线性代数各章小结 (3)

6.6.1内容框图

6.6.2基本要求

(1)了解二次型及其矩阵表示，会用正交变换化二次型为标准形。

(2)知道二次型的秩，惯性律，了解二次型和对应矩阵的正定性及其判别方法。

6.6.3内容概要

1）关于二次型

(1)二次型()T

f x x Ax =的矩阵A 是对称阵，()r A 也称为二次型f 的秩，当A 是对角阵时，f 为标准形。

(2)对任一二次型()T

f x x Ax =，总可找到满秩线性变换x Py =化二次型为标准型，即 2221122...T T T r r f x Ax y P APy d y d y d y ===+++

其中()r r A =

(3)正交变换法：对二次型T

f x Ax =，由于A 是对称阵，故按实对称矩阵正交对角化的方法总可找到正交阵Q ，使()12,,...T

n Q AQ diag λλλ=Λ= 所以由正交变换x Qy =可得2221122...T T T T n n f x Ax y Q AQy y y y y y λλλ===Λ=++ 注 重点掌握正交变换法。在用正交变换得到的标准形平方项前的系数必为A 的特征值。

(4)惯性律

对一个二次型T f x Ax =，用不同的满秩线性变换将其化成标准形，标准形的形式可以是不同的，但标准形中平方项前正系数个数p 和负系数个数r-p 都是唯一的。

(5)正定矩阵的判别法

设A 是n 阶实对称矩阵。

①若A 的正惯性指数等于n ，则A 正定。

②若A 的特征值全是正的，则A 正定。

③若A 的各阶顺序主子式均大于零，则A 正定。

④用定义，若0,,0n T x x R f x Ax ∀≠∈=>，则A 正定。

注 以上各条均为实对称矩阵A 正定的充要条件。