,则它(de)腰长为__________cm .2. 如图所示,已知等腰梯形ABCD 中,AD ∥BC,∠B ＝60°,AD ＝2,BC ＝8,则此等腰梯形(de)周长为（ ）A. 19B. 20C. 21D. 22AB CDABDCEF ABCDEF3. 如图所示,AB ∥CD,AE ⊥DC,AE ＝12,BD ＝20,AC ＝15,则梯形ABCD(de)面积为（ ） A. 130 B. 140 C. 150 D. 160ABCDE4. 如图所示,在等腰梯形ABCD 中,已知AD ∥BC,对角线AC 与BD 互相垂直,且AD ＝30,BC ＝70,求BD(de)长.AB CD5. 如图所示,已知等腰梯形(de)锐角等于60°,它(de)两底分别为15cm 和49cm ,求它(de)腰长.AB CD6. 如图所示,已知等腰梯形ABCD 中,AD ∥BC,AC ⊥BD,AD ＋BC ＝10,DE ⊥BC 于E,求DE(de)长.ABCDE7. 如图所示,梯形ABCD 中,AB ∥CD,∠D ＝2∠B,AD ＋DC ＝8,求AB(de)长.ABCD8. 如图所示,梯形ABCD 中,AD ∥BC,（1）若E 是AB(de)中点,且AD ＋BC ＝CD,则DE 与CE 有何位置关系（2）E 是∠ADC 与∠BCD(de)角平分线(de)交点,则DE 与CE 有何位置关系AB CDE。
全等梯形问题中常见的8种辅助线的作法(有答案解析)
全等梯形问题中常见的8种辅助线的作法(有答案解析)梯形是一种四边形，其中两条边是平行而另外两条边不平行。
在解决全等梯形问题时，我们可以使用一些辅助线的方法来简化问题并找到解答。
以下是常见的8种辅助线的作法，每种方法都附有答案解析。
1. 垂直辅助线法：垂直辅助线法是最基本的辅助线作法之一，它通过引入垂直辅助线来将梯形划分为上下两个小三角形或小梯形，并利用全等三角形的性质来解题。
2. 高度辅助线法：高度辅助线法通过引入高度辅助线来找到梯形的高，并利用相似三角形的性质来解题。
3. 中位线辅助线法：中位线辅助线法通过引入中位线辅助线来将梯形划分为两个全等的平行四边形，并利用平行四边形的性质来解题。
4. 对角线辅助线法：对角线辅助线法通过引入对角线辅助线来将梯形划分为两个全等的三角形，并利用全等三角形的性质来解题。
5. 平行边辅助线法：平行边辅助线法通过引入平行边辅助线来将梯形划分为两个全等的梯形，并利用梯形的性质来解题。
6. 外接圆辅助线法：外接圆辅助线法通过引入外接圆辅助线来找到梯形的外接圆，并利用外接圆的性质来解题。
7. 中心对称辅助线法：中心对称辅助线法通过引入中心对称辅助线来将梯形划分为两个全等的三角形，并利用全等三角形的性质来解题。
8. 连接线辅助线法：连接线辅助线法通过引入连接线辅助线来划分梯形并利用形成的图形的性质来解题。
这些辅助线的作法可以帮助我们在解决全等梯形问题时更简单而有条理地进行推导和解答。
通过灵活运用这些方法，我们可以提高解决问题的效率和准确性。
请注意：本文档中的答案解析仅供参考，具体解答的正确性应根据实际情况进行确认。
最新梯形常见辅助线作法(教师版)
梯形常见辅助线作法11、平移法2（1）梯形内平移一腰(过一顶点做腰的平行线)3［例1］如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，∠C＝60°，AD＝15cm，4BC＝49cm，求CD的长．5解：过D作DE∥AB交BC于E，则四边形ABED为平行四边形．6∴AD＝BE＝15cm，AB＝DE．7∴EC＝BC－BE＝BC－AD＝49－15＝34cm．8又∵AB＝CD，∴ DE＝CD．9又∵∠C＝60°，10∴△CDE是等边三角形，11即CD＝EC＝34cm．12（2）梯形外平移一腰(过一顶点做腰的平行线)13［例2］如图,在梯形ABCD中，AB∥CD，四边形ACED是平行四边形，延长DC交BE于F. 求14证：EF=FB15证明：过点B作BG∥AD,交DC的延长线于G16∴四边形ABGD是平行四边形∴AD=BG17∵ACED中，AD∥CE AD=CE18∴CE∥BG且CE=BG ∴∠CEF=∠GBF 19又∵∠CFE=∠GFB20∴△ECF≌△BGF( ASA)21∴EF=FB22 AD CEFB点评：过梯形上底或下底的一个端点作另一腰的平行线，可将梯形转化为一个平行四边形23和三角形。
24（3）梯形内平移两腰：利用梯形中的某个特殊点，过此点作两腰的平行线，把两腰转化到25同一个三角形中。
26［例3］如图，已知：梯形ABCD中，AD∥BC，27∠C+∠B=90°，M，N分别是AD，BC的中点．28求证：MN＝1() 2BC AD29证明：过点E分别作AB、CD的平行线，交BC于点G、H ,30则四边形ABGE,EDCH为平行四边形∴AE=BG，ED=HC31∵AB∥EG ∴∠B=∠EGF32又∵DC∥EH ∴∠C=∠EHF33则∠EGH＋∠EHG=∠B＋∠C=90°，△EGH是直角三角形34∵E、F分别是AD、BC的中点∴AE=ED，BF=CF ∴GF=FH 35则有EF=12GH=12(BC-BG-HC)=12(BC-AD)36（4）平移对角线(过一顶点做对角线的平行线）37[例4］求证：对角线相等的梯形是等腰梯形38已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线39求证：AB=DC40证明：过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E 41B B则四边形ACED 是平行四边形 ∴AC=DE42 ∵DE=AC=DB ∴∠DBC=∠E ∠ACB=∠E ∴∠DBC=∠ACB 43 又∵BD=CA BC=CB ∴△ABC ≌△DCB(SAS) 44 ∴AB=DC45 点评：过梯形的一个顶点作对角线的平行线，将对角线的有关条件转化到一个三角形中。
梯形中常用添加辅助线的方法
梯形中常用添加辅助线的方法1.作高：过梯形的顶点作底边上的高线，把梯形问题转化为矩形或直角三角形来解决；例1、已知等腰梯形的上底长为5cm，腰长为7 cm，下底角为600，求这个梯形的周长和面积。
练习：在梯形ABCD中，AB=CD，AD∥BC。
求证：AC2=AB2+BC·AD。
2.平移腰：通过平移梯形的一腰或两腰，使梯形问题转化为平行四边形或三角形来解决；例2、在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B+∠C=900，E、F分别是AD和BC边上的中点，求证：EF=（BC-AD）/2。
练习：在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=800，∠C=500，求证：AB=BC-AD。
3.延长两腰：延长梯形的两腰相交于一点，使梯形问题转化为三角形来解决；例3、等腰梯形ABCD，AD∥BC，∠B=600，AD=15，AB=45，求BC的长。
练习：梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠C。
求证：AB=CD。
4.平移对角线：平移其中的一条对角线，使梯形问题转化为直角三角形来解决，此法适合于已知对角线互相垂直的问题；例4、等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，且AC⊥BD，CH是高，求证：AB+CD=2CH。
练习：在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，对角线AC、BD互相垂直，GD⊥BC于G，EF是中位线。
求证：EF=DG。
5.连对角线：连结对角线，将梯形问题转化为平行四边形或三角形来解决；例5、梯形ABCD中，AD=BC，AB∥CD，延长AB到E，使BE=DC，连结AC、CE，求证：AC=CE。
6.取腰的中点：有一腰的中点时，往往取另一腰的中点构成梯形的中位线；例6、梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD+BC，M为CD的中点。
求证：AM、BM平∠分DAB、∠CBA。
7.连结上底与一腰中点并延长与下底的延长线相交，借助于得到的三角形解决梯形问题；例7、梯形ABCD中，AB∥CD，E是腰AD的中点，且AB+CD=BC。
梯形辅助线
《梯形辅助线》专题班级 姓名天下没有不散的筵席。
解决梯形问题常用的方法：（1）“平移腰”：把梯形分成一个平行四边形和一个三角形（图1）；（2）“作高”：使两腰在两个直角三角形中（图2）；（3）“平移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中（图3）；（4）“延腰”：构造具有公共角的两个等腰三角形（图4）；（5）“等积变形”，连结梯形上底一端点和另一腰中点，并延长与下底延长线交于一点，构成三角形（图5）．图1 图2 图3 图4 图51、如图，已知在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠D=60°，∠C=45°，AB=2，AD=4，求梯形ABCD 的面积．2、在梯形ABCD 中，AD//BC ，AB=DC=AD=2， BC=4，求∠B 的度数及AC 的长。
A BC D腰梯形的周长。
DAB C4、如图所示，AB∥CD，AE⊥DC，AE＝12，BD＝20，AC＝15，求梯形ABCD的面积。
A BCDE5、如图所示，在等腰梯形ABCD中，已知AD∥BC，对角线AC与BD互相垂直，且AD＝30，BC＝70，求BD的长.DAB C6、如图所示，已知等腰梯形的锐角等于60°，它的两底分别为15cm和49cm，求它的腰长.ADB CA D E 于E ，求DE 的长.A B CDE8、已知：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC ，∠BAD 、∠CDA 的平分线AE 、DF 分别交直线BC 于点E 、F ．求证： CE=BF ．9、如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，9038BD CD BDC AD BC =∠===，°，，．求AB 的长．10、如图6，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，90A ∠=︒，︒=∠45C ，DE=EC ，AB=4,AD=2，求BE 的长．11、已知：如图，梯形ABCD 中，DC ∥AB ，AD=BC ，对角线AC 、BD 交于点O ， ∠COD=60°，若CD=3，AB=8，求梯形ABCD 的高．12、已知如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD=2，BC=DC=5，点P 在BC 上移动，则当PA+PD 取最小值时，△APD 中边AP 上的高为 .13、如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，10CD BC ==，21AB =，9AD =．求AC 的长．B C D OA12题图。
梯形的中位线和常用辅助线[下学期]
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梯形的常用辅助 线的研究 梯形的中位线的研究
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开动脑筋
在 梯 形 中 常 用 的 作 辅 助 线 方 法
平移腰
作 高
补为三角形
平移对角线 其他方法
灵 活 应 用
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∴ OB=AB= 4，OC=CD=11
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∴ BC=OC-OB=7
例2：已知，梯形ABCD中，AD∥BC，E是腰AB的中点，
DE ⊥CE, 求证： AD+BC=CD。 A 证明：（一）延长DE交CB延长线于F D ∵在梯形ABCD中AD//B ,∠A= ∠ ABF
OF是梯形ABCD 的中位线 OF
∥
AD=CE
AD+BC=BC+CE=BE
OF
1 （AD+BC） 且OF ∥AD∥ BC 新世纪教 2 需要更完整的资源请到 育网 -
AO=OE F是AB中点
1 2
BE
梯形的中位线平行于两底， 并且等于两底和的一半·
A
2
D
2 3
B
3
3 2
45 °
60°
C
3
E E`
3
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三 .反馈练习
（一）、填空：
1. 梯形的上底是3cm，中位线长是5cm，则它的下底是 7 cm. 2. 直角梯形的上底是3cm，高是4cm，一个底角为45度，则与底不垂 60 cm. 直的腰长为 3. 等腰梯形上底是4cm，下 底是16cm，腰与底夹角为45度，则等腰 梯形的面积为 4√2 cm 2 （二）、选择题： 1. 梯形中位线的长是高的2倍，面积是18cm ，则梯形的中位线的长 是（ B ）. （A）6√2 cm （B）6 cm （C）3√2 cm （D） 3 cm 2. 如图，直角梯形ABCD的中位线EF的长为a，垂直于底的 腰长 AB 为b， 图中阴影部分的面积为（ A ）. A D
第8课时：梯形的性质与判定培优
梯形的性质与判定教学目标：①梯形的性质与判定；②梯形的面积；③梯形中常见的辅助线的做法；④梯形与全等变换；⑤梯形中线段与角度的计算；⑥梯形与操作探究； 教学过程：一、梯形中常见的辅助线的做法：例：如图，在梯形ABCD 中，A D ∥BC ，AB=DC ，AE ⊥BC ，求证：BE=21（BC-AD ）练习：1、 如图，在梯形ABCD 中，A D ∥BC,AD=6，AB=7，BC=8，求CD 的取值范围。
A B C DE AB C D EAB CDE AB C DEABCD EF F A B D C E A B D C A B DCEF GFG FA BD CE A BDC EA BDC E ABDCEA B C D EA B C D2、 如图，在直角梯形ABCD 中，∠B=∠C=90°，M 为BC 上的一点，MA=MD,且∠AMB=75°, ∠DMC=45°，求证：AB=BC3、 如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，M 、N 分别是CD 、AB 的中点，∠A+∠B=90°求证：MN=21(AB-CD)4、 如图，梯形ABCD 中，AM 、BM 分别平分∠DAB 、∠CBA ，交点M 在CD 上， 求证：M 为CD 中点。
（注意变式习题）二、梯形与面积：例：如图，在梯形ABCD 中，A D ∥BC,E 是CD 的中点，EF ⊥AB 于F 点，AB=6，EF=5，求梯形ABCD 的面积。
解析：梯形的面积问题有以下几种解决途径：①直接法：S 梯形=21h(a+b)；②S 梯形=中位线 高；③若梯形对角线垂直，S 梯形=21对角线乘积； ④过腰中点，转化为同面积的三角形；⑤过腰中点，转化为同面积的平行四边形；此题可以转化为等面积的三角形，平行四边形，直角梯形 练习：1、 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=DC=3，AB=4，BC=8，求梯形ABCD 的面积。
添加辅助线巧化梯形
添加辅助线巧化梯形【关键词】梯形辅助线转化初中数学新课标要求学生能够证明和解答一些几何问题。
但几何图形变化无穷、复杂多变，给学生带来不少的困扰。
有时因为一条辅助线没有作好而功亏一篑；有时也会因为作好一条辅助线而使问题简单化，达到四两拨千斤的效果。
人教版初中数学八年级《梯形》这一节内容，教材内容比较少，图形既空又杂，因此，作好辅助线是学好梯形的关键。
下面笔者从教学实践中谈谈如何在梯形中作辅助线：首先我们来看看梯形常见的几种辅助线的作法（见下表）：一、平移，构平行四边形和三角形1.平移一腰例1 如图1所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝10，AD＝4，BC＝15.求CD的取值范围。
【评注】在梯形当中作平行于一腰的直线可以把梯形转化为学生熟知的平行四边形和三角形，通过平行四边形的性质、三角形三边的关系及直角三角形锐角三角函数和勾股定理就可以求解。
2.平移两腰例3 如图3所示，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B＋∠C=90°，AD=1，BC=3，E、F分别是AD、BC的中点，连接EF，求EF的长。
【分析】过点E分别作AB、CD的平行线，交BC于点G、H，得到Rt△GEH，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出EF。
解：过点E分别作EG∥AB、EH∥CD，交BC于点G、H，可得∠EGH＋∠EHG=∠B＋∠C=90°∴△GEH是直角三角形∵E、F分别是AD、BC的中点∴AE=DE，BF=CF∵EG∥AB、EH∥CD，AD//BC∴四边形ABGE和四边形EHCD是平行四边形【评注】作平行于两腰的直线可以充分利用梯形两个底角互余的关系，构出直角三角形，利用在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半则可求解。
3.平移对角线例4 如图4所示，在梯形ABCD中，AD//BC，对角线AC⊥BD，且AC=5cm，BD=12cm，求梯形中位线的长。
【分析】过点C作CF//BD交AB的延长线于点F，可知四边形DBFC 是平行四边形，这样两底的和就等于AF，只需在Rt△ACF中求出斜边AF，梯形的中位线就等于它的一半。
辅助线(补形法)
辅助线（补形法）一些几何题的证明或求解，由原图形分析探究，有时显得十分繁难，若通过适当的“补形”来进行，即添置适当的辅助线，将原图形填补成一个完整的、特殊的、简单的新图形，则能使原问题的本质得到充分的显示，通过对新图形的分析，使原问题顺利获解。
这种方法，我们称之为补形法，它能培养思维能力和解题技巧。
我们学过的三角形、特殊四边形、圆等都可以作为“补形”的对象。
现就常见的添补的图形举例如下，以供参考。
一、补成三角形1.补成三角形例1.如图1，已知E为梯形ABCD的腰CD的中点；证明：△ABE的面积等于梯形ABCD面积的一半。
分析：过一顶点和一腰中点作直线，交底的延长线于一点，构造等面积的三角形。
这也是梯形中常用的辅助线添法之一。
证：2.补成等腰三角形例2 如图2.已知∠A＝90°，AB＝AC，∠1＝∠2，CE⊥BD，求证：BD＝2CE分析：因为角是轴对称图形，角平分线是对称轴，故根据对称性作出辅助线，不难发现CF＝2CE，再证BD＝CF即可。
证：3.补成直角三角形例3.如图3，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＋∠C＝90°，F、G分别是AD、BC的中点，若BC＝18，AD＝8，求FG的长。
分析：从∠B、∠C互余，考虑将它们变为直角三角形的角，故延长BA、CD，要求FG，需求PF、PG。
解：图34.补成等边三角形例4.图4，△ABC是等边三角形，延长BC至D，延长BA至E，使AE＝BD，连结CE、ED。
证明：EC＝ED分析：要证明EC＝ED，通常要证∠ECD＝∠EDC，但难以实现。
这样可采用补形法即延长BD到F，使BF＝BE，连结EF。
证：二、补成特殊的四边形1.补成平行四边形例5.如图5，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点，并且E、F、G、H 不在同一条直线上，求证：EF和GH互相平分。
分析：因为平行四边形的对角线互相平分，故要证结论，需考虑四边形GEHF是平行四边形。
八年级数学梯形中常见辅助线
2．在梯形ABCD中，AB∥DC，AD＝BC，
AB=1，DC=5，AC⊥BD，BE⊥CD，则
梯形的面积=
．
AB
D
CF
E
3．如图,在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F 分别是AD、BC的中点,∠B+∠ 90°， 请说明EF= （BC-A1D）．
2
AE D
BG
F
HC
教学反思：
你能总结梯形中常见辅助线吗？
梯形中常见辅助线
例题精讲
1.如图,在梯形ABCD中，AD∥BC，
∠B＝70°，∠C＝40°，
求证:CD＝BC－AD.
E
A
D
A
D
B
CB
F
C
延长两腰,将梯形转化成三角形.
A
D
B
F
C
平移一腰,梯形转化成:平行四边形和 三角形.
２．如图,在梯形ABCD中，AD∥BC，
AB＝DC＝AD＝5，BC＝11；求梯形
⒊如图,在梯形ABCD中，AD∥BC，E是DC 的中点，EF⊥AB于点F．
求证：S梯形ABCD=AB×EF．
AD F
E
B
CG
平移底,梯形转化成:三角形.
⒋如图,等腰梯形ABCD中，AD∥BC,
AC⊥BD， AD+BC=10，DE⊥BC于E，求DE
的长．
A
D
B
E CF
平移对角线,将梯形转化成：
平行四边形、三角形.
ABCD的面积．
A
D
BE
FC
作梯形的高,梯形转化成:长方形和 直角三角形.
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写内容必须在话题范围之内，立意自定，文体自选，题目自拟，不少于800字
梯形问题中如何添加辅助线
、（／ ｘ３ ／Ｘ ＋ ／ － Ｖ ￣ － ６ －
＋１ ．
）： ， ：
、 （一 ／ ）：一 ／ ， ／４ 、了 ４ 、了
１ ＝２ １ １
所 以 １ｂ ３ 、 了 ． ，＝ 一 ／
所 以
一
所以６ 、百 一． ＝／ ２
所 以 一 １ 一
一
１． ８
四 、 算值 法 估
解： 因分是。 ／ １、 ，小数部分是ｂ那 ，
、 ／ （
一
亍一／ 、
） ， ：
么求
＋
舱
所以０ 、 一． ＝／ １
又因为、 ／
：
解： 因为ｘ２ 一 ／ ＝／ ｚ 、了 ＋ 、了 ） ／ １、 、４ ８ ／ （／ 一
２ ２年 ６ 月 ０１
关于整数 部分 ＼ 小数部分求
⑧黑龙 江 省肇 源 县三 站 中学 张 生
求 无 理 式 的整 数 部 分 、 数 部 分 是 经 常 出 现 的 问 题 ， 人 通 小 本
过 多 年 的 教 学 感 到 此 类 问题 可 以从 以下 几 方 面进 行 ．
一
所 以 ＡＢ Ｍ为 等 腰 三 角 形 ． 因 为 ＭＥ Ｃ 所 以Ｂ Ｃ 又 ＝ Ｅ， Ｅ上Ｃ ， Ｍ
即Ｃ Ｅ上ＢＥ ．
例５ 在 梯形Ａ Ｃ Ｂ Ｄ中 ， ／ＡＢ， Ｂ ，若ＡＤ ５ Ｃ ２ ＤＣｌ ＡＤ＝ Ｃ ＝ ，Ｄ＝ ，
ＡＢ ８ 求 梯 形ＡＢ Ｄ 面 积． ＝， Ｃ的
小结 ： 在梯形 中 ， 只要有腰上 的中点 ， 采用过 中点构造全等
解： 通过作高Ｄ Ｃ 把这个梯形 分割成两个全等的直角三 Ｅ、Ｆ，
三 角形 ， 从而把上 下底之和 与另一条腰集 中在一个 三角形 中 ， 而
梯形中常见的辅助线
梯形中的常见辅助线ABCD 中，/ A = 90°, AB// DC , At > 15, AB= 16, BC = 17.求 CD 的长.例2如图，梯形ABCD 的上底AB=3,下底CD=8腰AD=4,求另一腰BC 的取值范围。
2、平移两腰：例3如图，在梯形 ABCD 中, AD//BC ,/ B +Z C=90°, AD=1, BC=3 E 、F 分别是 AD BC 的中点，连接EF,求EF 的长。
一、平移1、平移一腰:B例1.如图所示，在直角梯形B G F ft C3、平移对角线:例4、已知：梯形ABCD中, AD//BC, AD=1, BC=4 BD=3 AC=4,求梯形ABCD的面积.例5 女口图,在等腰梯形ABCD中, AD//BC, AD=3 BC=7 BD=5.2 ,求证：AC丄BD。
例6 如图，在梯形ABCD中, AD//BC, AC=15cm BD=20cm 高DH=12cm 求梯形ABCD的面积。
二、延长即延长两腰相交于一点，可使梯形转化为三角形。
例7 如图，在梯形ABCD中, AD//BC ,Z B=50°,Z C=80°, AD=2 BC=5 求CD的长。
£I例8.如图所示，四边形 ABCD 中，AD 不平行于BC, AC= BD, AD= BC.判断四边形 ABCD 的形状，并证明 你的结论.2、作两条高例 11、在等腰梯形 ABCD 中, AD//BC , AB=CD Z ABC=60 , AD=3cm BC=5cm 求：（1）腰AB 的长；⑵ 梯形ABCD 的面积.三、作对角线即通过作对角线，使梯形转化为三角形。
例 9 女口图 6，在直角梯形 ABCD 中, AD//BC , AB1 AD, BC=CD BE ± CD 于点 E ,求证：AD=DE四、作梯形的高1、作一条高例10如图，在直角梯形ABCD 中, AB//DC ,/ ABC=90 , AB=2DC 对角线 AC 丄 BD 垂足为 F ,过点 F 作EF//AB ，交AD 于点E ,求证：四边形 ABFE 是等腰梯形。
梯形中常见的辅助线(含答案)
梯形中常见的辅助线内容基本要求略高要求较高要求梯形会识别梯形、等腰梯形：了解等腰梯形的性质和判定.掌握梯形的槪念，会用等腰梯形的性质和判定解决简单问题.例我们可以看到，梯形本身的性质并不多，所以实际解梯形的问题时，往往通过添加辅助线将梯形分成三角形或平行四边形，三角形是最简单的直线形，而平行四边形具有很好的对称性质•下而给出几个常见的添加辅助线的方法.1.作梯形的高：一般是过梯形的一个顶点作高，英好处是将梯形分成一个直角三角形和一个直角梯形，从而可以用勾股;4^理，如果过梯形的两个顶点分别作高•则会出现矩形•2.过梯形的一个顶点作另一腰的平行线：这样便将梯形分成了一个平行四边形和一个三角形，这样做的好处是可以将两条腰拉到同一个三角形中，并且三角形的另一条边恰好是梯形的两底之差，从而将问题集中到三角形中•3.延长梯形的两腰交于一点：这样做可以同样地使问题转化为三角形的问题.4.过梯形一腰的中点作另一腰的平行线：可以将梯形等积变换成一个平行四边形.5.连接梯形一个顶点和另一腰上的中点并延长交另一底边：可以将梯形等积变换成一个三角形.常见的辅助线添加方式如下:梯形中的辅助线较多，其实质是采用割补法将梯形问题划归为三角形、平行四边形问题处理.解题时要根据题目的条件和结论来确总作哪种辅助线.常见辅助线1.梯形问题通常是通过分割和拼接转化为三角形或平行四边形，英分割拼接的方法有如下几种（如图）:1,把梯形分成一个平行四边形和一个三角形（图1所示）:【答案】（1）作一腰的平行线； （2）作另一底边的垂线： （3）作对角线的平行线:（4）交于一点：（5）对称中心： （6）对称轴.【例1】 等腰梯形ABCD 中，AD//BC,若AD=3, AB=4・ BC=7,则ZB= 【答案】60° 如图，直角梯形ABCD 中，AB//CD. CB 丄AB, △ABD 是等边三角形，若AB=2,则BC=在梯形ABCD 中，AD//BC. AD=5, BC=7.若E 为DC 的中点，対线交BC 的延长线于F 点，则BF= •梯形ABCD 中.AD//BC,若对角线AC 丄BD ■且AC=5cm. BD=12cm,则梯形的而积等于（（1）平移一腰，即从梯形的一个顶点（2）从同一底的两端. ,把梯形分成一个矩形和两个宜角三角形（图2所示）;（3）平移对角线，即过底的一端图2，可以借助新得的平行四边形或三角形来研究梯形（图3所示）:（4）延长梯形的两腰.图3,得到两个三角形，如果梯形是等腰梯形，则得到两个等腰三角形（图4所示）:（5）以梯形一腰的中点为.图4,作某图形的中心对称图形（图5、图6所（6）以梯形一腰为.图5 图6,作梯形的轴对称图形（图7所【例2】【答案】 73【例3】【答案】 12 【例4】 A. 30cw- B. 60CW' C- 90cm~2D- } 69 cm-【例10】如图，等腰梯形ABCD 中，AB//CD.对角线AC 平分Z BAD, ZB=60。
八年级人教版19.3梯形常用辅助线课件
A
4
B
2
解：（平移腰） 过B作BE∥AD交DC于E
则∠ 1= ∠ D=70°, ∵AB//CDDE=AB=4
70°
40° 11
D
E
7
∵△BCE中， ∠ C=40°∠1=70° C ∴ ∠ 2= ∠1= 70 °
分析: ∠D =70 °, ∠∴CB=CE=CD─DE=11—4=7(cm) C=40° 在一个三角形中结果会如何? 如何才能在一个三角形中?
例2：已知，梯形ABCD中，AD∥BC，E是腰AB的中点，
DE ⊥CE, 求证： AD+BC=CD。 A 证明：（一）延长DE交CB延长线于F D ∵在梯形ABCD中AD//B ,∠A= ∠ ABF
E
∴ AE=BE,∠A= ∠ ABF,∠ AED= ∠ BEF ∴ ΔADE≌ΔBFE
F B
C ∴ DE=FE，AD=BF
如图，直角梯形ABCD的中位线EF的长为a，垂直于底的 腰长 AB 为b， 图中阴影部分的面积为（ A ）.
A D
（A）ab/2 （C） （ a+b）/2
（B） ab （D） ab/4
E B
F C
（三）、如图,梯Biblioteka ABCD中, AD∥BC, ∠B=60 °, ∠ C=45 AB= 2 3 , AD=2,求梯形周长.
F
B
C
变式2：已知，梯形ABCD中，AD∥BC，E是腰AB的中点， DE平分∠ADC，CE平分∠BCD, 求证： AD+BC=CD, DE ⊥CE
A
E
D
F
B
C
已知，梯形ABCD中，AD∥BC，E是腰AB的中点， DE ⊥CE, 求证： AD+BC=CD。
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梯形常用辅助线例析
河南李丰先
由于梯形两腰具有不平行性的特殊性，所以在解决梯形有关问题时，常常通过作辅助线的方法将其分割为三角形、平行四边形、矩形等，从而把梯形问题转化为较为简单的问题。
梯形常用的辅助线做法有平移一腰、平移一条对角线、作高、延长两腰等。
如图
例1如图⑴所示，等腰梯形ABCD中，AD// BC , BD平分/ ABC
⑴试说明AB=AD
.⑵若AD=2，/ C=60°求梯形ABCD的周长
解：⑴t BD平分/ ABC
•••/\BD= / DBC z?\
•AD // BC
•丄 DBC= / ADB
•/ ABD= / ADB
--AB=AD
⑵过D 作DE // AB交BC于E ''
t AD // BC,AB=CD, /-Z ABC= / C=60°
t DE // AB, /Z DEC= Z ABC=60°
/Z DEC= Z C=600
DEC是等边三角形，故EC=CD= DE
t AD // BC，DE // AB
/四边形ABED是平行四边形，
由⑴知AB=AD
/ 四边形ABED 是菱形，•/ AB= BE = DE = AD =2
/ EC=CD= DE =2
/ 梯形ABCD 的周长=AD+DC+BC+AB=AD+DC+CE+EB+AB=10
点拨：本题通过平移一腰，将梯形切割为一个平行四边形(菱形)和一个等边三角形, 这是一种常用的方法，是梯形、平行四边形、三角形的综合。
例2如图⑵铁路基横断面为等腰梯形ABCD，已知路基底
宽AB=6m 斜坡BC与下底CD的夹角为45°，路基高2m 求下. _________
底CD的宽
解：作AE丄CD于E，BF丄CD于F，
/ BF // AE又t AB // CD
/四边形ABFE为矩形，且AB=EF
t四边形ABCD是等腰梯形BC=AD BCF与厶ADE重合
故CF=DE
又tZ C=450 故BF=CF=DE / CD=CF+EF+DE=2+6+2+10 ( m)
点拨：梯形的铁塔、梯形的路基、梯形的横断面都是现实生活中常见的形状，常常从同一底的两个顶点向另一底作垂线，这样可以把梯形转化为两个直角三角形和一个矩形，使问题得以解决。
例3如图⑶等腰梯形ABCD中，AD// BC，AB=CD 对角线AC丄BD，AD=4c m，BC=10 cm求梯形ABCD的面
解：过点D 作DF // AC 交BC 的延长线于F ,作DE 丄BC 交BC 于E •••四边形ACFD 是平行四边形 二DF=AC,CF=AD=4
••• AC 丄 BD,AC // DF
•••/ BDF= / BOC=90°
••• AC=BD 二 BD=DF /• BF=BC+CF=14
丄
DE= "2 BF=7
点拨：过梯形的一个顶点平移一条对角线 ，可以把梯形转化成平行四边形，
从而使问题得到解决 例4如图⑷，已知等腰梯形 ABCD 的中位线EF 的长为6, 腰AD 的长为5,求该等腰梯形的周长
解：过点F 作MN// AD 交AB 于M ，交DC 的延长线于N
••• MN // AD ，DN // AM
•四边形AMND 为平行四边形，• AD=MN ，DN=AM
又 v CF=FB ，Z N=Z FMB ，/ B= / FCN
• △ FMB 与厶FNC 关于点F 成中心对称
• BM=CN,FM=FN
又 v ED=EA,且 AD=MN
• DE 平行且等于FN
同理可得EF=AM=A B - MB
• 2EF=DC+CN+ABMB=DC+AB
•周长=DC+ AB+AD+BC=2EF+2AD=EF+AD =22
点拨：EF 是等腰梯形的中位线，即E 、F 分别是腰AD BC 的中点，
作另一腰的平行线, 就可以把梯形转化为平行四边形和三角形，使问题得以解决。
丄 •- S 梯形 ABCD = 2 2
(4+10 )X 7=49 ( Cm )。