正弦、余弦函数的定义域、值域

正弦、余弦函数的定义域、值域

教学目标：

1.能指出正弦、余弦函数的定义域，并用集合符号来表示；

2.能说出函数sin y x =，x R ∈和cos y x =，x R ∈的值域、最大值、最小值，以及使函数取得这些值的x 的集合。

教学重、难点：与正、余弦函数相关的函数的定义域的求法。 教学过程： （一）复习：

1．三角函数的定义。 （二）新课讲解：

1

例1：求下列函数的定义域：

（1）sin 2y x =； （2）cos()3

y x π

=+； （3）y =

（4）1

sin 1

y x =

+； （5）lgsin y x =．

解：（1）2x R ∈， ∴x R ∈； （2）

3

x R π

+∈， ∴x R ∈；

（3）sin 0x ≥， ∴[2,2]x k k πππ∈+()k Z ∈；

（4）sin 10x +≠，∴sin 1x ≠-， ∴{|x x x R ∈∈且2,}2

x k k Z π

π≠-

∈；

（5）2250sin 0

x x ⎧-≥⎨>⎩ ∴5522()

x k x k k Z πππ-≤≤⎧⎨

<<+∈⎩ ∴ [5,)[0,)x ππ∈--U ．

2．正、余弦函数的值域

例2：求使下列函数取得最大值的自变量x 的集合，并说出最大值是什么？ （1）cos 1y x =+，x R ∈； （2）sin 2y x =，x R ∈．

解：（1）使函数cos 1y x =+，x R ∈取得最大值的x 的集合，就是使函数cos y x =，x R ∈ 取得最大值的x 的集合{|2,}x x k k Z π=∈，

所以，函数cos 1y x =+，x R ∈的最大值是112+=．

（2）令2z x =，那么x R ∈必须并且只需z R ∈，且使函数sin y z =，z R ∈取得最大值 的z 的集合是{|2,}2

z z k k Z π

π=

+∈，由222

x z k π

π==

+，得4

x k π

π=

+，

即：使函数sin 2y x =，x R ∈取得最大值的x 的集合是{|,}4

x x k k Z π

π=+∈，函数的最大值是1．

说明：函数sin()y A x ωϕ=+，x R ∈的最值：最大值||A ，最小值||A -． 例3：求下列函数的值域： （1）21sin 1y x =

+； （2）sin sin 2

x

y x =

+． 解：（1）∵2

0sin 1x ≤≤，∴2

1sin 12x ≤+≤， ∴1

12

y ≤≤ 所以，值域为1

{|1}2

y y ≤≤． （2）2sin 1y x y

=

-， ∴1sin 1x -≤≤， ∴2111y

y -≤

≤-， 解得113y -≤≤， 所以，值域为1

{|1}3

y y -≤≤． 小结：

1．正、余弦函数的定义域、值域；

2．与正、余弦函数相关的一些函数的定义域、值域。

作业补充：

求下列函数的值域： （1）2sin 1sin x y x +=+；（2）cos 3

cos 2

x y x +=+；（3）y asinx b =+（其中,a b 为常数）．