实变函数论课后答案第四章4

实变函数论课后答案第四章4

第四章第四节习题 1．

设()()n f x f x ⇒于E ，()()n g x g x ⇒于E ，证明：

()()()n n f x g x f x g x +⇒+于E

证明：0ε∀>，

[||()()(()())|][||()()|][||()()|]

22

n n n n E x f x g x f x g x E x f x f x E x g x g x εε

ε+-+≥⊂-≥⋃-≥ A B εε⋃

（否则，若[||()()(()())|n n x E x f x g x f x g x ε∈+-+≥，而x A B εε∉⋃，

()c c c x A B A B εεεε∈⋃=⋂|()()||()()|2

2

n n f x f x g x g x ε

ε

⇒-<

-<

|()()(()())||()()||()()|22

n n n n f x g x f x g x f x f x g x g x ε

ε

εε

⇒≤+-+≤-+-<

+

=矛盾），则

[||()()(()())|]

[||()()|][||()()|]0

22

n n n n mE x f x g x f x g x mE x f x f x mE x g x g x εεε

+-+≥≤-≥+-≥→

（()(),()()n n f x f x g x g x ⇒⇒） 从而()()()()n n f x g x f x g x +⇒+ 2．

设|()|n f x K ≤.a e 于E ，1n ≥，且()()

n f x f x ⇒于E ，证明|()|f x K ≤.a e

于E

证明：由本节定理2（Riesz 定理）从()()n f x f x ⇒知∃{}()n f x 的子列

{}

()k

n f

x 使

()lim ()k n k f x f x →∞

=.a e 于E

设A E ⊂，(\)0m E A =，()()k

n f x f x →于A ，从条件|()|k

n f x K ≤.a e 于E ，

设

k n B E ⊂，(\)0k n m E B =,|()|k n f x K ≤.a e 于k n B 上

令1

()k

n k B B A +∞

==⋂ ，则B K ⊂，且

1

1

(\)()(()(())k k c

c

c

c

c n n k k m E B m E B m E B A m E A B E +∞+∞

===⋂=⋂⋃=⋂⋃⋂

1

1

1

()()(\)(\)00k k c

c

n n k k k m E A m E B m E A m E B +∞+∞+∞

===≤⋂+⋂=+=+∑∑∑

故(\)0m E B =

,,k n x B k B B A ∀∈∀⊂⋂，则|()|k n f x K ≤

令k →∞，|()|f x K ≤

故x B ∀∈有|()|f x K ≤，从而命题得证 3．

举例说明mE =+∞时定理不成立

解：取(0,)E =+∞，作函数列1(0,]

(){

0(,)

n x n f x x n ∈=∈+∞ 1,2,n =

显然()1n f x →于E 上，但当01ε<<时

[;|1|](,)n E x f n ε->=+∞，[;|1|](,)n mE x f m n ε->=+∞=+∞不0→

故mE =+∞时定理不成立，即n f f →.a e 于E 不能推出()()n f x f x ⇒于E

周民强《实变函数》P108

Th2.25 若:n n T R R →是非奇异线性变换，n E R ⊂，则

**(())|det |()m T E T m E =⋅ （2.8）

|det |T 表示矩阵T 的行列式的绝对值.

证明：记{}012(,,,);01,1n i I x i n ξξξξ==≤<≤≤

{}12(,,,);02,1k n i I x i n ξξξξ-==≤<≤≤

显然0I 是2nk 个I 的平移集{}j I x +（1,2,2nk j = ）的并集，0()T I 是2nk

个

{}()

j T I x +（1,2,2nk j = ）

的并

集，且有

{}{}***

()()(

)

j j m T I x m TI T x m TI +=+=，

{}()()j mT I x m TI += 1,2,2nk j =

现在假定（2.8）式对于0I 成立00(())|det |()|det |m T I T m I T =⋅= （2.9）

则 0|det |(())2(())nk T m T I m T I ==

因为()2nk m I -=，所以得到()2|det ||det |()nk m TI T T m I -=⋅=⋅

这说明（2.8）式对于I 以及I 的平移集成立，从而可知（2.8）式对可数个互不相交的二进方体的并集是成立的（对任意方体0a ∀>，

{}12(,,,);0a n i

I x a ξξξξ==≤< 000(())()|det()|()|det ||det ||det |()n a m T I m T aI T aE m I T aE a T m I =⋅=⋅== 0|det |()|det |()a

T m aE I T m I =⋅=） 对一般开集G ，1

i i G I +∞

== ，i I 为二进方体，i I 互补相交

则1

1

1

()()()|det |()|det |i i i i i i m TG m TI m TI T m I T mG +∞+∞+∞

=======∑∑

T 1-1 1

i i TG TI +∞

== ，T 连续，1T -连续 G 开，则()T G 开，从而

可测

于是应用等测包的推理方法立即可知，对一般点集（2.8）式成立 设G 为有界G δ集1

i i G G +∞

== ，i G 开，1

n

n i i S G == ，则n S 开，1

n n G S +∞

== 且