(完整版)平抛运动中临界问题的分析(含答案),推荐文档
高考专题04 平抛运动中的临界问题-高考高考物理一轮复习专题详解 Word版含解析
高考重点难点热点快速突破运动性质：平抛运动是加速度为重力加速度的匀变速曲线运动，轨迹为抛物线研究方法：平抛可以分解为水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动平抛运动与日常生活联系紧密，如排球（网球）运动模型、飞镖、射击、飞机投弹模型等，这些模型经常受到边界条件的制约，如排（网）球是否触网或越界、飞镖是否能击中靶心、飞机投弹是否能命中目标等，解题的关键是画出草图，寻找临界条件。
此类试题题型全面，既有选择题，也有计算题，难度中等.解题中用到了平抛规律解题：【例1】(2017·杭州一模)体育课上同学们进行了一项抛球入框游戏，球框(框壁厚忽略不计)紧靠竖直墙壁放在水平地面上，如图所示，某同学将球(可视为质点)正对竖直墙壁水平抛出并投入框中，球框高度和球框左侧壁离墙壁的距离均为L＝0.4 m，球的抛出点离地面的高度H＝1.2 m，离墙壁的水平距离d＝2.0 m，球与墙壁碰撞前后瞬间速度大小相等，方向关于墙壁对称，求：g＝10 m/s2，空气阻力不计，求：(1)为使球落入框中，球抛出时的最小速度；(2)为使球落入框中，球与墙壁碰撞的最高点离地面的高度；(3)若水平抛出的高度可以任意调整，为让小球入框口时的动能最小，则球水平抛出时的高度．答案 (1)4 m/s (2)0.64 m (3)y ＝1.2 m 时取最小值(2)设球与墙壁碰撞的最高点离地面的高度为h max ，运动到墙壁的时间为t′，反弹到左上角的时间为t ，根据平抛运动的分位移公式，由对称关系，有d ＋L ＝v max t H －L ＝12gt 2解得：v max ＝6 m/s从抛出到碰撞到墙壁过程，有： v max t′＝d h max ＝H －12gt′2联立解得：h max ＝1.2 m －59m≈0.64 m【例2】 如图所示，窗户上、下沿间的高度H ＝1.6 m ，墙的厚度d ＝0.4 m ，某人在离墙壁距离L ＝1.4 m 、距窗户上沿h ＝0.2 m 处的P 点，将可视为质点的小物件以水平速度v 抛出，小物件直接穿过窗户并落在水平地面上，取g ＝10 m/s 2.则v 的取值范围是( )A ．v >7 m/sB ．0<v <2.3 m/sC ．3 m/s<v <7 m/sD ．2.3 m/s<v <3 m/s 【答案】C【解析】：小物件做平抛运动，恰好擦着窗户上沿右侧穿过时v 最大，此时有L ＝v max t ，h ＝12gt 2，解得v max ＝7 m/s ，恰好擦着窗户下沿左侧穿过时速度v 最小，则有L ＋d ＝v min t ′，H ＋h ＝12gt ′2，解得v min ＝3 m/s ，故v 的取值范围是3 m/s<v <7m/s ，故选C.【例3】．如图所示为足球球门，球门宽为L .一个球员在球门中心正前方距离球门s 处高高跃起，将足球顶入球门的左下方死角(图中P 点)．球员顶球点的高度为h .足球做平抛运动(足球可看成质点，忽略空气阻力)，则( )A ．足球位移的大小x ＝ L24＋s 2B ．足球初速度的大小v 0＝ g 2h L 24＋s 2C ．足球末速度的大小v ＝g 2h L 24＋s 2＋4gh D ．足球初速度的方向与球门线夹角的正切值tan θ＝L 2s【答案：】B专题练习1.(多选)(2017年石家庄模拟)如图所示，一固定斜面倾角为θ，将小球A从斜面顶端以速率v0水平向右抛出，击中了斜面上的P点；将小球B从空中某点以相同速率v0水平向左抛出，恰好垂直斜面击中Q点．不计空气阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是( )A．若小球A在击中P点时速度方向与水平方向所夹锐角为φ，则tanθ＝2tanφB．若小球A在击中P点时速度方向与水平方向所夹锐角为φ，则tanφ＝2tanθC．小球A、B在空中运动的时间比为2tan2θ∶1D．小球A、B在空中运动的时间比为tan2θ∶1【答案】BC2. (2017年唐山模拟)如图所示，位于同一高度的小球A、B分别以v1和v2的速度水平抛出，都落在了倾角为30°的斜面上的C点，小球B恰好垂直打到斜面上，则v1、v2之比为( )A．1∶1 B．2∶1C．3∶2 D．2∶3【答案】：C【解析】小球A、B从同一高度平抛，到斜面上的C点经历的时间相等，设为t，由题意可得：tan30°＝12gt2v1t，tan30°＝v2gt，解得v1∶v2＝3∶2，C正确．3．(2017年山东青岛模拟)如图所示是研究平抛运动的实验装置，正方形白纸ABCD贴在方木板上，E、F、H是对应边的中点，P是EH的中点．金属小球从倾斜轨道上由静止开始下滑，从F点开始做平抛运动，恰好从C点射出．以下说法正确的是( )A．小球的运动轨迹经过P点B．小球的运动轨迹经过PH之间某点C．若将小球在轨道上的释放高度降低34，小球恰好由E点射出D．若将小球在轨道上的释放高度降低34，小球恰好由BE中点射出【答案】：C4.(2017·江苏二模)如图所示，平板MN和PQ水平放置，O、M、P在同一竖直线上，且OM＝MP＝h，PQ长为h，MN明显比PQ短，从O点水平向右抛出一个小球，落在MN上反弹前后水平分速度不变，竖直方向分速度等大反向，结果小球刚好落在Q点，则小球从O点抛出的初速度为( )A．(2＋1)gh B．(2－1)ghC.2＋12gh D.2－12gh【答案】 D【解析】小球的运动轨迹如图所示，5．(2017·孝义市一模)如图所示，质量为1 kg的小球从距地面h＝1.6 m的A点水平抛出，恰好垂直撞在固定在水平面上的半圆形物体上的B点，圆半径为1 m，已知BO与竖直方向间的夹角θ＝37°，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g＝10 m/s2，下列说法正确的是( )A．圆心O与A点间的水平距离为2 mB．小球平抛的初速度υ0为3 m/sC ．小球运动到B 点时重力的瞬时功率为60 WD ．小球从A 运动到B 的时间为0.6 s 【答案】 B 【解析】A 、D 项，恰好垂直撞在水平面上半圆形轨道的B 点，B 点速度分解如图所示，由几何关系，得tan(90°－37°)＝v yv 0①竖直方向上物体做自由落体运动则：h －Rco s37°＝12gt2②半圆形轨道的圆心与A 点的水平距离为x′＝x ＋Rsin37°＝v 0t ＋0.6R ③ ①②③联立，得x′＝1.8 m ，t ＝0.4 s ．故A 项错误，D 项错误； B 项，由①②联立得：小球平抛的初速度为v 0＝3 m/s ，故B 项正确；C 项，根据图，由几何关系，可得v y ＝gt ＝4 m/s ，由P ＝Fv ，得P ＝mgv y ＝1×10×4 W ＝40 W ，故C 项错误．6．如图，长、宽、高分别为2L 、L 、h 的长方形盒子固定在水平地面上，M 为盒子右侧底边中点，O 为地面上一点，OM 间距为L ，且与盒子右侧底边垂直．一小球(可视为质点)从O 点正上方相距3h 处水平抛出，若抛出的速度大小和方向合适，小球可以不和盒子有任何接触直接落在盒子底面上，则小球平抛速度的最大取值范围为( )A ．L g4h <v<L 5g 6hB ．L g4h <v<L 2g 3h C ．L g6h <v<L 5g 6hD ．Lg6h<v<L 2g 3h【答案】 A7.在教学楼的楼梯口，有如图所示的0、1、2、3、…、k级台阶，每级台阶的长为30 cm，高为15 cm.某同学从第0级台阶的边沿以v0＝5 m/s的速度水平抛出一小球，不计一切阻力，g取10 m/s2，则小球将落在第几级台阶上( )A．7级 B．8级C．9级 D．10级【答案】：C【解析】：8.如图所示，正方形ABCD 在竖直平面内，AD 水平，分别从A 点和D 点以速度v 1、v 2各平抛一个小球，两小球均能经过AC 上的E 点，且从D 点抛出的小球经过E 时的速度方向与AC 垂直，不计空气阻力．则下列说法正确的是( )A ．两小球到达E 点所用时间不等B ．两小球从抛出点到E 点的速度变化不相同C ．两小球的初速度大小关系为：v 2＝2v 1D ．若v 1、v 2取合适的值，则E 可以是AC 的中点 【答案】 C【解析 】A 点和D 点到E 点的竖直距离相等，所以两小球到达E 点所用的时间相等，A 项错误．两小球均做平抛运动，加速度相同，所用时间相等，由g ＝Δv/Δt 可知，两小球从抛出点到E 点的速度变化Δv 相同，B 项错误．根据题述，从D 点抛出的小球经过E 时的速度方向与AC 垂直，可知v 2＝gt ，设DE 的水平距离为x ，竖直距离为y ，由平抛运动规律，x D ＝v 2t ，y ＝12gt 2，联立解得x D ＝2y ，而x A ＝y ＝v 1t ，所以，两小球的初速度大小关系为：v 2＝2v 1，C 项正确．无论v 1和v 2取何值，要使从D 点抛出的小球经过E 时的速度方向与AC 垂直，E 都不可以是AC 的中点，D 项错误．9．(2017·嘉庆模拟)(多选)如图所示，水平地面的上空有一架飞机在进行投弹训练，飞机沿水平方向做匀加速直线运动．当飞机飞过观察点B 点正上方A 点时投放一颗炸弹，经时间T 炸弹落在距观察点B 正前方L 1处的C 点，与此同时飞机投放出第二颗炸弹，最终落在距观察点B 正前方L 2处的D 点，且L 2＝3L 1，空气阻力不计．以下说法正确的有( )A ．飞机第一次投弹时的速度为L 1TB ．飞机第二次投弹时的速度为2L 1TC ．飞机水平飞行的加速度为L 1T2D ．两次投弹时间间隔T 内飞机飞行的距离为4L 13【答案】 AD10．(2017年青岛测试)如图所示，水平屋顶高H ＝5 m ，围墙高h ＝3.2 m ，围墙到房子的水平距离L ＝3 m ，围墙外空地宽x ＝10 m ，为使小球从屋顶水平飞出落在围墙外的空地上，g 取10 m/s 2.求：(1)小球离开屋顶时的速度v 0的大小范围； (2)小球落在空地上的最小速度．【答案】（1）5 m/s≤v 0≤13 m/s （2）5 5 m/s(2)小球落在空地上，下落高度一定，落地时的竖直分速度一定，当小球恰好越过围墙的边缘落在空地上时，落地速度最小．竖直方向：v 2y ＝2gH又有v min ＝v 202＋v 2y代入数据解得：v min ＝5 5 m/s11．(2017·安徽学业考试)如图所示，练习雪道由倾斜部分AB 段和水平部分BC 段组成，其中倾斜雪道的倾角θ＝45°，A 处离水平地面的高度H ＝5 m ．运动员每次练习时在A 处都沿水平方向飞出，不计空气阻力．取g ＝10 m/s 2.(1)求运动员在空中运动的最长时间t m . (2)求运动员要落在AB 段，求其在A 处飞出时的最大速度v m 大小．(3)运动员在A 处飞出的速度为v ，当其落到BC 段时，速度方向与竖直方向的夹角为α，试通过计算画出tanα－v 图像．【答案】 (1)1 s (2)5 m/s (3)见解析(3)运动员到达BC 段时，下落的时间是1 s ，则落地时竖直方向的分速度：v y ＝gt m ＝10×1 m/s ＝10 m/s运动员到达BC 的过程中水平方向的分速度不变，到达B 点的水平方向的分速度为5 m/s ，所以到达B 点时速度方向与竖直方向的夹角满足：tanα＝v m v y ＝510＝12在BC 段：tanα＝v v y ＝110v 所以画出tanα－v 图像如图．。
平抛运动的临界问题(解析版)
平抛运动临界问题平抛运动受到某种条件的限制时就构成了平抛运动的临界问题，其限制条件一般有水平位移和竖直高度两种。
求解这类问题的关键是确定临界轨迹，当受水平位移限制时，其临界轨迹为自抛出点到水平位移端点的一条抛物线；当受竖直高度限制时，其临界轨迹为自抛出点到竖直高度端点的一条抛物线。
确定轨迹后再结合平抛运动的规律即可求解。
审题技巧1.有些题目中有“刚好”、“恰好”、“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在着临界点。
2.若题目中有“取值范围”、“多长时间”、“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在着“起止点”，而这些起止点往往就是临界点。
3.若题目中有“最大”、“最小”、“至多”、“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值，这些极值点也往往是临界点。
解题技巧1. 分析平抛运动中的临界问题时一般运用极限分析的方法，即把要求的物理量设定为极大或极小，让临界问题突现出来，找到产生临界的条件。
2. 求解平抛运动中的临界问题的关键(1)确定临界状态．确定临界状态一般用极限法分析，即把平抛运动的初速度增大或减小，使临界状态呈现出来．(2)确定临界状态的运动轨迹，并画出轨迹示意图．画示意图可以使抽象的物理情景变得直观，更可以使有些隐藏于问题深处的条件暴露出来．【典例1】在某次乒乓球比赛中，乒乓球先后两次落台后恰好在等高处水平越过球网，过网时的速度方向均垂直于球网，把两次落台的乒乓球看成完全相同的两个球，球1和球2，如图所示，不计乒乓球的旋转和空气阻力，乒乓球自起跳到最高点的过程中，下列说法正确的是()A．起跳时，球1的重力功率等于球2的重力功率B．球1的速度变化率小于球2的速度变化率C．球1的飞行时间大于球2的飞行时间D．过网时球1的速度大于球2的速度【答案】AD【解析】乒乓球起跳后到最高点的过程，其逆过程可看成平抛运动。
重力的瞬时功率等于重力乘以竖直方向的速度，两球起跳后能到达的最大高度相同，由v2＝2gh得，起跳时竖直方向分速度大小相等，所以两球起跳时重力功率大小相等，A 正确；速度变化率即加速度，两球在空中的加速度都等于重力加速度，所以两球的速度变化率相等，B 错误；由h ＝12gt 2可得两球飞行时间相同，C 错误；由题图可知，球1的水平位移较大，由x ＝vt 可知，运动时间相同，则球1的水平速度较大，D 正确。
平抛运动、圆周运动的临界问题 Word版含解析
[A组·基础题]1. 如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动，盘面上离转轴距离2.5 m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止．物体与盘面间的动摩擦因数为32(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，盘面与水平面的夹角为30°，g取10 m/s2.则ω的最大值是( )A. 5 rad/s B． 3 rad/sC．1.0 rad/s D．5 rad/s2. 一圆盘可以绕其竖直轴在水平面内转动，圆盘半径为R，甲、乙两物体的质量分别为M与m(M＞m)，它们与圆盘之间的最大静摩擦力均为正压力的μ倍，两物体用一根长为l(l＜R)的轻绳连在一起，如图所示，若将甲物体放在转轴的位置上，甲、乙之间接线刚好沿半径方向拉直，要使两物体与转盘之间不发生相对滑动，则转盘旋转的角速度最大值不得超过( )A.μ(M－m)gml B．μ(M－m)gMlC.μ(M＋m)gMl D．μ(M＋m)gml3. (2019·河南中原名校考评)如图所示，半径分别为R、2R的两个水平圆盘，小圆盘转动时会带动大圆盘不打滑的一起转动．质量为m的小物块甲放置在大圆盘上距离转轴R处，质量为2m的小物块放置在小圆盘的边缘处．它们与盘面间的动摩擦因数相同，当小圆盘以角速度转动时，两物块均相对圆盘静止，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是( )A ．二者线速度大小相等B ．甲受到的摩擦力大小为14mω2RC ．在ω逐渐增大的过程中，甲先滑动D ．在ω逐渐增大但未相对滑动的过程中，物块所受摩擦力仍沿半径指向圆心4. (2018·广东七校联考)如图所示，半径为R 的圆轮在竖直面内绕O 轴匀速转动，轮上A 、B 两点各粘有一小物体，当B 点转至最低位置时，此时O 、A 、B 、P 四点在同一竖直线上，已知：OA ＝AB ，P 是地面上的一点．此时A 、B 两点处的小物体同时脱落，最终落到水平地面上同一点．不计空气阻力，则OP 的距离是( )A.76RB ．52RC ．5RD ．7R5．(多选) 水平面上有倾角为θ、质量为M 的斜面体，质量为m 的小物块放在斜面上，现用一平行于斜面、大小恒定的拉力F 作用于小物块上，绕小物块旋转一周，这个过程中斜面体和小物块始终保持静止状态．下列说法中正确的是( )A ．小物块受到斜面的最大摩擦力为F ＋mg sin θB ．小物块受到斜面的最大摩擦力为F －mg sin θC ．斜面体受到地面的最大摩擦力为FD ．斜面体受到地面的最大摩擦力为F cos θ6．(多选) (2018·山西省吕梁市期中)如图所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，内侧壁半径为R，小球半径为r，则下列说法正确的是( )A．小球通过最高点时的最小速度v min＝g(R＋r)B．小球通过最高点时的最小速度v min＝0C．小球在水平线ab以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力D．小球在水平线ab以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力7. 如图所示，水平屋顶高H＝5 m，围墙高h＝3.2 m，围墙到房子的水平距离L ＝3 m，围墙外空地宽x＝10 m，为使小球从屋顶水平飞出落在围墙外的空地上，g取10 m/s2.求：(1)小球离开屋顶时的速度v0的大小范围；(2)小球落在空地上的最小速度．[B组·能力题]8. (多选)如图所示，两物块A、B套在水平粗糙的CD杆上，并用不可伸长的轻绳连接，整个装置能绕过CD中点的轴转动，已知两物块质量相等，杆CD对物块A、B的最大静摩擦力大小相等，开始时绳子处于自然长度(绳子恰好伸直但无弹力)，物块B到轴的距离为物块A到轴距离的两倍，现让该装置从静止开始转动，使转速逐渐慢慢增大，在从绳子处于自然长度到两物块A、B即将滑动的过程中，下列说法正确的是( )A．A受到的静摩擦力一直增大B．B受到的静摩擦力先增大后保持不变C．A受到的静摩擦力先增大后减小再增大D．B受到的合外力先增大后保持不变9. (多选)(2016·浙江卷)如图所示为赛车场的一个水平“梨形”赛道，两个弯道分别为半径R＝90 m的大圆弧和r＝40 m的小圆弧，直道与弯道相切．大、小圆弧圆心O、O′距离L＝100 m．赛车沿弯道路线行驶时，路面对轮胎的最大径向静摩擦力是赛车重力的2.25倍，假设赛车在直道上做匀变速直线运动，在弯道上做匀速圆周运动，要使赛车不打滑，绕赛道一圈时间最短(发动机功率足够大，重力加速度g＝10 m/s2，π＝3.14)，则赛车( )A．在绕过小圆弧弯道后加速B．在大圆弧弯道上的速率为45 m/sC．在直道上的加速度大小为5.63 m/s2D．通过小圆弧弯道的时间为5.58 s10．如图为“快乐大冲关”节目中某个环节的示意图，参与游戏的选手会遇到一个人造山谷AOB，AO是高h＝3 m的竖直峭壁，OB是以A点为圆心的弧形坡，∠OAB＝60°，B点右侧是一段水平跑道．选手可以自A点借助绳索降到O点后再爬上跑道，但身体素质好的选手会选择自A点直接跃上跑道．选手可视为质点，忽略空气阻力，重力加速度g＝10 m/s2.(1)若选手以速度v0水平跳出后，能跳在水平跑道上，求v0的最小值；(2)若选手以速度v1＝4 m/s水平跳出，求该选手在空中的运动时间．11. (2017·河南开封模拟)如图所示，一块足够大的光滑平板放置在水平面上，能绕水平固定轴MN调节其与水平面所成的倾角．板上一根长为l＝0.60 m的轻细绳，它的一端系住一质量为m的小球P，另一端固定在板上的O点．当平板的倾角固定为α时，先将轻绳平行于水平轴MN拉直，然后给小球一沿着平板并与轻绳垂直的初速度v0＝3.0 m/s.若小球能保持在板面内做圆周运动，倾角α的值应在什么范围内？(取重力加速度g＝10 m/s2)。
专题23 平抛运动临界问题、相遇问题、类平抛运和斜抛运动(解析版)
2023届高三物理一轮复习多维度导学与分层专练专题23 平抛运动临界问题、相遇问题、类平抛运和斜抛运动导练目标 导练内容目标1 平抛运动临界问题 目标2 平抛运动中的相遇问题目标3 类平抛运动 目标4斜抛运动一、平抛运动临界问题擦网压线既擦网又压线由21122121⎪⎪⎭⎫⎝⎛==-v x g gt h H 得：()h H gx v -=211由222122121⎪⎪⎭⎫⎝⎛+==v x x g gt H 得：()Hg x x v 2212+= 由20122121⎪⎪⎭⎫⎝⎛==-v x g gt h H 和202122121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+==v x x g gt H 得：()22121x x x H h H +=-【例1】如图排球场，L=9m,球网高度为H=2m ，运动员站在网前s=3m 处，正对球网跳起将球水平击出，球大小不计，取重力加速度为g=10m/s.（1）若击球高度为h=2.5m,为使球既不触网又不出界，求水平击球的速度范围; (2) 当击球点的高度h 为何值时，无论水平击球的速度多大，球不是触网就是出界？ 【答案】（1）10m /s ＜v 2/s （2）2.13m【详解】（1）当球刚好不触网时，根据h 1−h ＝12gt 12，解得：()()1122 2.521010h h t s g -⨯-＝＝＝，则平抛运动的最小速度为：11/310/10min x v s m s t ＝＝＝．当球刚好不越界时，根据h 1＝12gt 22，解得：1222 2.5210h t s g ⨯＝＝＝ ，则平抛运动的最大速度为：22/122/2max x v s m s t ＝＝＝，则水平击球的速度范围为10/s ＜v 2/s ．（2）设击球点的高度为h ．当h 较小时，击球速度过大会出界，击球速度过小又会触网，1222()h h H g g -＝，其中x 1=12m ，x 2=3m ，h=2m ，代入数据解得：h=2.13m ，即击球高度不超过此值时，球不是出界就是触网． 二、平抛运动中的相遇问题平抛与自由落体相遇水平位移：l=vt空中相遇：ght 2<平抛与平抛相遇（1）若等高（h 1=h 2），两球同时抛；（2）若不等高（h 1>h 2）两球不同时抛，甲球先抛； （3）位移关系：x 1+x 2=L（1）A 球先抛； （2）t A >t B ； （3）v 0A <v 0B（1）A 、B 两球同时抛； （2）t A =t B ； （3）v 0A >v 0B 平抛与竖直上抛相遇（1）L=v 1t ；（2）22222121v h t h gt t v gt =⇒=-+； （3）若在S 2球上升时两球相遇，临界条件：2v t g<，即：22h v v g<，解得：2v gh >；（4）若在S 2球下降时两球相遇，临界条件：222v v t g g <<，即2222v h vg v g<<， 解得：22ghv gh <<平抛与斜上抛相遇（1）Ltvt v=⋅+θcos21；（2）θθsin21sin212222vhthgttvgt=⇒=-+；（3）若在S2球上升时两球相遇，临界条件：2sinvtgθ<，即：22sinsinh vv gθθ<，解得：2singhvθ>；（4）若在S2球下降时两球相遇，临界条件：22sin2sinv vtg gθθ<<，即222sin2sinsinv h vg v gθθθ<<，解得：22sin singhghvθθ<<【例2】如图，两个弹性球P、Q在距离水平地面一定高度处，若给P水平向右的初速度0（00v≠），同时释放Q，（两球在同一竖直面内运动）两球与地面接触时间可忽略不计，与地面接触前后水平方向速度不变，竖直方向速度大小不变，方向相反。
平抛运动临界问题、相遇问题、类平抛运和斜抛运动(解析版)
平抛运动临界问题、相遇问题、类平抛运和斜抛运动导练目标导练内容目标1平抛运动临界问题目标2平抛运动中的相遇问题目标3类平抛运动目标4斜抛运动【知识导学与典例导练】一、平抛运动临界问题擦网压线既擦网又压线由H−h=12gt2=12gx1v12得：v1=x1g2H−h由H=12gt2=12gx1+x2v22得：v2=x1+x2g2H由H−h=12gt2=12gx1v02和H=12gt2=12gx1+x2v02得：H−hH=x21x1+x221某天，小陈同学放学经过一座石拱桥，他在桥顶A处无意中把一颗小石子水平沿桥面向前踢出，他惊讶地发现小石子竟然几乎贴着桥面一直飞到桥的底端D处，但是又始终没有与桥面接触。
他一下子来了兴趣，跑上跑下量出了桥顶高OA=3.2m，桥顶到桥底的水平距离OD=6.4m。
这时小陈起一颗小石，在A 处，试着水平抛出小石头，欲击中桥面上两块石板的接缝B处(B点的正下方B′是OD的中点)，小陈目测小石头抛出点离A点高度为1.65m，下列说法正确的是()A.石拱桥为圆弧形石拱桥B.小陈踢出的小石头速度约为6.4m/sC.小陈抛出的小石头速度约为4.6m/sD.先后两颗小石子在空中的运动时间之比为2:1【答案】C【详解】A．石头做平抛运动，石子几乎贴着桥面一直飞到桥的底端D处，且始终没有与桥面接触，则石拱桥为抛物线形石拱桥，故A错误；B．石头做平抛运动，水平方向为匀速直线运动，竖直方向为自由落体运动，水平方向，有OD=v1t1竖直方向，有OA=12gt21代入数据联立解得t1=0.8s，v1=8m/s故B错误；C．小陈踢出的石子经过B点时，水平方向的位移为总位移的12，则时间为总时间的12，A和B竖直方向的距离为h AB=12gt122=14OA=14×3.2m=0.8m小陈抛出的小石头做平抛运动，水平方向的位移为1 2OD=v2t2竖直方向位移为h+h AB=12gt22代入数据解得t2=0.7s，v2=327m/s≈4.6m/s故C正确；D．先后两颗小石子在空中的运动时间之比为t1:t2=8:7故D错误。
物理高考专题 平抛运动与圆周运动组合中的双临界问题(解析版)
尖子生的自我修养系列(一)曲线运动中的一个难点——双临界问题(细化题型)平抛运动和圆周运动是两种典型的曲线运动模型，均是高考的重点，两者巧妙地结合对学生的推理能力提出更高要求，成为高考的难点。
双临界问题能有效地考查学生的分析能力和创新能力，从而成为高考命题的重要素材。
下面分三类情况进行分析。
[例1] [多选](2020·将一锅水烧开，拿一块面团放在锅旁边较高处，用刀片飞快地削下一片片很薄的面片儿，面片便水平飞向锅里，若面团到锅上沿的竖直距离为0.8 m ，面团离锅上沿最近的水平距离为0.4 m ，锅的直径为0.4 m 。
若削出的面片能落入锅中，则面片的水平初速度可能是(g ＝10 m/s 2)( )A ．0.8 m/sB ．1.2 m/sC ．1.8 m/sD ．3.0 m/s【解析】水平飞出的面片发生的运动可看成平抛运动，根据平抛运动规律，水平方向：x ＝v 0t ①，竖直方向：y ＝12gt 2 ②，其中水平位移大小的范围是0.4 m≤x ≤0.8 m ，联立①②代入数据解得1 m/s≤v 0≤2 m/s ，故B 、C 项正确。
【答案】BC[方法规律] 解决平抛运动中双临界问题的一般思路(1)从题意中提取出重要的临界条件，如“恰好”“不大于”等关键词，准确理解其含义。
(2)作出草图，确定物体的临界位置，标注速度、高度、位移等临界值。
(3)在图中画出临界轨迹，运用平抛运动的规律进行解答。
[集训冲关]1．(2020·济南模拟)套圈游戏是一项很受欢迎的群众运动，要求每次从同一位置水平抛出圆环，套住与圆环前端水平距离为3 m 的20 cm 高的竖直细杆，即为获胜。
一身高1.7 m 的人从距地面1 m 高度水平抛出圆环，圆环半径为8 cm ，要想套住细杆，他水平抛出圆环的速度可能为(g 取10 m/s 2)( ) A ．7.4 m/s B ．7.8 m/s C ．8.2 m/s D ．8.6 m/s 【解析】选B 根据h 1－h 2＝12gt 2得，t ＝2(h 1－h 2)g＝2×(1.0－0.2)10s ＝0.4 s 。
平抛物体的运动临界问题
平抛物体的运动临界问题一、【模型】：排球不触网且不越界问题模型简化（运动简化）：将排球看成质点，把排球在空中的运动看成平抛运动。
问题：标准排球场：场总长为l 1=18m ，宽l 2 = 9m 女排网高h=2.24m 如上图所示。
若运动员在3m 线上方水平击球，则认为排球做类平抛运动。
分析方法：设击球高度为H ，击球后球的速度水平为v 0。
当击球点高度为H 一定时，击球速度为υ1时恰好触网；击球速度为υ2时恰好出界。
当击球点高度为H 时，击球速度为υ时，恰好不会触网，恰好不会出界，其运动轨迹分别如下图 中的（a ）、（b ）、（c ）所示。
1、不出界：如图（a ）、(b)当击球点高度为H 一定时，要不越界，需飞行的水平距离m m ll 12321=+〈 由于 时，不越界。
因此，m gHv l gtH t v l 12221020〈===结论：① 若H 一定时，则v 0越大越易越界，要不越界，需H ggHv 2122120=<② 若v 0一定时，则H 越大越易越界，越不越界，需00022722144212v gv g v g H ==< 2、不触网：如图（c ）要不触网，则需竖直高度：221gt h H >- 水平距离：m t v 30=以上二式联立得：0229v t h H >-结论：①若H 一定（()一定h H -）时，则v 0越小，越易触网。
要不触网，需()h H gv ->230②若v 0一定时，则H 越小，越易触网。
要不触网，需229v gh H +> 3、总结论：①当H 一定时，不触网也不越界的条件是：()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=<<-H gg H v h H g 212212230 （即当H 一定时，速度太大太小均不行，太小会触网，太大又易越界） ② 若v 0一定时，且v 0在()⎪⎪⎭⎫⎝⎛=<<-H ggH v h H g 212212230之外 ()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛<>h H g v g H v -2321200或即 则无论初速度多大，结果是或越界或触网。
考点08平抛运动的临界和极值问题(纯答案版)
专题05 抛体运动[考点08] 平抛运动的临界和极值问题[典例]答案 (1)310 m/s<v 0≤12 2 m/s (2)3215m解析 (1)如图甲所示，排球恰不触网时其运动轨迹为Ⅰ，排球恰不出界时其运动轨迹为Ⅱ，根据平抛运动的规律，由x ＝v 0t 和h ＝12gt 2可得，当排球恰好触网时有x 1＝3 m ，x 1＝v 1t 1①h 1＝2.5 m －2 m ＝0.5 m ，h 1＝12gt 12②由①②可得v 1＝310 m/s. 当排球恰不出界时有x 2＝3 m ＋9 m ＝12 m ，x 2＝v 2t 2③ h 2＝2.5 m ，h 2＝12gt 22④由③④可得v 2＝12 2 m/s.所以排球既不触网也不出界的速度范围是310 m/s<v 0≤12 2 m/s.(2)如图乙所示为排球恰不触网也恰不出界的临界轨迹．设击球点的高度为h ，根据平抛运动的规律有x 1＝3 m ，x 1＝v 0t 1′⑤h 1′＝h －2 m ，h 1′＝12gt 1′2⑥x 2＝3 m ＋9 m ＝12 m ，x 2＝v 0t 2′⑦h 2′＝h ＝12gt 2′2⑧联式⑤⑥⑦⑧式可得，高度h ＝3215 m.1.答案 D解析 根据x ＝v 0t 、y ＝12gt 2，将已知数据代入可得v 0＝20 m/s ，故选项D 正确．2.答案 B解析 设网球击出后在空中飞行的时间为t ，因为A 点到球网的水平距离是击球点到球网的水平距离的2倍，所以网球从击球点运动到球网的时间为t 3，则H ＝12gt 2，H －h ＝12g (t3)2，联立解得t ＝32hg，故选B. 3.答案 ACD解析 当小球落在A 点时，有H ＝12gt 2，s ＝v 1t ，联立解得v 1＝sg 2H ＝2315 m/s ，同理可知，当小球落在D 点时，v 2＝sg2(H －h )＝10 m/s ，当小球落在B 点时，v 3＝(s ＋d )g 2H＝15 m/s ，当小球落在C 点时，v 4＝(s ＋d )g 2(H －h )＝3210 m/s ，选项A 、C 正确，B 错误；若P 点的高度变为H 0，轨迹同时过D 点和B 点，则此时初速度v ′＝sg2(H 0－h )＝(s ＋d )g 2H 0，解得H 0＝1.8 m ，在此高度上，小球无论初速度多大，都不能直接落在桶底(桶边沿除外)，选项D 正确． 4.答案 C解析 在P 点将纸团以小于v 的速度水平抛出，纸团下降到纸篓上边沿这段时间内，水平位移变小，纸团不能进入纸篓中，故A 错误；在P 点将纸团以大于v 的速度水平抛出，则纸团下降到篓底的时间内，水平位移增大，不能直接击中篓底的正中间，故B 错误；要使纸团进入纸篓且直接击中篓底正中间，分析临界状态可知，最可能的入篓点为左侧纸篓上边沿．若在P 点正上方某位置将纸团以小于v 的速度水平抛出，根据x ＝v2hg知，纸团水平位移可以减小且不会与纸篓的左边沿相撞，纸团有可能击中篓底正中间，故C 正确；同理可得D 错误．5.答案 C解析 小球从最高点到右端出口，机械能守恒，有mg (H －h )＝12m v 2，从右端出口飞出后，小球做平抛运动，有x ＝v t ，h ＝12gt 2，联立解得x ＝2(H －h )h ，根据数学知识可知，当H－h ＝h 时，x 最大，即h ＝1 m 时，小球飞得最远，此时右端出口距离桌面高度为Δh ＝1 m －0.8 m ＝0.2 m ，故C 正确． 6.答案 C解析 要让小球落到挡板M 的右边区域，下落的高度为Δh ＝h －h ′＝5 m ，由t ＝2Δhg得t ＝1 s ，由d 1＝v 01t ，d 2＝v 02t ，得v 0的范围为10 m/s ＜v 0＜20 m/s ，故C 正确，A 、B 、D 错误． 7.答案 B解析 根据h 1－h 2＝12gt 2得t ＝2(h 1－h 2)g＝2(0.45－0.25)10s ＝0.2 s ，则平抛运动的最大速度v 1＝x ＋2R t ＝1.0＋2×0.10.2 m/s ＝6.0 m/s ，最小速度v 2＝x t ＝1.00.2 m/s ＝5.0 m/s ，则5.0 m/s＜v ＜6.0 m/s ，故选B. 8.答案 A解析 若恰好打在第3级台阶的边缘，则有：3h ＝12gt 32,3l ＝v 3t 3，解得v 3＝ 6 m/s ，若恰好打在第4级台阶的边缘，则有4h ＝12gt 42,4l ＝v 4t 4，解得v 4＝2 2 m/s ，所以打在第4级台阶上应满足的条件： 6 m/s<v ≤2 2 m/s ，A 正确． 9.答案 C解析 若小物件恰好经过窗口上沿，则有h ＝12gt 12，L ＝v 1t 1，解得v 1＝7 m/s ；若小物件恰好经过窗口下沿，则有h ＋H ＝12gt 22，L ＋d ＝v 2t 2，解得v 2＝3 m/s ，所以v 的取值范围是3 m/s＜v ＜7 m/s ，故C 正确． 10.答案 A解析 当小球恰好从C 点落入盒子时水平速度最大，此时小球的水平位移为x ＝OC ′＝a 2＋（2a ）2＝5a ，竖直位移为a ，根据平抛运动的规律得5a ＝v 0t ，a ＝12gt 2，联立解得v 0＝52ga ，故选A. 11.答案 C 解析 设乒乓球做平抛运动的时间为t ，则t ＝2hg，当速度最大时，水平位移具有最大值x max ＝v max t ＝22gh ×2hg＝4h ，当速度最小时，水平位移具有最小值x min ＝v min t ＝2gh ×2hg＝2h ，其中v max 、v min 为v 0的最大值和最小值，又因为发球器O ′A 部分长度也为h ，故乒乓球的落点距竖直转轴距离的范围为3h ≤x ≤5h ，乒乓球第一次与桌面碰撞区域是一个圆心角为90°的宽度为2h 的环形带状区域，其面积为S ＝14×π[(5h )2－(3h )2]＝4πh 2，故选C.12.答案 (1)0.4 s (2)1 m/s ≤v ≤2 m/s解析 (1)面片飞出时做平抛运动，在竖直方向面片做自由落体运动有h ＝12gt 2解得t ＝0.4 s(2)在水平方向面片做匀速直线运动，则有 v 1＝x 1t ＝0.6－0.20.4 m/s ＝1 m/sv 2＝x 2t ＝0.6＋0.20.4m/s ＝2 m/s故面片要落入锅中初速度大小的取值范围为1 m/s ≤v ≤2 m/s. 13.答案 (1)3h g (2)L2gh≤v ≤L g 2h解析 (1)打在AB 中点的微粒，则 32h ＝12gt 2 解得t ＝3h g. (2)设打在B 点的微粒初速度为v 1，则 v 1＝L t 1，2h ＝12gt 21解得v 1＝L 2g h同理，设打在A 点的微粒初速度为v 2，则v 2＝Lg 2h所以微粒初速度范围为L2gh≤v ≤L g 2h. 14.答案 D解析 球反弹后做平抛运动，根据h ＝12gt 2，可得t ＝2hg，取h min ＝1.25 m ，可得t min ＝0.5 s ，取h max ＝1.80 m ，可得t max ＝0.6 s ，故A 、B 错误；球在水平方向做匀速直线运动，有x max ＝v 0·t max ＝12 m ，故C 错误；球落地的最大位移s max ＝x max 2＋h max 2＝122＋1.82 m ＞12 m ，故D 正确． 15.答案 D解析 排球做平抛运动，在水平方向上做匀速直线运动，有x ＝v t ，则排球从初位置运动到网的位置与排球从初位置到落地的时间之比为t 1∶t 2＝s2∶s ＝1∶2，排球在竖直方向上做自由落体运动，由H －h ＝12gt 12，H ＝12gt 22，H －h H ＝t 12t 22＝14，解得H ＝43h ，故A 、B 错误；排球从被发出至落在B 点的过程中有s ＝v t ，所以v ＝st ＝s 2H g＝s4h 6gh ，故C 错误，D 正确． 16.答案 D解析 当速度v 最小时，球沿中线恰好过网，有：3h －h ＝gt 122①L 12＝v 1t 1②联立①②两式，得v 1＝L 14gh,当速度v 最大时，球斜向右侧台面两个角发射，有(L 22)2＋L 12＝v 2t 2③3h ＝12gt 22④联立③④两式，得v 2＝12(4L 12＋L 22)g6h ,所以使乒乓球落到球网右侧台面上，v 的最大取值范围为L 14g h ＜v ＜12(4L 12＋L 22)g6h，选项D 正确．。
平抛运动中的临界问题2021年高考物理一轮复习曲线运动与万有引力版块全攻略(解析版)
专题7 平抛运动中的临界问题一、单选题1.图中给出某一通关游戏的示意图，安装在轨道AB 上可上下移动的弹射器，能水平射出速度大小可调节的弹丸，弹丸射出口在B 点的正上方，竖直面内的半圆弧BCD 的半径为R=2.0m ，直径BD 水平且与轨道AB 处在同一竖直平面内，小孔P 和圆心O 连线与水平方向夹角为37º，游戏要求弹丸垂直于P 点圆弧切线方向射入小孔P 就能进入下一关.为了能通关，弹射器离B 点的高度和弹丸射出的初速度分别是（不计空气阻力） （ ）A.0.15/m sB.1.50/m sC.0.15/m sD.1.50/m s 【答案】A【解析】由题意可知弹丸从p 点射出时的速度方向就是半径OP 的方向.即与水平方向成37度夹角，由平抛运动规律知：tan 37y v gt v v ==21sin 372h R gt +=0cos37R R v t +=解得：0/v s =0.15h m = ，故A 对；BCD 错综上所述本题答案是：A2.北京时间3月23日，2018年世预赛十二强中韩战长沙，34分钟，王永珀角球助于大宝头球破门，国足1-0力克韩国，结束正式大赛逢韩不胜!如图所示为足球球门，球门宽为L.一个球员在球门中心正前方距离球门s 处高高跃起，将足球顶入球门的左下方死角（图中P 点）.球员顶球点的高度为h.足球做平抛运动（足球可看成质点，忽略空气阻力），则（ ）A.足球初速度的方向与球门线夹角的正切值tan θ＝2LsB.足球位移的大小xC.足球初速度的大小v 0D.足球末速度的大小v【答案】C【解析】由几何关系可得足球初速度的方向与球门线夹角的正切值：2tan 2s sL L θ==，故A 错误；足球在水平方向的位移大小为：1x =x =B 错误；足球运动的时间：t =10x v t ==C 正确；足球运动的过程中只有重力做功，由动能定理得：2201122mgh mv mv =-，联立可得：足球末速度的大小：v =D 错误.所以C 正确，ABD 错误.3.如图所示，一乒乓球台的水平台面的长和宽分别为1L ，2L ，球网高度为h ，一发球机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h 。
高考物理计算题复习《平抛运动中的临界问题》(解析版)
《平抛运动中的临界问题》一、计算题1.如图所示，高为H、倾角为θ=45°的斜面AB放置在水平地面上，左侧高台上有一人向斜面多次投掷小球以练习准确性，小球每次出手时的速度方向都是水平向右，出手点位于高台边缘且距地面高度为2H，重力加速度为g，忽略空气阻力。
(1)如果斜面底端A点到高台的水平距离也为H，为了使小球能够投掷到斜面上，求小球的初速度的取值范围；(2)如果落在A点的小球与落在B点的小球速度大小相等，求A点距高台的水平距离。
2.如图为网球场长度示意图，球网高为ℎ=0.9m，发球线离网的距离为x=6.4m，某运动员在一次击球时，击球点刚好在发球线上方H=1.25m高处，设击球后瞬间球的速度大小为v0=32m/s，方向水平且垂直于网，试通过计算说明网球能否过网？若过网，试求网球的直接落地点离对方发球线的距离L？(不计空气阻力，重力加速度g取10m/s2)3.如图所示，小明参加户外竞技活动，站在平台边缘抓住轻绳一端，轻绳另一端固定在O点，绳子刚好被拉直且偏离竖直方向的角度θ=60°.小明从A点由静止往下摆，达到O点正下方B点突然松手，顺利落到静止在水平平台的平板车上，然后随平板车一起向右运动。
到达C点，小明跳离平板车(近似认为水平跳离)，安全落到漂浮在水池中的圆形浮漂上。
绳长L=1.6m，浮漂圆心与C点的水平距离x=2.7m、竖直高度y=1.8m，浮漂半径R=0.3m、不计厚度，小明的质量m=60kg，平板车的质量m=20kg，人与平板车均可视为质点，不计平板车与平台之间的摩擦。
重力加速度g=10m/s2，求：(1)轻绳能承受最大拉力不得小于多少？(2)小明跳离平板车时的速度在什么范围？(3)若小明跳离平板车后恰好落到浮漂最右端，他在跳离过程中做了多少功？4.如图所示，一小球从平台上以初速度v0水平抛出后，落在横截面为等腰直角三角形的光滑斜面顶端，并恰好无碰撞的沿光滑斜面滑下。
高考物理热点：平抛运动中的临界问题
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4.备选训练
平抛运动与日常生活紧密联系，如乒乓球、足球、排球等运动模型，飞
镖、射击、飞机投弹模型等。这些模型经常受到边界条件的制约，如网
球是否触网或越界、飞镖是否能击中靶心、飞机投弹是否能命中目标等。 解题的关键是能准确地运用平抛运动规律分析对应的运动特征。
目录
的初速度分别从 A、B 两点相差 1 s 先后水 平相向抛出，a 小球从 A 点抛出后，经过 时间 t，a、b 两小球恰好在空中相遇，且 速度方向相互垂直，不计空气阻力，取 g＝10m/s2，则抛出点 A、B 间的水平距离是( )
A．80 5 m B．100 m C．200 m D．180 5 m
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热点突破： 平抛运动中的临界问题
1.热点透析
2.典例剖析
3.规律方法
4.备选训练 5.高考模拟演练
基础课
目录
1.热点透析
平抛运动中的临界问题 1．有些题目中有“刚好”、“恰好”、“正好”等字眼，明显表明 题述的过程中存在着临界点。 2．若题目中有“取值范围”、“多长时间”、“多大距离”等词语 ，表明题述的过程中存在着“起止点”，而这些起止点往往就是临 界点。 3．若题目中有“最大”、“最小”、“至多”、“至少”等字眼， 表明题述的过程中存在着极值，这些极值点也往往是临界点。
6gh＜v＜L1
g ＋L22）g 6h
C.L21 D.L41
6gh＜v＜12 hg＜v＜12
（4L21＋L22）g 6h
（4L21＋L22）g 6h
提示：球速最小时， 射程最小；球速最大
专题19 平抛运动的临界、极值和相遇问题(解析版)
专题19平抛运动的临界、极值和相遇问题在平抛运动中,由于运动时间由高度决定,水平位移由高度和初速度决定,因而在越过障碍物时,有可能会出现恰好过去或恰好过不去的临界状态,还会出现运动位移的极值等情况。
1、临界点的确定(1)若题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼,明显表明题述的过程中存在着临界点。
(2)若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语,表明题述的过程中存在着“起止点”,而这些“起止点”往往就是临界点。
(3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼,表明题述的过程中存在着极值点,这些极值点也往往是临界点。
2、相遇的特点运动时间往往存在相等、提前或延迟的关系，要结合题干所给的物理情景分析。
3、求解平抛运动临界问题的一般思路(1)找出临界状态对应的临界条件。
(2)分解速度或位移。
(3)若有必要,画出临界轨迹。
【典例1】[间隙约束下的临界、极值问题]（多选）如图所示，M、N是两块挡板，挡板M 高ℎ′=4m，到M板下边缘所在的水平面的高度为0，挡板N的下边缘到该水平面的高度ℎ=5.8m。
从距该水平面的高度H=9m的A点以某一速度水平抛出一小球，A点与两挡板的水平距离分别为d1=5m、d2=8m。
挡板N的上边缘高于A点，若能使小球直接进入挡板M的右侧区域且不与挡板N接触，空气阻力不计，则小球水平抛出的初速度大小可能是(取g=10m/s2)（）A. 6m/sB. 9m/sC. 12m/sD. 15m/s【答案】AB【解析】小球从N 板下边沿进入挡板M 右侧时，小球水平抛出的初速度为v 1，则有：竖直方向：H −ℎ=12gt 12；水平方向：d 2=v 1t 1；解得：v 1=10m/s ；小球从M 板上边沿进入挡板M 右侧时，小球水平抛出的初速度为v 2，则有：竖直方向：H −ℎ′=12gt 22；水平方向：d 1=v 2t 2；解得：v 2=5m/s ；所以能使小球直接进入挡板M 的右边区域的初速度范围为：5m/s <v 0<10m/s ，故AB 正确，CD 错误。
微专题19 平抛运动的临界问题
微专题19 平抛运动的临界问题【核心方法点拨】涉及平抛运动的临界问题关键是找出“恰好”“刚好”对应的状态物理量关系。
【微专题训练】(2016·宁夏银川高三质检)如图所示为四分之一圆柱体OAB 的竖直截面，半径为R ，在B 点上方的C 点水平抛出一个小球，小球轨迹恰好在D 点与圆柱体相切，OD 与OB 的夹角为60°，则C 点到B 点的距离为( )A ．R B.R 2 C.3R 4 D.R 4【解析】设小球平抛运动的初速度为v 0，将小球在D 点的速度沿竖直方向和水平方向分解，则有v y v 0＝tan 60°，得gt v 0＝3。
小球平抛运动的水平位移x ＝R sin 60°，x ＝v 0t ，解得v 20＝Rg2，v 2y ＝3Rg 2。
设平抛运动的竖直位移为y ，v 2y＝2gy ，解得y ＝3R 4，则BC ＝y －(R －R cos 60°)＝R 4，D 选项正确。
【答案】D(2014·上海)如图所示，宽为L 的竖直障碍物上开有间距d ＝0.6 m 的矩形孔，其下沿离地高h ＝1.2 m ．离地高H ＝2 m 的质点与障碍物相距x ，在障碍物以v 0＝4 m/s 匀速向左运动的同时，质点自由下落，为使质点能穿过该孔，L 的最大值为______m ；若L ＝0.6 m ，x 的取值范围是________m ．(取g ＝10 m/s 2)【解析】以障碍物为参考系，相当于质点以v 0的初速度，向右平抛，当L 最大时，从抛出点经过孔的左上边界飞到孔的右下边界时，L 最大，y 1＝H －d －h ＝12gt 21，x 1＝v 0t 1；y 2＝H －h ＝12gt 22，x 2＝v 0t 2；解得t 1＝0.2 s ，t 2＝0.4 s ，x 1＝0.8 m ，x 2＝1.6 m ，L ＝x 2－x 1＝0.8 m ；从孔的左上边界飞入小孔的临界的值x ′1＝v 0t 1＝0.8 m ，x ′2＋0.6 m ＝v 0t 2，解得x ′2＝1 m ，知0.8 m≤x ≤1 m.【答案】0.8 0.8 m≤x ≤1 m(2015·新课标全国Ⅰ)一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示．水平台面的长和宽分别为L 1和L 2，中间球网高度为h .发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h .不计空气的作用，重力加速度大小为g .若乒乓球的发射速率v 在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v 的最大取值范围是( )A.L 12g6h ＜v ＜L 1g6h B.L 14gh ＜v ＜ (4L 21＋L 22)g6h C.L 12g 6h ＜v ＜12 (4L 21＋L 22)g6hD.L 14g h ＜v ＜12(4L 21＋L 22)g6h【解析】发射机无论向哪个方向水平发射，乒乓球都做平抛运动．当速度v 最小时，球沿中线恰好过网，有： 3h －h ＝gt 212①L 12＝v 1t 1② 联立①②得v 1＝L 14g h当速度最大时，球斜向右侧台面两个角发射，有 (L 22)2＋L 21＝v 2t 2③ 3h ＝12gt 22④联立③④得v 2＝12(4L 21＋L 22)g6h所以使乒乓球落到球网右侧台面上，v 的最大取值范围为L 14g h ＜v ＜12(4L 21＋L 22)g6h，选项D 正确． 【答案】D(河北省衡水中学2014届高三上学期三调)“套圈”是一项老少皆宜的体育运动项目．如图所示，水平地面上固定着3根直杆1、2、3，直杆的粗细不计，高度均为0.1 m ，相邻两直杆之间的距离为0.3 m．比赛时，运动员将内圆直径为0.2 m的环沿水平方向抛出，刚抛出时环平面距地面的高度为1.35 m，环的中心与直杆1的水平距离为1 m．假设直杆与环的中心位于同一竖直面，且运动中环心始终在该平面上，环面在空中保持水平，忽略空气阻力的影响，g取10 m/s2.以下说法正确的是()A．如果能够套中直杆，环抛出时的水平初速度不能小于1.8 m/sB．如果能够套中第2根直杆，环抛出时的水平初速度范围在2.4 m/s到2.8 m/s之间C．如以2.3 m/s的水平初速度将环抛出，就可以套中第1根直杆D．如环抛出的水平速度大于3.3 m/s，就不能套中第3根直杆【解析】由平抛运动可得h＝12gt2、L－r＝vt，解得v＝1.8 m/s，故选项A正确；如果能够套中第2根直杆，水平位移在1.2～1.4 m之间，水平初速度范围在2.4 m/s到2.8 m/s之间，故选项B正确；如果能够套中第1根直杆，水平位移在0.9～1.1 m之间，水平初速度范围在1.8 m/s到2.2 m/s之间，故选项C错误；如果能够套中第3根直杆，水平位移在1.5～1.7 m 之间，水平初速度范围在3 m/s到3.4 m/s之间，故选项D错误．【答案】AB(多选)如图所示，在水平地面上的A点以速度v1与地面成θ角射出一弹丸，恰好以速度v2垂直穿入竖直壁上的小孔B，下列说法正确的是(不计空气阻力)()A．在B点以与v2大小相等的速度，与v2方向相反射出弹丸，它必定落在地面上的A点B．在B点以与v1大小相等的速度，与v2方向相反射出弹丸，它必定落在地面上的A点C．在B点以与v1大小相等的速度，与v2方向相反射出弹丸，它必定落在地面上A点的左侧D．在B点以与v1大小相等的速度，与v2方向相反射出弹丸，它必定落在地面上A点的右侧【解析】以速度v1与地面成θ角射出一弹丸，恰好以速度v2垂直穿入竖直壁上的小孔B，说明弹丸在B点的竖直速度为零，v2＝v1cos θ，根据“逆向”思维：在B点以与v2大小相等方向相反的速度射出弹丸，它必落在地面上的A点，A正确；在B点以与v1大小相等的速度，与v2方向相反射出弹丸，由于v1＞v2，弹丸在空中运动的时间不变，所以它必定落在地面上A点的左侧，C正确，B、D错误．【答案】AC(2016·江西八校联考)某电视台娱乐节目进行了一项抛球入筐游戏，如图所示，该游戏球筐(筐壁厚度忽略不计)紧靠竖直墙壁放在水平地面上，球筐高度和球筐左侧壁离墙壁的距离均为L 。
平抛运动典型问题讲解
（2）当两个质点位移相互垂直时，它们之间的距离
解：（1）在相等时间内下落的高度相同, 画出运动示意图
v1y= v2y= g t1 = vy
v1
v2
v1y / v1x=tgα v2x / v2y =tgα vy2 = v1 v2=12
v1x
2h (L s) g
g 2h
h
H
vmin s /
2(h H ) s g
g 2(h H )
s
L
H s L2 hmin LL 2s
典型问题2 遵从反射定律的问题
2.如图所示，平行竖直的两块钢板高为H，相距S，从左上角A 点垂直于板水平抛出一小球，球在B、C两处与板做弹性碰撞 （碰撞前后速率大小不变，方向改变）后落在两块钢板的正中
7.光滑斜面倾角为θ,长为L,上端一小球沿斜面水平方向以速 度v0抛出,如图,求小球滑到底端时,水平方向位移s有多大?
解析：沿斜面向下
L 1 at2 1 (g sin )t 2
22
水平方向 s v0t
s v0
2L
g sin
• 8.(2004·西安)如右图所示,光滑斜面长为a’, 宽为b’, 倾角为θ,一物块沿斜面左上方顶点P 水平射入,而从右下方顶点Q离开斜面,求入 射初速度.
v0
tg 2tg37 0
t vy g
法3
t
2v0
sin 370
gy
g y g cos370
370
v0
t 2v0tg37 0 g
v
v0 370
370
vy v0 sin 37 0
抛体运动的规律——平抛临界问题 物理人教版(2019)必修第二册
不计空气阻力，则（ ABC）
首先要突出说明的是选题的现实价值，
每一个研究的目的都是为了指导现实
生活，一定要讲清本选题的研究有什
么实际作用、解决什么问题；其次再
A．小球a比小球b先抛出
写课题的理论和学术价值。
B．初速度Va小于Vb
C．小球a、b抛出点距地面高度之比为 vb2 : va2
生活，一定要讲清本选题的研究有什
A．初速度V1<V2
么实际作用、解决什么问题；其次再
写课题的理论和学术价值。
B．若两球同时抛出，则两球一定相遇
C．若A先抛出，B后抛出，则两球可能相遇
D．若两球能相遇，则从抛出到相遇的过程中
两球的速度变化相同
Part 03
随 堂 检 测
1．如图，在同一竖直面内，小球a、b从高度不同的两点，分别以初速度Va和Vb
例 4.一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示。水平台面的长和宽分别为 L1 和 L2,中间球网高
度为 h。发射机安装于台面左侧边缘的中点,能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球,发射点
距台面高度为 3h。不计空气的作用,重力加速度大小为 g。若乒乓球的发射速率 v 在某范围内,通过
选择合适的方向,就能使乒乓球落到球网右侧台面上,则 v 的最大取值范围是(
6ℎ
(41 2 +2 2 )g
6ℎ
写课题的理论和学术价值。
例5.如下图所示，自足够高的同一水平直线上A、B两点相向水平抛出两个小球，
两球的初速度分别为V1、V2，运动轨迹如图所示，AO>BO，不计空气阻力。则下
列说法正确的是（ BD ）
平抛运动中临界问题的分析(含答案)
平抛运动中临界问题的分析1、如图所示，在水平路面上一运动员驾驶摩托车跨越壕沟，壕沟两侧的高度差为0.8 m ，水平距离为8 m ，则运动员跨越壕沟的 初速度至少为(取g ＝10 m/s 2)( )A ．0.5 m/sB ．2 m/sC ．10 m/sD ．20 m/s答案 D解析 运动员做平抛运动的时间t ＝2Δh g ＝0.4 s ，v ＝x t ＝80.4m/s ＝20 m/s. 2、《愤怒的小鸟》是一款时下非常流行的游戏，游戏中的故事也相当有趣，如图甲所示，为了报复偷走鸟蛋的肥猪们，鸟儿以自己的身体为武器，如炮弹般弹射出去攻击肥猪们的堡垒．某班的同学们根据自己所学的物理知识进行假设：小鸟被弹弓沿水平方向弹出，如图乙所示，若h 1＝0.8 m ，l 1＝2 m ，h 2＝2.4 m ，l 2＝1 m ，小鸟飞出后能否直接打中肥猪的堡垒？请用计算结果进行说明．(取重力加速度g ＝10 m/s 2)答案 不能解析 (1)设小鸟以v 0弹出后能直接击中堡垒，则 ⎩⎪⎨⎪⎧h 1＋h 2＝12gt 2l 1＋l 2＝v 0tt ＝2(h 1＋h 2)g＝ 2×(0.8＋2.4)10s ＝0.8 s所以v 0＝l 1＋l 2t ＝2＋10.8 m/s ＝3.75 m/s设在台面的草地上的水平射程为x ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝v 0t 1h 1＝12gt 21所以x ＝v 02h 1g＝1.5 m<l 1 可见小鸟不能直接击中堡垒．3、乒乓球在我国有广泛的群众基础，并有“国球”的美誉，现讨论乒乓球发球问题，已知球台长L ，网高h ，若球在球台 边缘O 点正上方某高度处，以一定的垂直球网的水平速度发出，如图所示，球恰好在最高点时刚好越过球网．假设乒乓球反弹前后水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反，且不考虑乒乓球的旋转和空气阻力，则根据以上信息可以求出(设重力加速度为g )( )A ．球的初速度大小B ．发球时的高度C ．球从发出到第一次落在球台上的时间D ．球从发出到被对方运动员接住的时间 答案 ABC解析 根据题意分析可知，乒乓球在球台上的运动轨迹具有重复和对称性，故发球时的高度等于h ；从发球到运动到P 1点的水平位移等于14L ，所以可以求出球的初速度大小，也可以求出球从发出到第一次落在球台上的时间．由于对方运动员接球的位置未知，所以无法求出球从发出到被对方运动员接住的时间，故本题选A 、B 、C.4、2011年6月4日，李娜获得法网单打冠军，实现了大满贯这一梦想，如图所示为李娜将球在边界A 处正上方B 点水平向右击出，球恰好过网C 落在D 处(不计空气阻力)的示意图，已知AB ＝h 1，AC ＝x ，CD ＝x2，网高为h 2，下列说法中正确的是( )A ．击球点高度h 1与球网的高度h 2之间的关系为h 1＝1.8h 2B ．若保持击球高度不变，球的初速度v 0只要不大于x 2gh 1h 1，一定落在对方界内C ．任意降低击球高度(仍高于h 2)，只要击球初速度合适(球仍水平击出)，球一定能落在对方界内D ．任意增加击球高度，只要击球初速度合适(球仍水平击出)，球一定能落在对方界内 答案 AD解析 由平抛运动规律可知h 1＝12gt 21，1.5x ＝v 0t 1，h 1－h 2＝12gt 22，x ＝v 0t 2，得h 1＝1.8h 2，A正确；若保持击球高度不变，球的初速度v0较小时，球可能会触网，B错误；任意降低击球高度，只要初速度合适，球可能不会触网，但球会出界，C错误；任意增加击球高度，只要击球初速度合适，使球的水平位移小于2x，一定能落在对方界内，D正确．5、如图所示，水平屋顶高H＝5 m，围墙高h＝3.2 m，围墙到房子的水平距离L＝3 m，围墙外马路宽x＝10 m，为使小球从屋顶水平飞出落在围墙外的马路上，求小球离开屋顶时的速度v的大小范围．(g取10 m/s2) 图14解析若v太大，小球落在马路外边，因此，要使球落在马路上，v的最大值v max为球落在马路最右侧A点时的平抛初速度，如图所示，小球做平抛运动，设运动时间为t1.则小球的水平位移：L＋x＝v max t1，小球的竖直位移：H＝12gt 21解以上两式得v max＝(L＋x)g2H＝13 m/s.若v太小，小球被墙挡住，因此，球不能落在马路上，v的最小值v min为球恰好越过围墙的最高点P落在马路上B点时的平抛初速度，设小球运动到P点所需时间为t2，则此过程中小球的水平位移：L＝v min t2小球的竖直方向位移：H－h＝12gt 22解以上两式得v min＝L g2(H－h)＝5 m/s因此v0的范围是v min≤v≤v max，即5 m/s≤v≤13 m/s.答案 5 m/s≤v≤13 m/s说明：1.本题使用的是极限分析法，v0不能太大，否则小球将落在马路外边；v0又不能太小，否则被围墙挡住而不能落在马路上．因而只要分析落在马路上的两个临界状态，即可解得所求的范围．2．从解答中可以看到，解题过程中画出示意图的重要性，它既可以使抽象的物理情境变得直观，也可以使隐藏于问题深处的条件显露无遗．小球落在墙外的马路上，其速度最大值所对应的落点位于马路的外侧边缘，而其速度最小值所对应的落点却不是马路的内侧边缘，而是围墙的最高点P，这一隐含的条件只有在示意图中才能清楚地显露出来．。
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平抛运动中临界问题的分析
1、如图所示，在水平路面上一运动员驾驶摩托车跨越壕沟，壕沟
两侧的高度差为0.8 m ，水平距离为8 m ，则运动员跨越壕沟的 初速度至少为(取g ＝10 m/s 2)
( )
A ．0.5 m/s
B ．2 m/s
C ．10 m/s
D ．20 m/s
答案 D
解析 运动员做平抛运动的时间t ＝
2Δh g ＝0.4 s ，v ＝x t ＝8
0.4
m/s ＝20 m/s. 2、《愤怒的小鸟》是一款时下非常流行的游戏，游戏中的故事也相当有趣，如图甲所示，为
了报复偷走鸟蛋的肥猪们，鸟儿以自己的身体为武器，如炮弹般弹射出去攻击肥猪们的堡垒．某班的同学们根据自己所学的物理知识进行假设：小鸟被弹弓沿水平方向弹出，如图乙所示，若h 1＝0.8 m ，l 1＝2 m ，h 2＝2.4 m ，l 2＝1 m ，小鸟飞出后能否直接打中肥猪的堡垒？请用计算结果进行说明．(取重力加速度g ＝10 m/s 2)
答案 不能
解析 (1)设小鸟以v 0弹出后能直接击中堡垒，则 ⎩⎪⎨⎪⎧
h 1＋h 2＝12gt 2
l 1＋l 2＝v 0t
t ＝
2(h 1＋h 2)
g
＝ 2×(0.8＋2.4)
10
s ＝0.8 s
所以v 0＝l 1＋l 2t ＝2＋1
0.8 m/s ＝3.75 m/s
设在台面的草地上的水平射程为x ，则
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝v 0t 1
h 1＝12gt 21
所以x ＝v 0
2h 1
g
＝1.5 m<l 1 可见小鸟不能直接击中堡垒．
3、乒乓球在我国有广泛的群众基础，并有“国球”的美誉，现
讨论乒乓球发球问题，已知球台长L ，网高h ，若球在球台 边缘O 点正上方某高度处，以一定的垂直球网的水平速度
发出，如图所示，球恰好在最高点时刚好越过球网．假设乒乓球反弹前后水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反，且不考虑乒乓球的旋转和空气阻力，则根据以上信息可以求出(设重力加速度为g )
( )
A ．球的初速度大小
B ．发球时的高度
C ．球从发出到第一次落在球台上的时间
D ．球从发出到被对方运动员接住的时间 答案 ABC
解析 根据题意分析可知，乒乓球在球台上的运动轨迹具有重复和对称性，故发球时的高度等于h ；从发球到运动到P 1点的水平位移等于1
4L ，所以可以求出球的初速度大小，
也可以求出球从发出到第一次落在球台上的时间．由于对方运动员接球的位置未知，所以无法求出球从发出到被对方运动员接住的时间，故本题选A 、B 、C.
4、2011年6月4日，李娜获得法网单打冠军，实现了大满贯这一梦想，如图所示为李娜将球在边界A 处正上方B 点水平向右击出，球恰好过网C 落在D 处(不计空气阻力)的示意图，已知AB ＝h 1，AC ＝x ，CD ＝x
2
，网高为h 2，下列说法中正确的是( )
A ．击球点高度h 1与球网的高度h 2之间的关系为h 1＝1.8h 2
B ．若保持击球高度不变，球的初速度v 0只要不大于x 2gh 1
h 1
，一定落在对方界内
C ．任意降低击球高度(仍高于h 2)，只要击球初速度合适(球仍水平击出)，球一定能落在对方界内
D ．任意增加击球高度，只要击球初速度合适(球仍水平击出)，球一定能落在对方界内 答案 AD
解析 由平抛运动规律可知h 1＝12gt 21，1.5x ＝v 0t 1，h 1－h 2＝12gt 2
2，x ＝v 0t 2，得h 1＝1.8h 2，
A 正确；若保持击球高度不变，球的初速度v 0较小时，球可能会触网，
B 错误；任意降低击球高度，只要初速度合适，球可能不会触网，但球会出界，
C 错误；任意增加击球高度，只要击球初速度合适，使球的水平位移小于2x ，一定能落在对方界内，
D 正确． 5、如图所示，水平屋顶高H ＝5 m ，围墙高h ＝3.2 m ，围墙到房子 的水平距离L ＝3 m ，围墙外马路宽x ＝10 m ，为使小球从屋顶水平飞出 落在围墙外的马路上，求小球离开屋顶时的速度v 的大小范围．(g 取 10 m/s 2)
图14
解析 若v 太大，小球落在马路外边，因此，要使球落在马路上，v 的最大值v max 为球落在马路最右侧A 点时的平抛初速度，如图所示，小球做平抛运动，设运动时间为t 1. 则小球的水平位移：L ＋x ＝v max t 1，小球的竖直位移：H ＝12gt 2
1
解以上两式得 v max ＝(L ＋x )
g
2H
＝13 m/s.
若v太小，小球被墙挡住，因此，球不能落在马路上，v的最小值v min为球恰好越过围墙的最高点P落在马路上B点时的平抛初速度，设小球运动到P点所需时间为t2，则此过程中小球的水平位移：L＝v min t2
小球的竖直方向位移：H－h＝1
2gt 2
2
解以上两式得v min＝L g
2(H－h)
＝5 m/s
因此v0的范围是v min≤v≤v max，即5 m/s≤v≤13 m/s.
答案 5 m/s≤v≤13 m/s
说明：
1.本题使用的是极限分析法，v0不能太大，否则小球将落在马路外边；v0又不能太小，否则被围墙挡住而不能落在马路上．因而只要分析落在马路上的两个临界状态，即可解得所求的范围．
2．从解答中可以看到，解题过程中画出示意图的重要性，它既可以使抽象的物理
情境变得直观，也可以使隐藏于问题深处的条件显露无遗．小球落在墙外的马路上，其速度最大值所对应的落点位于马路的外侧边缘，而其速度最小值所对应的落点却不是马路的内侧边缘，而是围墙的最高点P，这一隐含的条件只有在示意图中才能清楚地显露出来．。