高中解析几何教学研究

二、高中解析几何教学思考
在解析几何教学中，实施思想结构分拆教学 策略，有助于学生形成完整、清晰、稳定、持久 、良序的认知结构和认知层次，使学生全面掌握 和灵活应用解析几何基本思想．分拆是手段，通 过分拆，扩散信息，展示思想结构的逻辑意义， 使学生对信息的检索更加容易进行，便于知识的 提取，能够清晰识别和领会思想方法；分拆的目 的在于整合，整合是目标，在几何问题代数化和 代数问题几何化之间建立高强度的联系，使学生 牢固观念．所以，思想结构分拆教学策略，重在 分拆，旨在整合．
(4)过原点的圆系：x a2 y b2 a2 b2或x2 y2 Dx Ey 0；
(5)过两已知圆交点的圆系：x2 y2 D1x E1y F1 x2 y2 D2x E2 y F2 0 不含C2 ； 或x2 y2 D2x E2 y F2 x2 y2 D1x E1y F1 0 不含C1 .(其中为参数)
几何
渐近线（双曲线）、准线、
线
抛物线
性质
离心率。（通径、焦半径）
几种常见的圆系：
(1)同心圆系：x
a2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y
b2
r2 a，r为参数或x2
y2
Dx
Ey
F
0
D，E为常数，F为 且D2 E2 4F 0
参数，
(2)圆心在x轴上的圆系：x a2 y2 r2a，r为参数或x2 y2 Dx F 0 D，F为参数，且D2 4F 0 ；
(3)圆心在x轴上的圆系：x2 y b2 r2 b，r为参数或x2 y2 Ey F 0 E，F为参数，且E2 4F 0 ；
直线与圆锥曲线的位置关系：
1.直线l：Ax
By
C
0，二次曲线C： Ax
By
f x, y
C 0
0的位置关系：交点个数与方程组有几组解一一对应，
其交点坐标就是方程组的解；2.弦长：AB 1 k 2 x1 x2 k为直线l的斜率
3.椭圆上M x0 ,
y0
点处的切线为：x0 x
a2
y0 y b2
一、高中解析几何起源
解析几何的产生对数学发展的影响
解析几何的建立第一次真正实现了几何方 法与代数方法的结合，使形与数统一起来，这是 数学发展史上的一次重大突破。作为变量数学发 展的第一个决定性步骤，解析几何的建立对于微 积分的诞生有着不可估量的作用。
二、高中解析几何教学思考
平面解析几何课程： 高中解析几何课程是一门以解析几何学的基 本内容和思想为背景材料，用代数方法研究平面 几何问题的学科．课程内容主要包括空间坐标系 、直线与圆的方程、圆锥曲线、参数方程与极坐 标等．这些内容是初中平面几何学习的继续、内 容的扩充、方法的提升，是初等代数演绎的载体 、应用的平台，是学生升入大学继续学习空间解 析几何、线性代数和微积分的基础．高中解析几 何课程在整个初等数学中占据非常重要的地位．
一、高中解析几何起源
笛卡尔
1637年，法国的哲学家和 数学家笛卡尔发表了他的著作 《方法论》，这本书的后面有 三篇附录，一篇叫《折光学》 ，一篇叫《流星学》，一篇叫 《几何学》。
笛卡尔的中心思想是建立 起一种“普遍”的数学，把算 术、代数、几何统一起来。
一、高中解析几何起源
笛卡尔及其著作
1637年迪卡尔写的《更好地指导推理和寻求科 学真理的方法论》（简称《方法论》），一书出 版，这是一本哲学的经典著作，包括三个著名的 附录：《几何》、《折光》和《陨星》。《几何 》是他写的唯一一本數学书，他关于坐标几何的 思想，就包括在这本《几何》中。其他著作有《 思想的指导法则》《世界体系》、《哲学原理》 和《音乐概要》等。
二、高中解析几何教学思考
高中解析几何既是一种重要的数学思想，也 是一种重要的数学方法，其核心是数形结合的思 想方法，这一思想方法在初等数学的其它领域也 有广泛的应用．同时，在解决解析几何问题过程 中，还要用初等数学中许多其它的思想方法，如 映射、化归、方程、函数、分类、变换、参数等 思想方法，高中解析几何可谓数学思想的“战场 ”．
截距式：x y 1 a 0,b 0 ab
和适用范围.
直
一般式：Ax By C 0AB 0
线 的
两直线平行
k1 k2，且b1 b2.或A1B2 A2B1且A1C3 A2C1.
方
平面内两条
两直线垂直
k1 k2 1或A1A2 B1B2 0.
程
位置关系
两直线相交
两直线斜交
k1 k2或A1B2 A2B1.
.
00，900 A1A2 B1B2
0
三、高中解析几何教学策略
圆的方程
标准方程：
以AB为直径圆方程：
（x-a）2+（y-b）2=r2
x x1x x2 y y1y y2 0
二元二次方程
一般方程：
Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0
x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)
一、高中解析几何起源
几何学的起源也十分久远，它产生于早期 人类的社会实践，从人类对实物形状的认识开 始。而促进几何学产生的直接原因与土地测量 与天文活动有关。
今天的“几何”（Geometry）一词，源于 希腊语，本意是指测量术。
早期文明中的几何学内容基本都是与几何 形体的度量计算以及测量有关。
一、高中解析几何起源
空间两点间距离、中点坐标公式
三、高中解析几何教学策略
几种常见的直线系：
(1)共点Px0，y0 直线系：y y0 k(x x0 )；特殊地y kx b表示过点(0，b)的直线系，不包括y轴.
(2)平行直线系：y kx b(k为参数)表示斜率为k的平行直线系；Ax By (为参数)表示与已知
二、高中解析几何教学思考
解析几何思想结构： 数形结合思想的教学是高中解析几何教学的 核心．但数形结合思想在解析几何课程内容中的 体现往往并不是显性的，并且，由于几何问题代 数化和代数问题几何化本身是融为一体的，这直 接导致学生对数形结合思想的理解处于一种模糊 状态，不能形成牢固的几何问题代数化和代数问 题几何化观念．
两直线重合
k1 k2，且b1 b2.或A1B2 A2B1且A1C3 A2C1.
点点距
P1P2 x2 x12 y2 y12 .
距离
点线距
d Ax0 By0 C A2 B2
两直线夹角
线线距
d C1 C2 A2 B2
tan
k1 k2 1 k1k2
A1B2 A1 A2
A2B1 B1B2
二、高中解析几何教学思考
解析几何核心概念的形成与课程知识结构教 学内容：
（1）曲线与方程概念形成过程——几何量算术化—构 造代数方程—求解轨迹方程—形成核心概念 （2）曲线与方程定义——存在性与完备性 （3）数形结合基本思想——几何问题代数化—代数问 题几何化—代数化与几何化统一 （4）解析几何基本原理——映射（化归） （5）解析几何知识结构——概念、思想、原理、研究 对象（曲线类型）及其关系教学方式：讲授，师生交流 、探索
二、高中解析几何教学思考
解析几何核心概念统领 高中解析几何是以曲线与方程概念为核心， 总体统领解析几何知识结构，曲线与方程概念是 数形结合思想方法的内核，也是直线方程、圆方 程、椭圆方程、双曲线方程、抛物线方程的上位 概念，解析几何知识结构直接依曲线与方程概念 而展开．因此，曲线与方程概念在解析几何知识 结构中居统领地位．
1；4.双曲线上M x0 ,
y0
点处的切线为：x0
a
x
2
y0 y b2
1
三、高中解析几何教学策略
曲线与方程
求曲线的方程 画方程的曲线
轨迹方程的求法：直接法、 定义法、相关点法、参数法
纯粹性与
求两曲线的交点
完备性
圆 锥
椭圆
定义及标准方程
范围、对称性、顶点、焦点、 长轴（实轴）、短轴（虚轴）
曲
双曲线
Ax By C 0平行的直线系；Bx Ay (为参数)表示与已知Ax By C 0垂直的直线系.
(3)过两直线交点的直线系：为参数A1x By1 C1 A2 x By2 C2 0不包括l2 ； A2 x By2 C2 A1x By1 C1 0不包括l1 .
三、高中解析几何教学策略
倾斜角与斜率
倾斜角α［00，1800） 和斜率k=tanα的变化
点斜式：y y0 kx x0
斜截式：y kx b
注意（1）截距可
直线方程
y y1 两点式：y2 y1
x x1 x2 x1
x1
x2 ,
y1
y2
正，可负，也可 为0；（2）方程 各种形式的变化
十六世纪以后，由于生产和科学技术的发 展，天文、力学、航海等方面都对几何学提出 了新的需要。比如，德国天文学家开普勒发现 行星是绕着太阳沿着椭圆轨道运行的，太阳处 在这个椭圆的一个焦点上；意大利科学家伽利 略发现投掷物体是沿着抛物线运动的。这些发 现都涉及到圆锥曲线，要研究这些比较复杂的 曲线，原先的一套方法显然已经不适应了，这 就导致了解析几何的出现。
对数论、解析几何、概率论 三个方面都有重要贡献。
一、高中解析几何起源
费马及其著作
1629年他写出了一本《平面和立体的轨迹论 》，书中说，他找到了一个研究有关曲线问题的 普方法。
费马把他的一般原理叙述为：“只在最后的 方程里出现两个末知量，我们就得到一个轨迹， 这两个量之一，其末端就描绘出一条直线或曲线 ”。
方 程
直线和圆的 位置关系
相切
0，或d r
1 k 2 x1 x2 2 4x1x2
相交
0，或d r
几何法：AB 2 r2 d 2
圆和圆的位 置关系
空间直角坐标系