量子力学 第二章 算符理论
量子力学第二章
ˆ F r r
ˆ 就称 r 为算符 F 相应本征值 的本征函数
2、本征方程的解 简并
（1）分离解：
ˆ F 本征值 本征函数
1 2
1
2
2、连续解
ˆ F
3、简并、非简并 非简并：一个本征值 m 对应一个本征函数
例题（1 p x是否是厄米算符？(x , 0, 0) ：）ˆ
(全微分
d ( * ) *
*
x
dx (
x
)* dx )
ˆ dx * ( i d ) dx Px dx i d ( * ) ( i ) ( i ( * ) (i x
z
2 2
2 ma
2
(1,2,1)
6 2 E111
121
8 a
3
sin
a
2 a
y sin
a
z
(2,1,1)
当能量次低时，发生3重简并
211
8 a
3
sin
2 a
x sin
a
y sin
a
z
例： 绕定轴转动的刚体称为平面转子，假设其转动惯量 用 I 表示，转角用 表示，则其哈密顿算符表示为 ，试求算符 的本征值和本征函数。
4、算符对易
BA ˆˆ ˆˆ AB ˆˆ BA ˆ ˆ A、 B对易 ˆ ˆ A、 B不对易
5、单位算符
ˆ I
例题: （ ） F d , 1 ˆ
第二章算符
2. 算符的对易： ˆB ˆ , 则称算符 A ˆ 与B ˆB ˆA ˆ 对易; 反之为非对易。 若A 一般情况下 , 算符的乘法不对易。 ˆ, B ˆB ˆ ˆ] A ˆ B ˆA 算符的对易关系式定义 为 : [ A 例如 : [ , x ] 1 x 证明 : [ , x ] f ( x ) [ xf ( x )] x f ( x) f ( x) x x x x f ( x) x f ( x ) f ( x ),即： [ , x] 1 x x x
将动量算符的形式代入上式, 得到动能算符为: 2 2 ˆx ˆ2 ˆ p p p 1 2 2 2 y z ˆ K {( i ) ( i ) ( i ) } 2m 2m x y z
2 2 2 2 2 2 ( 2 2 2) 2m x y z 2m
ˆ 是厄米算符 . 因此 , A
定理 1：厄米算符的本征值是 实数。 ˆ 是厄米算符， g为它的本征函数， 证明：若 A ˆ g ag， ˆ g )* a * g *， 本征值为 a，即： A (A 根据厄米算符的定义， 可以得到： ˆ gd g ( A ˆ g ) * d , 即： g *A
i
j
j
i
a j i * j d ai j i *d , (注意 ai * ai ) ( a j ai ) j i *d 0, j i *d 0 因此， i 和 j 相互正交。
厄米算符属于不同本征 值的两个本征函 数一定互相正交。具有 相同本征值的本征函 数如何保证它们正交呢 ？这需要运用施米特 (Schmidt)正交化方法。 ˆ , 若存在函数 F和G满足下列 例如 , 对算符 A ˆ F aF, A ˆ G aG, 则F和G具有相同的本 关系 : A 征值 , 令 : 1 F , 2 G cF , 要求 1和 2 正交， 可以求出常数 c。
量子力学算符理论
量子力学算符理论量子力学算符理论是研究量子力学中的算符和其性质的一门学科。
在量子力学中，算符是用来描述物理量的数学对象，它们对应于实验中可以测量的物理量，例如位置、动量、能量等。
算符理论为我们提供了一种有效的方式来描述和计算量子系统的性质和行为。
一、算符的基本概念在量子力学中，算符是用来描述观测值的操作。
算符可以作用于态矢量，产生一个新的态矢量或者观测值。
量子力学中的算符是线性的，在数学上可以表示为一个矩阵。
我们使用希腊字母表示算符，例如用$\hat{A}$表示算符A。
算符通常具有以下性质：1. 线性性质：对于任意的态矢量$\psi_1$和$\psi_2$，以及实数a和b，有$\hat{A}(a\psi_1+b\psi_2)=a\hat{A}\psi_1+b\hat{A}\psi_2$。
2. 厄米性：如果算符$\hat{A}$满足$\hat{A}^{\dagger}=\hat{A}$，即算符$\hat{A}$的厄米共轭等于自身，则称该算符为厄米算符。
3. 算符的作用：算符可以作用于态矢量，产生一个新的态矢量或者观测值。
例如，位置算符就可以作用于一个态矢量，得到该态矢量在空间中的位置。
二、算符的性质和数学表达量子力学中的算符具有多个重要的性质和数学表达。
下面列举几个常用的例子：1. 算符的本征值和本征态：算符$\hat{A}$的本征值是对应于本征态的观测值，即在该本征态下，对应的物理量的测量结果。
本征态是算符作用下不发生改变的态矢量。
记本征值为$a$，本征态为$\psi_a$，则有$\hat{A}\psi_a=a\psi_a$。
2. 算符的对易关系：对于两个算符$\hat{A}$和$\hat{B}$，定义它们的对易子为$[\hat{A},\hat{B}]=\hat{A}\hat{B}-\hat{B}\hat{A}$。
如果两个算符的对易子为零，即$[\hat{A},\hat{B}]=0$，则称这两个算符是可对易的。
量子力学第二章知识点
量子力学第二章知识点基本概念波粒二象性量子力学中的粒子既可以表现出粒子性，也可以表现出波动性。
这种既是粒子又是波动的性质被称为波粒二象性。
波函数波函数是量子力学中描述粒子状态的数学函数。
波函数的模的平方表示在某一位置发现粒子的概率密度。
叠加原理量子力学中，两个波函数的线性叠加仍然是一个有效的波函数。
这个原理被称为叠加原理。
量子态所有可能的状态（波函数）构成了量子力学中的量子态。
一个量子态可以通过线性叠加得到另一个量子态。
算符和测量算符算符是描述量子系统性质变化的数学操作。
在量子力学中，算符通常用来描述物理量的测量和演化。
算符的本征值和本征态对于一个算符，它的本征值是测量该物理量时可能得到的值；而本征态是对应于这些本征值的一组特定的波函数。
观测量和平均值观测量是指用来测量物理量的实际实验装置，而平均值则是对同一量子态进行多次测量得到的结果的平均值。
不确定性原理不确定性原理是量子力学的基本原理之一，它描述了在某些物理量的测量中，有些对应物理量无法同时精确确定的限制。
氢原子壳层和轨道氢原子中，电子围绕原子核运动的轨道被称为壳层。
氢原子的壳层用主量子数 n 来标记。
能级和能量氢原子中电子的能量是量子化的，称为能级。
能级由主量子数 n 决定，能级越高，能量越大。
轨道角动量氢原子中，电子的轨道运动导致了其具有轨道角动量。
轨道角动量用量子数 l 来标记。
磁量子数氢原子中，轨道角动量的分量在某一方向上的投影用磁量子数 m 来标记。
自旋和电子态自旋自旋是粒子固有的一种角动量，与粒子的旋转运动无关。
电子具有自旋角动量。
自旋量子数自旋量子数用 s 来标记，对于电子，其自旋量子数为 1/2。
自旋态自旋态是描述粒子自旋状态的波函数。
对于电子，自旋态可以是自旋向上的态，记作|↑⟩，也可以是自旋向下的态，记作|↓⟩。
自旋磁量子数自旋磁量子数用 m_s 来标记，对于电子，其自旋磁量子数可以是 1/2 或 -1/2。
总结本文介绍了量子力学第二章的知识点，包括波粒二象性、波函数、叠加原理、量子态、算符和测量、算符的本征值和本征态、观测量和平均值、不确定性原理、氢原子的壳层和轨道、能级和能量、轨道角动量、磁量子数、自旋和电子态等内容。
量子力学中的哈密顿算符
量子力学是描述微观世界的一种物理学理论，而哈密顿算符（Hamiltonian operator）则是量子力学中的一个重要的数学工具。
它在量子力学的框架下，描述了体系的总能量。
本文将以“量子力学中的哈密顿算符”为题，分析哈密顿算符的定义、性质和应用。
首先，我们来看哈密顿算符的定义。
在量子力学中，哈密顿算符用符号“H”表示，它是一个数学算符，用来描述体系的总能量。
哈密顿算符是通过物理系统的动能算符和势能算符的线性组合得到的。
动能算符通常用“T”表示，而势能算符通常用“V”表示。
哈密顿算符的形式可以表示为H = T + V。
接下来，我们来探讨哈密顿算符的性质。
首先，哈密顿算符是一个厄米算符。
厄米算符指的是一个算符与其自身的共轭转置相等。
对于哈密顿算符来说，这意味着H† = H，其中†表示共轭转置操作。
由于哈密顿算符是厄米算符，它的本征态一定是正交归一的，因此可以用来描述物理系统的一组完备基。
其次，哈密顿算符具有一个重要的性质，即它的本征值对应着物理系统的能量。
量子力学中，物理量的测量结果是一个数值，称为该物理量的本征值。
对于哈密顿算符来说，它的本征值就是物理系统的能量。
物理系统的状态可以由哈密顿算符的本征态展开，而不同本征值对应的本征态描述了不同能量的物理状态。
哈密顿算符在量子力学中有广泛的应用。
首先，哈密顿算符是薛定谔方程的重要组成部分。
薛定谔方程是量子力学的基本方程，它描述了量子态随时间的演化。
薛定谔方程的形式为Ĥψ = Eψ，其中Ĥ表示哈密顿算符，ψ表示体系的波函数，E表示体系的能量。
通过求解薛定谔方程，我们可以得到物理系统的波函数以及能级结构。
其次，哈密顿算符的本征值问题与能级分析相关。
通过求解哈密顿算符的本征值问题，我们可以得到物理系统的能级信息。
能级分析在原子、分子和凝聚态物理等领域具有重要的应用价值。
通过研究能级结构，我们可以理解物质的性质，例如电子能带结构、光谱特性等。
最后，哈密顿算符也与物理系统的演化和动力学过程相关。
量子力学算符
量子力学算符量子力学是描述微观世界的基础理论，它通过使用数学算符来描述和计算微观粒子的性质和运动。
在量子力学中，算符是表示物理量的数学对象，与经典物理中的变量相对应。
本文将探讨量子力学算符的定义、性质和应用。
一、算符的定义在量子力学中，算符是对量子态进行操作的数学工具。
算符可以表示物理量，如位置、动量、能量等，也可以表示物理过程，如时间演化等。
算符通常用大写字母表示，如X、P、H等。
算符的本质是一个线性映射，它将一个量子态映射为另一个量子态。
量子态可以用波函数表示，在量子力学中，波函数描述了量子系统的状态。
算符作用在波函数上，将其转换为另一个波函数。
二、算符的性质1. 线性性质：算符是线性操作，满足线性叠加原理。
例如，对于两个波函数ψ1和ψ2，以及常数a和b，有A(aψ1 + bψ2) = aAψ1 + bAψ2。
2. 厄米性质：算符的厄米性质与其自伴性有关。
若算符A满足A†= A，则称A为厄米算符。
厄米算符的本征值是实数，并且本征态之间正交。
3. 正规性质：算符的正规性质与其对易性有关。
若算符A和B满足AB-BA = 0，则称A和B是对易的。
对于对易的算符，可以找到同时具有相同本征态的共同本征态。
三、算符的应用1. 算符的测量：在量子力学中，算符可以用来测量物理量。
例如，位置算符X可以测量粒子的位置，动量算符P可以测量粒子的动量。
测量的结果是算符的本征值，而测量后的量子态为对应本征值的本征态。
2. 算符的演化：算符可以描述量子系统的演化。
薛定谔方程描述了量子系统随时间的演化，其中哈密顿算符H起到了重要的作用。
哈密顿算符确定了系统的能量本征值和能量本征态。
3. 算符的相互作用：在量子力学中，不同算符之间可以相互作用。
例如，位置算符和动量算符满足不确定性原理，它们之间的对易关系导致了量子系统的不确定性和局域性。
四、结论量子力学算符是描述和计算量子系统的重要工具。
算符的定义、性质和应用使得我们能够更好地理解和解释微观世界中的现象。
量子力学之算符PPT课件
满足如下运算规律的 算符 Ô 称为线性算符
动量算符 pˆ i 例如： 单位算符 Iˆ
是线性算符。
开方算符、取复共轭就不是线性算符。 注意：描写可观测量的力学量算符都是线性算符，这是态叠加原理的反映。
（2）算符相等
若两个算符 Ô 、Û 对体系的任何波函数 ψ的运算结果都相 同，即Ô ψ= Û ψ，则算符Ô 和算符Û 相等记为Ô = Û 。
p
i i i
x
p (r)
y
p
(r)
z
p
(r
)
px p (r)
py
p
(r
)
pz p (r)
其 分 量 形 式 ：
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I. 求解
采用分离变量法，令：
p ( r ) ( x )( y )( z )
代入动量本征方程
上面的第四式称为 Jacobi 恒等式。
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（7）逆算符
并不是所有算符都存 在逆算符,例如投影 算符就不存在逆.
1. 定义: 设Ôψ= φ, 能够唯一的解出 ψ, 则可定义
算符 Ô 之逆 Ô-1 为: Ô-1 φ = ψ
2.性质 I: 若算符 Ô 之逆 Ô-1 存在,则 Ô Ô-1 = Ô-1 Ô = I , [Ô , Ô-1] = 0
（5）对易关系
若ÔÛ ≠ ÛÔ，则称Ô 与 Û 不对易。
例如：算符 x
证 ( 1 )x p ˆ ： x x ( i x ) i x x
( 2 ) p ˆ x x ( i x ) x i i x x
pˆ x
i
x
不对易。
xpˆ x pˆ x x
而
（xpˆ x pˆ x x） i
高等量子力学_第二章_算符
条件（1） ：在值域中取一任意 ，证明在定义域有 存在：
1 AB AB
可见对于任意 ，确有 存在，这个 就是 B 。
条件（2） ：若 A 1 A 2 ，用 C 作用在此式两边：
CA 1 CA 2
但此式就是 1 2 ，条件(2)也得到满足，因此 A1 存在。
§2-2 算符的代数运算
在量子力学中，经常出现不可对易线性算符的代数运算， 在这一小节里，我们举几个较复杂的运算例子；并且用代数方 法证明两个常用的算符等式（2.9）和（2.14）两式。
设 A 和 B 为两个线性算符，互不对易。首先我们定义多重对 易式 [ Ai , B]和[ B, Ai ] ：
A A A A a A a
(2.1)
满足下列二条件的，称为反线性算符：
A A A A a A a
*
(2.2)
其中a是任意常数。在量子力学中出现的算符，绝大多数都是线 性算符，下面我们只讨论线性算符。 算符对其定义域中每一个右矢作用，都应有确定的结果。 定义一个具体的算符应当规定其定义域，并指出它对其定义域 中每一个矢量作用的结果。而确定一个具体的线性算符，只须 规定它对其定义域中的一组线性无关的右矢（例如一组基矢） 中每个右矢的作用结果即可。
A B
若两个算符 A和B 满足
[ A, B] AB BA
AB BA
则说这两个算符是可对易的，或称为两个算符对易。 定义： (2.2)
经常使用的几个对易关系：
ˆ ˆ ˆ ˆ [ F , G ] [G , F ]
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ [F , G M ] [F , G ] [F , M ]
量子力学 第二章 算符理论
第二章（一维）算符理论本章提要：本章从线性变换和微分算子出发，建立算符理论统一它们来处理「观测行为」，引入观测公设。
接着，从观测值=本征值为实数的要求出发，找到了符合条件的厄米矩阵来描述力学量，引入算符公设。
之后介绍了运算法则、基本的位置和动量算符、复合算符的对易子、哈密顿算符等。
最后，作为对上述内容的综合应用，讨论了不确定性原理。
1.算符：每一个可观测量，在态空间中被抽象成算符。
在态空间中，观测行为被抽象为，某可测量对应的算符「作用」在态矢量上①线性变换：线性代数告诉我们，一个线性变换「作用」到n 维向量上会获得一个新的n 维向量，这等价于一个n 阶方阵「作用」在n 行1列矩阵上得到新的n 行1列矩阵，用数学语言可表示为()Ta b T =⇔=αβ。
总之，方阵与线性变换一一对应。
由于方阵性质比矩阵更丰富，我们将只研究方阵。
②微分算子：在微积分中2222,,,ii x f x f dx f d dx df ∂∂∂∂ 也可简写成f f f D Df 22,,,∇∇。
前两种在解欧拉方程和高阶方程式时常用，后两种则经常出现在矢量分析中。
简写法可看作是微分算子「作用」在函数上，我们知道它遵守加法和数乘法则，是一种线性运算③本征值和本征矢：在矩阵方程x Ax λ=中，把λ称为矩阵本征值，x 称为矩阵的本征矢 ④本征值和本征函数：在微分方程f f Dmixμ=中，把μ称为问题本征值，f 称为本征函数⑤线性算符：现在把上述概念统一为线性算符理论。
考虑一个可测量Q ，定义它的对应算符为Q ˆ，它的本征方程是ψ=ψλQˆ或λψψ=Q ˆ，把λ称为算符的「本征值」，λ的取值集合称为算符的「谱」， ψ称为算符的「本征态」（或本征矢），ψ称为算符的「本征函数」 （注意：有时也把ψ记作本征值的对应本征态λ，如后面将遇到的坐标算符本征态x 、动量算符本征态p ）⑥第三公设——观测公设：对于量子系统测量某个量Q ，这过程可以抽象为对应的算符Q ˆ作用于系统粒子的态矢量ψ，测量值只能为算符Q ˆ的本征值iλ。
高等量子力学 算符
两个算符相等的定义是： A与B 有相同的定义域并且对域内
任意矢量 有
这时我们记作
2020/4/1
A B AB
若两个算符 A和B 满足 ABBA
线性算符的定义域，可以是整个右矢空间本身，也可以是 它的一个子空间。
可以证明，线性算符具有下列性质：
（1）线性算符的值域也是右矢空间（大空间本身或其子空间）。 （2）若定义域是有限维的空间，则值域空间的维数等于或小于
定义域空间的维数。 （3）在定义域中，那些受A的作用得到零矢量的右矢全体，也
构成一个右矢空间（定义域的子空间）。 复数对右矢的数乘，可以看成算符对右矢的作用，每一个
A [A （ i） ， B ] [A （ i） ， B ]A [A （ i 1 ） ， B ]
n A i,B A n i i n 0n n ! i!i!A i,B A n 1 i i n 0n n ! i!i!A i 1 ,B A n i
在上式右边第二个取和式中，取j=i+1，得
§2-2 算符的代数运算
在量子力学中，经常出现不可对易线性算符的代数运算， 在这一小节里，我们举几个较复杂的运算例子；并且用代数方 法证明两个常用的算符等式（2.9）和（2.14）两式。
设 A 和 B 为两个线性算符，互不对易。首先我们定义多重对
易式[ Ai , B]和[B, Ai ] ：
A 0,BB
2020/4/1
由上述定义可知，除交换律不一定成立外，算符之间服从 一般的加、减、乘和幂次的代数运算法则：
量子力学——算符（精品pdf）
算符
目录
一、位置算符
1.1 厄米算符 1.2 （位置算符）本征值与本征函数
1.3 正则对易关系
二、动量算符
2.1 动量算符导引 2.2 （动量算符）本征值与本征函数
七、自旋算符
7.1 概论 7.2 发展史 7.3 自旋量子数
7.3.1 基本粒子的自旋 7.3.2 亚原子粒子的自旋 7.3.3 原子和分子的自旋
中心的角色。角动量，动量，与能量是物体运动的三个基
本特性
目录 3.1 简介 3.2 数学定义 3.3 角动量是厄米算符 3.4 对易关系
3.4.1 角动量算符算符与自己的对易关系 3.4.2 角动量平方算符与角动量算符之间的对易关系 3.4.3 哈密顿算符与角动量算符之间的对易关系 3.4.4 在经典力学里的对易关系 3.5 (角动量)本征值与本征函数
目录 1.1 厄米算符 1.2 本征值与本征函数 1.3 正则对易关系
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1.1厄米算符
由于每一种经过测量而得到的物理量都是实值的。所以，可观察量 O 的期望值是 实值的：
对于任意量子态 ，这关系都成立：
根据伴随算符的定义，假设 是 的伴随算符，则
因此，
这正是厄米算符的定义。所以，表示可观察量的算符 ，都是厄米算符。
2.3 厄米算符 2.4 正则对易关系
7.3.4 自旋与统计
7.4 自旋的方向
三、角动量算符
3.1 简介 3.2 数学定义 3.3 角动量是厄米算符 3.4 对易关系
3.4.1 角动量算符算符与自己的对易关系 3.4.2 角动量平方算符与角动量算符之间的对易关系 3.4.3 哈密顿算符与角动量算符之间的对易关系
经过一番繁杂的运算，终于得到想要的方程
量子力学中的算符
量子力学中的算符量子力学是描述微观粒子行为的理论，其基本概念之一就是算符。
算符（operator）是量子力学中的基本数学工具，用于描述物理量的测量和演化。
本文将从算符的定义、性质以及在量子力学中的应用等方面进行探讨。
一、算符的定义和性质在量子力学中，算符是描述物理量的数学对象，用于描述系统的状态演化和物理量的测量。
算符作用在量子态上，改变其状态或作用于态矢量的波函数。
1. 算符的基本性质算符具有线性性质，即对于任意的复数a和量子态|ψ⟩、|φ⟩，有：A(a|ψ⟩+ b|φ⟩) = aA|ψ⟩+ bA|φ⟩其中A为算符。
2.算符的厄米性在量子力学中，与每个物理量都有对应的算符。
一个算符是厄米算符，当且仅当它等于其自身的共轭转置，即：A† = A3.算符的本征值与本征态对于算符A，若存在一个常数a和一个非零的量子态|ψ⟩，满足：A|ψ⟩= a|ψ⟩则称a为算符A的本征值（eigenvalue），|ψ⟩为相应的本征态（eigenstate）。
二、算符在量子力学中的应用算符在量子力学中有广泛的应用，下面以几个典型例子来说明其用途。
1.位置算符和动量算符在量子力学中，位置和动量是物理量的基本概念。
对于位置算符X和动量算符P，其定义分别为：X = x，P = -iℏ(d/dx)其中x是位置的算符，ℏ是普朗克常数。
2.哈密顿算符哈密顿算符H在量子力学中描述了体系的能量。
在定态情况下，哈密顿算符作用于波函数后应得到该态的能量值，即：H|ψ⟩= E|ψ⟩其中E为能量的本征值，|ψ⟩为相应的能量本征态。
3.时间演化算符在量子力学中，时间演化算符描述了系统随时间的演化。
设系统在初始时刻t=0时处于量子态|ψ(0)⟩，则该态在后续时刻t的演化由时间演化算符U(t)给出，即：|ψ(t)⟩= U(t)|ψ(0)⟩三、结语算符是量子力学中的重要数学工具，用于描述物理量的测量和演化。
本文介绍了算符的定义、性质以及在量子力学中的应用。
量子力学中的量子力学算符和测量
量子力学中的量子力学算符和测量量子力学是描述微观世界中物质和辐射的行为的物理理论。
在量子力学中，为了研究和描述系统的性质，我们引入了量子力学算符和测量的概念。
本文将从量子力学算符和测量的基本原理入手，以及它们在量子力学中的应用和重要性进行探讨。
一、量子力学算符的基本原理量子力学算符是量子力学中的数学工具，用于描述物理量和系统性质。
在量子力学中，每个可观测的物理量都有一个对应的算符。
算符作用在波函数上，可以得到对应的物理量的测量结果。
量子力学算符的数学表示使用线性算子的形式。
对于一个可观测物理量A，其算符表示为^A。
根据量子力学的基本原理，物理量A的测量结果只能是其对应算符的特征值（本征值）之一。
当对一个态函数进行A的测量时，测量结果会是某个本征值，而波函数则会塌缩到对应的本征态上。
二、量子力学算符的性质与应用量子力学算符具有许多重要的性质，这些性质在量子力学的理论和实验研究中起着重要的作用。
以下是一些常见的量子力学算符性质的例子：1. 线性性质：量子力学算符是线性操作符，即对于任意两个波函数ψ₁和ψ₂以及复数α和β，有^A(αψ₁ + βψ₂) = α^Aψ₁ + β^Aψ₂。
这个性质保证了算符的可加性和可拉出性，简化了计算。
2. 基态算符：基态算符是指对应于一个量子系统的基态的算符。
通过对基态算符的研究，我们可以获得系统的平衡态以及系统的稳定性等信息。
3. 对易性与非对易性：两个算符之间的对易性与非对易性决定了它们是否可以同时测量。
对易性意味着两个算符可以同时具有确定的值，而非对易性则意味着两个算符不能同时具有确定的值。
量子力学算符在量子力学中的应用极为广泛。
比如，有Hamiltonian 算符用于描述系统的总能量，角动量算符用于描述系统的角动量，位置算符用于描述粒子的位置等。
三、测量的原理和过程测量是量子力学中的一个基本操作，用于获取物理量的测量结果。
测量的过程可以通过以下几个步骤来描述：1. 选择合适的可观测物理量A，并将其表示为算符^A。
量子力学 算符
ˆx ˆ 1 0 ˆx ˆD D
注：对于单纯是作常数乘法的算符，常省略抑扬符。
（5）算符服从乘法结合律
ˆ (B ˆ) (A ˆB ˆ ˆC ˆ )C A
d ˆ ˆ ˆ 3 ˆ ˆ, C , Bx 例如： A dx
ˆ 3x ˆ (B ˆ )] f D ˆC ˆC ˆ (3xf ) 3 f 3xf ˆ, [ A B
量子力学的哈密顿算符：
2 2
px V ( x) 2m
其本征值为体系 能量的可能值
2
d ˆ H V ( x) 2 2m dx
这种经典力学的物理量（如能量，坐标和动量等等） 与量子力学算符之间的对应性是普遍的。这是量子力 学的一个基本假定。即：每一物理量都有一个对应的 量子力学算符。 问题：如何得到物理量F所对应的量子力学算符呢？
第一步：写出F作为笛卡儿坐标和对应动量的函数的经 典力学表示。 第二步：做以下变换：
笛卡儿坐标q代之以该坐标去乘的算符，即：q ˆ q 线动量的每个笛卡儿分量pq代之以算符：
i ˆq p 2 i i q i q q
例:
对应于坐标的算符是乘以坐标：
2 2 d ˆ T ˆ V ˆ H V ( x) 2 2m dx
这与不含时间的薛定谔方程一致。
d [ V ( x)] ( x) E ( x) 2 2m dx
2
2
量子力学算符与体系对应的性质的关系
ˆ 的具有本征值 若i 是 F
a i 的本征函数，则有：
ˆ a F i i i
由此可见，算符的假设和薛定谔方程实际上是一致的。
2
2
量子力学体系的态用包含我们可能了解的关于体系的全 部知识的态函数Ψ(x，t)来描述。Ψ如何给出关于性质F 的知识呢？
量子力学算符
量子力学算符量子力学算符量子力学是描述微观世界的一种物理学理论。
在量子力学中，我们需要用到算符来描述物理量的测量和演化。
本文将介绍量子力学算符的概念、性质和应用。
一、概念1.1 算符的定义在量子力学中，算符是一个数学对象，它作用于波函数，可以得到另一个波函数或一个实数。
算符可以表示物理量的测量或演化。
例如，位置算符表示位置的测量，哈密顿算符表示系统的能量演化。
1.2 算符的性质算符具有以下性质：（1）线性性：对于任意常数a和b，有A(a|ψ⟩+b|φ⟩)=aA|ψ⟩+bA|φ⟩。
（2）厄米性：若A†=A，则称A为厄米算符。
对于任意波函数|ψ⟩和|φ⟩，有⟩ψ|A†φ⟩=⟩φ|Aψ⟩*。
（3）幺正性：若U†U=UU†=I，则称U为幺正算符。
幺正算符保持内积不变，即⟩Uψ|Uφ⟩=⟩ψ|φ⟩。
二、常见算符2.1 位置算符位置算符表示粒子的位置，通常用x表示。
位置算符的本征态是δ函数，即x|a⟩=a|a⟩。
2.2 动量算符动量算符表示粒子的动量，通常用p表示。
动量算符的本征态是平面波，即p|b⟩=b|b⟩。
2.3 自旋算符自旋算符表示粒子的自旋，通常用S表示。
自旋算符的本征态是上升态和下降态，即S_z|+⟩=+1/2|+⟩，S_z|-⟩=-1/2|-⟩。
三、应用3.1 测量在量子力学中，测量是一个重要的概念。
测量可以用算符来描述。
例如，位置测量可以用位置算符来描述，动量测量可以用动量算符来描述。
当我们对一个系统进行测量时，系统会塌缩到某个本征态上，并得到相应的本征值。
例如，在进行位置测量时，系统会塌缩到某个位置上，并得到相应的位置值。
3.2 演化在量子力学中，演化也是一个重要的概念。
演化可以用哈密顿算符来描述。
哈密顿算符描述了系统在时间演化中能级之间的变化关系。
当我们知道了系统的哈密顿算符后，就可以求解系统在时间上的演化。
例如，在一个简单的谐振子系统中，我们知道了系统的哈密顿算符后，就可以求解出系统在时间上的演化。
陈鄂生《量子力学教程》习题答案第二章力学量算符
陈鄂生《量子力学教程》习题答案第二章_力学量算符陈鄂生《量子力学教程》习题答案第二章_力学量算符含答案第一节算符理论基础1.量子力学中的基本假设包括哪些？它们各自的物理意义是什么？答：量子力学中的基本假设包括：(1) 波函数假设：用波函数Ψ(x)描述微观粒子的运动状态，波函数的模的平方表示找到粒子在空间中某一点的概率。
(2) 物理量算符假设：每个物理量都对应一个算符，而对应的测量值是算符的本征值。
(3) 波函数演化假设：波函数随时间的演化遵循薛定谔方程。
(4) 基态能量假设：系统的最低能量对应于基态，且能量是量子化的。
这些基本假设反映了量子力学的基本原理和规律。
2.什么是算符的本征值和本征函数？答：算符的本征值是指对应于某个物理量的算符的一个特征值，它代表了该物理量的一个可能的测量结果。
本征函数是对应于某个物理量的算符的一个特征函数，它表示的是该物理量的一个可能的状态。
3.什么是算符的厄米性？答：算符的厄米性是指一个算符与其共轭转置算符相等。
对于一个算符A，如果满足A†=A，则称该算符是厄米算符。
4.什么是算符的厄米共轭？答：算符的厄米共轭是指将算符的每一项的系数取复共轭得到的新算符。
对于一个算符A，它的厄米共轭算符A†可以通过将A的每一项的系数取复共轭得到。
5.什么是算符的共同本征函数？答：算符的共同本征函数是指对于两个或多个算符A和B，存在一组波函数Ψ(x)使得同时满足AΨ(x)=aΨ(x)和BΨ(x)=bΨ(x)。
其中a和b分别是A和B的本征值。
6.什么是算符的对易性？答：算符的对易性是指两个算符之间的交换顺序不改变它们的结果。
如果两个算符A和B满足[A,B]=AB-BA=0，则称它们对易。
第二节动量算符1.什么是动量算符？它的本征值和本征函数分别是什么？答：动量算符是描述粒子动量的算符，用符号p表示。
动量算符的本征值是粒子的可能动量值，本征函数则是对应于这些可能动量的波函数。
动量算符的本征函数是平面波函数，即Ψp(x)=Nexp(ipx/ħ)，其中N是归一化常数，p是动量的本征值。
量子力学讲义 第二章(2)
•
在讨论了状态或波函数随时间变化的规律后
， 进一步讨论粒子在一定空间区域内出现的概 率将 怎样随时间变化。
设描写粒子状态的波函数是： (r , t ) 在时刻t 在r点周围单位体积内粒子出现的概率（概 2 率密度）： ( r , t ) ( r , t ) ( r , t ) | ( r , t ) | （1）
将（2）代入 （1）式中：
一、定态薛定谔方程
i [ 2 U r ] 2m t
（2）
2
2
（1）
i (r )
d f (t ) f (t )[ 2 U r ] 2 m dt 上式两边除以 ( r ) f (t )
（3）
2 i df 1 [ 2 U r ] f dt 2m
j k 其中 i x y z
（称为动量算符）
（向量算符）
问：p x
?
p x i
x
利用关系式(8)、(9)来建立在力场 中粒子波函数所满足的微分方程。 设粒子在力场中的势能为 U r ，则：
2、薛定谔方程：
三、薛定谔方程
2 p 两边乘以 p U r （10） E E U r 2m r , t 2m 2 E i t 代入上式得 i 2 U r 将 t 2m p i （11）
定态的特点 1）粒子的概率密度和概率流密度
与时间无关 因为
2 Et ( r , t ) ( r )e
t
i 2
一、定态薛定谔方程
2 (r )
显然， 0
2）能量具有确定的值 3）各力学量的平均值不随时间变化
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第二章（一维）算符理论本章提要：本章从线性变换和微分算子出发，建立算符理论统一它们来处理「观测行为」，引入观测公设。
接着，从观测值=本征值为实数的要求出发，找到了符合条件的厄米矩阵来描述力学量，引入算符公设。
之后介绍了运算法则、基本的位置和动量算符、复合算符的对易子、哈密顿算符等。
最后，作为对上述内容的综合应用，讨论了不确定性原理。
1.算符：每一个可观测量，在态空间中被抽象成算符。
在态空间中，观测行为被抽象为，某可测量对应的算符「作用」在态矢量上①线性变换：线性代数告诉我们，一个线性变换「作用」到n 维向量上会获得一个新的n 维向量，这等价于一个n 阶方阵「作用」在n 行1列矩阵上得到新的n 行1列矩阵，用数学语言可表示为()Ta b T =⇔=αβ。
总之，方阵与线性变换一一对应。
由于方阵性质比矩阵更丰富，我们将只研究方阵。
②微分算子：在微积分中2222,,,ii x f x f dx f d dx df ∂∂∂∂ 也可简写成f f f D Df 22,,,∇∇。
前两种在解欧拉方程和高阶方程式时常用，后两种则经常出现在矢量分析中。
简写法可看作是微分算子「作用」在函数上，我们知道它遵守加法和数乘法则，是一种线性运算③本征值和本征矢：在矩阵方程x Ax λ=中，把λ称为矩阵本征值，x 称为矩阵的本征矢 ④本征值和本征函数：在微分方程f f Dmixμ=中，把μ称为问题本征值，f 称为本征函数⑤线性算符：现在把上述概念统一为线性算符理论。
考虑一个可测量Q ，定义它的对应算符为Q ˆ，它的本征方程是ψ=ψλQˆ或λψψ=Q ˆ，把λ称为算符的「本征值」，λ的取值集合称为算符的「谱」， ψ称为算符的「本征态」（或本征矢），ψ称为算符的「本征函数」 （注意：有时也把ψ记作本征值的对应本征态λ，如后面将遇到的坐标算符本征态x 、动量算符本征态p ）⑥第三公设——观测公设：对于量子系统测量某个量Q ，这过程可以抽象为对应的算符Q ˆ作用于系统粒子的态矢量ψ，测量值只能为算符Q ˆ的本征值iλ。
在这次测量后，假设得到测量值i λ，则意味着系统状态ψ此时已坍缩到对应于本征值i λ的Qˆ的本征态i λ（观测的影响：测量任何力学量都必须使用仪器。
在观测的过程中，探测仪器不可避免地要与被测粒子发生相互作用：例如，要观测粒子的自旋，必须外加磁场）2.厄米矩阵：根据实际要求观测量应为实数，即算子对应的矩阵的本征值为实数，我们找到这样的矩阵，在数学上称为厄米矩阵（自共轭矩阵）①厄米矩阵定义：方阵A 任一元素满足()*ji ij a a =，称方阵为厄米矩阵，记作A A H= 由这个定义，今后就把转置共轭称作厄米共轭②厄米矩阵性质：（1）本征值是实数（2）不同本征值对应的本征矢正交 （3）本征矢量构成一组完备基（经施密特规范正交化就得到标准正交完备基）③第二公设——可观测量公设（算符公设）：每个可观测量Q 都有其对应的厄米算符Qˆ，算符的所有本征矢组成一个完备基3.线性厄米算符的运算法则：①基本运算：（1）B A f B f Aˆˆ,ˆˆ==（2）单位算符1,ˆ==λf f I （3）()g f A g A f A+=+ˆˆˆ（4）()f B A f B f A ˆˆˆˆ+=+ （5）()()C B A C B Aˆˆˆˆˆˆ++=++（6）()()f A B f A B ˆˆˆˆ=（一般地A B B A ˆˆˆˆ≠） ②算符作用在态矢（在坐标表象下）：（1）回顾投影式：∑==n i i i e e 1γγ，∑==nj j j e e 1γ，j j e c γ=*，γi i e c =（2）算符作用在右矢/左矢的矩阵表示（这要求本征值必须是离散的！）：ij ij i jj ij i j jj i M M e e e M e M βαβαβαβα=⇒=⇒=⇒=∑∑][ˆˆ ****ˆ][ˆiji j i jji j i ji j j N N e e N e e N βαβαβαβα=⇒=⇒=⇒=∑∑ 由此可得N NM M N N N Hij ji i j ji i ji j ==⇒=⇒=⇒=****βαβα此结论可简单表述为：同一算符作用在右矢与作用在左矢得到的结果构成厄米共轭（3）算符的矩阵形式：由上可知ji ij e M e M ˆ= （4）厄米算符判别条件：()()βαβαβαQ Q QH ˆˆˆ====+++b a Q Q b a 算符对函数作用时，条件改为：()()βαβα,ˆˆ,Q Q=4.位置算符：xˆ是一个极其特殊的厄米算符，它的本征函数系平方不可积但是完备 ①本征方程：g xg g xλ==ˆ ②本征值：本征值的集合就是实数集R ，这种本征值取值连续的情况称为连续谱 相应地，本征值取值离散的情况称为离散谱③本征函数：除了点λ=x 之外g 取值都是0，考虑归一化要求有()λδλ-=x B g()()∞→-=λλδλλ2,B g g ，()()μλδμλ-=2,B g g④本征函数规格化：虽然无法归一化，但可考虑用δ函数代替克罗内克符号ij δ 于是有规格化处理()λδλ-=x g ，()()x x g g x x '-='δ,，简写作()()x x x x '-='δ,5.动量算符：D p-i ˆ=和x ˆ相同，它的本征函数系平方不可积但是完备 ①从xˆ到p ˆ：推导过程留在本章结尾 ②本征方程：()f i dx df f f D i f pλλ=⇒==-ˆ③本征值：本征值的集合是实数集R ，本征值可直接记作p ④本征函数：xi Aef λλ=，()∞→=⎰∞∞-dx Af f 2,λλ，()()μλδπμλ-2,2A f f =（*δ函数的傅里叶变换公式：()⎰∞∞-=dx e k ikx πδ21）⑤本征函数规格化：x pi p e fπ21=，()()p p f f p p '-='δ,，简写作()()p p p p '-='δ,6.对易子：一般地A B B Aˆˆˆˆ≠，不妨定义运算[]A B B A B A ˆˆ-ˆˆˆ,ˆ=，称为对易子 ①对易子的性质：（1）[][]0ˆˆˆ,ˆ=+A B B A，（2）[][][]C A B A C B A ˆ,ˆˆ,ˆˆˆ,ˆ+=+ （3）[][][]C B A C A B C B Aˆˆ,ˆˆ,ˆˆˆˆ,ˆ+=，[][][]B C A C B A C B A ˆˆ,ˆˆ,ˆˆˆ,ˆˆ+=（4）雅可比恒等式：[][][][][][]0ˆ,ˆ,ˆˆ,ˆ,ˆˆ,ˆ,ˆ=++B A C A C B C B A②位置-动量对易关系（最基本）：[] i p x =ˆ,ˆ，进一步地[]jk j k i p x δ =ˆ,ˆ ③哈密顿量-力学量算符对易关系：]tQ Q H i dt Qd ∂∂+=ˆˆ,ˆˆ ，V m p H +=2ˆˆ2 特别地，如果Q 不显含时且[]0ˆ,ˆ=Q H，那么力学量Q 是守恒量7.不确定性原理：[]222ˆ,ˆ21⎪⎭⎫ ⎝⎛≥B A i BAσσ，其中()22ˆψ-=Q QQσ（方差定义）（1）解说：当[]0ˆ,ˆ=B A ，称两算符可对易，此时存在ψ令0==BA σσ 即B Aˆ,ˆ在该状态下的观测值可以同时确定 当[]0ˆ,ˆ≠B A ，称两算符不可对易，若0=A σ，则∞→Bσ 即Aˆ的观测值确定时，无论如何都无法确定B ˆ的观测值（反之亦然） （2）算符相容性：[]0ˆ,ˆ=B A称两算符相容，此时它们有共同的本征态和本征函数 （3）位置-动量不确定性关系：2 ≥p x σσ或写作2≥∆∆p x 能量-时间不确定性关系：2≥∆t H σ，其中dtQ d t Q /σ=∆表示Q 变化Q σ所用时间 （4）本征值还是平均值？：当0==B A σσ，易知()0ˆ=ψ-Q Q即ψ=ψQ Qˆ 显然这是算符Qˆ的本征方程，ψ是本征态，是平均值又是本征值，这是怎么一回事？粒子状态对测量结果有什么影响？答案见第三章8.附录1：不确定性原理的推导 方差()q q qQ QQ==ψ-=222ˆσ，故a a A =2σ，b B =2σ根据柯西-施瓦茨不等式有2ba b a a ≥，对任意复数有()()2*222Im ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=≥i z z z z 不妨设b a z =，考察()()B A B AB B A Ab a ˆˆˆˆˆˆ-=ψ--ψ=代入归一条件同理有A B A B a b b a z ˆˆˆˆ**-===，代入得]222ˆ,ˆ21⎪⎭⎫ ⎝⎛≥B A i BA σσ （此过程来源于《量子力学导论》3.4节，格里夫斯著）附录2：从xˆ到p ˆ的推导过程（波动力学观点） 已知一维薛定谔方程一般形式为ψ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂-=∂ψ∂V x m t i 2222 整理为ψ-∂ψ∂=∂ψ∂V i x m i t 222①，方程两边取共轭得*2*2*2ψ+∂ψ∂-=∂ψ∂V i x m i t ② ψ∂ψ∂+∂ψ∂ψ=ψ∂∂tt t **2⎪⎪⎭⎫⎝⎛ψ∂ψ∂-∂ψ∂ψ∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ψ∂ψ∂-∂ψ∂ψ=→x x x m i x x m i **2*222*22 代入①② 考察⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ψ∂ψ∂-∂ψ∂ψ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ψ∂ψ∂-∂ψ∂ψ∂∂=ψ∂∂=x x xd m i dx x x x x m i dx t x x dt d ****222ˆ⎰⎰∂ψ∂ψ=−−−−−→−⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ψ∂ψ∂-∂ψ∂ψ=−−−→−dx xm i dx x x m i ***2-22- 对后一项分部积分分部积分则有：dx x i dx x i x dt d m p⎰⎰ψ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂ψ=∂ψ∂ψ== --ˆˆ** 将此式和⎰∞∞-ψψ=dx x x*ˆ比较，可定义xi p ∂∂= -ˆ，即为动量算符 （此过程来源于《量子力学导论》1.5节，格里夫斯著）。