河南省2019届高三普通高中毕业班高考适应性测试 数学理

河南省2019年普通高中毕业班高考适应性测试数 学 试 题（理）本试题卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

考生作答时，将答案答在答题卡 上（答题注意事项见答题卡），在本试题卷上答题无效。

考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。

第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．集合{|3},{1,0,1}x M y R y N =∈==-，则下列结论正确的是（ ）A ．{0,1}MN =B ．(0,)M N =+∞C ．()(,0)R C M N =-∞D ．(){1,0}R C M N =-2．i 是虚数单位，复数31z i=+的虚部是 （ ）A ．0B ．-1C ．1D ．-i3．261(1)()x x x x++-的展开式中的常数项为m ，则函数2y x y mx =-=与的图象所围成的封闭图形的面积为 （ ）A ．6256 B ．2506C ．3756D ．12564．函数(01)||xxa y a x =<<的图象大致形状是（ ）5．已知函数(),(0,)mf x x x x=+∈+∞，若不等式()4f x <的解集是空集，则 （ ）A ．4m ≥B ．2m ≥C ．4m ≤D ．2m ≤6．设实数x ，y 满足221x y +≤，则点(,)x y 不在区域11,11x y x y -≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩内的概率是（ ）A ．14B ．21π-C ．2πD ．187．若点(cos ,sin )P θθ在直线20x y +=上，则cos 2sin 2θθ+= （ ）A ．15-B ．12-C ．15 D ．128．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当(],0x ∈-∞时，2()x f x e ex a -=-+，则函数()f x 在1x =处的切线方程为（ ）A ．0x y +=B ．10ex y e -+-=C ．10ex y e +--=D ．0x y -=9．ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C的对边，向量(1,(cos ,sin ),//p q B B p q ==且cos cos 2sin ,b C c B a A C +=∠则=（ ）A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒10．函数()sin()(0)f x M x ωϕω=+>，在区间[a ，b]上是增函数，且(),(),f a M f b M =-=则函数()cos()g x M x ωϕ=+在[a ，b]上（ ）A ．是增函数B ．是减函数C ．可以取得最大值MD ．可以取得最小值-M11．已知F 1，F 2分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，P 为双曲线上的一点，若1290F PF ∠=︒，且22F PF ∆的三边长成等差数列，则双曲线的离心率是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．512．已知函数731,,1,222()111,[0,],362x x x f x x x ⎧-⎛⎤∈ ⎪⎥⎪+⎝⎦=⎨⎪-+∈⎪⎩函数()s i n ()22(0)6g x a x a a π=-+>，若存在12,[0,1]x x ∈，使得12()()f x g x =成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．14[,]23B ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．24[,]33D ．1[,1]2第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。

第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。

第 22~24题为选考题，考生根据要求做答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．命题“存在x R ∈，使得|1||1|3x x --+>”的否定是 。

14．已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的表面积是cm 2。

15．经过点（0，-1）作圆22:670C x y x +-+=的切线，切点分别为A 和B ，点Q 是圆C 上一点，则ABQ ∆面积的最大值为 。

16．“三角形的三条中线交于一点，且这一点到顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍”。

试类比：四面体的四条中线（顶点到对面三角形重心的连线段）交于一点，且这一点到顶点的距离等于它到对面重心距离的 倍。

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分） 已知()41x f x x =+，数列{}n a 的首项*111,()()n n a a f a n N +==∈（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2nn nb a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求使2012n S >的最小正整数n 。

18．（本小题满分12分）甲、乙两同学进行下棋比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分（无平局），比赛进行到有一个人比对方多2分或比满8局时停止，设甲在每局中获胜的概率为1()2p p>，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为58．（I）如右图为统计这次比赛的局数n和甲、乙的总得分S，T的程序框图．其中如果甲获胜，输人a=l．b=0;如果乙获胜，则输人a=0，b=1．请问在①②两个判断框中应分别填写什么条件？（Ⅱ）求p的值；（Ⅲ）设ξ表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量ξ的分布列和.Eξ19．（本小题满分12分）四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA= AB =1，AD =2，点M是PB的中点，点N在BC边上移动．（I）求证：当N是BC边的中点时，MN∥平面PAC;（Ⅱ）证明，无论N点在BC边上何处，都有PN⊥AM；（Ⅲ）当BN等于何值时，PA与平面PDN所成角的大小为45︒．20．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为13，椭圆上的点到右焦点F 的最近距离为2，若椭圆C 与x 轴交于A 、B 两点，M 是椭圆C 上异于A 、B 的任意一点，直线MA 交直线:9l x =于G 点，直线MB 交直线l 于H 点。

（1）求椭圆C 的方程；（2）试探求以GH 为直径的圆是否恒经过x 轴上的定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由。

21．（本小题满分12分） 设函数21()ln .2f x x ax bx =-- （1）若x=1是()f x 的极大值点，求a 的取值范围。

（2）当a=0，b=-1时，函数2()()F x f x x λ=-有唯一零点，求正数λ的值。

请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。

做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。

22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 如图，已知ABC ∆中，AB=BC ，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，过D 作DE BC ⊥，垂足为E ，连结OE 。

若30CD ACB =∠=︒，分别求AB ，OE 的长。

23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C 1的极坐标方程为4sin ρθ=，曲线C 2的极坐标方程为()6R πθρ=∈，曲线C 1，C 2相交于点M ，N 。

（1）将曲线C 1，C 2的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）求线段MN 的长。

24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 设函数()|31| 3.f x x ax =-++ （1）若a=1，解不等式()5f x ≤；（2）若函数()f x 有最小值，求实数a 的取值范围。

参考答案（13）对于任意的x ∈R ，都有113x x --+≤.（14） 32π+ （15）(415+ （16） 3三、解答题 （17）解：（Ⅰ）1()41n n n n a a f a a +==+，1114n n a a +=+，1114n na a +-=.数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，4为公差的等差数列．………………………………… 3分 114(1)nn a =+-，则数列{}n a 的通项公式为143n a n =-．…………………………6分 （Ⅱ）12325292(43)2.n n S n =+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅……………………①2341225292(43)2.n n S n +=+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅ ……………………②②-①并化简得1(47)214n n S n +=-⋅+．……………………………………………10分 易见n S 为n 的增函数，2012n S >，即1(47)21998n n +-⋅>．满足此式的最小正整数6n =．…………………………………………………………12分 （18）解：（Ⅰ）程序框图中的①应填2M =，②应填8n =.(注意：答案不唯一.)……………2分 （Ⅱ）依题意得，当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛停止.所以225(1)8p p +-=，解得： 34p =或14p =，因为12p >，所以3.4p =……6分 （Ⅲ）依题意得，ξ的可能值为2，4，6，8.5(2)8P ξ==，5515(4)(1)8864P ξ==-⨯=，55545(6)(1)(1)888512P ξ==--⨯=， 55527(8)(1)(1)(1)1888512P ξ==---⨯=.所以随机变量ξ的分布列为故2468864512512256E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.…………………………………12分（19）证明：（Ⅰ）取AB 的中点E ，连接EN ，又因为M 是PB 的中点，N 是BC 中点. ME ∴∥PA ，NE ∥AC .ME NE E =，PA AC A =，∴平面MNE ∥平面PAC .又⊂MN 平面MNE ，∴MN ∥平面PAC ………………4分（Ⅱ）1PA AB ==，M 是PB 的中点， PB AM ⊥∴.又⊥PA 平面ABCD ，⊂BC 平面ABCD ， BC PA ⊥∴.又AB BC ⊥ ， PA AB A =， ⊥∴BC 平面PAB .又⊂AM 平面PAB , BC AM ⊥∴.⊥∴AM 平面PBC .NEA BCDP M又⊂PN 平面PBC ， ∴AM PN ⊥.所以无论N 点在BC 边的何处，都有AM PN ⊥.……………………………8分 （Ⅲ）分别以AP AB AD ,,所在的直线为z y x ,,轴，建立空间直角坐标系，设,m BN =则)0,0,0(A ，)0,0,2(D ，(0,1,0)B ，0,1,2(C )0,1,(m N ，)1,0,0(P ，)1,0,2(-=，(,1,1)PN m =-，(0,0,1).PA =-设平面PDN 的法向量为(,,)x y z =n ，则0,PD PN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 20,0.x z mx y z -=⎧⇔⎨+-=⎩ 令1=x 得m y -=2，2=z ， 设PA 与平面PDN 所成的角为θ，sin cos ,PA θ=<>n=22)2(522=-+∴m ， 解得32-=m 或32+=m （舍去）.2m ∴=……………………………………………………………………………12分（20）解：（Ⅰ）由题意得1,32c a a c ⎧=⎪⎨⎪-=⎩1,3c a =⎧⇒⎨=⎩82=⇒b .椭圆C 的方程为：221.98x y +=……………………………………………………4分 （Ⅱ）记直线MA 、MB 的斜率分别为1k 、2k ，设,,M A B 的坐标分别为00(,)M x y ,)0,3(-A ,)0,3(B ，,3001+=∴x y k 020,3y k x =-2012209y k k x ∴=-. P 在椭圆上，所以)91(818920202020x y y x -=⇒=+，1k 2k ⋅98-=，设),9(1y G ),9(2y H ，则1211y k k AM ==，622yk k MB ==. 722121y y k k =∴，又1k 2k ⋅98-=.1212864729y y y y ∴=-⇒=-.……………………………………………………………8分 因为GH 的中点为)2,9(21y y Q +，12GH y y =-,所以，以GH 为直径的圆的方程为：4)()2()9(2212212y y y y y x -=+-+-.令0=y ，得64)9(212=-=-y y x ，17,1==∴x x ，将两点)0,1(),0,17(代入检验恒成立.所以，以GH 为直径的圆恒过x 轴上的定点(17,0),(1,0).…………………………12分 （21）解：（Ⅰ）)(x f 的定义域为(0,)+∞， 1()f x ax b x '=--，由(1)f '=0，得1b a =-.∴1(1)(1)()1ax x f x ax a x x -+-'=-+-=.…………………………………………2分①若a ≥0，由)('x f =0，得x =1.当10<<x 时，()0f x '>，此时)(x f 单调递增； 当1>x 时，()0f x '<，此时)(x f 单调递减.所以x =1是)(x f 的极大值点. …………………………………………………………4分 ②若a ＜0，由()f x '=0，得x =1，或x =a1-. 因为x =1是)(x f 的极大值点，所以a1-＞1，解得－1＜a ＜0. 综合①②：a 的取值范围是a ＞－1. ……………………………………………………6分 （Ⅱ）因为函数()2()F x f x x =-λ有唯一零点，即20x ln x x λ--=有唯一实数解，设2g(x )x ln x x =λ--，则221()x x g'x xλ--=．令0)('=x g ，2210x x λ--=．因为0λ>，所以△=18+λ>0，方程有两异号根设为x 1<0，x 2>0. 因为x >0，所以x 1应舍去. 当),0(2x x ∈时，0)('<x g ，)(x g 在（0，2x ）上单调递减; 当),(2+∞∈x x 时，0)('>x g ，)(x g 在（2x ，+∞）单调递增.当2x x =时，)('2x g =0，)(x g 取最小值)(2x g ．……………………………………9分因为0)(=x g 有唯一解，所以0)(2=x g ，则⎩⎨⎧==,0)(',0)(22x g x g 即22222220210x ln x x ,x x .⎧λ--=⎪⎨λ--=⎪⎩ 因为0λ>，所以01ln 222=-+x x （*） 设函数1ln 2)(-+=x x x h ，因为当0>x 时，)(x h 是增函数，所以0)(=x h 至多有一解．因为0)1(=h ，所以方程（*）的解为21x =，代入方程组解得1λ=．…………………………………………………………………12分（22）解： BC AB ACB ==∠,30 ， 30=∠∴CAB . 又因AB ⊙O 的直径，所以 90=∠ADB ， 60=∠ABD . 又因OD OB =，BD OD OB AB 222===∴，3==DC AD .所以2=AB .1===∴BD OD OB ，………………………………………………………………6分 30=∠ACB ，23,60==∠∴DE CDE . OD OA = ， 30=∠∴ADO ， 90=∠∴ODE ，27143=+=∴OE ……10分 （23）解: （Ⅰ）由θρsin 4=得，θρρsin 42=即曲线1C 的直角坐标方程为0422=-+y y x ，由()6πθρ=∈R 得，x y 33=………………………………………………………5分 （Ⅱ）把x y 33=代入0422=-+y y x 得03343122=-+x x x ， 0334342=-x x 解得01=x ，32=x ，所以01=y ，12=y ， 213=+=MN ………………………………………………………………………10分（24）解：（Ⅰ）1a =时，()|31|3f x x x =-++. 当13x ≥时，()5f x ≤可化为3135x x -++≤，解之得1334x ≤≤； 当13x <时，()5f x ≤可化为3135x x -+++≤，解之得1123x -<≤. A O B EDC综上可得，原不等式的解集为13{|}.24x x -≤≤……………………………………5分 （Ⅱ）1(3)2,()3()|31|31(3) 4.()3a x x f x x ax a x x ⎧++⎪⎪=-++=⎨⎪-+<⎪⎩≥函数()f x 有最小值的充要条件为30,30,a a +⎧⎨-⎩≥≤即33a -≤≤……………………10分。