三重积分的计算方法与例题
用截面法计算三重积分例题
用截面法计算三重积分例题使用截面法计算三重积分可以在简化计算过程中起到积极的作用。
以下是一个简单的例子，使用截面法计算三重积分：假设要计算函数 f(x, y, z) = 2x + 3y + 4z 的立体区域 D 上的三重积分，其中 D 是由平面 x + y + z = 1、x = 0、y = 0 和 z = 0 所围成的空间。
我们可以使用截面法来计算三重积分：1.选择先对 z 进行积分的顺序。
2.固定z，将D 投影到xy 平面上，得到在xy 平面上的投影区域 R。
3.寻找表示 xy 平面上的投影区域 R 的边界曲线方程。
4.对每个固定 z 的截面区域 R，计算对应的积分。
5.将每个截面的积分结果相加，得到最终的三重积分结果。
在这个例子中，我们可以选择先对 z 进行积分，然后对 x 和 y 进行积分。
1.首先，固定 z，将 D 投影到 xy 平面上。
由平面 x + y + z = 1投影到 xy 平面上，可以得到一个等边三角形区域 R。
该等边三角形的边界曲线方程为 y = 1 - x。
2.对于每个固定的z，在区域R 上计算对应的积分。
积分表达式为∫∫(2x + 3y + 4z) dxd y。
3.根据等边三角形区域R 的范围，可以将积分区域变换为直角坐标系下的积分区域。
4.在区域R 上计算积分，并将每个截面的积分结果相加，得到最终的三重积分结果。
请注意，实际应用中，具体的计算过程可能更复杂，而且积分顺序和变换可能会根据具体问题而有所变化。
因此，在具体求解时，请根据问题的要求和条件来确定合适的积分顺序和方法。
三重积分例题分析
方程变为
4
;
球面方程变为r
=
a,
区域变为＊
{(r,, ) | 0 2 ,0 ,0 r a},
4
故
I (x2 y2 z2 )dxdydz
r2 r2 sindrdd
2
d
4 sind
a r 4dr
0
0
0
2 a5
4 sind
1 a5(2
2).
50
5
(该题也可选择柱面坐标计算，请读者自行完成.)
3x+2y =1Ω2 和 x+y+z z = 6所围成的区域
6
x+y+z=6
y=0 0
.
2 z=0
4
x
6
6
y
计算 I f (x, y,z)dxdydz ：平面y=0 , z=0，3x+y =6,
3x+2y =1Ω2 和 x+y+z z = 6所围成的区域
y
6
6 x y
6
I dxdy0 f ( x, y,z)dz
0
x
zdxdydz zrdrddz
y
*
1
1r 2
rdrd 0 zdz
D
2
1
1r 2
0 d 0 rdr0 zdz
2 1 r (1 r 2 )dr
0
2
4
例例 83. 计算三重积分 z dxdydz。
其中 ：平面 x 1, x 2, y x, z 0,及
2z y 所围成的闭区域.
例1. 计算 xdxdydz, 其中是由平面x+y+z=1
与三个坐标面所围闭区域.
[理学]三重积分习题课ppt课件
![[理学]三重积分习题课ppt课件](https://img.taocdn.com/s3/m/4ee4da0b856a561253d36fa0.png)
2Rcos r 2 cos2 r 2 sindr
0
3
2
d
3 d
R
r
2
cos
2
r
2
s
in
dr
0
0
0
59 R5 480
解法2：利用柱面坐标计算。
由于 在 x平oy面的投影区域
故在柱面坐标下，
D xy
:
x2
；y 2
3R2 4
: R R2 r2 z R2 r2 , 0 r 3R , 0 2 2
主要内容
三重积分
一、三重积分的概念
n
1．定义:
f (x,
y,
z)dv lim 0 i1
f (i ,
i ,
i )vi
2．物理意义: M (x, y, z)dv
表示体密度为 ( x, y, z) 的空间物体 的质量。
二、三重积分的性质
三、三重积分的计算方法
1．利用直角坐标计算
f (x, y, z)dv f ( x, y, z)dxdydz
e z tan(x 2 y3 )dv 3dv
0 3dv 3
[e z tan(x 2，y 3 ) 3]dv z 1
o
y
1
x
于是有
z2dxdydz
2
d
3R
2 dr
R2 r2 z2 rdz
0
0
R R2 r2
2
3R
2 r[( R2 r 2 )3 2 ( R R2 r 2 )3 ]dr
30
59 R5 480
解法3：用“先二后一”法计算。
用平面 z R将积分区域
2
划分为两部分：
三重积分先二后一例题
三重积分先二后一例题篇一：三重积分是一种数学工具，可以用来计算面积、体积和其他一些空间量度。
在求解某些三重积分问题时，常常需要按照“先二后一”的方法进行求解。
具体来说，“先二”指的是先计算两个二维积分，即二维平面的面积和体积，再将其代入到三重积分中。
“后一”指的是在计算完两个二维积分后，再计算一个一维积分，即直线的长度或角度，并将其代入到三重积分中。
下面以一个例子来说明“先二后一”的求解方法。
假设要计算以下三重积分: ∫∫∫ f(x, y, z) · dx · dy · dz其中 f(x, y, z) 是一个关于 x、y、z 的函数。
按照“先二后一”的方法，可以先计算两个二维积分，即∫∫ f(x, y, z) · dx · dz = A(x, z)∫∫ f(x, y, z) · dy · dz = B(y, z)其中 A(x, z) 和 B(y, z) 分别是两个二维平面的面积和体积，可以通过几何计算得到。
接下来，将这两个二维积分代入到三重积分中，得到∫∫∫ f(x, y, z) · dx · dy · dz = A(x, z) ·∫∫ f(x, y,z) · dy · dz + B(y, z) ·∫∫ f(x, y, z) · dx · dz最后，再计算一个一维积分，即∫∫ f(x, y, z) · dx · dz = f(x, y, z) · (|x - y| + |z - z|) 并将其代入到三重积分中，即可计算出结果。
除了“先二后一”的方法外，三重积分还有一些其他求解方法，比如“先一后二”、“先二后三”等。
这些方法在实际求解过程中都有不同的适用场景，需要根据具体情况进行选择。
篇二：三重积分是一种数学工具，可以用来计算面积、体积和其他类似的量。
高等数学三重积分例题
高等数学三重积分例题一、计算三重积分∭_varOmega z dV，其中varOmega是由锥面z = √(x^2)+y^{2}与平面z = 1所围成的闭区域。
1. 利用柱坐标计算在柱坐标下x = rcosθ，y = rsinθ，z = z，dV = rdzdrdθ。
锥面z=√(x^2)+y^{2}在柱坐标下就是z = r。
由锥面z = r与平面z = 1所围成的闭区域varOmega，其在柱坐标下的范围为：0≤slantθ≤slant2π，0≤slant r≤slant1，r≤slant z≤slant1。
2. 计算积分则∭_varOmegaz dV=∫_0^2πdθ∫_0^1rdr∫_r^1zdz。
先计算关于z的积分：∫_r^1zdz=(1)/(2)(1 r^2)。
再计算关于r的积分：∫_0^1r×(1)/(2)(1 r^2)dr=(1)/(2)∫_0^1(rr^3)dr=(1)/(2)((1)/(2)-(1)/(4))=(1)/(8)。
最后计算关于θ的积分：∫_0^2πdθ = 2π。
所以∭_varOmegaz dV=(1)/(8)×2π=(π)/(4)。
二、计算三重积分∭_varOmega(x + y+z)dV，其中varOmega是由平面x = 0，y = 0，z = 0及x + y+z = 1所围成的四面体。
1. 利用直角坐标计算对于由平面x = 0，y = 0，z = 0及x + y + z=1所围成的四面体varOmega，其范围为0≤slant x≤slant1，0≤slant y≤slant1 x，0≤slant z≤slant1 x y。
则∭_varOmega(x + y + z)dV=∫_0^1dx∫_0^1 xdy∫_0^1 x y(x + y + z)dz。
2. 计算积分先计算关于z的积分：∫_0^1 x y(x + y+z)dz=(x + y)z+(1)/(2)z^2big|_0^1 x y=(x + y)(1 x y)+(1)/(2)(1 x y)^2展开得x + y-(x^2+2xy + y^2)+(1)/(2)(1 2x 2y+x^2+2xy + y^2)进一步化简为x + y x^2-2xy y^2+(1)/(2)-x y+(1)/(2)x^2+xy+(1)/(2)y^2即(1)/(2)-x^2-xy (1)/(2)y^2。
第三节三重积分的计算方法
解 将 向 xoy 面作投影,则
: 0 x 1,0 y 1 x ,0 z 1 x 2y
2
1
1 x
1x2 y
xdxdydz 0 dx0 2 dy0 xdz
1
1 x
dx 2 x(1 x 2y)dy 00
1 1(x 2x2 x3)dx 1
40
48
计算三重积分时也要注意积分次序的选择
P
常数 过 z 轴的半平面
z 常数 平行于xoy面的平面
体积元素 dv rdrddz
这是因为: 如果用三组坐标面划分 ,大部分子域为小柱体, 近似看作长方体,则:
f (x, y, z)dv f (r cos , r sin , z)rdrddz
化成三次积分
前面例2 计算 zdxdydz
: 0 2 ,0 ,0 r R,
z2dv
2
d
d
R r 2 cos2 r 2 sin2 dr
0
0
0
R5
2
d
cos2 sin d
50
0
4 R5
15
例4 计算 x2dv 其中 由 z x2 y2 与 z R2 x2 y2 围成.
: 0 2 ,0 ,0 r R,
例2 计算 zdxdydz
其中 由 z x2 y2 及 z 4 围成
: 2 x 2, 4 x2 y 4 x2 , x2 y2 z 4,
zdxdydz
2
4x2
4
dx dy zdz
2 4x2
x2 y2
64
3
计算过程繁琐
能否把极坐标结合到空间坐标系内?
4 柱面坐标系
0
0
5
三重积分习题课(一)
f ( x,
y , z )dxdydz dz f ( x , y , z )dxdy
c1 Dz
c2
2．利用柱面坐标计算 若 {(,
, z ) | z1 (, ) z z 2 (, ), 1 () 2 (), }
: r z 0r R2 r 2 , 2 R, 0 2 2
.
4
x
o
y
故有
zdxdydz
2 0
d
2 R 2 0
dr
R2 r 2 r
zrdz
2
2 R 2 0
1 1 2 2 R 4 r ( R 2r )dr 8 2
2 0
0
R
59 R 5 480
解法2：利用柱面坐标计算。
2 3 R 2 2 由于 在 xoy 平面的投影区域 D xy : x y 4
；
故在柱面坐标下，
3R : R R r z R r , 0 r , 0 2 2
2 2 2 2
于是有
z
2
dxdydz
解法二:利用球面坐标计算
zdxdydz
d sin cos d r 3dr 0
4 0
R
1 R 4 8
注：从上面两种解法的过程来看，虽然本题可用两种方法 来计算，但利用柱面坐标计算相对简便。
2 2 2 I ( x y z )dxdydz，其中 是由球面 【例7】求
其中 为平面 x 0 ，
z 0 ，x y z 1 ，所围成的四面体。 y 0，
解: （如图）在平面 xoy 上的投影域 D xy
三重积分的各种计算方法
x 2 + y 2 dz
= dx
−1
1
1− x 2
− 1− x 2
x 2 + y 2 (1 − x 2 + y 2 )dy
=
6
（注：可用柱坐标计算。 ）
解法二： “截面法” 1. 画出 。
0 2 : 0 r z 0 z 1
2. z [0,1] 过点 z 作垂直于 z 轴的平面截 得 D z ： x 2 + y 2 z 2
c1
c2
完成“后一”这一步，即
f ( x, y, z)dxdydz = [ f ( x, y, z ) d ] dz
c1 Dz
c2
当被积函数 f ( z ) 仅为 z 的函数（与 x，y 无关） ，且 D z 的面积 ( z) 容易求出时， “截 面法”尤为方便。
_____________________________________________________________________
0 2 Dz ： 0 r z
下面用柱坐标计算积分结果 3. 计算：
x + y dxdydz = [ x 2 + y 2 dxdy ]dz
2 2 0 Dz
1
= [ d r 2 dr ]dz
0 0 0
1
2
z
1 2 z = 2 [ r 3 ]0 dz = z 3dz 3 3 0 0
2 2
三重积分的计算方法例题：
补例 1：计算三重积分 I
= zdxdydz ，其中 为平面 x + y + z = 1 与三个坐标面 x = 0，y = 0，z = 0
三重积分的计算方法例题
三重积分的计算方法例题摘要：一、三重积分的概念及应用场景二、三重积分的计算方法1.重积分的计算2.重积分的换元法3.重积分的性质4.重积分的几何意义三、实例解析四、总结与拓展正文：一、三重积分的概念及应用场景三重积分是一种多元函数的积分形式，通常表示为对空间中一个几何体内部的属性进行积分。
它在物理学、工程学、经济学等领域具有广泛的应用。
三重积分的计算方法有多种，包括重积分、换元法等。
二、三重积分的计算方法1.重积分的计算重积分是指对一个空间函数在某个区域内的值进行积分。
求解重积分的过程通常包括以下步骤：确定被积函数、确定积分区域、选择积分顺序、进行积分计算。
2.重积分的换元法重积分的换元法是一种求解重积分的高效方法。
通过引入一个新的变量，将复杂的重积分问题转化为简单的一重积分问题。
换元法的关键在于选择合适的换元函数，使得积分过程变得简洁。
3.重积分的性质重积分具有线性、可交换、满足乘法公式等性质。
这些性质使得重积分在实际计算中具有很好的灵活性，可以简化计算过程。
4.重积分的几何意义重积分在几何上的意义是对一个立体图形的质量进行求解。
具体来说，重积分可以表示为空间曲线长度、曲面面积或体积的函数。
这为求解空间几何问题提供了理论依据。
三、实例解析以一个球体的体积为例，介绍三重积分的计算过程。
设球体的半径为R，球体的密度为ρ。
我们需要求解球体内部某一区域内质量的分布。
1.确定被积函数：球体内部的密度函数，即ρ(x, y, z)。
2.确定积分区域：球体内部，用球坐标系表示为x^2 + y^2 + z^2 <R^2。
3.选择积分顺序：先对z积分，再对y积分，最后对x积分。
4.进行积分计算：利用重积分公式，计算出球体内部的质量分布。
四、总结与拓展本文详细介绍了三重积分的计算方法，包括重积分、换元法等。
通过实际应用场景和实例解析，加深了对三重积分的理解。
在实际问题中，三重积分有着广泛的应用，掌握其计算方法有助于解决诸多实际问题。
三重积分计算详解例题
三重积分计算详解例题当我们进行三重积分计算时，通常会遇到一个三维空间中的函数，我们希望求解该函数在某个特定区域上的体积、质量、质心等物理量。
下面我将以一个具体的例题来详细解释三重积分的计算过程。
假设我们要计算函数f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2在球体x^2 + y^2 + z^2 <= 1上的体积。
首先，我们需要确定积分的顺序，由于球体的形状对称性较好，我们选择球坐标系进行积分。
球坐标系下，积分区域为0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ π, 0 ≤ φ ≤ 2π。
接下来，我们可以按照r、θ、φ的顺序进行积分。
首先对r进行积分，然后是θ，最后是φ。
具体的计算过程如下：∫∫∫(球体内部) x^2 + y^2 + z^2 dV = ∫[0, 2π] ∫[0, π] ∫[0, 1] (r^2) r^2 sin(θ) dr dθ dφ。
其中，dV = r^2 sin(θ) dr dθ dφ是球坐标系下的体积元素。
对r进行积分后得到，∫[0, 2π] ∫[0, π] ∫[0, 1] r^4sin(θ) dr dθ dφ = 2π ∫[0, π] sin(θ) dθ ∫[0, 1]r^4 dr.继续计算可得，2π (-cos(π) + cos(0)) (1/5) = 2π (2) (1/5) = 4π/5。
因此，函数f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2在球体x^2 + y^2+ z^2 <= 1上的体积为4π/5。
这就是对三重积分计算的详细解释。
在实际应用中，我们可以根据具体情况选择合适的坐标系和积分顺序，通过逐步积分来求解体积、质心等物理量。
希望这个例题能够帮助你更好地理解三重积分的计算过程。
三重积分的体积计算问题
三重积分的体积计算问题三重积分是高等数学中的一个重要概念，它是对三维空间内的某一物理量进行计算的方法之一。
而在实际应用中，三重积分的体积计算问题也经常被人们所关注。
在本文中，我将探讨三重积分的体积计算问题，并结合一些具体例子，阐述三重积分在实际计算中的应用。
一、三重积分的定义在了解三重积分的体积计算问题之前，先让我们回顾一下三重积分的基本定义。
三重积分是对三维空间内某一物理量进行计算的一种方法。
它的定义可以表示为：$$\iiint\limits_D f(x,y,z) \mathrm{d}V$$其中，$D$ 表示积分区域，$f(x,y,z)$ 表示要计算的物理量，$\mathrm{d}V$ 表示体积微元。
在三重积分中，积分区域 $D$ 可以是任何形状的三维空间区域，如长方体、球体、圆柱体、锥形等等。
二、三重积分的体积计算方法在三重积分中，如果要计算一个区域 $D$ 所包含的体积，可以使用以下公式：$$V=\iiint\limits_D \mathrm{d}V$$这个公式的意思就是对积分区域 $D$ 中的所有体积微元$\mathrm{d}V$ 进行累加，从而得到整个区域 $D$ 的体积。
当积分区域 $D$ 为长方体时，我们可以使用以下公式来计算体积：$$V=\int_a^b \int_c^d \int_p^q\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z$$其中 $a、b、c、d、p、q$ 分别为长方体的六个面的坐标值。
当积分区域 $D$ 为球体时，我们可以使用以下公式来计算体积：$$V=\iiint\limits_D \mathrm{d}V=\int_0^{2\pi}\int_0^\pi \int_0^rr^2 \sin\theta\mathrm{d}\theta\mathrm{d}\phi\mathrm{d}r$$其中，$\theta$ 和$\phi$ 分别为球面坐标系中的极角和方位角，$r$ 为球体的半径。
三重积分的计算
dx
a
y ( x ) d y z ( x, y )
1
z2 ( x, y )
f ( x, y, z )d z
投影法
d xd y
D
z2 ( x, y ) z1 ( x , y )
f ( x, y, z )d z
当被积函数在积分域上变号时, 因为
f ( x, y , z )
o y ( x, y,0) x
如图所示, 在柱面坐标系中体积元素为
d v d d d z
因此
z
d
f ( x, y, z)dxd ydz
d d d z
z
o x d d
d dz
y
其中 F ( , , z ) f ( cos , sin , z )
f ( x, y, z ) d xd yd z * F (u, v, w) J
对应雅可比行列式为 J ( x, y, z ) (u , v, w)
dudvdw
练习
1. 将 I
f ( x, y, z ) d v 用三次积分表示,其中由
六个平面 x 0 , x 2 , y 1, x 2 y 4 , z x , z 2 所
f ( x, y , z ) f ( x, y , z ) f ( x, y , z ) f ( x, y , z ) 2 2 f1 ( x, y, z ) f 2 ( x, y, z )
均为非负函数 根据重积分性质仍可用前面介绍的方法计算.
小结: 三重积分的计算方法 方法1. “先一后二”
n
记作
f ( x, y, z)dv
三重积分的计算及重积分的应用
同理可得 设曲面的方程为：xg(y,z) 曲面面积公式为：
A 1(x)2(x)2dydz
Dyz
y z
设曲面的方程为： yh(z,x) 曲面面积公式为：
A 1(y)2(y)2dzdx
Dzx
z x
例3 求球面 z a2x2y2 被平面 zh(0ha)所截的球冠的面积。
其中由曲面 zx2y2,yx2 及平面 y1,z0
所围成的闭区域 .
z
提示: 积分域为
0zx2y2
: x2 y1
1x1
1
1
x2 y2
原式 d x d y f (x, y,z)dz
1
x2
0
x
y
P183 题8(3)计算三重积分
(y2z2)dv, 其中是由
a
a2 x2 y2
1(z)2 (z)2 x y
a a2 x2 y2
D :x2y2a2h2
A 1(z)2(z)2d
a
dxdy
D
x y
D a2 x2 y2
2
a2h2
d
a rdr
0
0
a2r2
2a(ah)
2aH(Hah)
A2a(ah) A2aH
半球面面积：
A lim 2 a (a h ) 2 a 2 h 0
球面面积：
A4a2
例4 求圆锥面 z x2 y2 被圆柱面 x2 y2 x 所截部分的面积。
所求曲面：z x2 y2 投影区域： D:x2y2x
z x
x x2 y2
z y
y x2 y2
A 1(z)2(z)2d
三重积分的计算方法与例题
三重积分的计算方法：三重积分的计算是化为三次积分进行的。
其实质是计算一个定积分（一重积分）和一个二重积分。
从顺序看：如果先做定积分⎰21),,(z z dz z y x f ，再做二重积分⎰⎰Dd y x F σ),(，就是“投影法”，也即“先一后二”。
步骤为：找Ω及在xoy 面投影域D 。
多D 上一点（x,y ）“穿线”确定z 的积分限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影域D 上的二重积分，完成“后二”这一步。
σd dz z y x f dv z y x f Dz z ⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω=21]),,([),,(如果先做二重积分⎰⎰zD d z y x f σ),,(再做定积分⎰21)(c c dz z F ，就是“截面法”，也即“先二后一”。
步骤为：确定Ω位于平面21c z c z ==与之间，即],[21c c z ∈，过z 作平行于xoy 面的平面截Ω，截面z D 。
区域z D 的边界曲面都是z 的函数。
计算区域z D 上的二重积分⎰⎰zD d z y x f σ),,(，完成了“先二”这一步（二重积分）；进而计算定积分⎰21)(c c dz z F ，完成“后一”这一步。
dz d z y x f dv z y x f c c D z]),,([),,(21σ⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω=当被积函数f （z ）仅为z 的函数（与x,y 无关），且z D 的面积)(z σ容易求出时，“截面法”尤为方便。
为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系计算的问题。
可以按以下几点考虑：将积分区域Ω投影到xoy 面，得投影区域D(平面)（1） D 是X 型或Y 型，可选择直角坐标系计算（当Ω的边界曲面中有较多的平面时，常用直角坐标系计算）（2） D 是圆域（或其部分），且被积函数形如)(),(22xyf y x f +时，可选择柱面坐标系计算（当Ω为圆柱体或圆锥体时，常用柱面坐标计算）（3）Ω是球体或球顶锥体，且被积函数形如)(222z y x f ++时，可选择球面坐标系计算以上是一般常见的三重积分的计算方法。
每日一题327：三重积分计算的五种常用思路、方法及典型题分析
每日一题327：三重积分计算的五种常用思路、方法及典型题分析练习题【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！练习327 ：计算三重积分其中积分区域为：先自己思考，动手尝试探索一下解题思路与解题过程，写写解题步骤，然后再对照下面的答案！【注1】每日一题参考解答思路一般不仅仅是为了解题，而重在分享、拓展思路，更多重在基本知识点的理解、掌握与应用！参考解答一般仅提供一种思路上的参考，过程不一定是最简单的，或者最好的，并且有时候可能还有些许小错误！希望在对照完以后，不管是题目有问题，还是参考解答过程有问题，希望学友们能不吝指出！如果有更好的解题思路与过程，也欢迎通过公众号会话框或邮件以图片、或Word文档形式发送给管理员，管理员将尽可能在第一时间推送和大家分享，谢谢！【注2】每日一题题目并非咱号完全原创，一般来自各类参考书或网络资源，由学友改编、整理并由咱号免费推送分享。
练习参考解答【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！练习327 ：计算三重积分其中积分区域为：【参考解答】：【思路一】由积分区域为上半球域，被积函数有两项的平方和，考虑球坐标方法计算三重积分. 建立球坐标变换如下则依据建立的球坐标系，可知积分域的球坐标变量范围为所以由三重积分的球坐标计算公式，得【思路二】由积分区域为上半球域，用平行于面的平面截取所得区域为圆域，即且. 又被积函数包含有项，故可以考虑先二后一的截面法计算三重积分. 并且二重积分由于积分区域为圆域，并且包含项，故可考虑极坐标方法，故得【思路三】由积分区域为上半球面和面围成，所以为简单的型区域，故可以考虑三重积分先一后二的投影法来计算三重积分，并且在面上的投影区域为根据投影区域的图形特征和被积函数包含有项，故对于后面的二重积分考虑极坐标方法计算，故得【注】：对于先一后二方法，如果先不计算定积分，直接将三重积分写成二重积分用极坐标描述的累次积分表达式，并且将的积分上下限和被积函数中的变量用极坐标变量描述，即则积分方法即为三重积分的柱坐标计算方法. 对于柱坐标、球坐标变换计算方法其实就是三重积分的换元法. 比如由球坐标变换关系式可得雅克比行列式的绝对值为故由三重积分换元法公式可以得到三重积分的球坐标计算公式，类似有柱坐标变换的换元结果.关于三重积分计算的一般思路与方法的详细分析与讨论可以参见视频课堂“《高等数学》解题思路与典型考题解析”课程中的“三重积分计算的一般思路与方法及三种坐标系下积分的计算步骤”章节中的五个教学视频：·第1节：三重积分计算的一般思路与步骤·第2节：计算三重积分的“先一后二”投影法的思路与步骤实例分析·第3节：柱坐标系中计算三重积分的思路与步骤实例分析·第4节：计算三重积分的“先二后一”截面法的思路与步骤实例分析·第5节：球坐标系中计算三重积分的思路与步骤实例分析另外在“第四届、第八届、第九届全国大学生数学竞赛预赛非数学类试题解析”等在线课堂对三重积分的柱坐标、球坐标和换元法分别进行了深入的分析与探讨！。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
三重积分的计算方法：
三重积分的计算是化为三次积分进行的。
其实质是计算一个定
积分(一重积分)和一个二重积分。
从顺序看：
Z
2
如果先做定积分f(x, y,z)dz，再做二重积分F(x,y)肚，就是“投
Z i D
影法；也即“先一后二。
步骤为：找。
及在xoy面投影域D。
多D上一点(x,y) “穿线”确定的积分限，完成了“先一”这一步(定积分)；进而按二重积分的计算步骤计算投影域D上的二重积分，完成“后二”
Z
2
这一步。
f(x, y,z)dv 二[f(x, y,z)dz]d二
Q D z i
C2
如果先做二重积分f(x,y,z)d匚再做定积分F(z)dz，就是“截面
D z c i
法；也即“先二后一。
步骤为：确定。
位于平面Z = C i与Z = C2之间，即
z・[C i,C2]，过z作平行于xoy面的平面截门，截面D z。
区域D z的边
界曲面都是z的函数。
计算区域D z上的二重积分..f(x,y,z)d二，完成
D z
C2
了“先二”这一步(二重积分)；进而计算定积分J F(z)dz，完成“后一”
C i
C2
这一步。
川f(x, y,z)dv = [ f (x, y,z)d；「]dz
Q C i D z
当被积函数f (z)仅为z的函数(与x,y无关)，且D z的面积二⑵
容易求出时，“截面法”尤为方便。
为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系计算的问题。
可以按以下几点考虑：将积分区域「投影到xoy面，得投影区域D(平
面)
(1)D是X型或丫型，可选择直角坐标系计算(当「的边界曲面中
有较多的平面时，常用直角坐标系计算)
(2)D是圆域(或其部分)，且被积函数形如f(x2y2), f(^)时,
x 可选择柱面坐标系计算(当「为圆柱体或圆锥体时，常用柱面
坐标计算)
(3)「是球体或球顶锥体，且被积函数形如f(x2 y2 z2)时，可选
择球面坐标系计算
以上是一般常见的三重积分的计算方法。
对-向其它坐标面投影或门不易作出的情形不赘述。
三重积分的计算方法小结：
1. 对三重积分，采用“投影法”还是“截面法'要视积分域门及被积函数f(x,y,z)的
情况选取。
一般地，投影法(先一后二)：较直观易掌握；
截面法(先二后一)：D z是门在z处的截面，其边界曲线方
程易写错，故较难一些。
特殊地，对D z积分时，f(x,y,z)与x,y无关，可直接计算S°z。
因而门中只要z- [a,b],且f(x,y,z)仅含z时，选取“截面法”更佳。
2. 对坐标系的选取，当「为柱体，锥体，或由柱面，锥面，旋转抛物面与其它
曲面所围成的形体；被积函数为仅含 z或zf(x2 y2)时，可考虑用柱
面坐标计算。
重积分的计算方法例题:
补例1:计算三重积分I = zdxdydz,其中门为平面x y 1与三个坐标面
x = 0, y =0,z =0围成的闭区域。
解1 “投影法”.画出门及在xoy面投影域D. 2.
0 _ x _1
门：0乞y乞1 一 x
0_z_1-x-y
3. 计算
D z是两直角边为x,y的直角三角形，x = 1 - z, y=1-z
3.计算
1 1 1
I = JJJ zdxdydz = J[ JJzdxdy]dz =
Jz[ JJdxdy]dz = JzS D z dz
Q 0 D z0 D z0
「z(1xy)dz=.z1(1-z)(1-z)dzg(z-2z2z3)dz±
0 2
2 2
24
X 型D: 0‘X /
0兰y兰1 — x
1 1 -x 1 -x . y
I i n zdxdydz= j dx dy
Q 0 0
1 1 _x 1
zdz二dx 1(1—x—y)2dy = 2 [(1 — x)2y — (1 — x)y2
0 0
2 2
1 3[
v]
1-x
0 dx
2(1_x)3dx T x x2X3」X4
2 4 ]o 24
解2 “截面法”画出门。
2.[0,1]过点z作垂直于z轴的平面截门得D z。
补例2 :计算H I v x 2 y 2dv ，其中门是x 2 • y 2 =z 2和z=1围成的闭区域
解1 “投影法”
得 x 2 • y 2 = 1 即 D: x 2 • y 2 二 1 ‘一1兰x 乞1
0「一十j —x 2 兰 y 兰 丫1 一 x 2
J x 2
+ y 2
兰 z 兰1
3.计算
______ 1 、1-x 1 ______ 1 <1 -x 2 _____ __________ x 2 y 2dv 二 dx dy 、x 2 y 2 dz 二 dx x 2 y 2 (1 _ x 2 y 2 )dy 二一
Q 4 4口 4 口 6
注：可用柱坐标计算
解2 “截面法”
1.画出门。
2.
[0,1]过点z 作垂直于z 轴的平面截门得Dz ：x 2，y 2^z 2
「0兰日兰2兀 Dz :丿
卫兰r 兰z
工0 一 二 一 2 二
用柱坐标计算 0 ：« 0兰r 兰z 少乞z 兰1
1.画出门及在xoy 面投影域D.
2y 2
消去z ，
2. “穿线”x 2 • y 2乞z 乞1，
"―1兰x 兰1
厂 J 1 一 x 2 兰 y 兰 *
一1 - x 2
Z
3.计算
补例3 :化三重积分I 二
f (x,y,z)dxdydz 为三次积分，其中门：
Q
z =x 2
2y 2
及z=2-x 2
所围成的闭区域。
解：1.画出门及在xoy 面上的投影域D.
』z = x 2 + 2y 2
?=2-x 2 消去 z ，得 x 2 + y 2
=1
—*1—x 兰y 兰』1 — x
—1兰x 兰1
* -幺 _x 2 兰 y 兰 ^1- x 2 2丄小 2 / /小 2 x +2y 兰 z 兰2 —x
1 1-x 2
2-x 2
3 •计算 I =
f (x, y, z)dxdydz 二 dx dy f (x, y,
z)dz
注：当f (x, y, z)为已知的解析式时可用柱坐标计算
补例4:计算HI zdv ，其中门为z = 6 - x 2 - y 2及z 二、x y 2所围成的闭区域
Q
in ... x 2 y 2dv Q
1
二[11:. x 2 y 2dxdy]dz 二
0 D z
1
2二 z
1
2
I 3 z
[dr r d 门dz 二 2二[-r ]o dz 二
z 3dz 二—
3 o -
即 D : x 2 y 2 <1 2.“穿线”x 2 2y 2 _ z _ 2 - x 2
由
‘0兰日兰2兀 02: * 0 兰 r 兰 \ 6 — z
2 6
解1 “投影法”
1.画出i 】及在xoy 面投影域D ,用柱坐标计算
x = r COS T
由* y = rsi n T 化0的边界曲面方程为：z=6-r 2 ,
心「2得r =2
••D : r 兰2即丿
“穿线”
6 _12
1 3.计算 HI zdv 二 [ zdz]rdrd v - d^ rdr zdz = 2二 r[ z 0 2
2
]6'dr 2
=二.r[(6-r 2)2
2
r 2]dr 二二(36r -13r 2 r 5)dr
解2 “截面法”
1.画出11。
如图:
由z =6 - r 2及z 二r 围成。
2. z [0,6] =[0,2]
[2,6]
」由z=r 与z=2围成;
z [0,2] , D z :
'宀由z=2与z=6 - r 2围成;
z [2,6]，D z :
z=r 2.解
3.计算... zdv= !!! zdv 亠in zdv = z[ iirdrd ^]dz z[ I I rdrd 寸]dz
-112 0 D z1 2 D z2。