鸽巢问题

第五单元数学广角

——鸽巢问题

一、教材分析:

本教材专门安排“数学广角”这一单元,向学生渗透一些重要的数学思想方法。与以往的义务教育教材相比,这部分内容就是新增的内容。本单元教材通过几个直观例子,借助实际操作,向学生介绍“鸽巢问题”,使学生在理解“鸽巢问题”这一数学方法的基础上,对一些简单的实际问题加以“模型化”,会用“鸽巢问题”加以解决。在数学问题中,有一类与“存在性”有关的问题。在这类问题中,只需要确定某个物体(或某个人)的存在就就是可以了,并不需要指出就是哪个物体(或人)。这类问题依据的理论我们称之为“抽屉原理”。“抽屉原理”最先就是19世纪的德国数学家狄利克雷运用于解决数学问题的,所以又称“狄利克雷原理”,也称之为“鸽巢问题”。“鸽巢问题”的理论本身并不复杂,甚至可以说就是显而易见的。但“鸽巢问题”的应用却就是千变万化的,用它可以解决许多有趣的问题,并且常常能得到一些令人惊异的结论。因此,“鸽巢问题”在数论、集合论、组合论中都得到了广泛的应用。

“鸽巢原理”的变式很多,在生活中运用广泛,学生在生活中常常遇到此类问题。教学时,要引导学生先判断某个问题就是否属于“鸽巢原理”可以解决的范畴。能不能将这个问题同“鸽巢原理”结合起来,就是本次教学能否成功的关键。所以,在教学中,应有意识地让学生理解“鸽巢原理”的“一般化模型”。六年级的学生理解能力、学习能力与生活经验已达到能够掌握本章内容的程度。教材选取的就是学生熟悉的,易于理解的生活实例,将具体实际与数学原理结合起来,有助于提高学生的逻辑思维能力与解决实际问题的能力。

二、三维目标:

1、知识与技能:

引导学生通过观察、猜测、实验、推理等活动,经历探究“鸽巢原理”的过程,初步了解“鸽巢原理”的含义,会用“鸽巢原理”解决简单的实际问题。

2、过程与方法:

（1）经历探究“鸽巢原理”的学习过程,体验观察、猜测、实验、推理等

活动的学习方法,渗透数形结合的思想。

(2)学会与人合作,并能与人交流思维过程与结果。

3、情感态度与价值观:

(1)积极参与探索活动,体验数学活动充满着探索与创造。

(2)体会数学与生活的紧密联系,感受数学在实际生活中的作用,体

验学数学、用数学的乐趣。

(3)通过“鸽巢原理”的灵活应用,感受数学的魅力。

(4)理解知识的产生过程,受到历史唯物注意的教育。

三、教学重点:

应用“鸽巢原理”解决实际问题,引导学会把具体问题转化成“鸽巢问题。

四、教学难点:

理解“鸽巢原理”,找出”鸽巢问题“解决的窍门进行反复推理。

五、教学措施:

1、让学生经历“数学证明”的过程。可以鼓励、引导学生借助学具、实物操作或画草图的方式进行“说理”。通过“说理”的方式理解“鸽巢原理”的过程就是一种数学证明的雏形。通过这样的方式,有助于提高学生的逻辑思维能力,为以后学习较严密的数学证明做准备。

2、有意识地培养学生的“模型”思想。当我们面对一个具体的问题时,能否将这个具体问题与“鸽巢原理”联系起来,能否找到该问题中的具体情境与“鸽巢原理”的“一般化模型”之间的内在关系,找出该问题中什么就是“待分的东西”,什么就是“鸽巢”,就是解决问题的关键。教学时,要引导学生先判断某个问题就是否属于用“鸽巢原理”可以解决的范畴;再思考如何寻找隐藏在其背后的“鸽巢问题”的一般模型。这个过程就是学生经历将具体问题“数学化”的过程,从纷繁复杂的现实素材中找出最本质的数学模型,就是学生数学思维与能力的重要体现。

3、要适当把握教学要求。“鸽巢原理”本身或许并不复杂,但它的应用广泛且灵活多变。因此,用“鸽巢原理”解决实际问题时,经常会遇到一些困难。例如,有时要找到实际问题与“鸽巢原理”之间的联系并不容易,即使找到了,也很难确定用什么作为“鸽巢”,要用几个“鸽巢”。因此,教学时,不必过于要求学生“说理”的严密性,只要能结合具体问题,把大致意思说出来就可以了,鼓励学生借助实物操作等直观方式进行猜测、验证。

六、课时安排:3课时

鸽巢问题-------------------1课时

“鸽巢问题”的具体应用------1课时

练习课---------------------1课时

(2)得出结论。

通过以上两种方法都可以发现:7本书放进3个抽屉中,不管怎么放,总有1个抽屉里至少放进3本书。

学生通过“假设分析法→归纳总结”的学习过程来解决问题(二)。

(1)用假设法分析。

8÷3=2(本)、、、、、、2(本),剩下2本,分别放进其中2个抽屉中,使其中2个抽屉都变成3本,因此把8本书放进3个抽屉中,不管怎么放,总有1个抽屉里至少放进3本书。

10÷3=3(本)、、、、、、1(本),把10本书放进3个抽屉中,不管怎么放,总有1个抽屉里至少放进4本书。

(2)归纳总结:

综合上面两种情况,要把a本书放进3个抽屉里,如果a÷

3=b(本)、、、、、、1(本)或a÷3=b(本)、、、、、、2(本),那么一定有1个抽屉里至少放进(b+1)本书。

鸽巢原理(二):古国把多与kn个的物体任意分别放进n个空抽屉(k就是正整数,n就是非0的自然数),那么一定有一个抽屉中至少放进了(k+1)个物体。

三、巩固新知,拓展应用

1、完成教材第70页的“做一做”。学生独立思考解答问题,集体交流、纠正。

2、完成教材第71页练习十三的1-2题。学生独立思考解答问题,集体交流、纠正。

四、课堂总结

1、通过今天的学习您有什么收获？

2、回归生活:您还能举出一些能用“鸽巢问题”解释的生活中的例子不？

五、作业