《用样本的数字特征估计总体的数字特征》教学设计1

《用样本的数字特征估计总体的数字特征》教学设计

（众数、中位数、平均数）

一、课标要求

（一） 知识与技能要求

能根据实际问题的需求合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征，并作出合理的解释

（二）过程与方法要求

在解决统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征

（三）情感态度与价值观要求

体会统计对决策的作用，提高学习统计知识的兴趣

二、重点与难点

重点：样本众数、中位数、平均数的意义及求法，实际问题中三数的应用。 难点：样本频率分布直方图中众数、中位数、平均数的求法，实际问题中三数的应用

三、教学过程

（一） 导入

上一节我们学习了用图、表来组织样本数据，并且学习了如何通过图、表所提供的信息，用样本的频率分布估计总体的分布。为了从整体上更好地把握总体的规律，我们还需要通过样本的数据对总体的情况进行研究。这节课我们从三个数字特征——众数、中位数、平均数来估计总体的情况。

（二） 讲授新课

（1）三数概念

1、众数 在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这一组数据的众数。

2、中位数 将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。

3、平均数 一组数据的总和除以数据的个数所得的值。

如：5、5、5、6、6、6、6、7、7、7

众数为6 中位数为6

平均数

6

710

36104510310

7

776666555=⨯+⨯+⨯=+++++++++=x 也可以说平均数为各个不同数字乘以相应频率之和。

下表为100位居民的月均用水量

3.1 2.5 2.0 2.0 1.5 1.0 1.6 1.8 1.9

1.6

3.4 2.6 2.2 2.2 1.5 1.2 0.2 0.4 0.3 0.4

3.2 2.7 2.3 2.1 1.6 1.2 3.7 1.5 0.5 3.8

3.3 2.8 2.3 2.2 1.7 1.3 3.6 1.7 0.6

4.1

3.2 2.9 2.4 2.3 1.8 1.4 3.5 1.9 0.8

4.3

3.0 2.9 2.4 2.4 1.9 1.3 1.4 1.8 0.7 2.0

2.5 2.8 2.3 2.3 1.8 1.3 1.3 1.6 0.9 2.3

2.6 2.7 2.4 2.1 1.7 1.4 1.2 1.5 0.5 2.4

2.5 2.6 2.3 2.1 1.6 1.0 1.0 1.7 0.8 2.4

2.8 2.5 2.2 2.0 1.5 1.0 1.2 1.8 0.6 2.2

众数为2.3，中位数为2.0，平均数为2.0问题：在频率分布直方图中，我们如何来求出这三个数？

如

（2）频率分布直方图中的三数

1.众数

频率分布直方图中最高小长方形底边中点的横坐标.

上图中，众数为2.25.

1）原始数据中的众数不同，为什么？

在频率分布直方图，我们只能直观地看出数据的大概分布情况，从直方图本身得不出原始的数据内容，直方图已经损失一些样本信息。

由于小长方形的面积表示频率，所以取最高小长方形底边中点的横坐标作为众数

2）它有什么优缺点？

能够体现了样本数据的最大集中点，但它对其它数据信息的忽视使得无法客观地反映总体特征。

2.中位数

在样本中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数，因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可以估计中位数的值。所以

中位数：在频率分布直方图中，把频率分布直方图划分左右两个面积相等的分界线与x轴交点的横坐标称为中位数。

1）如何来操作？（求法）

在频率分布直方图中，从左向右或从右向左依次算出小长方形的面积之和，达到0.5时右边线与x轴交点的横坐标即为中位数

上图中，设中位数为x

02 .2

5.0

5.0

)2

(

22

.0

15

.0

08

.0 04

.0

=

=

⨯

-

+

+

+

+ x x

求出

中位数为2.02

2）此值与样本原始数据中的中位数不同，为什么？

从直方图本身得不出原始的数据内容，直方图已经损失一些样本信息。

3）中位数有什么优缺点？

样本中位数不受少数极端值的影响，这在某些情况下是一个优点，但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点。

举例说明：优点：对极端数据不敏感的方法能够有效地预防错误数据的影响。

对极端值不敏感有利的例子:例如当样本数据质量比较差，即存在一些错误数据（如数据录入错误、测量错误等）时，用抗极端数据强的中位数表示数据的中心值更准确缺点：（1）出现错误的数据也不知道；（2）对极端值不敏感有弊的例子：某人具有初级计算机专业技术水平，想找一份收入好的工作。这时如果采用各个公司计算机专业技术人员收入的中位数作为选择工作的参考指标就会冒这样的风险：

很可能所选择公司的初级计算机专业技术水平人员的收入很低，其原因是中位数对极小的数据不敏感。

3.平均数

是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.

1）为什么这样去求？

上面介绍过平均数为各个不同数字乘以相应频率之和。在频率分布直方图中，没有原始数据，我们取每个小矩形底边中点的横坐标代表各组数据的平均数。

2）以上图为例来讲解求解过程；

02

.2

02

.0

25

.4

04

.0

75

.3

06

.0

25

.3

14

.0

75

.225 .0

25

.2

22

.0

75

.1

15

.0

25

.1

08

.0

75

.0

04

.0

25

.0

=

⨯

+

⨯

+

⨯

+

⨯

+⨯

+

⨯

+

⨯

+

⨯

+

⨯

平均数为2.02

3）平均数估计总体情况有什么优缺点？