几何课程教改展望

几何课程教改展望

北京师范大学数学系王申怀

第一节几何课程改革的历史回顾

欧氏几何在数学教学中的作用与地位究竟是什么长期以来这是一个有争议的问题。特别是本世纪五十年代以后，国内外对中学几何课程改革曾经出现过大起大落的阶段。因此，现在来回顾总结以往的历史经验，总结对中学几何教育的研究成果是很有必要的。这样不仅可以避免在今后的教学上不再重复那些已经证明为不成功的经验，同时也可以确定哪些是经受过实践考验的成功的经验。我们可以从中获得教益，并且对哪些尚未明确的有关问题，我们也希望能对今后的研究提供一些有用的信息，以便确定可能采取的措施。这将会对今后二十一世纪的几何课程改革打下一个坚实的基础。

（一）"新数运动"对传统几何教学的冲击与国际数学教育会议（ICMI）对几何教学的反思

"新数运动"对几何课程改革的影响

"新数运动"的出现，除了社会政治原因外，另一个重要的原因是来自数学学科本身和数学教育研究的发展。二十一世纪以来数学学科得到突飞猛进的发展，特别法国布尔巴基（Bourbaki）学派的出现，对数学的整体结构进行重新认识，许多新的数学分枝，如拓朴学，泛函分析等的出现并进入大学的课程，导致了大学数学课程内容的全面改观，这就必然会形成传统中学数学与大学数学之间逐渐产生了一条很深的鸿沟。与此同时，在五、六十年代现代心理学认知理论的兴起、特别是皮亚杰（）、布鲁纳（）等教育心理学家对有关学习理论研究的重大突破，提出一整套新的认知理论，为数学教材内容安排和教学方法的

改进提供了坚实的理论依据，这就为"新数运动"提供了一个教育学、心理学方面的基础，终于在五十年代末到七十年代初，在西方国家中掀起了一场轰轰烈烈的"新数运动"。

1958年，在美国数学协会（MAA），全美数学教师联系会（NCTM）的支持和政府、基金会的资助下成立了"学校数学研究组（SMSG）全面负责中学数学教学的实验研究。同时，组织专家、学者、教师对中学数学教材进行重新编写。出版了一套全新的教材--"统一的现代数学"（DICSM），并在相当大的范围内开展实验，这就是所谓"新数运动"的开端。六十年代以后，它几乎波及了所有西方国家。世界各地相继出现了大量的新课本，新课程。至此，在西方国家中，"新数运动"达到了高潮。

"新数运动"来势凶猛，但是由于实验不够，教师培训跟不上，过于急速推广等原因使这场运动带来了盲目性和理想化。到了六十年代末和七十年代初，就逐渐暴露出改革中的问题，表现在中学基础教学质量的大幅度下降，如学生计算能力的削弱、数学应用能力缺乏。因此，"新数运动"遭到了教师、家长及一些数学教育工作者的猛烈的批评，于是1973年在美国又出现了一个"回到基础"（Back to Basics）的教学口号。重新强调学生用纸和笔来计算。

"新数运动"对数学教育改革最突出之点是在对传统几何课程的改革。最有典型意义的例子是法国布尔巴基学派的主要成员之一，狄奥东尼（）1959年在法国莱雅蒙成（Royaumont），由欧洲经济共同体成员参加的会议（OEEC）上所作的演讲，充分体现了"新数运动"对传统几何课程的看法，下面我们摘录演讲一部分如下：（见《数学课程发展》杰·豪森等著，陈应枢译，人民教育出版社，1991年版P86-89）。

《近50年来，数学家们不仅引入新的概念，而且引入新的语言，一种根据数学研究的需要，由经验产生的语言，这种语言能简明精确地表达数学，这种功能被反复检验，并已赢得普遍的认可。

但是直到现在，中学里还顽固地反对介绍这种新术语（至少法国如此），他们坚持使用那种过时的不适用的语言。因而当学生进入大学时，他们可能从未听到过如集合、映射、群、向量空间等这样的普通数学词汇，当他接触到高等数学时感到困惑、沮丧也就毫不奇怪了。

近来在中学的后2年或3年已经介绍了一些初等微积分、向量代数和一点解析几何知识，但这些课题常常被置于次要地位，兴趣中心仍和以前一样，保持在"或多或少地按照欧几里德方式纯粹几何，再加上一点代数和数论"。

我认为，拼拼凑凑的时代已经过去，我们的使命是进行一次深刻得多的改革--除非我们甘愿使状况恶化到严重妨碍科学进一步发展的地步，如果把我思想中的全部规划总结成一句口号的话，那就是：欧几里德滚出去！

这些话可能使你们中的某些人受到震动，但我愿意详细地告诉你们一些充足的论据，以支持这些论述，……

这个结论也许有点耸人听闻，为了论证，我们假是某人要向一个来自另外世界的思想成熟的人教授平面欧氏几何，此人从未听说过欧氏几何，或者只是见到过它现代研究中的应用。那么，我想整个课程只需二三个小时就能解决问题--其中一个小时用来叙述公理体系，一个小时讲那些有用的结论，第三个小时拿做少量有趣味的练习。

……

我所说的有用的结论，一方面是指二维线性代数（线性相关、基、直线、变换群和位似映射、平行线、线性映射、线性型和线性方程），这些只由公理体系（A）（二维实线性空间公理）得出：组成了所谓的平面仿射几何。另一方面是指正交性、圆、旋转、对称、角及等距群，这些则来源于公理体系（B）（内积空间）。

当然，由此观点看，"纯"几何与"解析"几何之间古老的争论就变得没有意义了，他们都只是向量语言的翻版而已（顺便说一句，直接应用向量语言常常更好些），完全可以按同一路线来发展三维几何，……

……

当然，"传统至上"的捍卫者对此会有个现成问答：不管人们是否相信，按他们的方式授欧氏几何，是启发儿童的思维使之真正理解数学的唯一方法。但由于从未试验过其他的方案，就我看来，这与其说是可取的主张，还不如说是一种信条》。

1980年8月在美国加州的伯克利（Berkeley）举行的第四届国际数学教育会议（ICME--IV）上对这场运动的成败作了分析与评估。特别是对中学教育阶段为什么要学习几何重新作了反思，认识到几何教学并不是一件容易的事。但是在许多国家，对于在几何教学中所产生的各种问题和障碍却并不是面对它，克服它，而是仅仅采取毫无替代地删除其主要部分的方式，以逾越这些障碍，这种做法并不可取。甚至钬奥东尼本人在1980年的（ICME--IV）会议上断言说：几何"突然冲破了其传统狭隘的束缚，……，已经显露出其潜在的力量及其异乎寻常的多面性和适应性。从而成为数学最广泛和最用的工具之一。"这与他在1959年所说的"欧几里德滚出去"！的说法已有很大的不同了。