相似三角形典型模型及例题

1：相似三角形模型一：相似三角形判定的基本模型
（一）A字型、反A字型（斜A字型）
B
（平行）（不平行）
（二）8字型、反8字型
B
C
B
C（蝴蝶型）
（平行）
（不平行）
（三）母子型
B
（四）一线三等角型：
三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景，一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示：
（五）一线三直角型：
三直角相似可以看着是“一线三等角”中当角为直角时的特例，三直角型相似通常是以矩形或者正方形形为背景，或者在一条直线上有一个顶点在该直线上移动或者旋转的直角，几种常见的基本图形如下：
当题目的条件中只有一个或者两个直角时，就要考虑通过添加辅助线构造完整的三直角型相似，这往往是很多压轴题的突破口，进而将三角型的条件进行转化。

（六）双垂型：
C
A
D
二：相似三角形判定的变化模型
旋转型：由A字型旋转得到8字型拓展
C
B E
D
A
共享性
一线三等角的变形
G
A
B C
E F
一线三直角的变形
2：相似三角形典型例题
（1）母子型相似三角形
例1：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，BE∥CD交CA延长线于E．求证：OE
OA
OC⋅
=
2．
例2：已知：如图，△ABC中，点E在中线AD上, ABC
DEB∠
=
∠．
求证：（1）DA
DE
DB⋅
=
2；（2）DAC
DCE∠
=
∠．
例3：已知：如图，等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，CG∥AB，BG分别交AD、AC于E、F．求证：EG
EF
BE⋅
=
2．
1、如图，已知AD为△ABC的角平分线，EF为AD的垂直平分线．求证：FC
FB
FD⋅
=
2．
A C
D
E
B
2、已知：AD 是Rt △ABC 中∠A 的平分线，∠C=90°，EF 是AD 的垂直平分线交AD 于M ，EF 、BC 的延长线交于一点N 。

求证：(1)△AME ∽△NMD; (2)ND 2
=NC·
NB
3、已知：如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，E 是AC 上一点，CF ⊥BE 于F 。

求证：EB·DF=AE·
DB
4.在∆ABC 中，AB=AC ，高AD 与BE 交于H ，EF BC ⊥，垂足为F ，延长AD 到G ，使DG=EF ，M 是AH 的中点。

求证：∠=︒GBM 90
G
M
F E
H
D
C
A
5 已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =2，AC =4，P 是斜边AB 上的一个动点，PD ⊥AB ，交边AC 于点D （点D 与点A 、C 都不重合），E 是射线DC 上一点，且∠EPD =∠A ．设A 、P 两点的距离为x ，△BEP 的面积为y ．（1）求证：AE =2PE ； （2）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域； （3）当△BEP 与△ABC 相似时，求△BEP 的面积．
B
P
D E
（2）双垂型
1、如图，在△ABC 中，∠A=60°，BD 、CE 分别是AC 、AB 上的高 求证：（1）△ABD ∽△ACE ；（2）△ADE ∽△ABC ；(3)BC=2ED
2、如图，已知锐角△ABC ，AD 、CE 分别是BC 、AB 边上的高，△ABC 和△BDE 的面积分别是27和3，DE=62，求：点B 到直线AC 的距离。

C
（3）共享型相似三角形
1、△ABC 是等边三角形，DBCE 在一条直线上,∠DAE=120°,已知BD=1，CE=3，求等边三角形的边长.
2、已知：如图，在Rt △ABC 中，AB =AC ，∠DAE =45°．
求证：（1）△ABE ∽△ACD ； （2）CD BE BC ⋅=22．
C
(4)一线三等角型相似三角形
例1：如图，等边△ABC 中，边长为6，D 是BC 上动点，∠EDF =60° （1）求证：△BDE ∽△CFD
（2）当BD =1，FC =3时，求BE
例2：（1）在ABC ∆中，5==AC AB ，8=BC ，点P 、Q 分别在射线CB 、AC 上（点P 不与点C 、
A
E
F
点B 重合），且保持ABC APQ ∠=∠.
①若点P 在线段CB 上（如图），且6=BP ，求线段CQ 的长；
②若x BP =，y CQ =，求y 与x 之间的函数关系式，并写出函数的定义域；
（2）正方形ABCD 的边长为5（如下图），点P 、Q 分别在直线．．CB 、DC 上（点P 不与点C 、点B 重合），且保持︒=∠90APQ .当1=CQ 时，求出线段BP 的长.
例3：已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＜BC ，且AD ＝5，AB ＝DC ＝2． （1）如图8，P 为AD 上的一点，满足∠BPC ＝∠A ．
①求证；△ABP ∽△DPC ②求AP 的长．
（2）如果点P 在AD 边上移动（点P 与点A 、D 不重合），且满足∠BPE ＝∠A ，PE 交直线BC 于点E ，同时交直线DC 于点Q ，那么
①当点Q 在DC 的延长线上时，设AP ＝x ，CQ ＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域； ②当CE ＝1时，写出AP 的长．
C
例4：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，6AB CD BC ===，3AD =．点M 为边BC 的中点，以M 为顶点作EMF B ∠=∠，射线ME 交腰AB 于点E ，射线MF 交腰CD 于点F ，联结EF ． （1）求证：△MEF ∽△BEM ；
（2）若△BEM 是以BM 为腰的等腰三角形，求EF 的长； （3）若EF CD ⊥，求BE 的长．
A
B
C P
Q
A
B C
D
C
A
B C
D
A
B
C
1、如图，在△ABC 中，8==AC AB ，10=BC ，D 是BC 边上的一个动点，点E 在AC 边上，且
C ADE ∠=∠．
(1) 求证：△ABD ∽△DCE ；
(2) 如果x BD =，y AE =，求y 与x 的函数解析式，并写出自变量x 的定义域； (3) 当点D 是BC 的中点时，试说明△ADE 是什么三角形，并说明理由．
2、如图，已知在△ABC 中， AB =AC =6，BC =5，D 是AB 上一点，BD =2，E 是BC 上一动点，联结DE ，并作DEF B ∠=∠，射线EF 交线段AC 于F ．
（1）求证：△DBE ∽△ECF ；
（2）当F 是线段AC 中点时，求线段BE 的长；
（3）联结DF ，如果△DEF 与△DBE 相似，求FC 的长．
F
B
C
D
3、已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＜BC ，且BC =6，AB =DC =4，点E 是AB 的中点．
（1）如图，P 为BC 上的一点，且BP =2．求证：△BEP ∽△CPD ； （2）如果点P 在BC 边上移动（点P 与点B 、C 不重合），且满足∠EPF =∠C ，PF 交直线CD 于点F ，
同时交直线AD 于点M ，那么
①当点F 在线段CD 的延长线上时，设BP =x ，DF =y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定
义域； ②当BEP DMF S S ∆∆=
4
9
时，求BP 的长． A
B
C
D
E
4、如图，已知边长为3的等边ABC ∆，点F 在边BC 上，1CF =，点E 是射线BA 上一动点，以线段EF 为边向右侧作等边EFG ∆，直线,EG FG 交直线AC 于点,M N ， （1）写出图中与BEF ∆相似的三角形； （2）证明其中一对三角形相似；
（3）设,BE x MN y ==，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （4）若1AE =，试求GMN ∆的面积．
(5)一线三直角型相似三角形
例1、已知矩形ABCD 中，CD=2，AD=3，点P 是AD 上的一个动点，且和点A,D 不重合，过点P 作CP PE ⊥，交边AB 于点E,设y AE x PD ==,，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围。

E B
C
A
D
P
例2、在ABC ∆中，O BC AC C ,3,4,90===∠o
是AB 上的一点，且
5
2
=AB AO ，点P 是AC 上的一个动点，OP PQ ⊥交线段BC 于点Q ，（不与点B,C 重合），设y CQ x AP ==,，试求y 关于x 的函数关系，并写出定义域。

1.在直角ABC ∆中，
4
3
tan ,5,90===∠B AB C o
，点D 是BC 的中点，点E 是AB 边上的动点，DE DF ⊥E
D
C
B
A P
Q
B
P
F
A
B
E
交射线AC 于点F （1）、求AC 和BC 的长 （2）、当BC EF //时，求BE 的长。

（3）、连结EF ,当DEF ∆和ABC ∆相似时，求BE 的长。

F C
B
A
E
2.在直角三角形ABC 中，D BC AB C ,,90==∠o
是AB 边上的一点，E 是在AC 边上的一个动点，（与A,C 不重合），DF DE DF ,⊥与射线BC 相交于点F . (1)、当点D 是边AB 的中点时，求证：DF DE =
(2)、当
m DB
AD
=，求DF DE 的值
（3）、当2
1
,
6===DB AD BC AC ，设y BF x AE ==,,求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域 F
A
B
E
3.如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，3
tan 4
B =
，D 是BC 边的中点，E 为AB 边上的一个动点，作90DEF ∠=︒，EF 交射线BC 于点F ．设BE x =，BED ∆的面积为y ．
（1）求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；
（2）如果以B 、E 、F 为顶点的三角形与BED ∆相似，求BED ∆的面积.
4.如图,在梯形ABCD 中，CD AB , 3
4tan ,4,2=
==C AD AB ，P DAB ADC ,900
=∠=∠是腰BC 上F C
B
A
E
Q
P
D
C
B
A
一个动点(不含点B 、C ),作AP PQ ⊥交CD 于点Q .(图1) (1)求BC 的长与梯形ABCD 的面积； (2)当DQ PQ =时,求BP 的长；(图2)
(3)设y CQ x BP ==,,试求y 关于x 的函数解析式,并写出定义域.
Q
P
D C
B
A。