角的相关计算和证明(习题及答案)

角的相关计算和证明（习题）
? 例题示范
例 1：已知：如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，AE⊥BC 于
点 E．若∠ADE=80°，∠EAC=20°，则
∠B=_______． A





B D E C
思路分析
A
①读题标注：

20°



80°
B D E C
②梳理思路：
从条件出发，看到 AE⊥BC 想到直角三角形两锐角互余，再结合已知的角度
可求出∠DAE=10°，∠C=70°；
由 AD 平分∠BAC 可知∠BAC=60°；
把∠B 看作△ABC 的一个内角，则∠B=180°-60°-70°=50°．
（思路不唯一，也可将∠B 看作△ABD 的一个内角，则∠ADE 是△ABD 的一
个外角，利用三角形的外角定理进行求解．）
? 巩固练习
1. 已知：如图，AB⊥BD 于点 B，ED⊥BD 于点 D，C 是线段 BD 上一点．若 AC
⊥CE，∠A=30°，则∠E=______．
B
A
E
1

2
B C D
C A

第 1 题图 第 2 题图
2. 已知：如图，△ABC 为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠
1+∠2=____________．
3. 已知：如图，∠A=32°，∠B=45°，∠C=38°，则∠DFE=（ ）
A．120° B．115° C．110° D．105°

A A
D
E
F
F

B E C
B C D
第 3 题图 第 4 题图
4. 已知：如图，在△ABC 中，∠A:∠B=1:2，DE⊥AB 于 E，且∠FCD=60°，则
∠D=（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°

5. 已知：如图，在△ABC 中，∠B=∠ACB，CD⊥AB，垂足为 D．
求证：∠A=2∠BCD．
A


D

C
B
证明：如图，
设∠BCD=α
∵CD⊥AB （已知）
∴∠BDC=90° （垂直的定义）
∴∠BCD+_____=90° （_____

____________________）
∴2α+2∠B=180° （等量代换）
∵_____________________（_________________________）
∵∠B=∠ACB （已知）
∴∠A+2∠B=180° （等量代换）
∴∠A=2α （同角的补角相等）
即∠A=2∠BCD

6. 已知：如图，AB∥DE，∠1=∠ACB，AC 平分∠BAD．
求证：AD∥BC．

A D

F
1


B E C
















7. 如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，E 为 AD 上一点，且 EF⊥BC 于
A
F．若∠B=30°，∠C=70°，求
∠ 的度数．
DEF E


B D F C














8. 已知：如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，EF⊥AD 于点 P，交 BC 延长线于
点 M．已知∠ACB=70°，∠B=40°，求∠M 的度数．


A

E
P F
B D C M


























? 思考小结
1. 我们在做几何证明题的时候，可以从已知出发，看条件如何用，比如看到
平行线，考虑___________________________，看到垂直考虑
______________________，_________________
_________；也可以从目标出发，根据目标倒推，比如把角看作什么角，看
作三角形的一个内角考虑__________________，看作外角考虑
_______________________________________．

2. 阅读材料
我们是怎么做几何题的？
例 1：已知：如图，DE∥BC，EF∥AB，∠DEF=50°，∠C=70°，求∠A 的度
数． A

D E


B F C


第一步：

读题标注，把题目信息转移到图形上；（请把条件标注图上）
第二步：走通思路，要求∠A 的度数，怎么想？
要求∠A，可以把∠A 看作△ABC 的一个内角，∠C 度数已知，只需求出∠
B 的度数即可；
结合题中的条件，由 DE∥BC，∠DEF=50°得∠EFC=∠DEF=50°，再由 EF∥AB 得
∠B=∠EFC=50°；
最后，利用三角形的内角和等于 180°，
得∠A=180°-∠B-∠C=180°-50°-70°=60°．
第三步：规划过程
过程分成三块：
①由 DE∥BC，∠DEF=50°得∠EFC=∠DEF=50°；
②由 EF∥AB 得∠B=∠EFC=50°；
③利用三角形内角和定理求∠A．
第四步：书写过程
解：如图，

∵DE∥BC（已知）

∴∠ ∠ （两直线平行，内错角相等）
EFC= DEF
∵∠DEF=50°（已知）
∴∠EFC=50°（等量代换）

∵EF∥AB（已知）
∴∠B=∠EFC（两直线平行，同位角相等）
∴∠B=50°（等量代换）


在△ABC 中，∠C=70°，∠B=50°（已知）

∴∠A=180°-∠B-∠C

=180°-50°-70°
=60°（三角形的内角和等于 180°）


【参考答案】
? 巩固练习
1. 60°
2. 270°
3. B
4. A
5. 证明：如图，