2016年(山东卷)理科数学高考真题附答案

2016年普通高等学校招生全国统一考试
(山东卷)
理科数学
1.若复数z满足2z+=3-2i,其中i为虚数单位,则z=()
A.1+2i
B.1-2i
C.-1+2i
D.-1-2i
2.设集合A={y|y=2,x∈R},B={x|x-1<0},则A∪B=()
A.(-1,1)
B.(0,1)
C.(-1,+∞)
D.(0,+∞)
3.
某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位:小时),制成了如图所示的频率分布直方图,其中自习时间的范围是[17.5,30],样本数据分组为[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30].根据直方图,这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是()
A.56
B.60
C.120
D.140
自习时间不少于22.5小时为后三组,(0.16+0.08+0.04)×2.5=0.7,故人数为200×0.7=140,选D.
4.若变量x,y满足-则x2+y2的最大值是()
A.4
B.9
C.10
D.12
如图,不等式组表示的可行域是以A(0,-3),B(0,2),C(3,-1)为顶点的三角形区域,x2+y
,经验证最大值|OC|2=10,故选C.
5一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如下图所示.则该几何体的体积为()
A B
C D.1+
由三视图可知,上面是半径为的半球体积为V1=,下面是底面积为
1,高为1体积V2=1×1=,故选C.
6.已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内.则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的
() A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
若直线a与直线b相交,则α,β一定相交,若α,β相交,则a,
故选A.
7函数f(x)=(sin x+cos x)(cos x-sin x)的最小正周期是()
A B.πC D.2π
f(x)=2sin2cos=2sin,故最小正周期T==π,故选B.
8.已知非零向量m,n满足4|m|=3|n|,cos<m,n>=若n⊥(t m+n),则实数t的值为()
A.4
B.-4 C D.-
由4|m|=3|n|,可设|m|=3k,|n|=4k(k>0),
又n⊥(t m+n),所以n·(t m+n)=n·t m+n·n=t|m|·|n|cos<m,n>+|n|2=t×3k×4k
+(4k)2=4tk2+16k2=0.所以t=-4,故选B.
9已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时,f(x)=x3-1;当-1≤x≤1时,f(-x)=-f(x);当x>时,f=f-,则f(6)=()
A.-2
B.-1
C.0
D.2
当x>时,f=f-,所以当x>时,函数f(x)是周期为1所以f(6)=f(1),又因为当-1≤x≤1时,f(-x)=-f(x),所以f(1)=-f(-1)=-[(-1)3-1]=2,故选D.
10.若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T 性质.下列函数中具有T性质的是()
A.y=sin x
B.y=ln x
C.y=e x
D.y=x3
当y=sin x时,y'=cos x,因为cos 0·cos π=-1,所以在函数y=sin x图象存在两点x=0,x=π使条
11执行下边的程序框图,若输入的a,b的值分别为0和9,则输出的i的值为.
12.若的展开式中x5的系数是-80,则实数a=.
2
T r+1=(ax2)5-r a5-r-,所以由10-=5,解得r=2.因此a5-2=-80,解得a=-2.
13.已知双曲线E:=1(a>0,b>0),若矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中点为E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E的离心率是.
AB⊥x轴,不妨设A点的横坐标为c,则由=1,解得y=±
设A,B-,则|AB|=,|BC|=2c,由2|AB|=3|BC|,c2=a2+b2得离心率e=2或e=-(舍去),所以离心率为2.
14在[-1,1]上随机地取一个数k,则事件“直线y=kx与圆(x-5)+y=9相交”发生的概率
为.
y=kx与圆(x-5)2+y2=9相交,d=<3,解得-
--
<k<,而k∈[-1,1],所以发生的概率为
其中m>0.若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不15.已知函数f(x)=
-
同的根,则m的取值范围是.
+∞)
x2-2mx+4m=(x-m)2+4m-m2.由题意画出函数图象为右图时才符合,要满足存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,应4m-m2<m,解得m>3,即m的取值范围为(3,+∞).
16.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2(tan A+tan B)=
(1)证明:a+b=2c;
(2)求cos C的最小值.
由题意知2,
化简得2(sin A cos B+sin B cos A)=sin A+sin B,
即2sin(A+B)=sin A+sin B,
因为A+B+C=π,
所以sin(A+B)=sin(π-C)=sin C.
从而sin A+sin B=2sin C.
a+b=2c.
(2)由(1)知c=,
-
所以cos C=-
=,
当且仅当a=b时,等号成立.
故cos C的最小值为
17.
在如图所示的圆台中,AC是下底面圆O的直径,EF是上底面圆O'的直径,FB是圆台的一条母线.
(1)已知G,H分别为EC,FB的中点.求证:GH∥平面ABC;
(2)已知EF=FB=AC=2,AB=BC,求二面角F-BC-A的余弦值.
设FC中点为I,连接GI,HI.
在△CEF中,因为点G是CE的中点,
所以GI∥EF.
又EF∥OB,
所以GI∥OB.
在△CFB中,因为H是FB的中点,
所以HI∥BC.
GHI∥平面ABC.
因为GH⊂平面GHI,
所以GH∥平面ABC.
OO',则OO'⊥平面ABC.
又AB=BC,且AC是圆O的直径,所以BO⊥AC.以O为坐标原点
由题意得B(0,2,0),C(-2,0,0).
过点F作FM垂直OB于点M,
所以FM=-=3,
可得F(0,,3).
故=(-2,-2,0),=(0,-,3).
设m=(x,y,z)是平面BCF的一个法向量.
由
可得---
可得平面BCF=-
因为平面ABC的一个法向量n=(0,0,1), 所以cos<m,n>=
所以二面角F-BC-A的余弦值为
则有FM∥OO'.
又OO'⊥平面ABC,
所以FM⊥平面ABC.
可得FM=-=3.
FN.可得FN⊥BC,
从而∠FNM为二面角F-BC-A的平面角.
又AB=BC,AC是圆O的直径,
所以MN=BM sin 45°=
从而FN=,可得cos∠FNM=
所以二面角F-BC-A的余弦值为
18.已知数列{a n}的前n项和S n=3n2+8n,{b n}是等差数列,且a n=b n+b n+1.
(1)求数列{b n}的通项公式;
(2)令c n=,求数列{c n}的前n项和T n.
由题意知当n≥2时,a n=S n-S n-1=6n+5,
当n=1时11,
所以a n=6n+5.
设数列{b n}的公差为d.
由即
可解得b1=4,d=3.所以b n=3n+1.
(2)由(1)知c n==3(n+1)·2n+1.
又T n=c1+c2+…+c n,
得T n=3×[2×22+3×23+…+(n+1)×2n+1],
两式作差,得-T n=3×[2×2+2+2+…+2-(n+1)×2]
-
=3-
-
=-3n·2n+2,所以T n=3n·2n+2.
19.甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语,在一轮活动中,如果两人都猜对,则“星队”得3分;如果只有一人猜对,则“星队”得1分;如果两人都没猜对,则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是,乙每轮猜对的概率是;每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响,各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动,求:
(1)“星队”至少猜对3个成语的概率;
(2)“星队”两轮得分之和X的分布列和数学期望EX.
记事件A:“甲第一轮猜对”,记事件B:“乙第一轮猜对”,记事件C:“甲第二轮猜对”,记事件D:“乙第二轮猜对”,记事件E:“‘星队’至少猜对3个成语”.
由题意,
由事件的独立性与互斥性,
P(E)=P(ABCD)+P(BCD)+P(A CD)+P(AB D)+P(ABC)
=P(A)P(B)P(C)P(D)+P()P(B)P(C)P(D)+P(A)P()P(C)P(D)+P(A)P(B)P()P(D)+P(A)·P(B)P(C) P()
=+2
所以“星队”至少猜对3个成语的概率为
(2)
由事件的独立性与互斥性,得
P(X=0)=,
P(X=1)=2,
P(X=2)=,
P(X=3)=,
P(X=4)=2,
P(X=6)=
可得随机变量X的分布列为
所以数学期望EX=0+1+2+3+4+6
20.已知f(x)=a(x-ln x)+-,a∈R.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)当a=1时,证明f(x)>f'(x)+对于任意的x∈[1,2]成立.
f(x)的定义域为(0,+∞).
f'(x)=a---
当a≤0时,x∈(0,1)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,x∈(1,+∞)时,f'(x)<0,f(x)单调递减.
--
当a>0时,f'(x)=
>1,
当x∈(0,1)或x时,f'(x)>0,f(x)单调递增,
当x时,f'(x)<0,f(x)单调递减.
=1,在x∈(0,+∞)内,f'(x)≥0,f(x)单调递增.
<<1,
当x或x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,
当x时,f'(x)<0,f(x)单调递减.
综上所述,当a≤0时,f(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)内单调递减;
当0<a<2时,f(x)在(0,1)内单调递增,在内单调递减,在内单调递增; 当a=2时,f(x)在(0,+∞)内单调递增;
当a>2时,f(x)在内单调递增,在内单调递减,在(1,+∞)内单调递增. (2)由(1)知,a=1时,
f(x)-f'(x)=x-ln x+---
=x-ln x+-1,x∈[1,2].
h(x)=-1,x∈[1,2].
则f(x)-f'(x)=g(x)+h(x).
由g'(x)=-0,
可得g(x)≥g(1)=1,
当且仅当x=1时取得等号.
又h'(x)=--,
设φ(x)=-3x2-2x+6,则φ(x)在x∈[1,2]单调递减,
因为φ(1)=1,φ(2)=-10,。