工程力学(天津大学)第10章答案 (1)

习题

10−1一工字型钢梁，在跨中作用集中力F ，已知l =6m ，F =20kN ，工字钢的型号为20a ，求梁中的最大正应力。

解：梁内的最大弯矩发生在跨中 kN.m

30max =M 查表知20a 工字钢 3cm 237=z W 则 MPa 6.126Pa 106.12610

237103066

3max max =⨯=⨯⨯=-z W M σ 10−2一矩形截面简支梁，受均布荷载作用，梁的长度为l ，截面高度为h ，宽度为b ，材料的弹性模量为E ，试求梁下边缘的总伸长。

解：梁的弯矩方程为 ()22

1

21qx qlx x M -=

则曲率方程为 ()()⎪⎭

⎫

⎝⎛-==2212111qx qlx EI EI x M x z z ρ梁下边缘的线应变 ()()⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=

=

22121

22qx qlx EI h x h x z ρε

下边缘伸长为 ()2

302022121

2Ebh ql dx qx qlx EI h

dx x l l

z

l

=⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=

=∆⎰

⎰ε 10−3 已知梁在外力作用下发生平面弯曲，当截面为下列形状时，试分别画出正应力沿横截面高度的分布规律。

解：各种截面梁横截面上的正应力都是沿高度线性分布的。中性轴侧产生拉应力，另一侧产生压应力。 10−4一对称T 形截面的外伸梁，梁上作用均布荷载，梁的尺寸如图所示，已知l =1.5m ,q =8KN/m ，求梁中横截面上的最大拉应力和最大压应力。

解：

1、设截面的形心到下边缘距离为y 1 则有

cm 33.74108410

4104841=⨯

+⨯⨯⨯+⨯⨯=

y

则形心到上边缘距离 cm 67.433.7122=-=y

于是截面对中性轴的惯性距为 2、作梁的弯矩图

设最大正弯矩所在截面为D ，最大负弯矩所在截面为E ，则在D 截面

在E 截面上

所以梁内MPa 08.15max t,=σ，MPa

61.9max c,=σ

10−5 一矩形截面简支梁，跨中作用集中力F ，已知l =4m ，b =120mm ，h =180mm ，弯曲时材料的许

l A B b

h F l /2 l /2 A

B

l /3 B

C

q

A

l 10cm

8cm

4cm 4cm

1.0kN.m

0.667m

用应力[σ]=10Mpa ，求梁能承受的最大荷载F max 。

解：梁内的最大弯矩发生在跨中 4

max

Fl

M =

矩形截面梁 2

bh W z =

则由 []σσ≤=z W M max max 得 []6

42

bh Fl σ≤

即 []N 64804

318.012.021*******

2=⨯⨯⨯⨯⨯=≤l bh F σ 10−6由两个28a 号槽钢组成的简支梁，如图所示，已知该梁材料为Q235钢，其许用弯曲正应力[σ]=170Mpa ，求梁的许可荷载[F ]。

解：作弯矩图

梁内的最大弯矩发生在跨中 F M 4max

= 矩形截面梁 3'max

'

max cm 656.6802====z z z z W y I y I W

则由 []σσ≤=

z

W M max

max

得 []z W F σ≤4 即 []N 289274

10656.680101704

66=⨯⨯⨯=≤

-z

W F σ

10−7 圆形截面木梁，梁上荷载如图所示，已知l =3m ，F =3kN ，q =3kN/m ，弯曲时木材的许用应力[σ]=10MPa ，试选择圆木的直径d 。

解：作弯矩图 则由 []σσ≤=

z W M max

max

得 []

σmax M W z ≥ 即

6

3

3

101010332⨯⨯≤

d π，得145mm m 145.0=≥d

10−8起重机连同配重等重P =50kN ，行走于两根工字钢所组成的简支梁上，如图所示。起重机的起重量F =10kN ，梁材料的许用弯曲应力[σ]=170Mpa ，试选择工字钢的型号。设全部荷载平均分配在两根梁上。

解：设起重机左轮距A 端为x ，则有

2650x M C -=，803862++-=x x M D

F

l /2

l /2

A B

b

h

F

q

d

F l l /3

A

B C

F

2m

B

A

F

F

2m 2m 2m 3F 3F 4F

3kN.m

1.167m

2.042kN.m

从而确定出 kN.m

2.104max

=C M ，kN.m

2.140max

=D M

即梁内出现的最大弯矩为kN.m 2.140

则由 []σσ≤=z

W M max

max 得 []346

3max m 1025.810170102.140-⨯=⨯⨯=≥σM W z 又对于本题 'max

'

max 2z z z z W y I y I W ===

所以3344

'

cm 5.412m 10125.42

1025.82=⨯=⨯==--z z

W W 查表选 25b 号工字钢。

10−9 两个矩形截面的简支木梁，其跨度、荷载及截面面积都相同，一个是整体，另一个是由两根方木叠置而成，试分别计算二梁中的最大正应力。

解：

1、第一种情况

梁内的最大弯矩发生在跨中 2

max

ql M =

矩形截面梁 3

263

2a bh W z ==

则 3

3

3

2max max 163283a ql a ql W M z =⨯⨯==σ

2、第二种情况

梁内的最大弯矩发生在跨中 16

2

max ql M =

矩形截面梁 6

63

2a bh W z == 则 3

3

32max max 83166a ql a ql W M z =

⨯⨯==σ 10−10直径d =0.6mm 的钢丝绕在直径D =600mm 的圆筒上，已知钢丝的弹性模量E =2×105MPa ，试求钢丝中的最大正应力。

解： 由

z

EI M

=

ρ

1

得

或

10−11一矩形截面简支梁由圆柱形木料锯成。已知F =5kN ，a =1.5m ，[σ]=10Mpa 。试确定弯曲截面

l

B

A

a

a

2a a a