概率统计习题
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批号
批量
不合格品率
1
100
0.05
2
300
0.06
3
250
0.04
4
150
0.03
试求这四批产品的总不合格率.
解这批产品的总不合格率为
18.设总体一等概率取1,2,3,4,5,现从中抽取一个容量为4的样本,试分别求 和 的分布.
解由古典概率可得
这就给出了 的分布列
1
2
3
4
5
P
0.5904
0.28
0.104
证不妨设总体的方差为 ,则
由
由于,
因而
所以
由于 ,故其中任意一个偏差 的增加,都会使另一个偏差 减少的机会增加,因而两者的相关系数为负.
10.利用切比雪夫不等式求抛均匀硬币多少次才能使正面朝上的频率落在(0.4,0.6)间的概率至少为0.9.如何才能更精确地计算这个次数?是多少?
解均匀硬币正面朝上的概率p=0.5,设 为n次抛硬币中正面朝上的次数,则有 据题意选取次数n应满足
解二点分布 的均值和方差分别为p和p(1-p),样本容量为20,因而样本均值 的渐近分布为
14.设 是从正态总体 中抽取的样本,试求样本均值 的标准差.
解来自正态分布的样本均值仍服从正态分布,均值保持不变,方差为原来方差的1/n,此处总体方差为9，样本容量为8，因而 的标准差为
15．切尾均值也是一个常用的反映样本数据的特征量，其想法是将数据的两端的值舍去，而剩下的当中的值来计算样本均值，其计算公式是 其中 是切尾系数, 是有序样本。现我们在某高校采访了16名大学生,了解他们平时的学习情况,以下数据是大学生每周用于看电视的时间：
解
因而得 与 .
4.记 证明
证
由 得
5.从同一总体中抽取两个容量分别为n,m的样本,样本均值分别为 , ,样本方差分别为 ,将两组样本合并,其均值,方差分别为 证明:
证设取自同一总体的两个样本为 由 得
由
6.设有容量为n的样本A,它的样本均值为 ,样本标准差为 ,样本极差为 ,样本中位数为 .现对样本中每一个观测值施行如下变换
15 14 12 9 20 4 17 26 15 18 6 15 5 8
取 ,试计算其切尾均值：
解将样本进行排序得 ,当 时，由题意得,切尾均值
16．有一个分组样本如下
区间
组中值
频数
(154,155)
150
4
(155,165)
160
8
(165,175)
170
6
(175,185)
180
2
试求该分组样本的样本均值.样本标准差,样本偏度和样本峰度.
0.024
0.0016
类似的, 从而,
这就给出 的分布列
1
2
3
4
5
P
0.5904
0.28
0.104
0.024
0.0016
19.设 是来自 的样本,试求下列概率
(1)
解(1)
20.设总体为韦布尔分布 ,其密度函数为
现从中得到样本 ,证明 仍服从韦布尔分布,并指出其参数.
解由总体分布的密度函数可得总体的分布函数 为
此式等价于 ,利用切比雪夫不等式估计上式左端概率的上界
再由不等式 可得粗糙的估计 .即抛均匀硬币250次后可满足要求.
事实上,利用 的渐近正态性可以得到更精确的结论.由中心极限定理知样本均值 故
即 故 这就给出较精确的上界 ,这表明只需抛均匀硬币68次就可满足要求.两个结果差异很大,说明切比雪夫不等式是一个较为粗糙的不等式,在能够使用大样本结果的情况下应尽量使用中心极限定理.
，如此得到样本B,试写出样本B的均值,标准差,极差和中位数.
解不妨设样本A为 样本B为 且
7.证明:容量为2的样本 的方差为
证:
8.设 是来自 的样本,试求 和
解均匀分布 的均值和方差分别为0和1/3,该样本容量为n,因而得
9.设总体二阶矩存在 是样本,证明 也 的相关系数为 对次你能够给予解释吗?
解计算过程来自百度文库表如下:
150
4
600
676
-8788
114244
160
8
1280
72
-216
648
170
6
1020
294
2058
14406
180
2
360
578
9826
167042
和
20
3260
1620
2880
296340
因而可得样本均值,样本偏度和样本峰度分别为
17.检查四批产品,其批量与不合格率如下
故在 时 的渐近分布为
利用此渐进分布容易算出概率
22.设 是来自 的样本, 为其次序统计,令
证明 相互独立.
证令 则 的联合密度函数为
作变换 其逆变换为
其中 其 行列式绝对值为 联合密度函数为
该联合密度函数为可分离变量,因而 相互独立,且
&5.3统计量及其分布
习题与解答5.3
1.在一本书上我们随机地检查了10页,发现每页上的错误数为
4 5 6 0 3 1 4 2 1 4
试计算其样本均值,样本方差和样本标准差.
解样本均值
样本方差
样本标准差
2.证明:对任意常数c,d,有
证
由 得
因而结论成立.
3.设 和 是两组样本观测值,且有如下关系: 试求样本均值 和 间的关系以及样本方差 和 的关系.
因而最小次序统计量 的分布函数为
这说明
21.设总体密度函数为
是来自该总体的样本,试求样本中位数的分布.
解总体分布函数为
故样本中位数 的精度分布密度函数为
这个精确密度函数是26次多项式,使用是不方便的,譬如
用上述密度函数是可以求的,可就是不方便,寻求近似计算就十分必要.下面来寻求 的渐进分布,由于总体中位数是 且
11.从指数总体 抽取了40个样品,试求 的渐近分布.
解由于指数总体 的均值为 ,方差为 ,于是 的渐近分布为 .
12.设 是从均匀分布 抽取的样本,试求样本均值 的渐近分布.
解均匀分布 的均值和方差分别为5/2和25/12,样本容量为25,因而样本均值 的渐近分布为
13.设 是从二点分布 抽取的样本,试求样本均值 的渐近分布.
批量
不合格品率
1
100
0.05
2
300
0.06
3
250
0.04
4
150
0.03
试求这四批产品的总不合格率.
解这批产品的总不合格率为
18.设总体一等概率取1,2,3,4,5,现从中抽取一个容量为4的样本,试分别求 和 的分布.
解由古典概率可得
这就给出了 的分布列
1
2
3
4
5
P
0.5904
0.28
0.104
证不妨设总体的方差为 ,则
由
由于,
因而
所以
由于 ,故其中任意一个偏差 的增加,都会使另一个偏差 减少的机会增加,因而两者的相关系数为负.
10.利用切比雪夫不等式求抛均匀硬币多少次才能使正面朝上的频率落在(0.4,0.6)间的概率至少为0.9.如何才能更精确地计算这个次数?是多少?
解均匀硬币正面朝上的概率p=0.5,设 为n次抛硬币中正面朝上的次数,则有 据题意选取次数n应满足
解二点分布 的均值和方差分别为p和p(1-p),样本容量为20,因而样本均值 的渐近分布为
14.设 是从正态总体 中抽取的样本,试求样本均值 的标准差.
解来自正态分布的样本均值仍服从正态分布,均值保持不变,方差为原来方差的1/n,此处总体方差为9，样本容量为8，因而 的标准差为
15．切尾均值也是一个常用的反映样本数据的特征量，其想法是将数据的两端的值舍去，而剩下的当中的值来计算样本均值，其计算公式是 其中 是切尾系数, 是有序样本。现我们在某高校采访了16名大学生,了解他们平时的学习情况,以下数据是大学生每周用于看电视的时间：
解
因而得 与 .
4.记 证明
证
由 得
5.从同一总体中抽取两个容量分别为n,m的样本,样本均值分别为 , ,样本方差分别为 ,将两组样本合并,其均值,方差分别为 证明:
证设取自同一总体的两个样本为 由 得
由
6.设有容量为n的样本A,它的样本均值为 ,样本标准差为 ,样本极差为 ,样本中位数为 .现对样本中每一个观测值施行如下变换
15 14 12 9 20 4 17 26 15 18 6 15 5 8
取 ,试计算其切尾均值：
解将样本进行排序得 ,当 时，由题意得,切尾均值
16．有一个分组样本如下
区间
组中值
频数
(154,155)
150
4
(155,165)
160
8
(165,175)
170
6
(175,185)
180
2
试求该分组样本的样本均值.样本标准差,样本偏度和样本峰度.
0.024
0.0016
类似的, 从而,
这就给出 的分布列
1
2
3
4
5
P
0.5904
0.28
0.104
0.024
0.0016
19.设 是来自 的样本,试求下列概率
(1)
解(1)
20.设总体为韦布尔分布 ,其密度函数为
现从中得到样本 ,证明 仍服从韦布尔分布,并指出其参数.
解由总体分布的密度函数可得总体的分布函数 为
此式等价于 ,利用切比雪夫不等式估计上式左端概率的上界
再由不等式 可得粗糙的估计 .即抛均匀硬币250次后可满足要求.
事实上,利用 的渐近正态性可以得到更精确的结论.由中心极限定理知样本均值 故
即 故 这就给出较精确的上界 ,这表明只需抛均匀硬币68次就可满足要求.两个结果差异很大,说明切比雪夫不等式是一个较为粗糙的不等式,在能够使用大样本结果的情况下应尽量使用中心极限定理.
，如此得到样本B,试写出样本B的均值,标准差,极差和中位数.
解不妨设样本A为 样本B为 且
7.证明:容量为2的样本 的方差为
证:
8.设 是来自 的样本,试求 和
解均匀分布 的均值和方差分别为0和1/3,该样本容量为n,因而得
9.设总体二阶矩存在 是样本,证明 也 的相关系数为 对次你能够给予解释吗?
解计算过程来自百度文库表如下:
150
4
600
676
-8788
114244
160
8
1280
72
-216
648
170
6
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294
2058
14406
180
2
360
578
9826
167042
和
20
3260
1620
2880
296340
因而可得样本均值,样本偏度和样本峰度分别为
17.检查四批产品,其批量与不合格率如下
故在 时 的渐近分布为
利用此渐进分布容易算出概率
22.设 是来自 的样本, 为其次序统计,令
证明 相互独立.
证令 则 的联合密度函数为
作变换 其逆变换为
其中 其 行列式绝对值为 联合密度函数为
该联合密度函数为可分离变量,因而 相互独立,且
&5.3统计量及其分布
习题与解答5.3
1.在一本书上我们随机地检查了10页,发现每页上的错误数为
4 5 6 0 3 1 4 2 1 4
试计算其样本均值,样本方差和样本标准差.
解样本均值
样本方差
样本标准差
2.证明:对任意常数c,d,有
证
由 得
因而结论成立.
3.设 和 是两组样本观测值,且有如下关系: 试求样本均值 和 间的关系以及样本方差 和 的关系.
因而最小次序统计量 的分布函数为
这说明
21.设总体密度函数为
是来自该总体的样本,试求样本中位数的分布.
解总体分布函数为
故样本中位数 的精度分布密度函数为
这个精确密度函数是26次多项式,使用是不方便的,譬如
用上述密度函数是可以求的,可就是不方便,寻求近似计算就十分必要.下面来寻求 的渐进分布,由于总体中位数是 且
11.从指数总体 抽取了40个样品,试求 的渐近分布.
解由于指数总体 的均值为 ,方差为 ,于是 的渐近分布为 .
12.设 是从均匀分布 抽取的样本,试求样本均值 的渐近分布.
解均匀分布 的均值和方差分别为5/2和25/12,样本容量为25,因而样本均值 的渐近分布为
13.设 是从二点分布 抽取的样本,试求样本均值 的渐近分布.