【高考精品复习】第九篇 解析几何 第8讲 直线与圆锥曲线的位置关系
高考数学解析几何直线和圆锥曲线的位置关系
直线和圆锥曲线的位置关系编稿：林景飞审稿：张扬责编：严春梅知识网络目标认知考试大纲要求：使学生能灵活应用圆锥曲线的有关知识解决相关问题，培养数学理解能力及分析问题、解决问题的能力；重点：直线与圆锥曲线的三种位置关系的判断及直线与圆锥曲线相交有两个交点时弦长公式的应用。
难点：直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用.知识要点梳理知识点一：直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系有三种：相交、相切、相离。
判断的方法均是把直线方程代入曲线方程中，判断方程解的个数，从而得到直线与曲线公共点的个数，最终得到直线与曲线的位置关系。
一般利用二次方程判别式来判断有无解，有几个解。
1．直线Ax+By+C＝0和椭圆的位置关系：将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y一元二次方程，其判别式为Δ.(1)Δ＞0直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）；(2)Δ＝0直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；(3)Δ＜0直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点．2．直线Ax+By+C＝0和双曲线的位置关系：将直线的方程与双曲线的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的方程。
（一）若为一元一次方程，则直线和双曲线的渐近线平行，直线和双曲线只有一个交点，但不相切不是切点；（二）若为一元二次方程，则(1)若Δ＞0，则直线和双曲线相交，有两个交点(或两个公共点)；(2)若Δ＝0，则直线和双曲线相切，有一个切点；(3)若Δ＜0，则直线和双曲线相离，无公共点．注意：（1）Δ＞0直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有Δ＞0，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故Δ＞0是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；（2）当直线与双曲线的渐近线不平行时，Δ=0直线与抛物线相切；（3）如说直线和双曲线有一个公共点，则要考虑两种情况：一个切点和一个交点；当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，但只有一个交点；（4）过双曲线外一点的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：①P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；②P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；③P在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；④P为原点时不存在这样的直线；3．直线Ax+By+C＝0和抛物线y2＝2px(p＞0)的位置关系：将直线的方程与抛物线的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y方程。
直线与圆锥曲线的位置关系
直线与圆锥曲线的位置关系1．直线与圆锥曲线的位置关系(1)从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异的公共点，具体如下：①直线与圆锥曲线的相离关系，常通过求二次曲线上的点到已知直线的距离的最大值或最小值来解决．②直线与圆锥曲线仅有一个公共点，对于圆或椭圆，表示直线与其相切；对于双曲线，表示与其相切或与双曲线的渐近线平行；对于抛物线，表示直线与其相切或直线与其对称轴平行．③直线与圆锥曲线有两个相异的公共点，表示直线与圆锥曲线相割，此时直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦．(2)从代数角度看，可通过将表示直线的方程，代入二次曲线的方程消元后所得的一元二次方程的解的情况来判断．直线l 方程为Ax ＋By ＋C ＝0，圆锥曲线方程为f (x ，y )＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，f (x ，y )＝0消元(x 或y )， 如消去y 后得ax 2＋bx ＋c ＝0.若f (x ，y )＝0表示椭圆，上述方程中a ≠0，若f (x, y )＝0表示双曲线或抛物线， 上述方程中a ＝0或a ≠0.①若a ＝0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l 与双曲线的渐近线平行(或重合)；当圆锥曲线是抛物线时，直线l 与抛物线的对称轴平行(或重合)．②若a ≠0，设Δ＝b 2－4ac .a ．Δ>0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点；b ．Δ＝0时，直线和圆锥曲线相切于一点；c ．Δ<0时，直线和圆锥曲线没有公共点．直线与圆锥曲线的位置关系重点是相交：相交――→转化联立方程组有两组不等的实数解――→转化一元二次方程有两个不等实数解――→转化判别式大于零．2．弦长的求法求弦长――→转化求两点间的距离――→综合运用⎩⎪⎨⎪⎧消元，解方程组，一元二次方程根与系数的关系.(1)弦长：(直线与圆锥曲线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2))，直线斜率为k ，一般地，弦长公式|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝1＋1k2|y 1－y 2|＝⎝⎛⎭⎫1＋1k 2[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2]. (2)若弦过焦点：可用焦半径公式来表示弦长，简化运算． 如x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)， |AB |＝2a －e(x 1＋x 2) (过右焦点)， |AB |＝2a ＋e(x 1＋x 2) (过左焦点)．如抛物线y 2＝2px (p >0)， |AB |＝x 1＋x 2＋p .3．中点弦问题设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上不同的两点，且x 1≠x 2，x 1＋x 2≠0，M (x 0，y 0)为AB 的中点，则⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b21，x 22a 2＋y22b 21.两式相减可得y 1－y 2x 1－x 2·y 1＋y 2x 1＋x 2＝－b 2a 2，即k AB ·y 0x 0＝－b 2a2．类似地，可得圆锥曲线为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1时，有k AB ·y 0x 0＝b 2a2．圆锥曲线为抛物线y 2＝2px (p >0)时，有k AB ＝py 0．探究点1 直线与圆锥曲线的交点问题例1 已知双曲线C ：2x 2－y 2＝2与点P (1, 2)，求过点P 的直线l 的斜率的取值范围，使l 与C 分别有一个公共点，两个公共点，没有公共点．例1 [解答] (1)当l 垂直x 轴时，此时直线与双曲线相切，有一个公共点．(2)当l 不与x 轴垂直时，设直线l 的方程为y －2＝k(x －1)代入双曲线C 的方程中，整理得(2－k 2)x 2＋2(k 2－2k)x －k 2＋4k －6＝0, (*) 当k 2＝2，即k ＝±2时， (*)为一次方程，显然只有一解； 当k 2≠2时，Δ＝4(k 2－2k)2－4(2－k 2)(－k 2＋4k －6)＝48－32k.令Δ＝0，可解得k ＝32；令Δ＞0，即48－32k ＞0，此时k ＜32；令Δ＜0，即48－32k ＜0，此时k ＞32.∴当k ＝±2或k ＝32或k 不存在时，l 与C 只有一个公共点；当k ＜－2或－2＜k ＜2或2＜k ＜32时，l 与C 有两个公共点；当k ＞32时，l 与C 没有公共点．[点评] (1)为了设出直线方程，先讨论斜率是否存在．当斜率存在时，设出方程并与双曲线方程组成方程组，消去y 得到关于x 的方程．当二次项系数为零时，直线与渐近线平行与双曲线只有一个交点；当二次项系数不为零时，若Δ＝0，则有一个切点；若Δ>0，则有两个交点；Δ<0，则没有交点．(2)有关直线和圆锥曲线的范围问题，常常使用Δ来体现范围．探究点2 中点弦问题例2 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (0,2)，离心率e ＝63.(1)求椭圆的方程；(2)直线l ：y ＝kx －2(k ≠0)与椭圆相交于不同的两点M 、N ，且满足MP →＝PN →，AP →·MN →＝0，求直线l 的方程．[解答] (1)设c ＝a 2－b 2，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝63，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，6a 2＝9a 2－9b 2，∴a 2＝3b 2＝12，即椭圆方程为x 212＋y 24＝1.(2)∵MP →＝PN →，AP →·MN →＝0，∴AP ⊥MN ，且点P 是线段MN 的中点， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2，x 212＋y 241，消去y ，得x 2＋3(kx －2)2＝12， 即(1＋3k 2)x 2－12kx ＝0，(*)，由k ≠0，得方程(*)中Δ＝(－12k)2＝144k 2>0，显然方程(*)有两个不相等的实数根．设M(x 1，y 1)、N(x 2，y 2)，线段MN 的中点P(x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝12k 1＋3k 2∴x 0＝x 1＋x 22＝6k1＋3k 2， ∴y 0＝kx 0－2＝6k 2－2(1＋3k 2)1＋3k 2＝－21＋3k 2即P ⎝⎛⎫6k 1＋3k 2，－21＋3k 2.∵k ≠0，∴直线AP 的斜率为k 1＝－21＋3k 2－26k1＋3k2＝－2－2(1＋3k 2)6k.由MN →⊥AP →，得－2－2(1＋3k 2)6k ·k ＝－1，∴2＋2＋6k 2＝6，解得k ＝±33，故直线方程为y ＝±33x －2.探究点3 相交弦长与面积问题例3 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，焦点到相应准线的距离为22.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点到直线l 的距离为32，求△AOB 面积的最大值．例3 [解答] (1)∵e ＝c a ＝63，a 2c －c ＝22，解得a ＝3，c ＝2，∴b 2＝3－2＝1， 椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1.(2)当AB ⊥x 轴时，⎝⎛⎭⎫3223＋y 2＝1，得y 2＝34，AB ＝ 3. 当AB 不垂直x 轴时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，则|m|1＋k2＝32，得m 2＝34k 2＋34. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23＋y 2＝1，得(3k 2＋1)x 2＋6kmx ＋3m 2－3＝0，∴x 1＋x 2＝－6km 3k 2＋1，x 1x 2＝3(m 2－1)3k 2＋1， |AB|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 2·36k 2m 2(3k 2＋1)2－12(m 2－1)3k 2＋1＝12(k 2＋1)(3k 2＋1－m 2)(3k 2＋1)2＝3(k 2＋1)(9k 2＋1)(3k 2＋1)2＝3＋12k29k 4＋6k 2＋1 ＝3＋129k 2＋1k2＋6≤3＋122×3＋6＝2(k ≠0)，当且仅当9k 2＝1k 2，即k ＝±33时，|AB|max ＝2，当k ＝0时，AB ＝3，综上所述|AB|max ＝2.∴当|AB|最大时，△AOB 面积最大值S ＝12×32×2＝32.变式题：从椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)上一点M 向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F 1，且它的长轴端点A 及短轴端点B 的连线AB 平行于OM .(1)求椭圆的离心率；(2)当QF 2⊥AB 时，延长QF 2与椭圆交于另一点P ，若△F 1PQ 的面积为203(Q是椭圆上的点)，求此时椭圆的方程． [解答] (1)如图，由题意知x M ＝－c ， 故y M ＝b 2a .又△F 1OM ∽△OAB ，c a ＝b 2a b ⇒b ＝c ⇒e ＝22. (2)设椭圆方程为x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)，由(1)知a 2＝2b 2，方程变为x 2＋2y 2＝2b 2.设直线PQ 方程为y －0＝2(x －b)，联立方程组，得5x 2－8bx ＋2b 2＝0， x 1＋x 2＝8b 5，x 1x 2＝2b 25.|PQ|＝|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝26b5∵|y 2－y 1|＝|2(x 2－x 1)|＝2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝43b5S △F 1PQ ＝12×||PQ ×||－22b 3＝203⇒b 2＝25，∴a 2＝50，∴椭圆方程为x 250＋y 225＝1.探究点4 弦的定比分点问题例4 已知椭圆x 25＋y 29＝1，焦点F (0,2)，又点A ，B 在椭圆上，而且AF →＝2FB →，求直线AB 的斜率．例4 [解答] AF →＝2FB →⇒A ，F ，B 三点共线． 设AB 方程为y ＝kx ＋2，与椭圆方程联立，得 (9＋5k 2)x 2＋20kx －25＝0， x 1＋x 2＝－20k 9＋5k 2，x 1x 2＝－259＋5k2.又AF →＝2FB →⇒⎩⎪⎨⎪⎧x1＝－2x 2，2－y 1＝2y 2－4，所以－x 2＝－20k 9＋5k 2，－2x 22＝－259＋5k 2，消去x 2，解得k ＝±33. 探究点5 综合应用问题例5 已知双曲线C ：x 21－λ－y 2λ＝1(0＜λ＜1)的右焦点为B ，过点B 作直线交双曲线C的右支于M 、N 两点，试确定λ的范围，使OM →·ON →＝0，其中点O 为坐标原点． [解答] 设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，由已知易求B(1,0)． 当MN 垂直于x 轴时，MN 的方程为x ＝1.设M(1，y 0)，N(1，－y 0)(y 0＞0)，由OM →·ON →＝0，得y 0＝1，∴M(1,1)，N(1，－1)． 又M(1,1)，N(1，－1)在双曲线上， ∴11－λ－1λ＝1⇒λ2＋λ－1＝0⇒λ＝－1±52. ∵0＜λ＜1，∴λ＝5－12. 当MN 不垂直于x 轴时，设MN 的方程为y ＝k(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 21－λ－y 2λ＝1，y ＝k (x －1)，得：[λ－(1－λ)k 2]x 2＋2(1－λ)k 2x －(1－λ)(k 2＋λ)＝0. 由题意知λ－(1－λ)k 2≠0，∴x 1＋x 2＝－2k 2(1－λ)λ－(1－λ)k 2，x 1x 2＝－(1－λ)(k 2＋λ)λ－(1－λ)k 2，∴y 1y 2＝k 2(x 1－1)(x 2－1)＝k 2λ2λ－(1－λ)k 2，∵OM →·ON →＝0，且M 、N 在双曲线右支上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1x 2＋y 1y 2＝0，x 1＋x 2＞0，x 1x 2＞0⇒⎩⎨⎧k 2＝λ(1－λ)λ2＋λ－1，k 2＞λ1－λ⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ(1－λ)λ2＋λ－1＞λ1－λ，λ2＋λ－1＞0⇒5－12＜λ＜23.综上知5－12≤λ＜23. 变式题：已知点P 1(x 0，y 0)为双曲线x 28b 2－y 2b 21(b 为正常数)上任一点，F 2为双曲线的右焦点，过P 1作右准线的垂线，垂足为A ，连结F 2A 并延长交y 轴于点P 2.(1)求线段P 1P 2的中点P 的轨迹E 的方程；(2)设轨迹E 与x 轴交于B 、D 两点，在E 上任取一点Q (x 1，y 1)(y 1≠0)，直线QB 、QD 分别交y 轴于M 、N 两点．求证：以MN 为直径的圆过两定点．[解答] (1)由已知得F 2(3b,0)，A ⎝⎛⎭⎫83b ，y 0，则直线F 2A 的方程为y ＝－3y0b (x －3b)，令x＝0，得y ＝9y 0，即P 2(0,9y 0)．于是直线QB 的方程为：y ＝y 1x 1＋2b(x ＋2b)，直线QD 的方程为y ＝y 1x 1－2b(x －2b)，可得M ⎝⎛⎭⎪⎫0，2by 1x 1＋2b ，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－2by 1x 1－2b . 则以MN 为直径的圆的方程为： ⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －2by 1x 1＋2b ⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋2by 1x 1－2b ＝0.令y ＝0得x 2＝2b 2y 21x 21－2b 2，而Q(x 1，y 1)在x 22b 2－y 225b 2＝1上，则x 21－2b 2＝225·y 21，于是x ＝±5b ， 即以MN 为直径的圆过两定点(－5b,0)，(5b,0)．规律总结本节问题的研究集中体现了解析几何的基本思想和方法，要求有较强的分析问题和解决问题的能力，有些问题涉及代数、三角、几何等多方面的知识，因此在复习中要注意各部分之间的联系和综合利用知识解决问题的能力．1．直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题，通过消元最终归结为讨论一个一元二次方程Ax 2＋Bx ＋C ＝0的实数解的个数问题．应特别注意要分A ＝0和A ≠0的两种情况讨论，只有A ≠0时，才可用判别式来确定解的个数. 当直线平行于抛物线的对称轴时，直线与抛物线只有一个公共点．这些情况在解题中往往容易疏忽，要特别注意，对于选择、填空题，用数形结合往往快速简捷．2．斜率为k 的直线被圆锥曲线截得弦AB ，若A 、B 两点的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝|x 1－x 2|·1＋k 2＝|y 1－y 2|·1＋1k 2(k ≠0)，利用这个公式求弦长时，应注意应用韦达定理．3．与焦点弦长有关的问题，要注意应用圆锥曲线的定义．4．在给定的圆锥曲线f (x ，y )＝0中，求中点为(m ，n )的弦AB 所在直线方程时，一般可设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，利用A 、B 在曲线上，得f (x 1，y 1)＝0，f (x 2，y 2)＝0及x 1＋x 2＝2m ，y 1＋y 2＝2n ，故可求出斜率k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2，最后由点斜式写出直线AB 的方程．5．求圆锥曲线的方程时，通常利用待定系数法．。
2020届高考数学(理)解析几何高频考点08直线与圆锥曲线的位置关系(含解析)
c2 a2
2
，则 椭圆 的离心率
3
ec 2 a3
【答案】 A
6
，故选 A.
3
4.【 2017 年高考全国 Ⅱ卷文数】过抛物线 C : y2 4 x 的焦点 F ，且斜率为 3 的直线交 C 于点 M （ M 在
x 的轴上方）， l 为 C 的准线，点 N 在 l 上且 MN l ，则 M 到直线 NF 的距离为 （
3 c, y2
2
9 c .因为点 P 在 x 轴上方，所以 14
P
3 c, c
2
.
由圆心 C 在直线 x 4 上，可设 C (4, t) .
因为 OC∥AP ，且由（ 1）知 A( 2 c, 0) ，故 t
3
c 2
，解得 t
2.
4 c 2c
因为圆 C 与 x 轴相切，所以圆的半径长为 2，
3
(4 c) 2
.
【解析】因为直线 x y 2 0 分别与 x 轴，y 轴交于 A, B 两点，所以 A 2，0 , B 0， 2 , 则 AB =2 2 ，
2
因为点 P 在圆 x 2
y2=2 上，所以圆心为（ 2，0），则圆心到直线距离
d1
202 2
2 2 ，故点 P
到直线 x y 2 0 的距离 d 2 的范围为
u
1
．所以
PQ
PG ，即 △ PQG 是直角三角形．
k
（ ii ）由（ i）得 | PQ |
2u 1
k 2 ， | PG |
2uk
k 2 1 ，所以 △PQG 的面积 2
2k
1
S
1
8k (1 k 2)
| PQ‖PG | 2
高考数学一轮复习第8章平面解析几何第9节直线与圆锥曲线的位置关系课件
则 x1,2＝2k2±1＋221k＋2 k2，
C 的坐标为1＋2k22k2，1＋－2kk2，
且 AB＝ x2－x12＋y2－y12＝ 1＋k2x2－x12
＝2
21＋k2 1＋2k2 .10
分
若 k＝0，则线段 AB 的垂直平分线为 y 轴，与左准线平行，不合题意．
[变式训练 1] 如图 8-9-1，在平面直角坐标系 xOy 中，已 知直线 l：x－y－2＝0，抛物线 C：y2＝2px(p>0)．
(1)若直线 l 过抛物线 C 的焦点，求抛物线 C 的方程； (2)当 p＝1 时，若抛物线 C 上存在关于直线 l 对称的相异两 点 P 和 Q.求线段 PQ 的中点 M 的坐标． [解] (1)抛物线 C：y2＝2px(p>0)的焦点为p2，0.2 分 由点p2，0在直线 l：x－y－2＝0 上， 得p2－0－2＝0，即 p＝4. 所以抛物线 C 的方程为 y2＝8x.6 分
＝8x 的焦点重合，A，B 是 C 的准线与 E 的两个交点，则|AB|＝( )
A．3
B．6
C．9
D．12
B [抛物线 y2＝8x 的焦点为(2,0)，∴椭圆中 c＝2，
又ac＝12，∴a＝4，b2＝a2－c2＝12， 从而椭圆方程为1x62 ＋1y22 ＝1.
∵抛物线 y2＝8x 的准线为 x＝－2，∴xA＝xB＝－2， 将 xA＝－2 代入椭圆方程可得|yA|＝3， 由图象可知|AB|＝2|yA|＝6.故选 B.]
(2)当 a＝0 时，圆锥曲线 C 为抛物线或双曲线．
当 C 为双曲线时，l 与双曲线的渐近线_平__行__或__重__合__，它们的公共点有_1_个 或_0_个．
当 C 为抛物线时，l 与抛物线的对称轴_平__行__或__重__合__，它们的公共点有_1_个． 2．圆锥曲线的弦长公式
直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线相交的弦长公式
直线与圆锥曲线的位置关系(1)从几何角度看：要特别注意当直线与双曲线的渐进线平行时，直线与双曲线只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线也只有一个交点。
(2)从代数角度看：设直线L的方程与圆锥曲线的方程联立得到ax°+bx+c=0.①.若a=0，当圆锥曲线是双曲线时，直线L与双曲线的渐进线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线L与抛物线的对称轴平行或重合。
1、圆锥曲线的范围问题有两种常用方法：（1）寻找合理的不等式，常见有△＞0和弦的中点在曲线内部；（2）所求量可表示为另一变量的函数，求函数的值域。
2、圆锥曲线的最值、定值及过定点等难点问题。
直线与圆锥曲线的位置关系：(1)从几何角度来看，直线和圆锥曲线有三种位置关系：相离、相切和相交，相离是直线和圆锥曲线没有公共点，相切是直线和圆锥曲线有唯一公共点，相交是直线与圆锥曲线有两个不同的公共点，并特别注意直线与双曲线、抛物线有唯一公共点时，并不一定是相切，如直线与双曲线的渐近线平行时，与双曲线有唯一公共点，但这时直线与双曲线相交；直线平行（重合）于抛物线的对称轴时，与抛物线有唯一公共点，但这时直线与抛物线相交，故直线与双曲线、抛物线有唯一公共点时可能是相切，也可能是相交，直线与这两种曲线相交，可能有两个交点，也可能有一个交点，从而不要以公共点的个数来判断直线与曲线的位置关系，但由位置关系可以确定公共点的个数．(2)从代数角度来看，可以根据直线方程和圆锥曲线方程组成的方程组解的个数确定位置关系．设直线l的方程与圆锥曲线方程联立得到ax2+bx+c=0．①若a=0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l与双曲线的渐近线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线l与抛物线的对称轴平行或重合．②若当Δ>0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点，相交．当Δ=0时，直线和圆锥曲线相切于一点，相切．当Δ<0时，直线和圆锥曲线没有公共点，相离．直线与圆锥曲线相交的弦长公式：若直线l与圆锥曲线F(x，y)=0相交于A，B两点，求弦AB的长可用下列两种方法：(1)求交点法：把直线的方程与圆锥曲线的方程联立，解得点A，B 的坐标，然后用两点间距离公式，便得到弦AB的长，一般来说，这种方法较为麻烦．(2)韦达定理法：不求交点坐标，可用韦达定理求解．若直线l的方程用y=kx+m或x=n表示．。
直线与圆锥曲线的位置关系
规律提示：通过直线的代数形式，可以看出直线的特点：:101l y kx =+⇒过定点（，）:(1)1l y k x =+⇒-过定点（，0）:2(1)1l y k x -=+⇒-过定点（，2）证明直线过定点，也是将满足条件的直线整理成以上三种形式之一，再得出结论。
练习：1、过点P(3,2) 和抛物线232--=x x y 只有一个公共点的直线有（ ）条。
A ．4B ．3C ．2D ．1分析：作出抛物线232--=x x y ，判断点P(3,2)相对抛物线的位置。
解：抛物线232--=x x y 如图，点P （3，2）在抛物线的内部，根据过抛物线内一点和抛物线的对称轴平行或重合的直线和抛物线只有一个交点，可知过点P(3,2) 和抛物线232--=x x y 只有一个公共点的直线有一条。
故选择D规律提示：含焦点的区域为圆锥曲线的内部。
（这里可以用公司的设备画图）一、过一定点P 和抛物线只有一个公共点的直线的条数情况：（1）若定点P 在抛物线外，则过点P 和抛物线只有一个公共点的直线有3条：两条切线，一条和对称轴平行或重合的直线；（2）若定点P 在抛物线上，则过点P 和抛物线只有一个公共点的直线有2条：一条切线，一条和对称轴平行或重合的直线；（3）若定点P 在抛物线内，则过点P 和抛物线只有一个公共点的直线有1条：和抛物线的对称轴平行或重合的直线和抛物线只有一个交点。
二、过定点P 和双曲线只有一个公共点的直线的条数情况：（1）若定点P 在双曲线内，则过点P 和双曲线只有一个公共点的直线有2条：和双曲线的渐近线平行的直线和双曲线只有一个公共点；（2）若定点P 在双曲线上，则过点P 和双曲线只有一个公共点的直线有3条：一条切线，2条和渐近线平行的直线；（3）若定点P 在双曲线外且不在渐近线上，则过点P 和双曲线只有一个公共点的直线有4条：2条切线和2条和渐近线平行的直线；（4）若定点P 在双曲线外且在一条渐近线上，而不在另一条渐近线上，则过点P 和双曲线只有一个公共点的直线有2条：一条切线，一条和另一条渐近线平行的直线；（5）若定点P 在两条渐近线的交点上，即对称中心，过点P 和双曲线只有一个公共点的直线不存在。
高考数学大一轮复习 第八章 第9节 直线与圆锥曲线的位置关系
围是( )
A.0，23 C.－23，23
B.－23，0 D.－∞，－23∪23，＋∞
【答案】 C
整理ppt
3．已知倾斜角为 60°的直线 l 通过抛物线 x2＝4y 的焦点，
且与抛物线相交于 A、B 两点，则弦 AB 的长为
．
【答案】 16
整理ppt
4．过椭圆ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的左顶点 A 且斜率为 1 的
【尝试解答】 (1)设动圆圆心的坐标为(x，y)(x＞0)， 因为动圆在 y 轴右侧与 y 轴相切，同时与圆 F2 相外切， 所以|CF2|－x＝1， ∴ x－12＋y2＝x＋1，化简整理得 y2＝4x，曲线 C 的方 程为 y2＝4x(x＞0)；
整理ppt
(2)依题意，c＝1，|PF1|＝73，可得 xp＝23， ∴|PF2|＝53，又由椭圆定义得 2a＝|PF1|＋|PF2|＝73＋53＝4， a＝2. ∴b2＝a2－c2＝3，所以曲线 E 的标准方程为x42＋y32＝1；
2．涉及弦的中点与直线的斜率问题，可考虑“点差法”， 构造出 kAB＝yx11－－yx22和 x1＋x2，y1＋y2，整体代换，求出中点或 斜率，体现“设而不求”的思想．
整理ppt
对点训练 设抛物线过定点 A(－1,0)，且以直线 x＝1 为 准线．
整理ppt
(3)(方法一)设直线 l 与椭圆 E 交点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
A，B 的中点 M 的坐标为(x0，y0)，
设直线 l 方程为 y＝kx＋m(k≠0，m≠0)，
与x42＋y32＝1 联立得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，
由 Δ＞0 得 4k2－m2＋3＞0，
两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝__1_＋__k_2_|x_2_－__x1_|＝ 1＋k12 |y2－y1|.
第九篇解析几何第8讲直线与圆锥曲线的位置关系
当 k≠0 时，上式＝3＋
C．1 D．0 4 m ＋n
2 2
1 3 当且仅当 9k2＝k2，即 k＝± 3 时等号成立．此时|AB|＝2；当 k＝0 时，|AB|＝ 3，综上所 m2＋n2＜2， 述|AB|max＝2. 1 3 3 ∴当|AB|最大时，△AOB 面积取最大值 Smax＝2×|AB|max× 2 ＝ 2 . 当直线(斜率为 k)与圆锥曲线交于点 A(x1，y1)，B(x2，y2)时，则|AB|＝ 1＋k2· |x1
(1)当 AB⊥x 轴时，|AB|＝ 3； |m| 3 2 (2)当 AB 与 x 轴不垂直时，设直线 AB 的方程为 y＝kx＋m.由已知，得 2＝ 2 ，即 m 1＋k 3 ＝4(k2＋1)．把 y＝kx＋m 代入椭圆方程，整理，得(3k2＋1)x2＋6kmx＋3m2－3＝0.
代入椭圆方程并作差得 a(x1＋x2)(x1－x2)＋b(y1＋y2)(y1－y2)＝0. 而 y1－y2 y1＋y2 2 ＝－1， ＝k ＝ ， x1－x2 x1＋x2 oc 2
-4-
x2 【例 3】►(2011· 湘潭模拟)已知椭圆 2 ＋y2＝1 的左焦点为 F，O 为坐标原点． (1)求过点 O、F，并且与直线 l：x＝－2 相切的圆的方程； (2)设过点 F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于 A，B 两点，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴 交于点 G，求点 G 横坐标的取值范围．
答案
C 研究直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为研究其直线方程与圆锥曲线方程
－6km 3m2－1 ∴x1＋x2＝ 2 ，x1x2＝ 2 . 3k ＋1 3k ＋1
2 36k2m2 12m －1 12k2＋13k2＋1－m2 － 2 ＝ ∴|AB|2＝(1＋k2)(x2－x1)2＝(1＋k2)· 2 3k2＋1 3k2＋12 3k ＋1
高考数学一轮总复习第九章平面解析几何第八节直线与圆锥曲线的位置关系课件
x=- ,分别过
2
F( ,0),
2
A,B 作准线的垂线,垂足为点 A',B',
过A作BB'的垂线,垂足为M,设|AA'|=|AF|=t,
∵|BF|=3|FA|,∴|BB'|=|BF|=3t,则|BM|=2t,|AB|=4t,
∴∠ABM=60°.
即直线l的倾斜角∠AFx=120°,可得直线l的斜率为
k=tan 120°= - 3 ,故选A.
考点二
弦长问题
典例突破
例2.(多选)(2023新高考Ⅱ,10)设O为坐标原点,直线 y=- 3(x-1) 过抛物线
C:y2=2px(p>0)的焦点,且与C交于M,N两点,l为C的准线,则(
A.p=2
B.|MN|=
8
3
C.以MN为直径的圆与l相切
D.△OMN为等腰三角形
21
22
(2 -1 )(2 +1 )
2
2
+1 =1, +2 =1,两式作差,得
+(y2-y1)(y2+y1)=0.因为
2
2
2
2 -1
0
x1+x2=2x0,y1+y2=2y0, - =kAB,所以 kAB=-2 .
2 1
0
(1)设弦中点为 M(x,y),由①式, 得
2=-2,所以
= 16 2 -4 × (1- 2 ) × (-10) > 0,
4
A(x1,y1),B(x2,y2),则 1 + 2 =
1 2 =
解得-
15
<k<-1.故选
3
高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9 第8讲 直线与圆锥曲线的位置关系课件 文
所以直线 l 的方程为 y＝ 22x＋2 2或 y＝－ 22x－2 2.
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第十四页，共四十一页。
直线与圆锥曲线位置关系的判定及应用 (1)判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组 得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程根的判别式来 确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为 0. (2)依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时，联立方程并消 元，得到一元方程，此时注意观察方程的二次项系数是否为 0， 若为 0，则方程为一次方程；若不为 0，则将方程解的个数转化 为判别式与 0 的大小关系求解．
|MN|＝
1＋14|x1－x2|＝
5 2
8b2－1，
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l：x－2y－1＝0，抛物线焦点为 F(0，2)，则点 F 到直线 l 的距
离 d＝|0－45－1|＝ 5，
所以
S△FMN＝12|MN|×d＝12×
5 2
8b2－1×
5＝5 431，解得 b2
＝4， 所以椭圆 C 的标准方程为1x62＋y42＝1.
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弦长问题(师生共研) (一题多解)(2019·南昌市第一次模拟测试)已知椭圆 C：xa22 ＋by22＝1(a>b>0)的下顶点为 A，右顶点为 B，离心率 e＝ 23.抛物 线 E：y＝x82的焦点为 F，P 是抛物线 E 上一点，抛物线 E 在点 P 处的切线为 l，且 l∥AB. (1)求直线 l 的方程； (2)若 l 与椭圆 C 相交于 M，N 两点，且 S△FMN＝5 431，求椭圆 C 的标准方程．
第八节直线与圆锥曲线位置关系的综合应用-高考状元之路
第八节 直线与圆锥曲线位置关系的综合应用预习设计 基础备考知识梳理1．直线与圆锥曲线的位置关系(1)从几何角度看，可分为三类： 及有两个(2)从代数角度看，可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断，设直线l 的方程为,0=++c By Ax 圆锥曲线方程为.0),(=y x f 由⎩⎨⎧==++,0),(,0y x f C By Ax 消元．(如消去y)得.02=++c bx ax①若 ，当圆锥曲线是双曲线时，直线l 与双曲线的渐近线平行；当圆锥曲线是抛物线时，直线l 与抛物线的对称轴平行（或重合）． ②若,0=/a 设.42ac b -=∆a ．当 时，直线和圆锥曲线相交于不同两点；b ．当 时，直线和圆锥曲线相切于一点；c ．当 时，直线和圆锥曲线没有公共点．2．直线与圆锥曲线相交时的弦长公式(1)斜率为k 的直线与圆锥曲线交于两点),,(111γx p ),,(222y x p 则所得弦长：]4)[()1(||21221221x x x x k p p -++=||||121212p p x x k 或-⋅+= ]4))[(11(212212y y y y k-++= =(2)斜率不存在时，可求出交点坐标，直接运算（利用坐标轴上两点间距离公式）．3．弦中点问题遇到弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在椭圆12222=+by a x 中，以),(00y x p 为中点的弦所在直线的斜率=k ；在双曲线12222=-by a x 中，以),(00y x P 为中点的弦所在直线的斜率=k 在抛物线)0(22>=P Px y 中，以),(00y x p 为中点的弦所在直线的斜率 在使用根与系数关系时，要注意使用条件是.0≥∆典题热身1．直线1+-=k kx y 与椭圆14922=+y x 的位置关系为 ( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不确定答案：A2．若不论k 为何值，直线b x k y +-=)2(与曲线122=-y x 总有公共点，则k 的取值范围是 ( ))3,3.(-A ]3,3.[-B )2,2.(-c ]2,2.[-D答案：B3．直线1+=x y 截抛物线Px y 22=所得弦长为,62此抛物线方程为( )x y A 22-=⋅ x y B 62=⋅ x y x y c 6222=-=⋅或 D ．以上都不对答案：C4．椭圆122=+by ax 与直线x y -=1交于A 、B 两点，若过原点与线段AB 中点的直线的倾斜角为,30 则ba的值为 ( ) 43.A 33.B 23.c 3.D答案：B5．椭圆12422=+y x 中过点P(l ，1)的弦恰好被P 点平分，则此弦所在直线的方程是 答案：032=-+y x课堂设计 方法备考题型一 直线与圆锥曲线的位置关系【例1】在平面直角坐标系xOy 中，经过点)2,0(且斜率为k 的直线l 与椭圆1222=+y x 有两个不同的交点P 和Q ．(1)求k 的取值范围．(2)设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A 、B ，是否存在常数k ，使得向量与+ 共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．题型二 圆锥曲线中的弦长问题【例2】已知△ABC 的顶点A ，B 在椭圆4322=+y x 上，C 在直线2:+=x y l 上，且.//l AB(1)当AB 边透过坐标原点O 时，求AB 的长及△ABC 的面积； (2)当,90=∠ABC 且斜边AC 的长最大时，求AB 所在直线的方程.题型三 圆锥曲线的弦中点问题【例3】已知椭圆1222=+y x 的左焦点为F ，0为坐标原点． (1)求过点O 、F ，并且与直线2:-=x l 相切的圆的方程；(2)设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围，题型四 圆锥曲线中的定点、定值、最值问题【例4】已知椭圆12422=+y x 上的两个动点P ，Q 及定点F M ),26,1(是椭圆的左焦点，且|||,||,|QF MF PF 成等差数列．(1)求证：线段PQ 的垂直平分线经过一个定点A ；(2)设点A 关于原点O 的对称点是B ，求︱PB ︱的最小值及相应的P 点坐标，技法巧点(1)解决直线与椭圆的位置关系问题，如果直线与椭圆有两个不同交点，①若根据已知条件能求出两交点的坐标，这不失为一种彻底有效的方法；②若两交点的坐标不好表示，可将直线方程c kx y +=代人椭圆方程12222=+by a x 整理出关于x(或y)的一元二次方程,0.,022>-=∆=++C B C Bx Ax可利用根与系数之间的关系求弦长（弦长为⋅∆+)||12A k(2)弦的中点问题，以及交点与原点连线的垂直等问题，①求弦长可注意弦是否过椭圆焦点；②弦的中点问题还可利用“点差法”和“对称法”；③解决,BO AO ⊥可以利用向量BO AO ⊥均充要条件即.0=⋅失误防范1．在解决直线与抛物线的位置关系时，要特别注意直线与抛物线的对称轴平行的特殊情况．2．一元二次方程根与系数的关系的应用是建立在直线与圆锥曲线有两个交点的前提之下的，即二次项系数不为O 及△≥O，忽视这一前提，往往导致解题失误，随堂反馈1．过椭圆15622=+y x 内的一点)1,2(-p 的弦，恰好被P 点平分，则这条弦所在的直线方程是 ( ) 01335.=--y x A 01335.=-+y x B 01335.=+-y x C 01335.=++y x D答案；A2．（2010．全国新课标）已知双曲线E 的中心为原点，F(3，O)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A 、B两点，且AB 的中点为N(-12，-15)，则E 的方程为 ( )163.22=-y x A 154.22=-y x B 136.22=-y x c 145.22=-y x D答案：B3．已知过抛物线x y 62=焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角是( )656ππ或⋅A 434ππ或⋅B 323ππ或⋅c 2π⋅D 答案：B4．(2011．南通模拟)若抛物线),0(22>=P Px y 过其焦点F 倾斜角为60的直线l 交抛物线于A 、B 两点，且.4||=AB 则此抛物线的方程为 答案：x y 32=5．（2010．湖北高考）已知椭圆12:22=+y x C 的两焦点为,1F ,2F 点),(00y x P 满足,1202020<+<y x 则 ||||21PF PF +的取值范围为 ，直线1200=+y y xx 与椭圆C 的公共点个数为 答案：0)22,2[高效作业 技能备考一、选择题1.（2010．山东郓城实验中学期末）已知对,R k ∈直线-y 01=-kx 与椭圆1522=+m y x 恒有公共点，则实数m 的取值范围是( ))1,0.(A )5,0.(B ),5()5,1.[∝+ c )5,1.[D答案：C2．(2010．全国新课标)已知抛物线x y C 4:2=的焦点为F ，直线42-=x y 与C 交于A ，B 两点，则=∠AFB cos ( ) 54.A 53.B 53.-c 54.-D 答案：D3．（2011．温州模拟）已知A 、B 、P 是双曲线,0(12222>=-a by a x )0>b 上不同的三个点，且A 、B 连线经过坐标原点，若直线PA 、PB 的斜率乘积,32=PB PA k k 则双曲线的离心率为( )25.A 26.B 2.c 315.D答案：D4．(2010．湖南常德期末)设直线022:=-+y x l 与椭圆+2x 142=y 的交点为A 、B ，点P 是椭圆上的动点，则使△PAB 面积为31的点P 的个数为（ ）1.A2.B3.C4.D答案：D5．（2011．大连二十四中模拟）已知双曲线,0(12222>=-a by a x )0>b 的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( ))2,1.(A )2,1.(-B ),2.(+∞c ),2.[+∞D答案：D6．(2011．杭州学军中学月考)直线3:+=x y l 与曲线-92y 14||=⋅x x 交点的个数为( ) 0.A 1.B 2.c 3.D答案：D二、填空题7．过椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左顶点A 作斜率为l 的直线，与椭圆的另一个交点为M ，与y 轴的交点为B.若=AM ,MB 则该椭圆的离心率为 答案：368．(2010．湖南长沙一中期末)已知F 是抛物线x y C 4:2=的焦点，过F 且斜率为3的直线交C 于A ，B 两点．设>||FA |,|FB 则||FA 与||FB 的比值等于 答案：39．直线1:+=kx y l 与双曲线1:22=-y x C 有且仅有一个公共点，则=k答案：21±±或三、解答题10．(2010．天津高考)已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率,23=e 连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4．(1)求椭圆的方程；(2)设直线l 与椭圆相交于不同的两点A ，B ，已知点A 的坐标为),0(),0,(0y Q a 点-在线段AB 的垂直平分线上，且0,4y QB OA 求=⋅的值.11．(2011．山东日照质检)已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的离心率为,21直线6+=x y 与以原点为圆心，以椭圆C 的短半轴长为半径的圆相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线)0(:=/+=k m kx y l 与椭圆C 交于不同的两点M 、N ，且线段MN 的垂直平分线过定点),0,81(G 求实数k 的取值范围．12.（2010．安徽高考）如图，已知椭圆E 经过点A(2，3)，对称轴为坐标轴，焦点21,F F 在x 轴上，离心率⋅=21e (1)求椭圆E 的方程；(2)求21AF F ∠的平分线所在直线l 的方程；(3)在椭圆E 上是否存在关于直线l 对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由．。
高考数学总复习 第八章第九节 直线与圆锥曲线的位置关系课件 理
又因为 m＞1，所以 m＝ 2. 故直线 l 的方程为 x－ 2y－1＝0.
22
(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
x＝my＋m ， 2 由 2 x 2＋y2＝1， m
2
2
2 m 消去 x 得 2y2＋my＋ －1＝0， 4
m2 则由 Δ＝m －8( －1)＝－m2＋8＞0，知 m2＜8， 4 m m2 1 且有 y1＋y2＝－ ，y1y2＝ － . 2 8 2 由于 F1(－c,0)，F2(c,0)，故 O 为 F1F2 的中点． → ＝2GO → ，BH → ＝2HO →， 由AG x1 y1 x2 y 2 可知 G( ， )，H( ， )， 3 3 3 3
2
16 解得－ ＜k2＜8，② 13 由①，②知 5＜k2＜8. ∴ 5＜k＜2 2或－2 2＜k＜－ 5.
20
最值与范围问题
(2012· 广州质检)
m2 x2 已知 m＞1，直线 l：x－my－ ＝0，椭圆 C： 2＋y2 2 m ＝1，F1，F2 分别为椭圆 C 的左、右焦点，如图 8－9－1 所示． (1)当直线 l 过右焦点 F2 时，求直线 l 的方程； (2)设直线 l 与椭圆 C 交于 A， B 两点， △AF1F2， △BF1F2 的重心分别为 G， H.若原点 O 在以线段 GH 为直径的圆内， 求实数 m 的取值范围．
15
c 2 3 【尝试解答】 (1)由已知得 c＝2 2， ＝ ， a 3 ∴a＝3， ∴b2＝a2－c2＝1， y2 故椭圆方程为 ＋x2＝1. 9 π (2)由题意知，直线的倾斜角不可能为 0 和 ， 2 ∴设直线方程为 y＝kx＋m(k≠0)．
y＝kx2＋m， 由 2 y 消去 y 得(k2＋9)x2＋2kmx＋m2－9＝0， x ＋ 9 ＝1，
2019届高考数学一轮复习第九章平面解析几何第八节直线与圆锥曲线的位置关系课件文
2.直线与圆锥曲线相交的弦长问题
直线l:f(x,y)=0,圆锥曲线r:F(x,y)=0,l与r有两个不同的交点A(x1,y1),B(x2,
f ( x, y ) 0, y2),则A、B两点的坐标是方程组 的两组解,方程组消元后化为 F ( x , y ) 0
关于x(或y)的一元二次方程ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0),判别式Δ=b2-4ac, 应有Δ>0,所以x1,x2(或y1,y2)是方程ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0)的两个根.
由根与系数的关系得x1+x2=- ,x1· x2= 或 y y , y y 1 2 1 2 ,以此结合 a a a a
b
c
b
c
Байду номын сангаас
弦长公式可整体代入求值.A、B两点间的距离|AB|=⑥
1 k
2
|x1-x2| =
( x1 x2 ) 2 4 x1 x2 (其中k为直线l的斜率),也可以写成关于y的形式, 1 k2 ·
2.双曲线的切线方程
x2 y 2 x0 x y0 y (1)双曲线 =1( a >0, b >0) 上一点 P ( x , y ) 处的切线方程是 - =1. 0 0 a2 b2 a 2 b2 x2 y 2 (2)过双曲线 - =1(a>0,b>0)外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦所 2 2 a b x0 x y0 y 在直线方程是 - =1. 2 2 a b 2 2 x y 2 2 2 2 (3)双曲线 =1( a >0, b >0) 与直线 Ax + By + C =0 相切的条件是 A a B b= 2 2 a b
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第8讲 直线与圆锥曲线的位置关系【高考会这样考】1．考查圆锥曲线中的弦长问题、直线与圆锥曲线方程的联立、根与系数的关系、整体代入和设而不求的思想．2．高考对圆锥曲线的综合考查主要是在解答题中进行，考查函数、方程、不等式、平面向量等在解决问题中的综合运用． 【复习指导】本讲复习时，应从“数”与“形”两个方面把握直线与圆锥曲线的位置关系．会判断已知直线与曲线的位置关系(或交点个数)，会求直线与曲线相交的弦长、中点、最值、定值、点的轨迹、参数问题及相关的不等式与等式的证明问题．基础梳理1．直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A 、B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或变量y )的一元方程．即⎩⎨⎧Ax ＋By ＋C ＝0，F (x ，y )＝0，消去y 后得ax 2＋bx ＋c ＝0. (1)当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则Δ＞0⇔直线与圆锥曲线C 相交；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C 相切； Δ＜0⇔直线与圆锥曲线C 无公共点．(2)当a ＝0，b ≠0时，即得到一个一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行． 2．圆锥曲线的弦长 (1)圆锥曲线的弦长直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点为端点的线段叫做圆锥曲线的弦(就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段)，线段的长就是弦长．(2)圆锥曲线的弦长的计算设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2＝1＋k2|x1－x2|＝1＋1k2·|y1－y2|.(抛物线的焦点弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2θ，θ为弦AB所在直线的倾斜角)．一种方法点差法：在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交和被截的线段的中点坐标时，设出直线和圆锥曲线的两个交点坐标，代入圆锥曲线的方程并作差，从而求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程．“点差法”的常见题型有：求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题．必须提醒的是“点差法”具有不等价性，即要考虑判别式Δ是否为正数．一条规律“联立方程求交点，根与系数的关系求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”．双基自测1．(人教A版教材习题改编)直线y＝kx－k＋1与椭圆x29＋y24＝1的位置关系为()．A．相交B．相切C．相离D．不确定解析直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1,1)，而点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．答案 A2．(2012·泉州质检)“直线与双曲线相切”是“直线与双曲线只有一个公共点”的()．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析 与渐近线平行的直线也与双曲线有一个公共点． 答案 A3．已知以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为( )．A ．3 2B ．2 6C ．27D ．4 2解析 根据题意设椭圆方程为x 2b 2＋4＋y 2b 2＝1(b ＞0)，则将x ＝－3y －4代入椭圆方程，得4(b 2＋1)y 2＋83b 2y －b 4＋12b 2＝0，∵椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，∴Δ＝(83b 2)2－4×4(b 2＋1)·(－b 4＋12b 2)＝0，即(b 2＋4)(b 2－3)＝0，∴b 2＝3，长轴长为2b 2＋4＝27. 答案 C4．(2012·成都月考)已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为( )． A.x 23－y 26＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 26－y 23＝1D.x 25－y 24＝1解析 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意知c ＝3，a 2＋b 2＝9，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有：⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b2＝1，x 22a 2－y 22b2＝1，两式作差得：y 1－y 2x 1－x 2＝b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2)＝－12b 2－15a 2＝4b 25a 2，又AB 的斜率是－15－0－12－3＝1，所以将4b 2＝5a 2代入a 2＋b 2＝9得a 2＝4，b 2＝5，所以双曲线的标准方程是x 24－y 25＝1.答案 B5．(2011·泉州模拟)y ＝kx ＋2与y 2＝8x 有且仅有一个公共点，则k 的取值为________．解析 由⎩⎨⎧y ＝kx ＋2，y 2＝8x ，得ky 2－8y ＋16＝0，若k ＝0，则y ＝2；若k ≠0，则Δ＝0，即64－64k ＝0，解得k ＝1.故k ＝0或k ＝1. 答案 0或1考向一 直线与圆锥曲线的位置关系【例1】►(2011·合肥模拟)设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( )． A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 B ．[－2,2] C ．[－1,1]D ．[－4,4][审题视点] 设直线l 的方程，将其与抛物线方程联立，利用Δ≥0解得． 解析 由题意得Q (－2,0)．设l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入y 2＝8x 得k 2x 2＋4(k 2－2)x ＋4k 2＝0，∴当k ＝0时，直线l 与抛物线恒有一个交点；当k ≠0时，Δ＝16(k 2－2)2－16k 4≥0，即k 2≤1，∴－1≤k ≤1，且k ≠0，综上－1≤k ≤1. 答案 C研究直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为研究其直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数，但对于选择题、填空题，常充分利用几何条件，利用数形结合的方法求解．【训练1】 若直线mx ＋ny ＝4与⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数是( )． A ．至多为1 B ．2 C ．1 D ．0 解析 由题意知：4m 2＋n2＞2，即m 2＋n 2＜2， ∴点P (m ，n )在椭圆x 29＋y 24＝1的内部，故所求交点个数是2个． 答案 B考向二 弦长及中点弦问题【例2】►若直线l 与椭圆C ：x 23＋y 2＝1交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为32，求△AOB 面积的最大值．[审题视点] 联立直线和椭圆方程，利用根与系数关系后代入弦长公式，利用基本不等式求出弦长的最大值即可． 解 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． (1)当AB ⊥x 轴时，|AB |＝3；(2)当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m .由已知，得|m |1＋k2＝32，即m 2＝34(k 2＋1)．把y ＝kx ＋m 代入椭圆方程，整理，得(3k 2＋1)x 2＋6kmx ＋3m 2－3＝0.∴x 1＋x 2＝－6km 3k 2＋1，x 1x 2＝3(m 2－1)3k 2＋1.∴|AB |2＝(1＋k 2)(x 2－x 1)2＝(1＋k 2)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤36k 2m 2(3k 2＋1)2－12(m 2－1)3k 2＋1＝12(k 2＋1)(3k 2＋1－m 2)(3k 2＋1)2＝3(k 2＋1)(9k 2＋1)(3k 2＋1)2＝3＋12k 29k 4＋6k 2＋1.当k ≠0时，上式＝3＋129k 2＋1k 2＋6≤3＋122×3＋6＝4， 当且仅当9k 2＝1k 2，即k ＝±33时等号成立．此时|AB |＝2；当k ＝0时，|AB |＝3，综上所述|AB |max ＝2.∴当|AB |最大时，△AOB 面积取最大值S max ＝12×|AB |max ×32＝32.当直线(斜率为k )与圆锥曲线交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)时，则|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝1＋1k 2|y 1－y 2|，而|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，可根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的代数式，然后再进行整体代入求解．【训练2】 椭圆ax 2＋by 2＝1与直线x ＋y －1＝0相交于A ，B 两点，C 是AB 的中点，若AB ＝22，OC 的斜率为22，求椭圆的方程． 解 法一 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)， 代入椭圆方程并作差得a (x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋b (y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0. 而y 1－y 2x 1－x 2＝－1，y 1＋y 2x 1＋x 2＝k oc ＝22， 代入上式可得b ＝2a .再由|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝2|x 2－x 1|＝22， 其中x 1、x 2是方程(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0的两根， 故⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋b 2－4·b －1a ＋b ＝4，将b ＝2a 代入得a ＝13，∴b ＝23. ∴所求椭圆的方程是x 23＋2y 23＝1.法二 由⎩⎨⎧ax 2＋by 2＝1，x ＋y ＝1，得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0.设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)， 则|AB |＝(k 2＋1)(x 1－x 2)2＝2·4b 2－4(a ＋b )(b －1)(a ＋b )2.∵|AB |＝22，∴a ＋b －aba ＋b＝1.①设C (x ，y )，则x ＝x 1＋x 22＝b a ＋b ，y ＝1－x ＝aa ＋b， ∵OC 的斜率为22，∴a b ＝22. 代入①，得a ＝13，b ＝23. ∴椭圆方程为x 23＋23y 2＝1.考向三 圆锥曲线中的最值(或取值范围)问题【例3】►(2011·湘潭模拟)已知椭圆x 22＋y 2＝1的左焦点为F ，O 为坐标原点． (1)求过点O 、F ，并且与直线l ：x ＝－2相切的圆的方程；(2)设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围．[审题视点] (1)求出圆心和半径，得出圆的标准方程；(2)设直线AB 的点斜式方程，由已知得出线段AB 的垂直平分线方程，利用求值域的方法求解．解 (1)∵a 2＝2，b 2＝1，∴c ＝1，F (－1,0)， ∵圆过点O ，F ，∴圆心M 在直线x ＝－12上． 设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，t ，则圆半径r ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－(－2)＝32，由|OM |＝r ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋t 2＝32，解得t ＝±2，∴所求圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y ±2)2＝94.(2)设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)，代入x 22＋y 2＝1， 整理得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0.∵直线AB 过椭圆的左焦点F 且不垂直于x 轴， ∴方程有两个不等实根．如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 中点N (x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝－4k 22k 2＋1，x 0＝12(x 1＋x 2)＝－2k 22k 2＋1，y 0＝k (x 0＋1)＝k2k 2＋1，∴AB 的垂直平分线NG 的方程为y －y 0＝－1k (x －x 0)． 令y ＝0，得x G ＝x 0＋ky 0＝－2k 22k 2＋1＋k 22k 2＋1＝－k 22k 2＋1＝－12＋14k 2＋2，∵k ≠0，∴－12＜x G ＜0，∴点G 横坐标的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0.直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦和中点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热点题型．【训练3】 (2012·金华模拟)已知过点A (－4,0)的动直线l 与抛物线G ：x 2＝2py (p ＞0)相交于B 、C 两点．当直线l 的斜率是12时，AC →＝4AB →. (1)求抛物线G 的方程；(2)设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围．解 (1)设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，当直线l 的斜率是12时，l 的方程为y ＝12(x ＋4)，即x ＝2y －4.由⎩⎨⎧x 2＝2py ，x ＝2y －4得2y 2－(8＋p )y ＋8＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1y 2＝4， ①y 1＋y 2＝8＋p 2， ②又∵AC →＝4AB →，∴y 2＝4y 1，③ 由①②③及p ＞0得：y 1＝1，y 2＝4，p ＝2， 得抛物线G 的方程为x 2＝4y .(2)设l ：y ＝k (x ＋4)，BC 的中点坐标为(x 0，y 0)，由⎩⎨⎧x 2＝4y ，y ＝k (x ＋4)得x 2－4kx －16k ＝0，④ ∴x 0＝x C ＋x B 2＝2k ，y 0＝k (x 0＋4)＝2k 2＋4k . ∴线段BC 的中垂线方程为y －2k 2－4k ＝－1k (x －2k )， ∴线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为： b ＝2k 2＋4k ＋2＝2(k ＋1)2，对于方程④，由Δ＝16k 2＋64k ＞0得k ＞0或k ＜－4. ∴b ∈(2，＋∞)．考向四 定值(定点)问题【例4】►(2011·四川)椭圆有两顶点A (－1,0)、B (1,0)，过其焦点F (0,1)的直线l 与椭圆交于C 、D 两点，并与x 轴交于点P .直线AC 与直线BD 交于点Q . (1)当|CD |＝322时，求直线l 的方程．(2)当点P 异于A 、B 两点时，求证：O P →·O Q →为定值．[审题视点] (1)设出直线方程与椭圆方程联立．利用根与系数的关系和弦长公式可求出斜率从而求出直线方程；(2)关键是求出Q 点坐标及其与P 点坐标的关系，从而证得OP →·OQ →为定值．证明过程中要充分利用已知条件进行等价转化． (1)解 因椭圆焦点在y 轴上，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)， 由已知得b ＝1，c ＝1，所以a ＝2，椭圆方程为y 22＋x 2＝1. 直线l 垂直于x 轴时与题意不符．设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，将其代入椭圆方程化简得 (k 2＋2)x 2＋2kx －1＝0. 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2k k 2＋2，x 1·x 2＝－1k 2＋2，|CD |＝k 2＋1·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝22(k 2＋1)k 2＋2.由已知得22(k 2＋1)k 2＋2＝322，解得k ＝±2.所以直线l 的方程为y ＝2x ＋1或y ＝－2x ＋1. (2)证明 直线l 与x 轴垂直时与题意不符． 设直线l 的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0且k ≠±1)， 所以P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ，0.设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由(1)知x 1＋x 2＝－2k k 2＋2，x 1·x 2＝－1k 2＋2，直线AC 的方程为y ＝y 1x 1＋1(x ＋1)， 直线BD 的方程为y ＝y 2x 2－1(x －1)， 将两直线方程联立，消去y 得x ＋1x －1＝y 2(x 1＋1)y 1(x 2－1).因为－1＜x 1，x 2＜1，所以x ＋1x －1与y 2y 1异号．⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －12＝y 22(x 1＋1)2y 21(x 2－1)2 ＝2－2x 222－2x 21·(x 1＋1)2(x 2－1)2＝(1＋x 1)(1＋x 2)(1－x 1)(1－x 2) ＝1＋－2k k 2＋2＋－1k 2＋21－－2k k 2＋2＋－1k 2＋2＝⎝⎛⎭⎪⎫k －1k ＋12. 又y 1y 2＝k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1 ＝2(1－k )(1＋k )k 2＋2＝－2(1＋k )2k 2＋2·k －1k ＋1，∴k －1k ＋1与y 1y 2异号，x ＋1x －1与k －1k ＋1同号， ∴x ＋1x －1＝k －1k ＋1，解得x ＝－k . 因此Q 点坐标为(－k ，y 0)． O P →·O Q →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ，0·()－k ，y0＝1. 故O P →·O Q →为定值．解决圆锥曲线中的定值问题的基本思路很明确：即定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题中的直线方程、数量积等，其不受变化的量所影响的一个值即为定值，化解这类问题的关键是引进参数表示直线方程、数量积等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量，解题过程中要注意讨论直线斜率的存在情况，计算要准确． 【训练4】 (2011·山东)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 23＋y 2＝1.如图所示，斜率为k (k ＞0)且不过原点的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，线段AB 的中点为E ，射线OE 交椭圆C 于点G ，交直线x ＝－3于点D (－3，m )．(1)求m 2＋k 2的最小值；(2)若|OG |2＝|OD |·|OE |，求证：直线l 过定点．(1)解 设直线l 的方程为y ＝kx ＋t (k ＞0)，由题意，t ＞0.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋t ，x 23＋y 2＝1，得(3k 2＋1)x 2＋6ktx ＋3t 2－3＝0.由题意Δ＞0，所以3k 2＋1＞t 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－6kt 3k 2＋1， 所以y 1＋y 2＝2t 3k 2＋1. 由于E 为线段AB 的中点，因此x E ＝－3kt 3k 2＋1， y E ＝t 3k 2＋1， 此时k OE ＝y E x E ＝－13k .所以OE 所在直线方程为y ＝－13k x ，又由题设知D (－3，m )，令x ＝－3，得m ＝1k ，即mk ＝1，所以m 2＋k 2≥2mk ＝2，当且仅当m ＝k ＝1时上式等号成立，此时由Δ＞0得0＜t ＜2，因此当m ＝k ＝1且0＜t ＜2时，m 2＋k 2取最小值2.(2)证明 由(1)知OD 所在直线的方程为y ＝－13k x ，将其代入椭圆C 的方程，并由k ＞0，解得G ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k 3k 2＋1，13k 2＋1. 又E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3kt 3k 2＋1，t 3k 2＋1，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，1k ， 由距离公式及t ＞0得|OG |2＝⎝⎛⎭⎪⎫－3k 3k 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13k 2＋12＝9k 2＋13k 2＋1， |OD |＝(－3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＝9k 2＋1k ， |OE |＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3kt 3k 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t 3k 2＋12＝t 9k 2＋13k 2＋1， 由|OG |2＝|OD |·|OE |得t ＝k ，因此直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，所以直线l 恒过定点(－1,0)．规范解答17——怎样求解析几何中的探索性问题【问题研究】 解析几何中探索性问题的结论往往不明确，需要根据已知条件通过推理论证或是计算对结论作出明确的肯定或是否定，因此解决起来具有较大的难度．【解决方案】 明确这类问题的解题思想：即假设其结论成立、存在等，在这个假设下进行推理论证，如果得到了一个合情合理的推理结果，就肯定假设，对问题作出正面回答，如果得到一个矛盾的结果，就否定假设，对问题作出反面回答．【示例】►(本题满分12分)(2011·辽宁)如图，已知椭圆C 1的中心在原点O ，长轴左、右端点M 、N 在x 轴上，椭圆C 2的短轴为MN ，且C 1，C 2的离心率都为e .直线l ⊥MN ，l 与C 1交于两点，与C 2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D .(1)设e ＝12，求|BC |与|AD |的比值；(2)当e 变化时，是否存在直线l ，使得BO ∥AN ，并说明理由．第(1)问，设C 1的方程，C 2的方程同样由C 1的系数a ，b 来表示，再分别求点A 、B 的坐标，进而可求|BC |∶|AD |；第(2)问利用k BO ＝k AN ，得t 与e 、a 的关系式，再由|t |＜a ，求e 的范围．[解答示范] (1)因为C 1，C 2的离心率相同，故依题意可设C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1，C 2：b 2y 2a 4＋x 2a 2＝1，(a ＞b ＞0)．设直线l ：x ＝t (|t |＜a )，分别与C 1，C 2的方程联立，求得A (t ，a b a 2－t 2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，b a a 2－t 2.(4分) 当e ＝12时，b ＝32a ，分别用y A ，y B 表示A ，B 的纵坐标，可知|BC |∶|AD |＝2|y B |2|y A|＝b 2a 2＝34.(6分) (2)t ＝0时的l 不符合题意．t ≠0时，BO ∥AN 当且仅当BO 的斜率k BO 与AN 的斜率k AN 相等，即b a a 2－t 2t ＝a b a 2－t2t －a，(8分) 解得t ＝－ab 2a 2－b 2＝－1－e 2e 2·a . 因为|t |＜a ，又0＜e ＜1，所以1－e 2e 2＜1，解得22＜e ＜1.(10分) 所以当0＜e ≤22时，不存在直线l ，使得BO ∥AN ；当22＜e ＜1时，存在直线l ，使得BO ∥AN .(12分)本题探索的是离心率e 的变化范围，化解这个难点的方法首先假设存在直线l ，使得BO ∥AN ，根据k BO ＝k AN ，再由|t |＜a 构建关于e 的不等式，解出e 的范围，最后作出肯定回答．【试一试】 已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上每一点到点F (1,0)的距离减去它到y 轴距离的差都是1.(1)求曲线C 的方程；(2)是否存在正数m ，对于过点M (m,0)且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直线，都有F A →·FB→＜0？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由． [尝试解答] (1)设P (x ，y )是曲线C 上任意一点，那么点P (x ，y )满足： (x －1)2＋y 2－x ＝1(x ＞0)．化简得y 2＝4x (x ＞0)．(2)设过点M (m,0)(m ＞0)的直线l 与曲线C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．设l 的方程为x ＝ty ＋m ，由⎩⎨⎧ x ＝ty ＋m ，y 2＝4x ，得y 2－4ty －4m ＝0， Δ＝16(t 2＋m )＞0，于是⎩⎨⎧y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4m .① 又F A →＝(x 1－1，y 1)，FB →＝(x 2－1，y 2)．F A →·FB →＜0⇔(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2＜0.② 又x ＝y 24，于是不等式②等价于y 214·y 224＋y 1y 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214＋y 224＋1＜0⇔(y 1y 2)216＋y 1y 2－14[(y 1＋y 2)2－2y 1y 2]＋1＜0，③由①式，不等式③等价于m 2－6m ＋1＜4t 2，④对任意实数t,4t 2的最小值为0，所以不等式④对于一切t 成立等价于m 2－6m ＋1＜0，即3－22＜m ＜3＋2 2.由此可知，存在正数m ，对于过点M (m,0)且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直线，都有F A →·FB→＜0，且m 的取值范围是(3－22，3＋22)．。