关于自动控制数学模型课件
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自动控制原理--控制系统的数学模型 ppt课件
R
dq dt
1 C
q
ur
模拟技术：当分析一个 机械系统或不易进行试 验的系统时，可以建造 一个与它相似的电模拟 系统，来代替对它的研 究。
令uc=q/C
LC
d 2uc dt 2
RC
duc dt
uc
ur
ppt
11
2.2.5 电枢控制的直流电动机
if=常数
ua ia
Ra Ea
M
La
直流电动机是将电能转化为机械能的一种典型的机电转换装置。
系统处于平衡状态。
ppt
K m y(t)
5
（3）按牛顿第二定律列写原始方程，即
d2y
F F (t) Fk (t) Ff (t) m dt 2
（4）写中间变量与输出量的关系式
F(t) K
Fk (t ) ky
dy Ff (t) fv f dt
（5）将以上辅助方程式代入原始方程,消去中
t a
aX
(as)
8)卷积定理
X1 ( s)
X2(s)
L
t
p0pt x1(t
) x2 (
)d
22
4.举例
例2-3 求单位阶跃函数 x(t)=1(t)的拉氏变换。
解：X (s) Lx(t) est dt 1 est 1
0
s 0s
例2-4 求单位斜坡函数x(t)=t的拉氏变换。
解： X (s) Lx(t) testdt 0
2.1.3 数学模型的类型
1)微分方程：时域 其它模型的基础 直观 求解繁琐
2)传递函数：复频域 微分方程拉氏变换后的结果
3)频率特性：频域
分pp析t 方法不同，各有所长
自动控制系统的数学模型ppt
现代控制系统主要包括集散控制系 统、现场总线控制系统和工业物联
网系统等。
B
C
D
发展趋势
随着工业4.0和智能制造的推进，现代控 制系统将朝着更加智能化、网络化和集成 化的方向发展。
应用实例
在石油化工、电力、制药等领域，现代控 制系统被广泛应用于生产过程的监控和优 化。
THANK YOU
感谢聆听
分类
根据不同的分类标准，自动控制系统可以分为开环控制系统和闭 环控制系统、线性控制系统和非线性控制系统等。
自动控制系统的重要性
提高生产效率
自动控制系统能够实现生产过程的自动化，提高生 产效率，降低生产成本。
保证产品质量
通过自动控制系统，可以精确控制生产过程中的各 种参数，从而提高产品质量。
保障生产安全
05
现代控制系统的数学模型
最优控制系统的数学模型
1 2
线性规划
通过线性约束条件和目标函数来优化控制系统的 性能指标，如最小化能量消耗或最大化系统输出。
动态规划
将多步决策问题转化为一系列单步决策问题，通 过求解每个单步的最优解来获得全局最优解。
3
极大值原理
利用微分方程和变分法的知识，求解最优控制问 题，使得系统状态在给定时间内达到最优。
02
数学模型在自动控制系统中的应用
建立数学模型的步骤
确定系统输入和输出变量
根据系统需求，确定影响系统行为的输入和输出 变量。
简化模型
根据实际需求，对建立的模型进行简化，保留主 要变量和关系。
建立变量关系方程
根据物理定律、经验公式或实验数据，建立输入 和输出变量之间的关系方程。
验证模型
通过实验或实际数据验证模型的准确性和有效性 。
网系统等。
B
C
D
发展趋势
随着工业4.0和智能制造的推进，现代控 制系统将朝着更加智能化、网络化和集成 化的方向发展。
应用实例
在石油化工、电力、制药等领域，现代控 制系统被广泛应用于生产过程的监控和优 化。
THANK YOU
感谢聆听
分类
根据不同的分类标准，自动控制系统可以分为开环控制系统和闭 环控制系统、线性控制系统和非线性控制系统等。
自动控制系统的重要性
提高生产效率
自动控制系统能够实现生产过程的自动化，提高生 产效率，降低生产成本。
保证产品质量
通过自动控制系统，可以精确控制生产过程中的各 种参数，从而提高产品质量。
保障生产安全
05
现代控制系统的数学模型
最优控制系统的数学模型
1 2
线性规划
通过线性约束条件和目标函数来优化控制系统的 性能指标，如最小化能量消耗或最大化系统输出。
动态规划
将多步决策问题转化为一系列单步决策问题，通 过求解每个单步的最优解来获得全局最优解。
3
极大值原理
利用微分方程和变分法的知识，求解最优控制问 题，使得系统状态在给定时间内达到最优。
02
数学模型在自动控制系统中的应用
建立数学模型的步骤
确定系统输入和输出变量
根据系统需求，确定影响系统行为的输入和输出 变量。
简化模型
根据实际需求，对建立的模型进行简化，保留主 要变量和关系。
建立变量关系方程
根据物理定律、经验公式或实验数据，建立输入 和输出变量之间的关系方程。
验证模型
通过实验或实际数据验证模型的准确性和有效性 。
自控原理课件 第2章-自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
2．2．2 传递函数 建立数学模型的目的是为了对系统进行性能分析。分析 自动控制系统最直接的方法是求解微分方程，求得被控 量在动态过程中的时间函数，然后根据时间函数的曲线 对系统性能进行分析。求解的方法有经典法、拉氏变换 法等。 拉氏变换法是求解微分方程的简便方法，当采用这一方 法时。微分方程的求解就成为象函数的代数方程和查表 求解，使计算大为简化。更重要的是，采用拉氏变换法 能把以线性微分方程描述的数学模型转换成复数域中代 数形式的数学模型——传递函数。传递函数不仅可以表 征系统的性能，而且可以用来分析系统的结构和参数变 化对系统性能的影响。经典控制理论中应用最广泛的频 率特性法和根轨迹法就是以传递函数为基础建立起来的， 传递函数是经典控制理论中最基本最重要的概念。
解：(1)确定输入和输出量。网络的输入量为 电压ur(t)，输出量为电压uc(t) (2)根据电路理论，列出原始微分方程。
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
1．信号线 信号线是带有箭头的直线，箭头表示信号的流向，在直线旁标 记信号的象函数，如图2．20(a)所示。 2．引出点 引出点表示信号引出或测量的位置。从同一位置引出的信号在 数值和性质上完全相同， 图2．20(b)所示。 3．比较点 比较点表示多个信号在此处叠加，输出量等于输入量的代数和。 因此在信号输入处要标明信号的极性，如图2．20(c)所示。 4．功能框 功能框表示一个相对独立的环节对信号的影响。框左边的箭头 处标以输人量的象函数，框右边的箭头处标以输出量的象函数， 框内为这一单元的传递函数。输出量等于输入量与传递函数的 乘积，即
自动控制原理课件 第二章 线性系统的数学模型
c(t ) e
dt Leabharlann t
c( s )
g ( ) r ( ) d e s ( ) d 0 0 g ( )e s r ( )e s d d 0 0
0
g ( )e
5) 闭环系统传递函数G(s)的分母并令其为0，就是系统的特征方 程。
• 涉及的是线性系统 非线性系统必须 进行线性化处理
§2-6 信号流程图
系统很复杂，为方便研究，也为了与 实际对应，通常将复杂系统分解为 若干典型环节的连接
数学模型的定义 数学模型： 描述系统变量间相互关系的动态性能的运动方程 建立数学模型的方法：
解析法: 依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律列写出相 应的数学关系式，建立模型。 自动控制系统的组成可以是电气的，机械的，液压的，气动的等等，然 而描述这些系统的数学模型却可以是相同的。因此，通过数学模型来研 究自动控制系统，就摆脱了各种类型系统的外部关系而抓住这些系统的 共同运动规律，控制系统的数学模型是通过物理学，化学，生物学等定 律来描述的，如机械系统的牛顿定律，电气系统的克希霍夫定律等都是 用来描述系统模型的基本定律。 实验法: 人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当 的数学模型进行逼近。这种方法也称为系统辨识。 数学模型的形式 时间域： 复数域： 频率域： 微分方程 差分方程 传递函数 结构图 频率特性 状态方程
1 例1 : F ( s) ( s 1)(s 2)(s 3) c c c 1 2 3 s 1 s 2 s 3
1 1 c1 [ ( s 1)]s 1 ( s 1)(s 2)(s 3) 6 1 1 c2 [ ( s 2)]s 2 ( s 1)(s 2)(s 3) 15 1 1 c3 [ ( s 3)]s 3 ( s 1)(s 2)(s 3) 10 1 1 1 1 1 1 F ( s) 6 s 1 15 s 2 10 s 3 1 1 1 f (t ) e t e 2t e 3t 6 15 10
自动控制原理：第二章--控制系统数学模型全
TaTLma KJe K
dMdML m dtdt
L
Tm
Ra J K eKm
——机电时间常数(秒)；
Ta
La Ra
—电动机电枢回路时间常数 (秒)
若输出为电动机的转角q ，则有
TaTm
d 3q
dt 3
Tm
d 2q
dt 2
dq
dt
1 Ke
ua
Tm J
ML
TaTm J
dM L dt
—— 三阶线性定常微分方程 9
（1）根据克希霍夫定律可写出原始方程式
（（23））式消LuLCcdd中去(titd)i中2d是utRc间2(中Cti1)变间C1量iR变dCti量idd后udt，ct，(t它)u输r与u(入tc输)(输t)出出uu微rc((tt)分)有方如程下式关系
或
T1T2
d 2uc (t) dt 2
T2
duc (t) dt
扰动输入为负载转矩ML。 （1）列各元件方程式。电动机方程式为：
TaTm
d 2w
dt 2
测输T速Km出发td为d电wt电测压机速w 反 K馈1e系ua数
Tm J
M反L馈 电TaJT压m
dM L dt
ua Kae ut Ktw e ur ut 12
（2）消去中间变量。从以上各式中消去中间变
量ua，e，ut，最后得到系统的微分方程式
线性(或线性化)定常系统在零初始条件下， 输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比 称为传递函数。
令线C性(s定)=常L[c系(t统)]，由R下(s)述=Ln阶[r(微t)]分，方在程初描始述条：件为零
时[[aab，nnmbssdmdn进mt+ndn+dt行acmmbn(tm拉-r1)-(s1t氏ns)-am1变n+-1b1+…m换dd…1t+，nndd+1a1t得mm1bcs1(11到+ts)r+a关(t0b)]于0C]的RD(sM的s的a(()分s1s(分))=代sdbd为母)t1子为数cd传d多(tt多传方)r递项(项t程递函)式a式0函数c。b(0数tr) (t)
《自动控制原理》课件第二章
Cen idRd
Ld
d id dt
ud
(2-4)
当略去电动机的负载力矩和粘性摩擦力矩时，机械运动
微分方程式为
M GD2 d n 375 d t
(2-5)
式中，M为电动机的转矩(N·m)； GD2为电动机的飞轮矩
(N·m2)。当电动机的励磁不变时，电动机的转矩与电枢电
流成正比，即电动机转矩为
M=Cmid
称为相似量。如式(2-1)中的变量ui、uo分别与式(2-3)中的变
量f(t)、y(t)为对应的相似量。
2.1.2 线性定常微分方程求解及系统运动的模态 当系统微分方程列写出来后，只要给定输入量和初始条
件，便可对微分方程求解，并由此了解系统输出量随时间变 化的特性。
若线性定常连续系统的微分方程模型的一般表示形式为 y(n)(t)+a1y(n－1)(t)+···+any(t)=b0u(m)(t)+b1u(m－1)(t)+…+bmu(t)
x0
( x x0 )2
当增量x－x0很小时，略去其高次幂项，则有
y
y0
f (x)
f (x0)
d f (x) dx
x0
(x x0)
令Δy=y－y0=f(x)－f(x0)，Δx=x－x0，K=(df(x)/dx)|x0，则线性
化方程可简记为Δy=KΔx。这样，便得到函数y=f(x)在工作
点A附近的线性化方程为y=Kx。
图2-4 小偏差线性化示意图
对于有两个自变量x1、x2的非线性函数f(x1，x2)，同样 可在某工作点(x10，x20)附近用泰勒级数展开为
y
f (x1 ，x2 )
f
自动控制理论第二章 自动控制系统的数学模型课件
四、拉氏变换的基本性质 下面给出拉氏变换的几个基本性质，这些性质今后会经常用到，特
别是其中的一些细节，请注意深入理解。
齐次性 线性性质 微分定理 积分定理 终值定理 初值定理 卷积定理
Laf (t) aF(s)
Laf1(t) bf2 (t) aF1(s) bF2 (s)
L
d dt
f (t) sF(s)
0 dt
0
s0
即
f () lim sF (s) 。 s0
因为要求 s 沿着使 f (t) 的拉氏变换积分为收敛的区域内的某条路径趋于零，根据使 拉氏变换积分为收敛的条件，这要求 f (t) 的拉氏变换 F (s) 在 s 右半闭平面内是解析的。 在使用终值定理时，要首先检验 F (s) 在 s 右半闭平面解析的条件，否则会导致错误。
（5）初值定理
设 F (s) 是 f (t) 的 0 型的拉氏变换，且极限 lim sF (s) 存在，则有 s f (0 ) lim sF(s) s
注意，应用初值定理无法给出严格的 f (t) 在 t 0 时刻的值，但能给出 f (t) 在 t 0 的值。 应用函数导数的拉氏变换法则，在使函数 f (t) 的拉氏变换积分为收敛的区域内令 s 趋于无穷
大，根据使拉氏变换积分为收敛的条件，这时总有 R s 0 ，于是对于时间间隔 0 t ，
有 lim est 0 ，故有 s
lim
s
L
df (t) dt
lim
s
0
df (t) dt
est dt
lim
s
sF (s)
f (0 ) 0
即
f (0 ) lim sF(s) s
从上述证明过程可以看出，应用初值定理只能给出函数 f (t) 在 t 0 时刻的值，而且，这样一个 事实与函数 f (t) 是否满足 f (0 ) f (0) f (0 ) 并无关系。
别是其中的一些细节，请注意深入理解。
齐次性 线性性质 微分定理 积分定理 终值定理 初值定理 卷积定理
Laf (t) aF(s)
Laf1(t) bf2 (t) aF1(s) bF2 (s)
L
d dt
f (t) sF(s)
0 dt
0
s0
即
f () lim sF (s) 。 s0
因为要求 s 沿着使 f (t) 的拉氏变换积分为收敛的区域内的某条路径趋于零，根据使 拉氏变换积分为收敛的条件，这要求 f (t) 的拉氏变换 F (s) 在 s 右半闭平面内是解析的。 在使用终值定理时，要首先检验 F (s) 在 s 右半闭平面解析的条件，否则会导致错误。
（5）初值定理
设 F (s) 是 f (t) 的 0 型的拉氏变换，且极限 lim sF (s) 存在，则有 s f (0 ) lim sF(s) s
注意，应用初值定理无法给出严格的 f (t) 在 t 0 时刻的值，但能给出 f (t) 在 t 0 的值。 应用函数导数的拉氏变换法则，在使函数 f (t) 的拉氏变换积分为收敛的区域内令 s 趋于无穷
大，根据使拉氏变换积分为收敛的条件，这时总有 R s 0 ，于是对于时间间隔 0 t ，
有 lim est 0 ，故有 s
lim
s
L
df (t) dt
lim
s
0
df (t) dt
est dt
lim
s
sF (s)
f (0 ) 0
即
f (0 ) lim sF(s) s
从上述证明过程可以看出，应用初值定理只能给出函数 f (t) 在 t 0 时刻的值，而且，这样一个 事实与函数 f (t) 是否满足 f (0 ) f (0) f (0 ) 并无关系。
《自动控制原理》控制系统的数学模型 ppt课件
= Kg
m i 1
(s
zi
)
n (s
j 1
pj)
2)
G(s)
c(s) r(s)
bm (dmsm an (cnsn
dm1sm1 1) cn1sn1 1)
=
K
(T1s (T1s
1)(T2 s 1)(T2s
1)(Tms 1) 1)(Tms 1)
（2-5） （2-6）
9
将（2-5）,（2-6）带入（2-1）得
La GD2 Ra d 2n GD2ra dn n ua
Ra 375 CmCe dt2 375CmCe dt
ce
（2-7）
令：
Ta
La ra
--电动机电磁时间常数
Tm
GD2 375
ra CeCm
--电动机机电时间常数
FK ky
－阻尼器的粘性摩擦力 －弹簧的弹力
（3）消去中间变量，得到输入与输出的关系方程
将以上各式代入（1）式得
m
d2y dt 2
F
ppt课件ddyt
ky
6
（4）整理且标准化
m d 2 y(t) dy(t)
1
k
dt 2
k
y(t) F (t)
dt
k
令 T m/k
- 时间常数；
TaTm
d 3
dt 3
Tm
d 2
dt 2
d
dt
pp0t课.1件05 ua Ce
（2-1210）
例2-4 下图所示为闭环调速控制系统，编写控制系统 微分方程。
数学建模 自动控制 自动控制系统的数学模型PPT.ppt
系 统 框 图
自动控制原理
Part 2.1.1 数学模型的定义
第二章 控制系统的数学模型
数学模型：
描述系统变量间相互关系的动态性能的运动方程
建立数学模型的方法： 解析法
依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律列 写出相应的数学关系式，建立模型。
实验法
人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并 用适当的数学模型进行逼近。这种方法也称为系统辨识。
自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型
Part 2.2 非线性数学模型的线性化
2.2.1 常见非线性模型 2.2.2 线性化问题的提出 2.2.3 线性化方法
Example 单摆 液面系统 Example 单摆 液面系统
单变量 多变量
自动控制原理
2.2.1 常见非线性模型
第二章 控制系统的数学模型
第二章 控制系统的数学模型
Part 2.1.3 提取数学模型的步骤
➢ 划分环节 ➢ 写出每或一环节(元件) 运动方程式 ➢ 消去中间变量 ➢ 写成标准形式
自动控制原理
划分环节
第二章 控制系统的数学模型
按功能（测量、放大、执行）
由运动方程式 （一个或几个元件的独立运动方程）
根据元件的工作原理和在系 统中的作用，确定元件的输 入量和输出量(必要时还要考 虑扰动量)，并根据需要引进 一些中间变量。
2.1.1 数学模型的定义 2.1.2 建立数学模型的基础 2.1.3 提取数学模型的步骤
机械系统 Example 电气系统
相似系统
自动控制原理
Part 2.1.1 数学模型的定义
系 统 示 意 图
第二章 控制系统的数学模型
Remember 恒温箱自动控制系统?
自动控制原理(数学模型)精选全文完整版
t 0
s
证明：由微分定理 df (t) estdt s F (s) f (0)
0 dt
lim df (t) estdt lim s F (s) f (0)
s 0 dt
s
左 df (t) limestdt 0 0 dt s
lim
s
s F(s)
f (0 )
0
f
二、非线性系统微分方程的线性化
例5 已知某装置的输入输出特性如下，求小扰动线性化方程。
y( x ) E0 cos[x(t )]
解. 在工作点(x0, y0)处展开泰勒级数
y( x)
y(x0)
y( x0 )( x
x0 )
1 2!
y( x0 )( x
x0 )2
取一次近似，且令
y(x) y(x) y(x0) E 0 sin x0 ( x x0 )
1
s(s a)( s b)
f
lim
s0
s
ss
1
as
b
1 ab
例12
Fs
s2
ω ω2
f sinωt t
lim s
s0
s2
ω ω2
0
3 用拉氏变换方法解微分方程
系统微分方程
y(t) a1 y(t) a2 y(t) 1(t)
y(0) y(0) 0
L变换
(s2
a1s
a2 )Y (s)
0
1 1
1 1 2 j
2j
s
j
s
j
2j
s2
2
s2
2
2 拉氏变换的几个重要定理
（1）线性性质 La f1(t) b f2(t) a F1(s) b F2(s)
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09.02.2021
2.1.3 非线性数学模型的线性化
在建立控制系统的数学模型时，常常遇到非线性的问题。严格 地讲，实际的物理系统都包含着不同程度的非线性因素。但是， 许多非线性系统在一定的条件下可以近似地视作线性系统。
若控制系统在工作点的附近微小运动，则可将非线性函数展开 为泰勒级数，并忽略级数展开式中的高次项，从而得到只含一次 项的线性化方程。即用工作点的切线代替非线性曲线。
当(r－r 0)，很小时，可以忽略上式中二阶以上各项，得
cf(r)f(r0)dd(fr)rrr0(rr0)
或
c c c 0 K (r r 0 ) K r
在处理非线性问题时，应注意以下几点： 1．线性化是在输入、输出量围绕平衡点作小范围变化的假 设下进行的。一般取零误差状态作为平衡工作状态。 2．线性化以切线代替曲线，是一种近似处理。系统的实际 变化量如果很大，则采用小偏差线性模型将会带来较大的计 算误差。 3.对于某些严重的典型非线性，不能进行求导运算，因此 原则上不能用小偏差法进行线性化
a0dd nc(ntt)a1dd n1n c t(1t)a2dd n2nc t(2t) an1dd(c t)tanc(t) b0dd mrm (tt)b1dd m 1 m rt(1t)b2dd m 2 m rt(2t) bm 1dd(rt)tbmr(t)
式中 a 0 ， a 1 ， a 2 a n 。 b 0 ， b 1 ， b 2 b m 均为由系统结构参数决定的 常系数，且有n≥m。
对于一般的非线性系统，假设其输入量为r，输出量为c，
并 设 在 给 定 工 作 点 处 c0=f(r 0)， 各 阶 导 数 均 存 在 ， 则 可 在
的邻域展开泰勒级数，即
0c 9.0 2.2f 02( 1r ) f( r 0 ) d d ( r ) f r r r 0 ( r r 0 ) 2 1 ！ d 2 d f2 ( r ) r r r 0 ( r r 0 )2
律。
有了数学表达式，就可从理论上进行普遍意义上的分析。
09.02.2021
机械系统中，设外力F＝1， 质量 m＝2，弹性系数k＝1， 若阻尼系数较小 ＝1，则发生 震荡，若阻尼系数较大 ＝10， 不会产生震荡。但无 论阻尼大小如何，最终物体将下降一个单位长度，新增的弹力 正好和外力相抵，系统进入一个新的平衡点。
09.02.2021
2.1.1线性系统的微分方程模型
很多常见的元件或系统的输出量和输入量之间的关系都可 以用一个微分方程表示。微分方程的阶数一般是指方程中最高 导数项的阶数, 又称为系统的阶数。
如图机械系统，由牛顿定理得到以下关系：
FFk Ff mdd2t2y
Fk
ky;Ff
f
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
dy dt
md2yf dykyF
显然方程是一个二阶的非线性微分方
程(因为含有sinθ), 但是在摆幅较
小的情况下, 将其线性化处理：
09.02.2021
令非线性函数sin(θ)=f，则工作点在θ0=0，f0=0。线性化：
总之，建立合理的数学模型，是至关重要的问题。许多系统， 事件及项目就是因为无法建立合理的数学模型而不能加以预测 和控制。
09.02.2021
2.1.2 列写微分方程的一般方法
用解析法列写系统或元件微分方程的一般步骤是： 1．根据实际工作情况，将系统划分为多个独立的环节，
标出各环节的输入、输出变量。各环节之间无负载效应。 2．从输入端开始，按照信号的传递顺序，依据各环节所
遵循的物理定律，列写的动态方程，一般为微分方程组。 3．消去中间变量，写出系统输入、输出变量的微分方程。 4．标准化。即将与输入有关的各项放在等号右侧，与输
出有关的各项放在等号左侧，并按降幂排列。最后将系数归 化为具有一定物理意义的形式。
09.02.2021
例2.1 列写如图所示RC滤波电路的微分方程。（假设电路的 输入电源的内阻为零，输出接的负载具有无限大阻抗）
09.02.2021
令 T 1 R 1 C 1 ,T 2 R 2 C 2 ,T 3 R 1 C 2则上式可改写为：
T 1 T 2d d 2u 2ct(T 1T 2T 3)d dcu tucur
若撇开具体系统的物理属性，令r(t)为输入，c(t)为输出。 线性n阶系统的输入输出微分方程式的一般表达式可写为
09.02.2021
例2.2 图示为一个单摆系统,输入量M为零(不加外力矩), 输出量为摆幅θ(t)。摆锤的质量为m, 摆杆长度为l, 空气阻 尼系数为μ,重力加速度为g。试建立系统的近似线性运动方程。
解 对于图示的单摆系统,根据牛顿运动定律可以直接推出 如下系统运动方程:
md dl22tμld dtmsgiln0
关于自动控制数学 模型
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§ 2.1 数学模型概述
为了从理论上对自动控制系统进行定性分析和定量计算，首 先需要建立系统的数学模型。
系统的数学模型：描述系统输入、输出变量以及内部各变量 之间关系的数学表达式。常用的动态数学模型有微分方程、传 递函数及动态结构图。
系统数学模型的建立，一般采用解析法或实验法。 解析法：依据系统及元件各变量之间所遵循的物理、化学定 律，列写出变量间的数学表达式，从而建立数学模型。 本章仅讨论解析法，关于实验法将在后面的章节进行介绍。
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d2 t
dt
如图RLC网络，由电路定律可得:
uruRuLuC0
di u RR;iu LLd;t
icdcu dt
LC d2uc d2t
RC ddcutuc
ur
不同的物理系统可能得到相似的数学表达式。如果它们对应
的系数和初始条件相同，则它们的解将完全相同。这样就可以
撇开系统的具体物理属性，研究这些系统的运动过程的共同规
解 根据基尔霍夫定律得：
ur R1i1uc1
du c 1 dt
1 c1
( i1
i2 )
u c1 R 2i2 u c
du c dt
1 c2
i2
消除中间变量，得到滤波网络的微分方程式为 ：
R 1 C 1 R 2 C 2d d 2 u 2 c t(R 1 C 1 R 2 C 2 R 1 C 2 )d d c u tu c u r
2.1.3 非线性数学模型的线性化
在建立控制系统的数学模型时，常常遇到非线性的问题。严格 地讲，实际的物理系统都包含着不同程度的非线性因素。但是， 许多非线性系统在一定的条件下可以近似地视作线性系统。
若控制系统在工作点的附近微小运动，则可将非线性函数展开 为泰勒级数，并忽略级数展开式中的高次项，从而得到只含一次 项的线性化方程。即用工作点的切线代替非线性曲线。
当(r－r 0)，很小时，可以忽略上式中二阶以上各项，得
cf(r)f(r0)dd(fr)rrr0(rr0)
或
c c c 0 K (r r 0 ) K r
在处理非线性问题时，应注意以下几点： 1．线性化是在输入、输出量围绕平衡点作小范围变化的假 设下进行的。一般取零误差状态作为平衡工作状态。 2．线性化以切线代替曲线，是一种近似处理。系统的实际 变化量如果很大，则采用小偏差线性模型将会带来较大的计 算误差。 3.对于某些严重的典型非线性，不能进行求导运算，因此 原则上不能用小偏差法进行线性化
a0dd nc(ntt)a1dd n1n c t(1t)a2dd n2nc t(2t) an1dd(c t)tanc(t) b0dd mrm (tt)b1dd m 1 m rt(1t)b2dd m 2 m rt(2t) bm 1dd(rt)tbmr(t)
式中 a 0 ， a 1 ， a 2 a n 。 b 0 ， b 1 ， b 2 b m 均为由系统结构参数决定的 常系数，且有n≥m。
对于一般的非线性系统，假设其输入量为r，输出量为c，
并 设 在 给 定 工 作 点 处 c0=f(r 0)， 各 阶 导 数 均 存 在 ， 则 可 在
的邻域展开泰勒级数，即
0c 9.0 2.2f 02( 1r ) f( r 0 ) d d ( r ) f r r r 0 ( r r 0 ) 2 1 ！ d 2 d f2 ( r ) r r r 0 ( r r 0 )2
律。
有了数学表达式，就可从理论上进行普遍意义上的分析。
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机械系统中，设外力F＝1， 质量 m＝2，弹性系数k＝1， 若阻尼系数较小 ＝1，则发生 震荡，若阻尼系数较大 ＝10， 不会产生震荡。但无 论阻尼大小如何，最终物体将下降一个单位长度，新增的弹力 正好和外力相抵，系统进入一个新的平衡点。
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2.1.1线性系统的微分方程模型
很多常见的元件或系统的输出量和输入量之间的关系都可 以用一个微分方程表示。微分方程的阶数一般是指方程中最高 导数项的阶数, 又称为系统的阶数。
如图机械系统，由牛顿定理得到以下关系：
FFk Ff mdd2t2y
Fk
ky;Ff
f
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
dy dt
md2yf dykyF
显然方程是一个二阶的非线性微分方
程(因为含有sinθ), 但是在摆幅较
小的情况下, 将其线性化处理：
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令非线性函数sin(θ)=f，则工作点在θ0=0，f0=0。线性化：
总之，建立合理的数学模型，是至关重要的问题。许多系统， 事件及项目就是因为无法建立合理的数学模型而不能加以预测 和控制。
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2.1.2 列写微分方程的一般方法
用解析法列写系统或元件微分方程的一般步骤是： 1．根据实际工作情况，将系统划分为多个独立的环节，
标出各环节的输入、输出变量。各环节之间无负载效应。 2．从输入端开始，按照信号的传递顺序，依据各环节所
遵循的物理定律，列写的动态方程，一般为微分方程组。 3．消去中间变量，写出系统输入、输出变量的微分方程。 4．标准化。即将与输入有关的各项放在等号右侧，与输
出有关的各项放在等号左侧，并按降幂排列。最后将系数归 化为具有一定物理意义的形式。
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例2.1 列写如图所示RC滤波电路的微分方程。（假设电路的 输入电源的内阻为零，输出接的负载具有无限大阻抗）
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令 T 1 R 1 C 1 ,T 2 R 2 C 2 ,T 3 R 1 C 2则上式可改写为：
T 1 T 2d d 2u 2ct(T 1T 2T 3)d dcu tucur
若撇开具体系统的物理属性，令r(t)为输入，c(t)为输出。 线性n阶系统的输入输出微分方程式的一般表达式可写为
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例2.2 图示为一个单摆系统,输入量M为零(不加外力矩), 输出量为摆幅θ(t)。摆锤的质量为m, 摆杆长度为l, 空气阻 尼系数为μ,重力加速度为g。试建立系统的近似线性运动方程。
解 对于图示的单摆系统,根据牛顿运动定律可以直接推出 如下系统运动方程:
md dl22tμld dtmsgiln0
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§ 2.1 数学模型概述
为了从理论上对自动控制系统进行定性分析和定量计算，首 先需要建立系统的数学模型。
系统的数学模型：描述系统输入、输出变量以及内部各变量 之间关系的数学表达式。常用的动态数学模型有微分方程、传 递函数及动态结构图。
系统数学模型的建立，一般采用解析法或实验法。 解析法：依据系统及元件各变量之间所遵循的物理、化学定 律，列写出变量间的数学表达式，从而建立数学模型。 本章仅讨论解析法，关于实验法将在后面的章节进行介绍。
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d2 t
dt
如图RLC网络，由电路定律可得:
uruRuLuC0
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icdcu dt
LC d2uc d2t
RC ddcutuc
ur
不同的物理系统可能得到相似的数学表达式。如果它们对应
的系数和初始条件相同，则它们的解将完全相同。这样就可以
撇开系统的具体物理属性，研究这些系统的运动过程的共同规
解 根据基尔霍夫定律得：
ur R1i1uc1
du c 1 dt
1 c1
( i1
i2 )
u c1 R 2i2 u c
du c dt
1 c2
i2
消除中间变量，得到滤波网络的微分方程式为 ：
R 1 C 1 R 2 C 2d d 2 u 2 c t(R 1 C 1 R 2 C 2 R 1 C 2 )d d c u tu c u r