参数方程知识讲解及典型例题

参数方程

一、定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个参数

t 的函数，即 ⎩⎨

⎧==)()(t f y t f x ，其中，t 为参数，并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点M （x ，y ）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数t 叫做参变数，简称参数．

注意：参数方程没有直接体现曲线上点的横纵坐标之间的关系，而是分别体现了点的横纵坐标与参数间的关系。 二、二次曲线的参数方程 1、圆的参数方程：

特殊：圆心是（0,0），半径为r 的圆：

θ

θ

sin cos r y r x ==

一般：圆心在（x 0，y 0），半径等于r 的圆：

θθ

sin cos 00r y y r x x +=+= （θ为参数，θ的几何意义为圆心角），

Eg1：已知点P （x ，y ）是圆x 2

+y 2

-6x-4y+12=0上的动点，求：

（1）x 2

+y 2

的最值；（2）x+y 的最值；（3）点P 到直线x+y-1=0的距离d 的最值。 Eg2：将下列参数方程化为普通方程

（1） x=2+3cos θ （2） x=sin θ （3） x=t+t

1

y=3sin θ y=cos θ y=t 2

+

21t

总结：参数方程化为普通方程步骤：（1）消参（2）求定义域 2、椭圆的参数方程：

中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆：

θ

θ

sin cos b y a x == （θ为参数，θ的几何意义是离心角，如图角AON 是离心角）

注意：离心率和离心角没关系，如图，分别以椭圆的长轴和短轴为半径画两个同心圆，M 点的轨迹是椭圆，中心在（x 0，y 0）椭圆的参数方程：

θ

θsin cos 00b y y a x x +=+=

Eg ：求椭圆20

362

2y x +=1上的点到M （2,0）的最小值。 3、双曲线的参数方程：

中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线： θ

θ

tan sec b y a x == （θ为参数，代表离心角），

中心在（x 0，y 0），焦点在x 轴上的双曲线： θ

θtan sec 00b y y a x x +=+=

4、抛物线的参数方程：

顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上的抛物线：

pt y pt x 222

== （t 为参数，p ＞0，t 的几何意义为过圆点的直线的斜率的倒数） 直线方程与抛物线方程联立即可得到。 三、一次曲线（直线）的参数方程

过定点P 0（x 0，y 0），倾角为α的直线， P 是直线上任意一点，设P 0P=t ，P 0P 叫点P 到定点P 0的有向距离，在P 0两侧t 的符号相反，直线的参数方程

αα

sin cos 00t y y t x x +=+= （t 为参数，t 的几何意义为有向距离） 说明：①t 的符号相对于点P 0，正负在P 0点两侧

②｜P 0P ｜=｜t ｜ 直线参数方程的变式：

bt

y y at x x +=+=00，但此时t 的几何意义不是有向距离，只有

当t 前面系数的平方和是1时，几何意义才是有向距离，所以，将上式进行整理，得

)

()

(222

20222

20t b a b a b y y t b a b a a x x +++

=+++

=，让t b a 22+作为t ，则此时t 的几何意义是有

向距离。

Eg ：求直线 x=-1+3t

y=2-4t ，求其倾斜角.

极坐标与参数方程练习题

[基础训练A 组]

一、选择题

1．若直线的参数方程为12()23x t

t y t =+⎧⎨=-⎩

为参数，则直线的斜率为（ ）

A ．

23 B ．23- C ．32 D ．3

2

- 2．下列在曲线sin 2()cos sin x y θ

θθθ=⎧⎨

=+⎩

为参数上的点是（ ）

A

．1(,2

B ．31

(,)42

- C

． D

．

3．将参数方程2

2

2sin ()sin x y θ

θθ

⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数化为普通方程为（ ） A ．2y x =- B ．2y x =+ C ．2(23)y x x =-≤≤ D ．2(01)y x y =+≤≤ 4．化极坐标方程2

cos 0ρθρ-=为直角坐标方程为（ ）

A ．2

01y y +==2

x 或 B ．1x = C ．2

01y +==2

x 或x D ．1y = 5．点M

的直角坐标是(-，则点M 的极坐标为（ ）

A ．(2,

)3π

B ．(2,)3π-

C ．2(2,)3π

D ．(2,2),()3

k k Z π

π+∈ 6．极坐标方程cos 2sin 2ρθθ=表示的曲线为（ ）

A ．一条射线和一个圆

B ．两条直线

C ．一条直线和一个圆

D ．一个圆

二、填空题

1．直线34()45x t

t y t =+⎧⎨=-⎩

为参数的斜率为______________________。

2．参数方程()2()

t t

t t

x e e

t y e e --⎧=+⎪⎨=-⎪⎩为参数的普通方程为__________________。 3．已知直线113:()24x t

l t y t =+⎧⎨=-⎩

为参数与直线2:245l x y -=相交于点B ，又点(1,2)A ，则

AB =_______________。