【高考精品复习】第九篇解析几何第8讲直线与圆锥曲线的位置关系

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直线与圆锥曲线的位置关系课件(62张)

而
x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+ 2)(kx2+ 2)=(k 2+1)x1x2+ 2k(x1+x2)+2=(k2+1)·
6 2k
-9
1-3 2
+ 2k·
2
+2=
1-3 2
2
3 +7
于是
3 +7
3 2-1
,
1
3
>2,解此不等式得 <k 2<3.②
3 2-1
1
由①②得 <k 2<1.
3
故 k 的取值范围为 -1,-
3
3
∪
3
,1
3
.
在讨论直线和圆锥曲线的位置关系时,先联立方程组,再消去
x(或 y),得到关于 y(或 x)的方程,如果是直线与圆或椭圆,则所得方程一定为
一元二次方程;如果是直线与双曲线或抛物线,则需讨论二次项系数等于
零和不等于零两种情况,只有二次方程才有判别式,另外还应注意斜率不
或|MN|= 1 +
1

2 |y1-y2|=
1+
1

2
[(1 + 2 )2 -41 2 ]求距离.
(2)当直线的斜率 k 不存在时,可求出交点坐标,直接计算.

第8章第9讲第1课时解析几何

b2x0 a2y0
；在抛物线y2＝2px(p
＞0)中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝yp0.
第八章解析几何
高考一轮总复习 • 数学 • 新高考
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1．判定直线与圆位置关系的关键是圆心到直线的距离与半径的大小关系． 2．判定过定点的直线与椭圆的位置关系应关注定点与椭圆的位置关系． 3．判定过定点的直线与双曲线的位置关系应注意直线斜率与渐近线斜率的关系，过定点与双曲线只有一个公共点的直线可能与双曲线相切，可能与渐近线平行． 4．过定点与抛物线只有一个公共点的直线可能与抛物线相切，可能与对称轴平行．
，得(1＋5k2)x2＋20k2x＋20k2－5＝0，
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第八章解析几何
高考一轮总复习 • 数学 • 新高考
设B(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝－1＋205kk22，x1x2＝2102k＋2－5k52.
则|BQ|＝ 1＋k2[x1＋x22－4x1x2] ＝ 1＋k2· －1＋205kk222－801k＋2－5k220
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第八章解析几何
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6．(2020·温州模拟)双曲线
x2 a2
－
y2 b2
＝1(a>0，b>0)上一点M(－3，4)关于一条渐近
线的对称点恰为双曲线的右焦点F2，则该双曲线的标准方程为__x5_2_－__2y_02_＝__1___.

数学高考复习名师精品教案：第64课时：第八章圆锥曲线方程-直线与圆锥的位置关系(1)

数学高考复习名师精品教案

第64课时：第八章圆锥曲线方程——直线与圆锥的位置关系（1）

课题：直线与圆锥的位置关系（1）

一．复习目标：

1．掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法，能够把研究直线与圆锥曲线的位置关系的问题转化为研究方程组的解的问题；

2．会利用直线与圆锥曲线的方程所组成的方程组消去一个变量，将交点问题问题转化为一元二次方程根的问题，结合根与系数关系及判别式解决问题．二．知识要点：

1．直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法：

直线l：(,)0

f x y=和曲线的公共:(,)0

C g x y=点坐标是方程组

(,)0

f x y

g x y

⎧

⎨

⎩

的解，

l和C的公共点的个数等于方程组不同解的个数．这样就将l和C的交点问题转化为方程组的解问题研究，对于消元后的一元二次方程，必须讨论二次项系数和判别式∆，若能数形结合，借助图形的几何性质则较为简便．

2．弦的中点或中点弦的问题，除利用韦达定理外，也可以运用“差分法”（也叫“点差法”）．

三．课前预习：

1．直线y x b =+与抛物线22y x =，当b ∈ 时，有且只有一个公共点；当b ∈ 时，有两个不同的公共点；当b ∈ 时，无公共点．

2．若直线1y kx =+和椭圆22125x y m

+=恒有公共点，则实数m 的取值范围为．

3．抛物线2y ax =与直线y kx b =+(0)k ≠交于,A B 两点，且此两点的横坐标分别为1x ，2x ，直线与x 轴的交点的横坐标是3x ，则恒有（）

()A 312x x x =+()B 121323x x x x x x =+()C 3120x x x ++=()D 1213230x x x x x x ++=

直线与圆锥曲线的位置关系详解

直线与圆锥曲线的位置关系

●知识梳理

本节主要内容是直线与圆锥曲线公共点问题、相交弦问题以及它们的综合应用.解决这些问题经常转化为它们所对应的方程构成的方程组是否有解或解的个数问题.对相交弦长问题及中点弦问题要正确运用“设而不求”.涉及焦点弦的问题还可以利用圆锥曲线的焦半径公式.

●点击双基

1.过点（2，4）作直线与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点，这样的直线有

A.1条

B.2条

C.3条

D.4条

解析：数形结合法，同时注意点在曲线上的情况.

答案：B

2.已知双曲线C ：x 2－4

2y =1，过点P （1，1）作直线l ，使l 与C 有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l 共有

A.1条

B.2条

C.3条

D.4条

解析：数形结合法，与渐近线平行、相切.

答案：D

3.双曲线x 2－y 2＝1的左焦点为F ，点P 为左支下半支上任意一点（异于顶点），则直线PF 的斜率的变化范围是

A.（－∞，0）

B.（1，＋∞）

C.（－∞，0）∪（1，+∞）

D.（－∞，－1）∪（1，＋∞）

解析：数形结合法，与渐近线斜率比较.

答案：C

4.过抛物线y 2=4x 焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，已知|AB |=8，O 为坐标原点，则 △OAB 的重心的横坐标为____________.

解析：由题意知抛物线焦点F （1，0）.设过焦点F （1，0）的直线为y =k （x －1）（k ≠0），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）.

代入抛物线方程消去y 得k 2x 2－2（k 2+2）x +k 2=0.

∵k 2≠0，∴x 1+x 2=2

数学一轮复习第八章平面解析几何第九节圆锥曲线的综合问题第1课时最值范围证明问题学案含解析

第九节圆锥曲线的综合问题

2018年高考数学二轮复习规范答题示例8 直线与圆锥曲线的位置关系理

规范答题示例8 直线与圆锥曲线的位置关系

典例8 (12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为3

，

且点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12在椭圆C 上．

(1)求椭圆C 的方程；

(2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 2

4b 2＝1，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E 于A ，

B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .

①求|OQ ||OP |

的值；②求△ABQ 面积的最大值．

审题路线图 (1)椭圆C 上点满足条件―→得到a ，b 的关系式―――――――

→已知离心率e a 2＝b 2＋c 2

基本量法求得椭圆C 的方程

(2)①P 在C 上，Q 在E 上――→P ，Q 共线设坐标代入方程―→求出|OQ ||OP |

②直线y ＝kx ＋m 和椭圆E 的方程联立――→通法研究判别式Δ并判断根与系数的关系―→ 用m ，k 表示S △OAB ―→求S △OAB 的最值――――――――→利用①得S △ABQ 和S △OAB 的关系

得S △ABQ 的最大值

评分细则 (1)第(1)问中，求a 2

－c 2

＝b 2

关系式直接得b ＝1，扣1分；

(2)第(2)问中，求|OQ |

|OP |时，给出P ，Q 的坐标关系给1分；无“Δ>0”和“Δ≥0”者，每处

扣1分；联立方程消元得出关于x 的一元二次方程给1分；根与系数的关系写出后再给1分；求最值时，不指明最值取得的条件扣1分．

跟踪演练8 (2017·全国Ⅰ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2

2019高考数学一轮复习第9章解析几何第8课时双曲线(二)课件理

(2)如果中点弦存在，则可用“点差法”求得弦的斜率．
★状元笔记★ (1)点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式子中含有 x1＋x2，y1＋y2，yx11－－yx22三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点坐标公式即可求得斜率．
(2)根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解．注意：中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端：根与系数的关系在解题过程中易产生漏解，需关注直线的斜率问题；点差法在确定范围方面略显不足．
C．[0，π2 )
D．[π4 ，π2 )∪(π2 ，3π4 ]
【解析】因为曲线 x2－y2＝1(x>0)的渐近线方程为 y＝±x，若直线 l：y＝k(x－ 2)与曲线 x2－y2＝1(x>0)相交于 A，B 两点，则 k< －1 或 k>1，而直线 l 的斜率存在，所以 α∈(π4 ，π2 )∪(π2 ，3π4 )．
优解：由图像可知，过点A(0，1)作与双曲线渐近线平行的直线有2条，作与双曲线相切的直线也有两条，则与双曲线有且只有一个公共点的直线有4条，选项C正确．
【答案】 C
微专题2：利用位置关系求参数
已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2，0)，实轴长为2 3.
(1)求双曲线C的方程； (2)若直线l：y＝kx＋ 2 与双曲线C左支交于A，B两点，求k 的取值范围．

直线与圆锥曲线

第8讲直l 考】

1．考查圆锥曲线中的kkkkk069弦长问题、直线与圆锥曲线方程的联立、根与系数的关系、整体代入和设而不求的思想．

2．高考对圆锥曲线的综合考查主要是在解答题中进行，考查函数、方程、不等式、平面向量等在解决问题中的综合运用．

【复习指导】

本讲复习时，应从“数”与“形”两个方面把握直线与圆锥曲线的位置关系．会判断已知直线与曲线的位置关系(或交点个数)，会求直线与曲线相交的弦长、中点、最值、定值、点的轨迹、参数问题及相关的不等式与等式的证明问题．

基础梳理

1．直线与圆锥曲线的位976521关系

判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A 、B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或变量y )的一元方程．

即⎩⎨⎧

Ax ＋By ＋C ＝0，F (x ，y )＝0，

消去y 后得ax 2＋bx ＋c ＝0. (1)当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则Δ＞0⇔直线与圆锥曲线C 相交；

Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C 相切；

Δ＜0⇔直线与圆锥曲线C 无公共点．

(2)当a ＝0，b ≠0时，即得到一个一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行．

2．圆锥曲线的弦长

(1)圆锥曲线的弦长

直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点为端点的线段叫做圆锥曲线的弦(就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段)，线段的长就是弦长．

高考数学大一轮复习第八章第9节直线与圆锥曲线的位置关系

2．涉及弦的中点与直线的斜率问题，可考虑“点差法”，构造出 kAB＝yx11－－yx22和 x1＋x2，y1＋y2，整体代换，求出中点或斜率，体现“设而不求”的思想．
整理ppt
对点训练设抛物线过定点 A(－1,0)，且以直线 x＝1 为准线．
整理ppt
2．当 a＝0，b≠0 时，即得到一个一元一次方程，则直线 l 与圆锥曲线 E 相交，且只有一个交点，
①若 E 为双曲线，则直线 l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行；
②若 E 为抛物线，则直线 l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．
整理ppt
二、圆锥曲线的弦长设斜率为 k(k≠0)的直线 l 与圆锥曲线 C 相交于 A、B
(方法二)设直线 l 与椭圆 E 交点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，A， B 的中点 M 的坐标为(x0，y0)，
将 A，B 的坐标代入椭圆方程中，得33xx2221＋＋44yy2221－－1122＝＝00，，两式相减得 3(x1－x2)(x1＋x2)＋4(y1－y2)(y1＋y2)＝0， ∴yx11－－yx22＝－34xy00，
第九节直线与圆锥曲线的位置关系
整理ppt
[考情展望] 1.考查直线与圆锥曲线方程的联立，根与系数的关系，整体代入和设而不求的思想.2.通过研究直线与圆锥曲线的位置关系，考查圆锥曲线中的弦长、中点弦问题，最值与范围问题，定点与定值等问题.3.高考对圆锥曲线的综合考查主要是在解答题中进行，考查函数、方程、不等式、平面向量等知识在解决问题中的综合应用．

高考数学一轮复习第八章解析几何6直线与圆锥曲线课件新人教A版

( B )
A.
1
,0
4
B.
2
1
,0
2
2
C.(1,0)
D.(2,0)
(2)已知椭圆 2 + 2 =1(a>b>0)被抛物线 y2=4x 的准线截得的弦
长为 3,以坐标原点为圆心,以椭圆的长半轴长为半径的圆与直线
y=x+2 2相切,则椭圆的离心率为( A )
1
A.2
2
B. 2
2
C. 3
2
D. 4
直线与圆锥曲线
-2知识梳理
双基自测
1.直线与圆锥曲线的位置关系
(1)从几何角度看,可分为三类:没有公共点,仅有一个公共点及有
两个不同的公共点.
(2)从代数角度看,可通过将表示直线的方程代入圆锥曲线的方程
消元后所得一元二次方程解的情况来判断.设直线l的方程为
Ax+By+C=0,圆锥曲线方程为f(x,y)=0.
当Δ = 0时,直线和圆锥曲线相切于一点;
当Δ < 0时,直线和圆锥曲线没有公共点.
-4知识梳理
双基自测
2.直线与圆锥曲线相交时的弦长问题
(1)斜率为k(k不为0)的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),
1 + 2 ·|x1-x2|
则所得弦长|P1P2|=

2023高考数学一轮总复习第九章平面解析几何第八节直线与圆锥曲线的位置关系pptx课件北师大版

1.直线与圆锥曲线的位置关系的判定
(1)代数法:把圆锥曲线方程C与直线方程l联立消去y,整理得到关于x的方程
ax2+bx+c=0.
a=0
a≠0
曲线C为双曲线,直线l为其渐近线
方程ax2+bx+c=0的解
b=0
无解
b≠0
有一解
Δ>0
两个不相等的解
Δ=0
两个相等的解
Δ<0
无解
l与C的交点个数
0
1
2
1
0
对双曲线来说,直线l可能平行于渐近线;对抛物线来说,直线l可能与抛物线
.
答案 (1)D
(2)y=2x-4
= + 2,
解析 (1)由 2 2
得(1-k2)x2-4kx-10=0.设直线与双曲线的交点为
- = 6
1- 2 ≠ 0,
= 16 2 -4 × (1- 2 ) × (-10) > 0,
4
A(x1,y1),B(x2,y2),则 1 + 2 =
1 2 =
解得-
15
<k<-1.故选
3
D.
2
1-
-10
2
1-
> 0,
> 0,
(2)(方法 1)易知切线斜率存在,设切线方程为 y-4=k(x-4).

【人教版】数学(理)一轮复习：第8章《平面解析几何》(第9节)ppt课件

4．过椭圆ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的左顶点 A 且斜率为 1 的直线与椭
圆的另一个交点为 M，与 y 轴的交点为 B，若|AM|＝|MB|，
则该椭圆的离心率为________．
解析由题意知 A 点的坐标为(－a，0)，l 的方程为 y＝x＋a，
所以 B 点的坐标为(0，a)，故 M 点的坐标为－a2，a2，代入
若a＝0且b≠0，则直线与圆锥曲线相交，且有一个交点．
二、圆锥曲线的弦长问题
设直线 l 与圆锥曲线 C 相交于 A、B 两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则弦长|AB|＝ 1＋k2|x1－x2| 或
1＋k12|y1－y2| .
[基础自测自评] 1．(教材习题改编)与椭圆1x22 ＋1y62 ＝1 焦点相同，离心率互为倒数
[跟踪训练] 1．已知椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)的一个顶点为 A(2，0)，离心率
为 22.直线 y＝k(x－1)与椭圆 C 交于不同的两点 M，N. (1)求椭圆 C 的方程； (2)当△AMN 的面积为 310时，求 k 的值．
解析
a＝2， (1)由题意得ac＝ 22，解得 b＝ 2，
的双曲线方程是
A．y2－x32＝1
B.y32－x2＝1
()
C.34x2－38y2＝1
D.43y2－38x2＝1

适用于新高考新教材备战2025届高考数学一轮总复习第9章平面解析几何课时规范练67直线与圆锥曲线的位

(1+4 )
25k2(3k2+1)=4(1+4k2)2,化简得11k4-7k2-4=0,解得k2=1,即k=±1.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
2 2
=
4
,即
5
9.(2024·河南许、平、汝高三联考)已知椭圆
2
C:
16
F1,F2,直线 l 与椭圆交于 A,B 两点,弦 AB 被点( 3,
B. 9
+
2
=1
8
5 2
D.
36
+
4
的斜率为- ,则
9
2
=1
5
+
5 2
=1
16
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
C 的方程为( C )
解析设 A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),则
21 -22
2
+
21
2
+
22
2
+
21
2
4 15
.所以△F
1AB
5
的面积是
10.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l:y=2x+a与抛物线C交于A,B两点.
(1)若a=-1,求△FAB的面积;

高中数学教案第8讲直线与圆锥曲线

第8讲直线与圆锥曲线

1.理解直线与圆锥曲线位置关系的判断方法.

2.掌握直线被圆锥曲线所截的弦长公式.

3.掌握直线与圆锥曲线相交的综合问题.

1.直线与圆锥曲线的位置关系

(1)直线与圆锥曲线的位置关系有□1相交、□2相切、□3相离；相交有两个交点(特殊情况除外)，相切有一个交点，相离无交点.

(2)判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C ＝0代入圆锥曲线C的方程.消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的方程ax2＋bx ＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0).

①当a≠0时，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有Δ＞0时，直线l与曲线C□4相交；Δ＝0时，直线l与曲线C□5相切；Δ＜0时，直线l与曲线C□6相离.

②当a＝0时，即得到一个一次方程，则l与C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的□7渐近线平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的□8对称轴平行或重合.

2.圆锥曲线的弦长公式

设直线与圆锥曲线的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝□91＋k2|x1

－x2|＝□10（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2]或|AB|＝□111＋1

|y1－y2|＝

□12（1＋1

k2）[（y1

＋y2）2－4y1y2]，k为直线斜率且k≠0.

常用结论

与椭圆有关的结论

(1)通径的长度为2b2

a；

(2)过原点的直线交椭圆于A，B两点，P是椭圆上异于A，B的任一点，则

k P A·k PB＝－b2

a2；

(3)若点P(x0，y0)在椭圆上，过点P的切线方程为x0x

高考数学总复习第八章第九节直线与圆锥曲线的位置关系课件理

第九节直线与圆锥曲线的位置关系
1
1．直线与圆锥曲线的位置关系将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为0)代入圆锥曲线 C的方程F(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得ax2＋bx＋c＝0. (1) 当 a≠0 时，设方程 ax2 ＋ bx ＋ c ＝ 0 的判别式为 Δ ，则 Δ ＞ 0⇔ 直线与圆锥曲线C_________ 相交； Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C_________ 相切； Δ＜0⇔直线与圆锥曲线C_________ 相离．
是否为零的情况．
12
已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1，试问：当m取何值时，直线l与椭圆C：
(1)有两个不重合的公共点；
(2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点．
2x＋m y＝【解】由x2 y2 得 9x2＋8mx＋2m2－4＝0， (*) ＋＝ 1 4 2 Δ＝64m2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144，由 Δ＝0 即－8m2＋144＝0 得 m＝± 3 2. ∴当－3 2＜m＜3 2时，方程(*)有两个不等的实根；
2
(2)当 a＝0，b≠0 时，即得到一个一次方程，则直线 l 与圆锥曲线 C 相交，且只有一个交点．此时，若 C 为双曲线，则直平行线 l 与双曲线的渐近线的位置关系是__________ ；若 C 为抛物线，平行或重合则直线 l 与抛物线的对称轴的位置关系是________________ ． 2．弦长问题设直线 l：y＝kx＋b(k≠0)与圆锥曲线 C 相交于 A、B 两点，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 (1)|AB|＝ 1＋k2|x1－x2| ＝________________________； 1 (2)|AB|＝ 1＋ 2|y1－y2| k

(新课标)高考数学大一轮复习-第九章解析几何 9.8 双曲线(二)课件文

即 m2＝4|4－k2|＝4(k2－4)． y＝kx＋m，
【答案】 D
题型三直线与双曲线的综合问题
例 3 (2014·福建理)已知双曲线 E：xa22－yb22＝ 1(a＞0，b＞0)的两条渐近线分别为 l1：y＝2x， l2：y＝－2x.
(1)求双曲线 E 的离心率； (2)如图，O 为坐标原点，动直线 l 分别交直线 l1，l2 于 A，B 两点(A，B 分别在第一、四象限)，且△OAB 的面积恒为 8.试探究：是否存在总与直线 l 有且只有一个公共点的双曲线 E？若存在，求出双曲线 E 的方程；若不存在，说明理由．
【答案】 A
题型二弦中点、中点弦问题
例 2 已知双曲线 C 的两个焦点分别为 F1(－2，0)，F2(2， 0)，双曲线 C 上一点 P 到 F1，F2 的距离差的绝对值等于 2.
(1)求双曲线 C 的标准方程； (2)经过点 M(2，1)作直线 l 交双曲线 C 的右支于 A，B 两点，且 M 为 AB 的中点，求直线 l 的方程； (3)已知定点 G(1，2)，点 D 是双曲线 C 右支上的动点，求|DF1| ＋|DG|的最小值．
y＝kx＋m， (b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.
(1)当 b2－a2k2＝0，即 k＝±ba时，直线与双曲线相交于一点． (2)当 b2－a2k2≠0 时，①相切：Δ＝0.②相交：Δ>0.③相离：

【高考精品复习】第九篇 解析几何 第8讲 直线与圆锥曲线的位置关系

直线与圆锥曲线的位置关系 课件(62张)

第8章 第9讲 第1课时解析几何

数学高考复习名师精品教案：第64课时：第八章 圆锥曲线方程-直线与圆锥的位置关系(1)