圆与三角函数(原卷版)

九年级数学下册解法技巧思维培优

专题16 圆与三角函数

题型一利用锐角三角函数值求有关线段的长

【典例1】（2019•碑林区校级模拟）如图，已知△OAB中，OA＝OB＝10，sin B=3

5，以点O为圆心，12为直径的⊙O交线段OA于点C，交直线OB于点E、D，连接CD，EC．

（1）求证：AB为⊙O的切线；

（2）在（l）的结论下，连接点E和切点，交OA于点F，求CF的长．

【典例2】（2019•碑林区校级一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，以AD是直径的⊙O交AC于点E，⊙O的切线EF交CD于点F，

（1）求证：EF⊥CD；

（2）若AC＝10，cos A=5

6，求线段DF的长．

【典例3】（2019•雨花区校级期中）已知：如图，在△OAB中，OA＝OB，⊙O经过线段AB的中点C与OB交于点D，且与BO的延长线交于点E，连接EC，CD．

（1）求证：直线AB与⊙O相切；

（2）若tan E=1

3，BD＝1，求⊙O半径的长度．

题型二利用圆中已知条件求锐角三角函数值

【典例4】（2019•长春模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E．

（1）求证：直线DE是⊙O的切线；

（2）若BC＝8，tan C=3

4，求tan∠DOE的值．

【典例5】（2019•荆门）已知锐角△ABC的外接圆圆心为O，半径为R．

（1）求证：AC

sinB

=2R；

（2）若△ABC中∠A＝45°，∠B＝60°，AC=√3，求BC的长及sin C的值．

【典例6】（2019•泗水二模）【问题学习】小芸在小组学习时问小娟这样一个问题：已知α为锐角，且sinα=

3

5，求sin2α的值．

小娟是这样给小芸讲解的：

如图①，在⊙O中，AB是直径，点C在⊙O上，所以∠ACB＝90°．设∠BAC＝a，则sin a=BC

AB

=35．易

得∠BOC＝2α．设BC＝3x，则AB＝5x……

【问题解决】

（1）请按照小娟的思路，利用图①求出sin2a的值．（写出完整的解答过程）

（2）已知，如图②，点M，N，P为O上的三点，且∠P＝β，sinβ=1

4，求sin2β的值．

巩固练习

1．（2019•海淀区期末）如图，AB是⊙O的弦，半径OE⊥AB，P为AB的延长线上一点，PC与⊙O相切于点C，CE与AB交于点F．

（1）求证：PC＝PF；

（2）连接OB，BC，若OB∥PC，BC＝3√2，tan P=3

4，求FB的长．

2．（2019•碑林区校级模拟）如图，在△ABC中，AC＝AB，以AB为直径的⊙O分别与BC．AC相交于点D，E，且，过D作DF⊥AC于F．

（1）求证：DF是⊙O的切线；

（2）若AD＝4，tan∠CDF=1

2，求⊙O的半径．

3．（2019•镇江）如图，在△ABC中，AB＝AC，过AC延长线上的点O作OD⊥AO，交BC的延长线于点D，以O为圆心，OD长为半径的圆过点B．

（1）求证：直线AB与⊙O相切；

（2）若AB＝5，⊙O的半径为12，则tan∠BDO＝．

4．（2019•思明区质检）如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，AE⊥AB交BC于点D，交⊙O于点E，F在DA的延长线上，且AF＝AD．若AF＝3，tan∠ABD=34，求⊙O的直径．

5．（2019•长宁区一模）如图，AB是圆O的一条弦，点O在线段AC上，AC＝AB，OC＝3，sin A=3 5．

求：（1）圆O的半径长；

（2）BC的长．

6．（2019•武昌区模拟）如图1，△ABC是等腰三角形，O是底边BC中点，腰AB与⊙O相切于点D （1）求证：AC是⊙O的切线；

（2）如图2，连接CD，若tan∠BCD=√2

4，⊙O的半径为√3，求BC的长．