解析几何圆锥曲线结论

六.圆锥曲线 1. 椭圆

(!)椭圆22

221(0)x y a b a b +=>>的参数方程是.cos sin x a y b θθ

=⎧⎨=⎩ (2)椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>焦半径公式

10PF a ex =+，

20PF a ex =-.()12,F F 分别为左右焦点

(3)椭圆22

2

2

1(0)x

y a b a

b +

=>>的准线方程为2

a x c =±,椭圆22

2

2

1(0)x

y a b b

a +

=>>的准

线方程为2

a y c

=±

(4)椭圆

22

221(0)x y a b a b

+=>>的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)长为

22b a

(5)P 是椭圆2

2

1(0)x

y a b a b +=>>上一点,F 1,F 2 是它的两个焦点,∠F 1P F 2=θ ,则

△P F 1 F 2的面积=2

tan

2

b θ , 当点P 与椭圆短轴顶点重合时21PF F ∠最大；P 是

椭圆22

2

2

1(0)x

y a b a

b +

=>>上一点,A,B 是长轴的两端点,当点P 在短轴端点时,APB

∠最大.

(6)若AB 是过焦点F 的弦,设,AF m BF n ==,P 表示焦准距,则112m

n

ep

+=

2. 双曲线 (1)双曲线

22

22

1(0,0)x y a b a b -=>>的准线方程为

2a x c

=±

双曲线

22221(0,0)x y a b b a -=>>的准线方程为2

a y c

=±

(2) 双曲线2

2

2

2

1(0,0)x

y a b a b -

=>>的渐近线方程为0x y a

b

±=,双曲线2

2

2

2

1(0,0)x

y a b b a -

=>>的的渐近线方程为0x y b

a

±=

(3) P 是双曲线22

1(0,0)x

y a b a

b -

=>>上一点,F 1,F 2 是它的两个焦点,∠F 1P F 2

=θ则△P F 1 F 2的面积=2

cot

2

b

θ

(4)若AB 是过焦点F 的弦,设,AF m BF n ==,P 表示焦准距,AB 交在同支时,

112m n ep

+=,AB 交在两支时,112m

n

ep

-= (设m n <)

（5）双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于虚半轴长。准线过

垂足。

※ 等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项

（2）共轭双曲线：

122

2

2=-

b y a x 与22

221x y a b -=-其离心率分别为1,2,e e 2212

111e e +

=12e e +≥其性质：①渐近线相同；②焦距相同（焦点不同） （3）渐近线相同的双曲线系方程为：2

2

2

2x

y a b

λ-

= ()

0λ≠渐近线方程都是0x y a

b

±=

（7）有心型二次曲线（圆、椭圆、双曲线）上任一弦中点与中心连

线的斜率与弦所在直线的斜率之积为1

1

x ⎧-⎪

⎨⎪⎩-2

2焦点在轴上，e

1

焦点在y 轴上,e （对圆则是－１，

为什么？） 3.抛物线

(1)px y 22=上的动点可设为P )

,2(2

y p

y

或或)2,2(2pt pt P P (,)x y ，其中

22y px = .

(2)P(0x ,0y )是抛物线px y 22=上的一点,F 是它的焦点,则|PF|=0x +2

p

(3)抛物线

y 2=2px(p>0)的焦点弦

AB 性质：<1>． x 1x 2=

4

2

p ；y 1y 2=

－p 2； <2>．p

BF AF 2

||1||1=

+；

<3>．以AB 为直径的圆与准线相切； <4>．以AF （或BF ）为直径的圆与y 轴相切；<5>．α

sin 22

p S AOB

=

∆。

6

焦点弦长22sin p l θ

=

,其中θ是焦

点弦与x 轴的夹角; 7

点P 是抛物线px y 22=上的一点,F 是它的焦点,,OF FP

θ=

则1cos P PF

θ

=

-