数值计算方法试题含答案
数值计算方法试题及答案 经过订正

数值计算方法试题一一、 填空题(每空1分,共17分)1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数,需对分( 11 )次。
2、迭代格式)2(21-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在()0,22(-)22,0()。
3、已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2110)(233x c x b x a x x x x S 是三次样条函数,则a =( 3 ),b =( 3 ),c =( 1 )。
4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数,则∑==nk kx l0)(( 1 ),∑==nk k jk x lx 0)(( ),当2≥n 时=++∑=)()3(204x l x xk k n k k( )。
5、设1326)(247+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[10n x x x f和=∆07f 。
6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 5 ,5个节点的求积公式最高代数精度为 9 。
7、{}∞=0)(k k x ϕ是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族,其中1)(0=x ϕ,则⎰=14)(dx x x ϕ 0 。
8、给定方程组⎩⎨⎧=+-=-221121b x ax b ax x ,a 为实数,当a 满足 ,且20<<ω时,SOR 迭代法收敛。
9、解初值问题00(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩的改进欧拉法⎪⎩⎪⎨⎧++=+=++++)],(),([2),(]0[111]0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是2 阶方法。
10、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11001a a a a A ,当∈a ( )时,必有分解式T LL A =,其中L 为下三角阵,当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足( )条件时,这种分解是唯一的。
数值计算方法试题库及答案解析

y 2y, y(0) 1,试问为保证该公式绝对稳定,步长 h 的取值范围为(
)。
(1) 0 h 2 , (2) 0 h 2 , (3) 0 h 2 , (4) 0 h 2
三、1、(8 分)用最小二乘法求形如 y a bx2 的经验公式拟合以下数据:
2
是否为插值型求积公式?为什么?其
代数精度是多少?
七、(9 分)设线性代数方程组 AX b 中系数矩阵 A 非奇异, X 为精确解, b 0 ,若向
~
~
量 X 是 AX b 的 一 个 近 似 解 , 残 向 量 r b A X , 证 明 估 计 式 :
~
X X
r cond ( A)
五、(8 分)已知求 a (a 0) 的迭代公式为:
1
a
xk1 2 (xk xk )
x0 0 k 0,1,2
证明:对一切 k 1,2,, xk a ,且序列xk 是单调递减的,
从而迭代过程收敛。
3 f (x)dx 3 [ f (1) f (2)]
六、(9 分)数值求积公式 0
六、(下列 2 题任选一题,4 分) 1、 1、 数值积分公式形如
1
0 xf (x)dx S(x) Af (0) Bf (1) Cf (0) Df (1)
(1) (1) 试确定参数 A, B,C, D 使公式代数精度尽量高;(2)设
1
f (x) C 4[0,1] ,推导余项公式 R(x) 0 xf (x)dx S(x) ,并估计误差。
i 1
的高斯(Gauss)型求积公式具有最高代数精确度的次
数为 2n 1。 (
)
数值计算试题及答案

数值计算试题及答案一、单项选择题(每题3分,共30分)1. 在数值计算中,下列哪种方法用于求解线性方程组?A. 牛顿法B. 牛顿-拉弗森方法C. 高斯消元法D. 蒙特卡洛方法答案:C2. 以下哪个不是数值分析中常用的插值方法?A. 拉格朗日插值B. 牛顿插值C. 多项式插值D. 傅里叶变换答案:D3. 在数值积分中,梯形规则的误差项与下列哪个因素有关?A. 积分区间的长度B. 被积函数的二阶导数C. 被积函数的一阶导数D. 被积函数的三阶导数答案:B4. 下列哪种方法不是数值微分的方法?A. 前向差分法B. 中心差分法C. 牛顿迭代法D. 后向差分法答案:C5. 以下哪个算法不是用于求解非线性方程的?A. 牛顿法B. 弦截法C. 牛顿-拉弗森方法D. 欧拉法答案:D6. 在数值分析中,下列哪个概念与误差分析无关?A. 截断误差B. 舍入误差C. 条件数D. 插值多项式的阶答案:D7. 以下哪种方法不是数值解常微分方程的方法?A. 欧拉法B. 龙格-库塔法C. 牛顿法D. 亚当斯法答案:C8. 在数值分析中,下列哪个概念与病态问题无关?A. 条件数B. 误差放大C. 稳定性D. 收敛性答案:D9. 以下哪种情况不会导致数值解的不稳定?A. 步长过大B. 初始条件不精确C. 算法本身稳定D. 计算精度过高答案:C10. 在数值计算中,下列哪种方法用于求解特征值问题?A. 高斯消元法B. 幂法C. 牛顿法D. 蒙特卡洛方法答案:B二、填空题(每题3分,共30分)1. 在数值计算中,使用______方法可以提高插值的精度。
答案:牛顿插值2. 梯形规则的误差与被积函数的______阶导数有关。
答案:二阶3. 在数值微分中,使用______差分法可以提高微分的精度。
答案:中心4. 非线性方程的求解可以通过______法来实现。
答案:牛顿5. 常微分方程的数值解法中,______法是最基本的方法之一。
答案:欧拉6. 对于线性方程组的求解,______法是最基本的方法之一。
数值计算方法总结计划试卷试题集及答案

一、选择题(每题2分,共20分)1.数值计算的基本思想是()。
A.精确求解B.近似求解C.解析表达D.图像显示2.下列哪种方法不属于数值计算方法?()A.有限差分法B.有限元法C.插值法D.微积分3.在数值计算中,为避免数值计算误差,通常采用()方法。
A.精确计算B.误差分析C.误差校正D.舍入运算4.下列哪种数值方法适用于求解偏微分方程?()A.欧拉法B.龙格-库塔法C.有限差分法D.牛顿法5.下列哪种方法不属于求解线性方程组的数值方法?()A.高斯消元法B.追赶法C.迭代法D.矩阵分解法二、填空题(每题2分,共20分)6.数值计算方法是利用计算机求解科学和工程问题的_______方法。
7.数值计算的主要目的是将_______问题转化为_______问题。
8.在数值计算中,通常需要对实际问题进行_______,以简化计算过程。
9.有限差分法的核心思想是将偏微分方程转化为_______方程。
10.牛顿法是一种_______方法,适用于求解非线性方程组。
三、判断题(每题2分,共20分)11.数值计算方法只能解决线性问题。
()12.在数值计算中,误差只能通过增加计算精度来减小。
()13.迭代法求解线性方程组时,需要预先知道方程组的解。
()14.数值计算方法在实际应用中具有较高的可靠性。
()15.有限元法适用于求解所有类型的偏微分方程。
()四、简答题(每题10分,共30分)16.请简要说明数值计算的基本思想及其应用范围。
17.请简要介绍有限差分法的原理及应用。
18.请简要说明牛顿法求解非线性方程组的原理。
五、计算题(每题10分,共50分)2x+3yz=14xy+5z=2-x+2y+z=3y'=-y+e^x,初始条件y(0)=1答案:一、选择题1.B2.D3.B4.C5.A二、填空题6.近似7.连续离散8.简化9.差分10.迭代三、判断题11.×12.×13.×14.√15.×四、简答题16.数值计算的基本思想是将实际问题转化为数学问题,再通过计算机求解。
数值计算方法试题和答案解析

数值计算方法试题一一、 填空题(每空1分,共17分) 1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数,需对分( )次。
2、迭代格式)2(21-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件就是α取值在( )。
3、已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2110)(233x c x b x a x x x x S 就是三次样条函数,则a =( ),b =( ),c =( )。
4、)(,),(),(10x l x l x l n Λ就是以整数点n x x x ,,,10Λ为节点的Lagrange 插值基函数,则∑==nk kx l0)(( ),∑==nk k jk x lx 0)(( ),当2≥n 时=++∑=)()3(204x l x xk k n k k( )。
5、设1326)(247+++=x x x x f 与节点,,2,1,0,2/Λ==k k x k 则=],,,[10n x x x f Λ 与=∆07f。
6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ,5个节点的求积公式最高代数精度为 。
7、{}∞=0)(k kx ϕ就是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族,其中1)(0=x ϕ,则⎰=14)(dx x x ϕ 。
8、给定方程组⎩⎨⎧=+-=-221121b x ax b ax x ,a 为实数,当a 满足 ,且20<<ω时,SOR 迭代法收敛。
9、解初值问题00(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩的改进欧拉法⎪⎩⎪⎨⎧++=+=++++)],(),([2),(]0[111]0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 就是阶方法。
10、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11001a a a a A ,当∈a ( )时,必有分解式T LL A =,其中L为下三角阵,当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足( )条件时,这种分解就是唯一的。
《数值计算方法》试题集及答案(1-6)-2..

《计算方法》期中复习试题一、填空题:1、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ,则用辛普生(辛卜生)公式计算求得⎰≈31_________)(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。
答案:2.367,0.252、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ,则过这三点的二次插值多项式中2x 的系数为 ,拉格朗日插值多项式为 。
答案:-1,)2)(1(21)3)(1(2)3)(2(21)(2--------=x x x x x x x L3、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字;4、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( );答案)(1)(1n n n n n x f x f x x x '---=+5、对1)(3++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 );6、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差;7、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时,二分n 次后的误差限为( 12+-n a b );8、已知f (1)=2,f (2)=3,f (4)=5.9,则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 ); 11、 两点式高斯型求积公式⎰1d )(xx f ≈(⎰++-≈1)]3213()3213([21d )(f f x x f ),代数精度为( 5 );12、 为了使计算32)1(6)1(41310---+-+=x x x y 的乘除法次数尽量地少,应将该表达式改写为11,))64(3(10-=-++=x t t t t y ,为了减少舍入误差,应将表达式19992001-改写为199920012+ 。
13、 用二分法求方程01)(3=-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间为 0.5,1 ,进行两步后根的所在区间为 0.5,0.75 。
《数值计算办法》试题集及参考答案

《数值计算办法》试题集及参考答案work Information Technology Company.2020YEAR《数值计算方法》复习试题一、填空题:1、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=410141014A ,则A 的LU 分解为A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦。
答案:⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=15561415014115401411A 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ,则过这三点的二次插值多项式中2x 的系数为,拉格朗日插值多项式为。
答案:-1,)2)(1(21)3)(1(2)3)(2(21)(2--------=x x x x x x x L4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有(2)位有效数字;5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是();答案)(1)(1n n n n n x f x f x x x '---=+6、对1)(3++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f (1),=]4,3,2,1,0[f (0);7、计算方法主要研究(截断)误差和(舍入)误差;8、用二分法求非线性方程f (x )=0在区间(a ,b )内的根时,二分n 次后的误差限为(12+-n a b ); 10、已知f (1)=2,f (2)=3,f (4)=5.9,则二次Newton 插值多项式中x 2系数为(0.15);11、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均不为零)。
12、 为了使计算32)1(6)1(41310---+-+=x x x y 的乘除法次数尽量地少,应将该表达式改写为11,))64(3(10-=-++=x t t t t y ,为了减少舍入误差,应将表达式19992001-改写为199920012+。
13、 用二分法求方程01)(3=-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间为0.5,1,进行两步后根的所在区间为0.5,0.75。
《数值计算方法》试题与答案

习题一1.设x >0相对误差为2%4x 的相对误差。
解:由自变量的误差对函数值引起误差的公式:(())(())'()()()()f x xf x f x x f x f x δδ∆=≈得(1)()f x =11()()*2%1%22x x δδδ≈===;(2)4()f x x =时444()()'()4()4*2%8%x x x x x xδδδ≈===2.设下面各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差不超过最后一位的半个单位,试指出他们各有几位有效数字。
(1)12.1x =;(2)12.10x =;(3)12.100x =。
解:由教材9P 关于1212.m nx a a a bb b =±型数的有效数字的结论,易得上面三个数的有效数字位数分别为:3,4,53.用十进制四位浮点数计算 (1)31.97+2.456+0.1352; (2)31.97+(2.456+0.1352)哪个较精确?解:(1)31.97+2.456+0.1352 ≈21((0.3197100.245610)0.1352)fl fl ⨯+⨯+ =2(0.3443100.1352)fl ⨯+=0.3457210⨯(2)31.97+(2.456+0.1352)21(0.319710(0.245610))fl fl ≈⨯+⨯ = 21(0.3197100.259110)fl ⨯+⨯ =0.3456210⨯易见31.97+2.456+0.1352=0.345612210⨯,故(2)的计算结果较精确。
4.计算正方形面积时,若要求面积的允许相对误差为1%,测量边长所允许的相对误差限为多少? 解:设该正方形的边长为x ,面积为2()f x x =,由(())(())'()()()()f x xf x f x x f x f x δδ∆=≈解得(())()()'()f x f x x xf x δδ≈=2(())(())22f x x f x x xδδ==0.5%5.下面计算y 的公式哪个算得准确些?为什么?(1)已知1x <<,(A )11121xy x x-=-++,(B )22(12)(1)x y x x =++; (2)已知1x>>,(A )y=,(B )y = (3)已知1x <<,(A )22sin x y x =,(B )1cos2xy x-=;(4)(A)9y =-(B )y =解:当两个同(异)号相近数相减(加)时,相对误差可能很大,会严重丧失有效数字;当两个数相乘(除)时,大因子(小除数)可能使积(商)的绝对值误差增大许多。
数值计算方法期末试题及答案

一、选择题(每小题4分,共20分)1. 误差根据来源可以分为四类,分别是( A )A. 模型误差、观测误差、方法误差、舍入误差;B. 模型误差、测量误差、方法误差、截断误差;C. 模型误差、实验误差、方法误差、截断误差;D. 模型误差、建模误差、截断误差、舍入误差。
2. 若132)(356++-=x x x x f ,则其六阶差商=]3,,3,3,3[6210 f ( C ) A. 0; B. 1; C. 2; D. 3 。
3. 数值求积公式中的Simpson 公式的代数精度为 ( D )A. 0;B. 1;C. 2;D. 3 。
4. 若线性方程组Ax = b 的系数矩阵A 为严格对角占优矩阵,则解方程组的Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法 ( B )A. 都发散;B. 都收敛C. Jacobi 迭代法收敛,Gauss-Seidel 迭代法发散;D. Jacobi 迭代法发散,Gauss-Seidel 迭代法收敛。
5. 对于试验方程y y λ=',Euler 方法的绝对稳定区间为( C )A. 02≤≤-h ;B. 0785.2≤≤-h ;C. 02≤≤-h λ;D. 0785.2≤≤-h λ ;二、填空题(每空3分,共18分)1. 已知⎪⎪⎭⎫⎝⎛--='-=4321,)2,1(A x ,则 =2x 5,=1Ax 16 ,=2A 22115+2. 已知3)9(,2)4(==f f ,则 f (x )的线性插值多项式为)6(2.0)(1+=x x L ,且用线性插值可得f (7)= 2.6 。
3. 要使20的近似值的相对误差界小于0.1%,应至少取 4 位有效数字。
三、利用下面数据表,1. 用复化梯形公式计算积分dxx f I )(6.28.1⎰=的近似值;解:1.用复化梯形公式计算 取2.048.16.2,4=-==h n 1分分分分7058337.55))6.2()2.08.1(2)8.1((22.04))()(2)((231114=+++=++=∑∑=-=f k f f b f x f a f hT k n k k2. 用复化Simpson 公式计算积分dxx f I )(6.28.1⎰=的近似值。
《数值计算方法》试题集及答案

《数值计算方法》复习试题一、填空题:1、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=410141014A ,则A 的LU 分解为A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦。
答案:⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=15561415014115401411A 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ,则过这三点的二次插值多项式中2x 的系数为 ,拉格朗日插值多项式为 。
答案:-1,)2)(1(21)3)(1(2)3)(2(21)(2--------=x x x x x x x L4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字;5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( );答案)(1)(1n n n n n x f x f x x x '---=+6、对1)(3++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 );7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差;8、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时,二分n 次后的误差限为( 12+-n a b );9、求解一阶常微分方程初值问题y '= f (x ,y ),y (x 0)=y 0的改进的欧拉公式为( )],(),([2111+++++=n n n n n n y x f y x f hy y );10、已知f (1)=2,f (2)=3,f (4)=5.9,则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 ); 11、 两点式高斯型求积公式⎰1d )(xx f ≈(⎰++-≈1)]3213()3213([21d )(f f x x f ),代数精度为( 5 );12、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均不为零)。
《数值计算方法》试题集及答案

《数值计算方法》复习试题一、填空题:1、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=410141014A ,则A 的LU 分解为A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦。
答案:⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=15561415014115401411A 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ,则过这三点的二次插值多项式中2x 的系数为 ,拉格朗日插值多项式为 。
答案:-1,)2)(1(21)3)(1(2)3)(2(21)(2--------=x x x x x x x L4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字;5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( );答案)(1)(1n n n n n x f x f x x x '---=+6、对1)(3++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 );7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差;8、用二分法求非线性方程f (x )=0在区间(a ,b )内的根时,二分n 次后的误差限为( 12+-n a b );10、已知f (1)=2,f (2)=3,f (4)=5.9,则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 );11、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均不为零)。
12、 为了使计算32)1(6)1(41310---+-+=x x x y 的乘除法次数尽量地少,应将该表达式改写为11,))64(3(10-=-++=x t t t t y ,为了减少舍入误差,应将表达式19992001-改写为 199920012+ 。
13、 用二分法求方程01)(3=-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间为 0.5,1 ,进行两步后根的所在区间为 0.5,0.75 。
《数值计算方法》试题集及答案(同名6837)

《数值计算方法》试题集及答案(同名6837)《数值计算方法》复习试题一、填空题:1、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=410141014A ,则A 的LU 分解为A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦。
答案:⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=15561415014115401411A 2、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ,则用辛普生(辛卜生)公式计算求得⎰≈31_________)(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。
答案:2.367,0.25 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ,则过这三点的二次插值多项式中2x 的系数为 ,拉格朗日插值多项式为 。
答案:-1,)2)(1(21)3)(1(2)3)(2(21)(2--------=x x x x x x x L4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字;5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( );答案)(1)(1n n n n n x f x f x x x '---=+6、对1)(3++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f (1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 );7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差; 10、已知f (1)=2,f (2)=3,f (4)=5.9,则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 ); 11、 两点式高斯型求积公式⎰1d )(xx f ≈(⎰++-≈1)]3213()3213([21d )(f f x x f),代数精度为( 5 );12、 解线性方程组Ax =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A的各阶顺序主子式均不为零)。
13、 为了使计算32)1(6)1(41310---+-+=x x x y 的乘除法次数尽量地少,应将该表达式改写为 11,))64(3(10-=-++=x t t t t y,为了减少舍入误差,应将表达式19992001-改写为199920012+ 。
《数值计算方法》试题集及答案

《数值计算方法》复习试题一、填空题:1、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=410141014A ,则A 的LU分解为 A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦。
答案:⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=15561415014115401411A 2、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ,则用辛普生(辛卜生)公式计算求得⎰≈31_________)(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。
答案:2.367,0.25 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ,则过这三点的二次插值多项式中2x 的系数为 ,拉格朗日插值多项式为 。
答案:-1,)2)(1(21)3)(1(2)3)(2(21)(2--------=x x x x x x x L4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字;5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( );答案)(1)(1n n n n n x f x f x x x '---=+6、对1)(3++=x xx f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 );7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差; 8、用二分法求非线性方程f (x )=0在区间(a ,b )的根时,二分n 次后的误差限为( 12+-n a b );9、求解一阶常微分方程初值问题y '= f (x ,y ),y (x 0)=y 0的改进的欧拉公式为( )],(),([2111+++++=n n n n n n y x f y x f hy y );10、已知f (1)=2,f (2)=3,f (4)=5.9,则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 );11、 两点式高斯型求积公式⎰10d )(x x f ≈(⎰++-≈1)]3213()3213([21d )(f f x x f ),代数精度为( 5 );12、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均不为零)。
《数值计算方法》试题集及答案解析

=
9
。
4 8 2 A= 2 5 7 1 3 6 的 A = LU ,则 U = 32、设矩阵
4 8 2 U = 0 1 6 1 0 0 − 2
。
3
33、若 f ( x ) = 3 x + 2 x + 1 ,则差商 f [ 2, 4, 8,16, 32] =
5、舍入误差是( A )产生的误差。 A. 只取有限位数 C. 观察与测量 B.模型准确值与用数值方法求得的准确值 D.数学模型准确值与实际值
6、3.141580 是π的有( B )位有效数字的近似值。 A. 6 B. 5 C. 4 C )误差。 D. 舍入
4
D. 7
7、用 1+x 近似表示 ex 所产生的误差是( A. 模型 B. 观测
1 x +1 + x
27 、若用二分法求方程 f ( x ) = 0 在区间 [1,2] 内的根,要求精确到第 3 位小数,则需要对分 10 次。
2 x 3 , 0 ≤ x ≤ 1 S (x ) = 3 2 x + ax + bx + c, 1 ≤ x ≤ 2 是 3 次样条函数,则 28、设
C. 截断
8、解线性方程组的主元素消去法中选择主元的目的是( A )。 A.控制舍入误差 C.防止计算时溢出 B. 减小方法误差 D. 简化计算
x 3 9、用 1+ 3 近似表示 1 + x 所产生的误差是(
D )误差。 D. 截断 )位有效数字。 D. 8
A. 舍入
B. 观测
C. 模型
10、-324.7500 是舍入得到的近似值,它有( C A. 5 B. 6 C. 7
数值计算考试题及答案

数值计算考试题及答案一、单项选择题(每题2分,共10分)1. 以下哪个算法用于求解线性方程组?A. 牛顿法B. 欧拉法C. 高斯消元法D. 龙格-库塔法答案:C2. 插值法中,拉格朗日插值法适用于哪种类型的数据点?A. 等间距数据点B. 非等间距数据点C. 任意分布的数据点D. 只有两个数据点答案:B3. 在数值积分中,梯形法则的误差与以下哪个因素无关?A. 积分区间的长度B. 被积函数的二阶导数C. 积分区间的划分数量D. 被积函数的一阶导数答案:D4. 以下哪个方法不是求解非线性方程的迭代法?A. 牛顿法B. 割线法C. 二分法D. 线性规划答案:D5. 以下哪个是数值稳定性好的算法?A. 雅可比迭代法B. 高斯-塞德尔迭代法C. 逐次超松弛迭代法(SOR)D. 以上都是答案:C二、填空题(每题3分,共15分)1. 在数值分析中,条件数是衡量一个矩阵______的量度。
答案:稳定性2. 线性插值法的基本思想是利用两个已知点确定一条直线,通过这条直线来估计未知点的值,其公式为:\[ y = y_0 + \frac{(y_1 -y_0)}{(x_1 - x_0)}(x - x_0) \]。
答案:\[ y = y_0 + \frac{(y_1 - y_0)}{(x_1 - x_0)}(x - x_0) \]3. 矩阵的LU分解是将矩阵分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积,即\[ A = LU \]。
答案:\[ A = LU \]4. 牛顿法求解非线性方程的迭代公式为:\[ x_{n+1} = x_n -\frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \]。
答案:\[ x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \]5. 辛普森法则是数值积分中的一种方法,其基本公式为:\[ \int_a^b f(x)dx \approx \frac{h}{3} [f(a) +4f\left(\frac{a+b}{2}\right) + f(b)] \],其中h为区间[a, b]的划分长度。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
数值计算方法试题一一、 填空题(每空1分,共17分)1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数,需对分( )次。
2、迭代格式)2(21-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在( )。
3、已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2110)(233x c x b x a x x x x S 是三次样条函数,则a =( ),b =( ),c =( )。
4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数,则∑==nk kx l)(( ),∑==nk k jk x lx 0)((),当2≥n 时=++∑=)()3(204x l x xk k nk k( )。
5、设1326)(247+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[10n x x x f 和=∆07f。
6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ,5个节点的求积公式最高代数精度为 。
7、{}∞=0)(k kx ϕ是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族,其中1)(0=x ϕ,则⎰=14)(dx x x ϕ 。
8、给定方程组⎩⎨⎧=+-=-221121b x ax b ax x ,a 为实数,当a 满足 ,且20<<ω时,SOR 迭代法收敛。
9、解初值问题00(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩的改进欧拉法⎪⎩⎪⎨⎧++=+=++++)],(),([2),(]0[111]0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是阶方法。
10、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11001a a a a A ,当∈a ( )时,必有分解式T LL A =,其中L 为下三角阵,当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足( )条件时,这种分解是唯一的。
二、 二、选择题(每题2分) 1、解方程组b Ax =的简单迭代格式g Bx x k k +=+)()1(收敛的充要条件是( )。
(1)1)(<A ρ, (2) 1)(<B ρ, (3) 1)(>A ρ, (4) 1)(>B ρ 2、在牛顿-柯特斯求积公式:⎰∑=-≈bani i n i x f C a b dx x f 0)()()()(中,当系数)(n i C 是负值时,公式的稳定性不能保证,所以实际应用中,当( )时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。
(1)8≥n , (2)7≥n , (3)10≥n , (4)6≥n ,(1)二次; (2)三次; (3)四次; (4)五次4、若用二阶中点公式)),(4,2(1n n n n n n y x f hy h x hf y y +++=+求解初值问题1)0(,2=-='y y y ,试问为保证该公式绝对稳定,步长h 的取值范围为( )。
(1)20≤<h , (2)20≤≤h , (3)20<<h , (4)20<≤h三、1、(8分)用最小二乘法求形如2bx a y +=的经验公式拟合以下数据:2、(15分)用8=n 的复化梯形公式(或复化 Simpson 公式)计算dxex ⎰-1时,(1) (1) 试用余项估计其误差。
(2)用8=n 的复化梯形公式(或复化 Simpson 公式)计算出该积分的近似值。
四、1、(15分)方程013=--x x 在5.1=x 附近有根,把方程写成三种不同的等价形式(1)31+=x x 对应迭代格式311+=+n n x x ;(2)xx 11+=对应迭代格式n n x x 111+=+;(3)13-=x x 对应迭代格式131-=+n n x x 。
判断迭代格式在5.10=x 的收敛性,选一种收敛格式计算5.1=x 附近的根,精确到小数点后第三位。
选一种迭代格式建立Steffensen 迭代法,并进行计算与前一种结果比较,说明是否有加速效果。
2、(8分)已知方程组f AX =,其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=4114334A ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=243024f(1) (1) 列出Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法的分量形式。
(2) (2) 求出Jacobi 迭代矩阵的谱半径,写出SOR 迭代法。
五、1、(15分)取步长1.0=h ,求解初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=+-=1)0(1y y dxdy用改进的欧拉法求)1.0(y 的值;用经典的四阶龙格—库塔法求)1.0(y 的值。
2、(8分)求一次数不高于4次的多项式)(x p 使它满足)()(00x f x p =,)()(11x f x p =,)()(00x f x p '=',)()(11x f x p '=',)()(22x f x p =六、(下列2题任选一题,4分)1、 1、 数值积分公式形如⎰'+'++=≈1)1()0()1()0()()(f D f C Bf Af x S dx x xf(1) (1) 试确定参数D C B A ,,,使公式代数精度尽量高;(2)设]1,0[)(4C x f ∈,推导余项公式⎰-=1)()()(x S dx x xf x R ,并估计误差。
2、2、 用二步法)],()1(),([111101---+-+++=n n n n n n n y x f y x f h y y y θθαα求解常微分方程的初值问题⎩⎨⎧=='00)(),(y x y y x f y 时,如何选择参数θαα,,10使方法阶数尽可能高,并求局部截断误差主项,此时该方法是几阶的。
数值计算方法试题二一、判断题:(共16分,每小题2分)1、若A 是n n ⨯阶非奇异阵,则必存在单位下三角阵L 和上三角阵U ,使LU A =唯一成立。
( )2、当8≥n 时,Newton -cotes 型求积公式会产生数值不稳定性。
( )3、形如)()(1i ni i ba x f A dx x f ∑⎰=≈的高斯(Gauss )型求积公式具有最高代数精确度的次数为12+n 。
( )4、矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=210111012A 的2-范数2A =9。
( ) 5、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a a a A 000002,则对任意实数0≠a ,方程组b Ax =都是病态的。
(用∞⋅) ( ) 6、设n n R A ⨯∈,nn R Q ⨯∈,且有I Q Q T=(单位阵),则有22QA A =。
( )7、区间[]b a ,上关于权函数)(x W 的直交多项式是存在的,且唯一。
( )8、对矩阵A 作如下的Doolittle 分解:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=6001032211012001542774322b a A ,则b a ,的值分别为=a 2,=b 2。
( ) 二、填空题:(共20分,每小题2分)1、设102139)(248+++=x x x x f ,则均差=]2,,2,2[810 f __________,=]3,,3,3[910 f __________。
2、设函数)(x f 于区间[]b a ,上有足够阶连续导数,[]b a p ,∈为)(x f 的一个m 重零点,Newton 迭代公式)()('1k k k k x f x f mx x -=+的收敛阶至少是 __________阶。
3、区间[]b a ,上的三次样条插值函数)(x S 在[]b a ,上具有直到__________阶的连续导数。
4、向量T X )2,1(-=,矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=1327A ,则 =1AX __________,=∞)(A cond __________。
5、为使两点的数值求积公式:⎰-+≈1110)()()(x f x f dx x f 具有最高的代数精确度,则其求积基点应为=1x __________,=2x __________。
6、设n n R A ⨯∈,A A T =,则)(A ρ(谱半径)__________2A 。
(此处填小于、大于、等于)7、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2141021A ,则=∞→k k A lim __________。
三、简答题:(9分)1、 1、 方程xx 24-=在区间[]2,1内有唯一根*x ,若用迭代公式:2ln /)4ln(1k k x x -=+ ),2,1,0( =k ,则其产生的序列{}k x 是否收敛于*x 说明理由。
2、 2、 使用高斯消去法解线性代数方程组,一般为什么要用选主元的技术? 3、 3、 设001.0=x ,试选择较好的算法计算函数值2cos 1)(x x x f -=。
四、(10分)已知数值积分公式为:)]()0([)]()0([2)(''20h f f h h f f hdx x f h-++≈⎰λ,试确定积分公式中的参数λ,使其代数精确度尽量高,并指出其代数精确度的次数。
五、(8分)已知求)0(>a a 的迭代公式为:2,1,00)(2101=>+=+k x x a x x kk k证明:对一切a x k k ≥=,,2,1 ,且序列{}k x 是单调递减的, 从而迭代过程收敛。
六、(9分)数值求积公式⎰+≈3)]2()1([23)(f f dx x f 是否为插值型求积公式?为什么?其代数精度是多少?七、(9分)设线性代数方程组b AX =中系数矩阵A 非奇异,X 为精确解,0≠b ,若向量~X 是b AX =的一个近似解,残向量~X A b r -=,证明估计式:br A cond XXX )(~≤-(假定所用矩阵范数与向量范数相容)。
八、(10分)设函数)(x f 在区间[]3,0上具有四阶连续导数,试求满足下列插值条件的一个次数不超过3的插值多项式)(x H ,并导出九、(9分)设)(x n 是区间],[b a 上关于权函数)(x w 的直交多项式序列,)1,,,2,1(+=n n i x i 为{})(1x n +ϕ的零点,)1,,,2,1)((+=n n i x l i 是以{}i x 为基点的拉格朗日(Lagrange)插值基函数,∑⎰+=≈11)()()(n k k k b ax f A dx x w x f 为高斯型求积公式,证明:(1) (1)当j k n j k ≠≤≤,,0时,0)()(11=∑+=i j i kn i ix x A ϕϕ(2)⎰≠=ba j kj k dx x w x l x l )(0)()()((3)∑⎰⎰+==112)()()(n k babak dxx w dx x w x l十、(选做题8分)若)())(()()(101n n x x x x x x x x f ---==+ ω,),,1,0(n i x i =互异,求],,,[10p x x x f 的值,其中1+≤n p 。