鸽巢问题一

鸽巢问题一
同学们大家好，从今天开始，我们学习第五单元鸽巢问题。

你准备好了吗好，我们现在开始上课。

请同学们先来看例一。

把四支铅笔放进三个笔筒中，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有两只铅笔。

请你再把题读一次，这是为什么呢要想解决这个问题，我们首先要理解，总有一个笔筒里至少有2支铅笔这句话。

我们再思考这一句话中，总有和至少是什么意思对总有就是一定的意思。

至少就是最少的意思至少有两支铅笔，就是说最少有两支铅笔。

或者是说，铅笔的支数要大于或等于两支。

那你能现在说说，总有一个笔筒里至少有两支铅笔这句话的意思了吗对，这句话就是说，一定有一个笔筒里最少有两支铅笔，或者是说一定有一个笔筒里的铅笔数是大于或等于两支的。

你说对了吗那为什么总有一个笔筒里至少有两支铅笔呢请你静静思考一下。

老师提示一下大家，大家可以用摆一摆，画一画，剪一剪的方法，把自己的想法表示出来。

好，我们来看看这几种表示的方法。

我们最常用的方法就是用铅笔来摆一摆，一起来看，四支铅笔，三个笔筒。

我们可以把四支铅笔都放在左边的笔筒里。

:也可以在左边的笔筒里放三支，中间的笔筒里放一支，右边不放。

也可以在左边笔筒里放两支，中间笔筒里放两支，右边不放。

还可以在左边的笔筒里放2支，中间的笔筒里放1支，右边笔筒里1支。

这样我们就用有序思考的办法，发现共有四种摆法。

来看看这4种摆法，我们说说为什么总有一个笔筒里至少有两支铅笔吗
鸽巢问题（一）
【教学内容】
教科书第68页例1、69页例2。

【教学目标】
1．经历“鸽巢问题”的探究过程，初步了解“鸽巢问题”，会用“鸽巢问题”解决简单的实际问题或解释相关现象。

2．通过操作、观察、比较、说理等活动，使学生经历抽屉原理的形成过程，体会和掌握逻辑推理思想和模型思想。

3．通过“鸽巢问题”的灵活应用感受数学的魅力。

【学情分析】
《鸽巢问题》是一类较为抽象和难以理解的问题，对全体学生来说都具有一定的挑战性。

因此选择一些学生常见的、熟悉的事物，或者一些有趣、新颖的内容作为学习的素材，如坐凳子、玩扑克牌游戏。

以增强学生的学习积极性，建立鸽数学与生活的联系。

另外，根据学生爱动手的特点，让学生通过动手操作和直观观察，发现其中的规律，并能运用这一“模型”解决生活中的问题。

【教学重点】
经历“鸽巢问题”的探究过程，初步了解“鸽巢问题”。

【教学难点】
理解“鸽巢问题”，并对一些简单实际问题加以“模型化”。

【教学方法】
触景教学
【教具、学具准备】
每组都有相应数量的小棒、杯子。

教学过程：
一、触景生趣，触景生疑。

今天我非常想跟大家做个游戏。

游戏：老师组织学生做“抢凳子的游戏”。

请4位同学上来，摆开3张凳子。

老师宣布游戏规则：4位同学坐三张凳子，老师喊“开始”的时候，四个人每个人都必须坐在凳子上。

允许有不同的坐法。

（2，1，1）（3，1，0）（4，0，0）（2,2,0）
公布结论：总有一张凳子上至少坐了两个人。

理解总有和至少什么意思
为什么能做出准确的判断呢道理是什么这其中蕴含着一个有趣的数学原理，想知道这个原理吗今天我们就一起用小棒和杯子来探究这个原理。

二、触景探究
1.列举法
现在如果把5根小棒放在4个杯子里，可以怎么放，一共有几种不同的放法，放一放，看看你能从中发现什么
小组合作。

出示合作要求：1.把5根小棒放在4个杯子里，有几种放法分工合作，做好记录。

2.观察你记录的每种放法中，放得最多的杯中的小棒数量，你发现了什么
小组合作，师巡视辅导。

小组汇报，发现结论：总有一个杯子里至少放了两根小棒。

师：象这样把每种放法一一列举的方法，在数学中叫做列举法。

除了象这样把所有可能的情况都列举出来外，你能用更直接的摆法，只摆一种情况，就得到这样的结论吗
小组动手摆一摆并讨论交流。

找同学汇报：先把每个杯子里分一根小棒，剩下的一根不管放到哪个杯子里，那个杯子里就有2根。

2.假设法
先假设每个杯子里各放一根，这种叫什么分（平均分）
和学生一起探讨假设法。

师：你为什么一开始要平均分呢
平均分可以尽可能把小棒分散，保证每个杯子中的小棒尽可能少。

师：但这样只能证明总有一个杯子里肯定会有两根小棒，怎么能证明至少呢
平均分已经使每个杯子里的小棒尽可能少了，如果这样都符合要求，那别的分法就更符合要求了。

如果把6根小棒放在5个杯子里，还用一一列举吗（让学生用假设法得出结论）3.算式法
像这样假设先平均分，我们可以怎样来列算式表示那你们能不能把刚才的平均分用算式表示出来（学生说算式，课件展示）
如果把100根小棒放在99个杯子里，总有一个杯子里至少放（）根小棒。

怎样列式
探究到这里，你发现了什么
小棒比杯子多1时，总有一个杯子里至少放两根小棒。

至少数=商+余数
如果把7根小棒放在5个杯子里，先让同学猜测，再同桌之间进行实验验证。

强调指出：余数也要平均分。

才能保证至少的数量。

小组探究：9根小棒放在6个杯子里，
10根小棒放在5个杯子里呢
14根小棒放在3个杯子里呢
找同学说结论并讲道理。

2.综上观察，你发现了什么规律。

当小棒数比杯子数多时，把小棒放到杯子里，总有一个杯子里至少有“商+1”根小棒。

3.简单了解鸽巢问题的由来。

经过刚才的探索研究，我们经历了一个很不简单的思维过程，我把我们的这一发现，称为杯子问题。

但其实最早发现这个规律的不是我们，而是德国的一个数学家“狄里克雷”。

而且最早人们也不是从小棒和杯子中探究出来的这个规律，而是从两个有趣的事情中发现的。

我们来了解一下。

三、触景实践。

1.课件出示：，6只鸽子飞进5个鸽巢，至少有几只鸽子要飞进同一个鸽巢里。

为什么
学生独立思考，自主探究——交流，说理。

2.把10个苹果放进9个抽屉，你能确定什么为什么
学生独立思考——交流，说理。

3、从扑克牌中取出两张王牌，在剩下的52张中任意抽出5张，请大家猜测一下，同种花色的至少有几张如果抽取其中的14张牌，请大家猜测一下，同点数的至
少有几张如果抽取其中的15张牌，你能确定什么为什么
五、触景升华
谈谈你今天的感受和想法
师：说得太好了！我们要象狄里克雷一样，善于从生活中平凡的小事发现规律，善于团结合作。

你将成为一个充满智慧的人！
板书设计：鸽巢问题（杯子问题）
总有……至少……
列举法（待分物体）小棒数÷杯子数
至少数=商+1
假设法整除时至少数=商
《鸽巢问题》教学设计
教学内容：教材第68-69页例1、例2，及“做一做”。

学习目标：
1、了解“鸽巢问题”的特点，理解“鸽巢原理”的含义。

使学生用此原理解决简单的实际问题。

2、经历探究“鸽巢原理”的学习过程，体验观察、猜测、实验、推理等活动的学习方法，渗透数形结合的思想。

3、通过用“鸽巢问题”解决简单的实际问题，激发学生的学习兴趣，使学生感受数学的魅力。

教学重点：引导学生把具体问题转化成“鸽巢问题”。

教学难点：找出“鸽巢问题”的解决窍门进行反复推理。

教学准备：课件、铅笔、笔筒。

学习过程：
导入
师：我给大家表演一个“魔术”。

一副牌，取出大小王，还剩52张，你
们5人每人随意抽一张，我知道至少有2张牌是同花色的。

相信吗
师：解决这一类问题的理论依据就是“鸽巢问题”。

今天我们就一起来研究这一类问题。

（板书课题：鸽巢问题）
看到课题，你想知道哪些问题
二、出示目标
1、了解“鸽巢问题”的特点，理解“鸽巢原理”的含义。

2、通过用“鸽巢问题”解决简单的实际问题。

把具体问题转化成“鸽巢问题”。

3、找出“鸽巢问题”的解决窍门进行反复推理。

三、学习例1
1、思考：把4支铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有2支铅笔。

为什么呢
“总有”和“至少”是什么意思
理解关键词的含义：“总有”和“至少”是指把4支铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，一定有1个笔筒里的铅笔数大于或等于2支。

2、自学数学书P68例1，后思考回答下列问题：（1）、把4枝铅笔放进3个文具盒中，可以怎么放有几种情况第一种放法：第二种放法：
第三种放法：第四种放法：
（2）提出问题。

不管怎么放，总有一个文具盒里至少放进枝铅笔。

为什么
如果每个文具盒只放1枝铅笔，最多放3枝，剩下1枝还要放进其中的一个文具盒，所以至少有2枝铅笔放进同一个文具盒。

3、探究证明
方法一：用“枚举法”证明。

方法二：用“分解法”证明把4分解成3个数。

我们发现有（4,0,0）（0,1,3）（2,2,0）（2,1,1）四种不同的方法。

方法三：用“假设法”证明。

先放3支，在每个笔筒中放1支，剩下的1支就要放进其中的一个笔筒。

(平均分)
小结：把4只铅笔放进3个笔筒中，无论怎么放，总有1个笔筒至少放进2只铅笔。

（4）认识“鸽巢问题”
像上面的问题就是“鸽巢问题”，也叫“抽屉问题”。

在这里，4支铅笔是要分放的物体，就相当于4只“鸽子”，“3个笔筒”就相当于3个“鸽巢”
或“抽屉”，把此问题用“鸽巢问题”的言语描述就是把4只鸽子放进3个笼子，总有1个笼子里至少有2只鸽子。

这里“总有”指的是“一定有”或“肯定有”的意思；而“至少”指的是最少，即在所有的方法中，放的鸽子最多的那个“笼子”里鸽子“最少”的个数。

(5)做一做：
A、5个人坐4把椅子，总有一把椅子上至少坐2人。

为什么
B、实验小学六（1）班第一小组一共13位同学，一定至少有2名同学的生日在同一个月。

原理1：把n+1个物体任意放进n个空抽屉里（n是非0自然数），那么一定有1个抽屉中至少放进了2个物体。

5只鸽子飞进了3个鸽笼，总有一个鸽笼至少飞进了2只鸽子。

为什么小结：只要放的铅笔数比笔筒的数量多，就总有1个笔筒里至少放进2支铅笔。

如果放的铅笔数比笔筒的数量多2，那么总有1个笔筒至少放2支铅笔；如果放的铅笔数比笔筒的数量多3，那么总有1个笔筒至少放2支……只要放的铅笔数比笔筒数量多，就总有1个笔筒里至少放2支铅笔。

四、学习例2
思考：（1）把7本书放进3个抽屉，不管怎么放，总有1个抽屉里至少有3本书。

为什么呢（2）如果有8本书会怎样呢10本书呢
摆一摆，有几种放法。

归纳：不难得出，总有一个抽屉至少放进本。

说一说你的思维过程。

如果每个抽屉放2本，放了4本书。

剩下的1本还要放进其中一个抽屉，所以至少有1个抽屉放进3本书。

如果一共有7本书会怎样呢9本呢学生独立思考，寻找结果。

与同学交流思维过程和结果。

汇报结果，全班交流。

4. 你能用算式表示以上过程吗你有什么发现5÷2=2……1 （至少放本）7÷2=3……1 （至少放本）9÷2=4……1 （至少放本）
说明：先平均分配，再把余数进行分配，得出的就是一个抽屉至少放进的本数。

五、全课总结
通过这节课的学习，你有什么收获六、当堂练习
1、7只鸽子飞回5个鸽舍，至少有2只鸽子要飞进同一个鸽舍里。

为什么
想：如果每个鸽舍只飞进1只鸽子，最多飞回5只鸽子，剩下2只鸽子还要飞进其中的一个鸽舍或分别飞进其中的两个鸽舍。

所以至少有2只鸽子飞进同一个鸽舍。

2、8只鸽子飞回3个鸽舍，至少有3只鸽子要飞进同一个鸽舍里。

为什么
想：每个鸽舍飞进2只鸽子，共飞进6只鸽子。

剩下2只鸽子还要飞进其中的1个或2个鸽舍，所以，至少有3只鸽子要飞进同一个鸽舍里。

5个人坐4把椅子，总有一把椅子上至少坐2人。

为什么
随意找13位老师，他们中至少有2个人的属相相同。

为什么
教学反思：“鸽巢问题”是六年级下册内容，应用很广泛且灵活多变，可以解决一些看上去很复杂、觉得无从下手，却又是相当有趣的数学问题。

但对于小学生来说，理解和掌握“鸽巢问题”还存在着一定的难度。

通过课堂教学，感受颇深。

1．创设情境.从学生熟悉的游戏开始激发兴趣，兴趣是最好的老师。

2．建立模
型.本节课内容较难理解，所以根据小学生爱动手特点充分放手，让学生自主思考，回顾整节课我觉得在同学体验数学知识的发生过程中，总觉得这部分知识学生理解有一定难度，所以每次摆一摆，议一议的小组合作环节留的时间较多。

另外，虽然这节课中我跟学生的互动也比以前有较大的进步，但对于一些学生的精彩回答，还是表扬激励的不够。

总之，课上完后，还是感觉有很多不足，也请大家多提宝贵意见。

化抽象为具体。

3．在活动中引导学生感受数学的魅力。

注意渗透数学和生活的联系，并在游戏中深化知识。

《鸽巢问题》教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能通过数学活动让学生了解鸽巢原理，学会简单的鸽巢原理分析方法。

（二）过程与方法结合具体的实际问题，通过实验、观察、分析、归纳等数学活动，让学生通过独立思考与合作交流等活动提高解决实际问题的能力。

（三）情感态度和价值观在主动参与数学活动的过程中，让学生切实体会到探索的乐趣，让学生切实体会到数学与生活的紧密结合。

二、教学重难点教学重点：
理解鸽巢原理，掌握先“平均分”，再调整的方法。

教学难点：理解“总有”“至少”的意义，理解“至少数=商数＋1”。

三、教学准备多媒体课件。

四、教学过程
（一）游戏引入出示一副扑克牌。

教师：今天老师要给大家表演一个“魔术”。

取出大王和小王，还剩下52张牌，下面请5位同学上来，每人随意抽一张，不管怎么抽，至少有2张牌是同花色的。

同学们相信吗5位同学上台，抽牌，亮牌，统计。

教师：这类问题在数学上称为鸽巢问题（板书）。

因为52张扑克牌数量较大，为了方便研究，我们先来研究几个数量较小的同类问题。

【设计意图】从学生喜欢的“魔术”入手，设置悬念，激发学生学习的兴趣和求知欲望，从而提出需要研究的数学问题。

（二）探索新知1．教学例1。

（1）教师：把3支铅笔放到2个铅笔盒里，有哪些放法请同桌二人为一组动手试一试。

教师：谁来说一说结果预设：一个放3支，另一个不放；一个放2支，另一个放1支。

（教师根据学生回答在黑板上画图表示两种结果）教师：“不管怎么放，总有一个铅笔盒里至少有2支铅笔”，这句话说得对吗教师：这句话里“总有”是什么意思预设：一定有。

教师：这句话里“至少有2支”是什么意思预设：最少有2支，不少于2支，包括2支及2支以上。

【设计意图】把教材中例1的“笔筒”改为“铅笔盒”，便于学生准备学具。

且用画图和数的分解来表示上述问题的结果，更直观。

通过对“总有”“至少”的意思的单独说明，让学生更深入地理解“不管怎么放，总有一个铅笔盒里至少有2支铅笔”这句话。

（2）教师：把4支铅笔放到3个铅笔盒里，有哪些放法请4人为一组动手试一试。

教师：谁来说一说结果学生：可以放（4，0，0）；（3，1，0）；（2，2，0）；（2，1，1）。

（教师根据学生回答在黑板上画图表示四种结果）引导学生仿照上例得出“不管怎么放，总有一个铅笔盒里至少有2支铅笔”。

假设法（反证法）：教师：前面我们是通过动手操作得出这一结论的，想一想，能不能找到一种更为直接的方法得到这个结论呢小组讨论一下。

学生进行组内交流，再汇报，教师进行总结：如果每个盒子里放1支铅笔，最多放3支，剩下的1支不管放进哪一个盒子里，总有一个盒子里至少有2支铅笔。

首先通过平均分，余下1支，不管放在哪个盒子里，一定会出现“总有一个盒子里至少有2支铅笔”。

这就是平均分的方法。

（3）【设计意图】从另一方面入手，逐步引入假设法来说理，从实际操作上升为理论水平，进一步加深理解。

教师：把5支铅笔放到4个铅笔盒里呢引导学生分析“如果每个盒子里放1支铅笔，最多放4支，剩下的1支不管放进哪一个盒子里，总有一个盒子里至少有2支铅笔。

首先通过平均分，余下1支，
不管放在哪个盒子里，一定会出现“总有一个盒子里至少有2支铅笔”。

教师：把6支铅笔放到5个铅笔盒里呢把7支铅笔放到6个铅笔盒里呢……你发现了什么引导学生得出“只要铅笔数比铅笔盒数多1，总有一个盒子里至少有2支铅笔”。

教师：上面各个问题，我们都采用了什么方法引导学生通过观察比较得出“平均分”的方法。

【设计意图】让学生自己通过观察比较得出“平均分”的方法，将解题经验上升为理论水平，进一步强化方法、理清思路。

（4）教师：现在我们回过头来揭示本节课开头的魔术的结果，你能来说一说这个魔术的道理吗引导学生分析“如果4人选中了4种不同的花色，剩下的1人不管选那种花色，总会和其他4人里的一人相同。

总有一种花色，至少有2人选”。

【设计意图】回到课开头提出的问题，揭示悬念，满足学生的好奇心，让学生认识到数学的应用价值。

（4）练习教材第68页“做一做”第1题（进一步练习“平均分”的方法）。

5只鸽子飞进了3个鸽笼，总有一个鸽笼至少飞进了2只鸽子。

为什么2．教学例2（1）课件出示例2。

把7本书放进3个抽屉，不管怎么放，总有一个抽屉里至少放进3本书。

为什么先小组讨论，再汇报。

引导学生得出仿照例1“平均分”的方法得出“如果每个抽屉放2本，剩下1本不管放在哪个抽屉里，都会变成3本，所以总有一个抽屉里至少放进3本书。

”
（2）教师：如果把8本书放进3个抽屉，会出现怎样的结论呢10本呢11本呢16本呢教师根据学生的回答板书：7÷3=2……1 不管怎么放，总有一个抽屉里至少放进3本；8÷3=2……2 不管怎么放，总有一个抽屉里至少放进3本；10÷3=3……1 不管怎么放，总有一个抽屉里至少放进4本；11÷3=3……2 不管怎么放，总有一个抽屉里至少放进4本；16÷3=5……1 不管怎么放，总有一个抽屉里至少放进6本。

教师：观察上述算式和结论，你发现了什么引导学生得出“物体数÷抽屉数=商数……余数”“至少数=商数+1”。

【设计意图】一步一步引导学生合作交流、自主探索，让学生亲身经历问题解决的全过程，增强学习的积极性和主动性。

（三）巩固练习
1．11只鸽子飞进了4个鸽笼，总有一个鸽笼至少飞进了3只鸽子。

为什么2．5个人坐4把椅子，总有一把椅子上至少坐2人。

为什么
（四）课堂小结
教师：通过这节课的学习，你有哪些新的收获呢我们学会了简单的鸽巢问题。

可以用画图的方法来帮助我们分析，也可以用除法的意义来解答。