重庆市巴蜀中学高一数学下学期期末试卷(含解析)

2015-2016学年重庆市巴蜀中学高一（下）期末数学试卷一、选择题（共12×5=60分）1．直线的倾斜角为（）A．B．C． D．2．圆x2+y2+2x+y=0的半径是（）A．B．C．D．3．直线l1：mx﹣y=0与直线l2：x﹣my+4=0互相平行，则实数m的值为（）A．1 B．﹣1 C．0 D．±14．函数y=（x＞0）的最大值为（）A．2 B．C．D．5．已知非零向量满足（+）⊥（﹣），且||=||，则向量与的夹角为（）A．B．C．D．6．已知，则z=x﹣2y的取值范围是（）A．[﹣8，12] B．[﹣4，12] C．[﹣4，4] D．[﹣8，4]7．△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且c2﹣b2=ab，C=，则的值为（）A．B．1 C．2 D．38．已知x1＞x2＞x3，若不等式恒成立，则实数m的最大值为（）A．9 B．7 C．3+2D．1+9．递增的等差数列{a n}满足：a1+a2+a3=12，a1a2a3=63，S n是数列{a n}的前n项和，则使S n＞2018的最小整数n的值为（）A．80 B．84 C．87 D．8910．已知椭圆=1（a＞b＞0）的左顶点、上顶点、右焦点分别为A、B、F，且∠ABF=90°，则的值为（）A．B．C．D．11．已知数列{a n}满足：a1=1，a n+1﹣a n=2n（n∈N*），数列b n=），T n=b1+b2+…+b n，则T10的值为（）A． B． C．D．12．已知直线l与椭圆=1（a＞b＞0）相切于直角坐标系的第一象限的点P（x0，y0），且直线l与x、y轴分别相交于点A、B，当△AOB（O为坐标原点）的面积最小时，∠F1PF2=60°（F1、F2是椭圆的两个焦点），若此时∠F1PF2的内角平分线长度为a，则实数m的值是（）A．B．C．D．二、填空题（共20分）13．已知x＞y＞0，则与中较大者是．14．△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，B=，sinA：sinC=4：3，且△ABC 的面积为，则c= ．15．等边△ABC的边长为2，且，则= ．16．已知圆C的圆心在直线x+y﹣2=0上，圆C经过点（2，﹣2）且被x轴截得的弦长为2，则圆C的标准方程为．三、解答题（共70分）17．已知椭圆=1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在该椭圆上．（1）求实数m的取值范围；（2）若m=5，且|PF1|=3，求点P到x轴的距离．18．△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，角A为锐角，且．（1）求角C的大小；（2）求sinA+sinB的取值范围．19．已知圆的方程为x2+y2﹣2x﹣2my+2m2﹣4m+1=0（m∈R）．（1）当该圆的半径最长时，求m的值；（2）在满足（1）的条件下，若该圆的圆周上到直线l：2kx﹣2y+4+﹣3k=0的距离等于1的点有且只有3个，求实数k的值．20．已知S n是数列{a n}的前n项和，且a1=2，a n+1=3S n﹣2（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=），求证，b1b2+b2b3+…+b n b n+1＜3（n∈N*）．21．已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率为，且点（2，）在C上．（1）求C的方程；（2）过点P（2，1）的直线l与椭圆C交于A，B两点，且AB的中点恰为P，求直线l的方程．22．已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的两焦点F1、F2与短轴两端点构成四边形为正方形，又点M是C上任意一点，且△MF1F2的周长为2+2．（1）求椭圆C的方程；（2）若过点M（2，0）的直线与椭圆C相交于两点A、B，设P为椭圆E上一点，且满足（O为坐标原点），当|AB|＜时，求实数t的取值范围．2015-2016学年重庆市巴蜀中学高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12×5=60分）1．直线的倾斜角为（）A．B．C． D．【考点】直线的倾斜角．【分析】求出直线的斜率，从而求出直线的倾斜角即可．【解答】解：直线，即x+y=3，故直线的斜率是k=﹣，故倾斜角是：，故选：D．2．圆x2+y2+2x+y=0的半径是（）A．B．C．D．【考点】圆的一般方程．【分析】化圆的方程为标准方程，即可求出半径．【解答】解：把圆x2+y2+2x+y=0化标准方程为：，则圆x2+y2+2x+y=0的半径是：．故选：B．3．直线l1：mx﹣y=0与直线l2：x﹣my+4=0互相平行，则实数m的值为（）A．1 B．﹣1 C．0 D．±1【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】由直线与直线平行的性质得m≠0，且，由此能求出m的值．【解答】解：∵直线l1：mx﹣y=0与直线l2：x﹣my+4=0互相平行，∴m≠0，且，解得m=±1．故选：D．4．函数y=（x＞0）的最大值为（）A．2 B．C．D．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】将函数y化为6﹣（x+），由基本不等式a+b≥2（a，b＞0，a=b取得等号），计算即可得到所求最大值．【解答】解：∵x＞0，∴y====6﹣（x+）≤6﹣2=6﹣4=2，当且仅当x=即x=2时，取得最大值2．故选：A．5．已知非零向量满足（+）⊥（﹣），且||=||，则向量与的夹角为（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量垂直的等价条件建立方程关系，结合数量积的应用进行求解即可．【解答】解：∵（+）⊥（﹣），且||=||，∴（+）•（﹣）=0，即2﹣2﹣•=0，即22﹣2﹣×|||cos＜，＞=0，则﹣×cos＜，＞=0，则cos＜，＞=，则＜，＞=，故选：A6．已知，则z=x﹣2y的取值范围是（）A．[﹣8，12] B．[﹣4，12] C．[﹣4，4] D．[﹣8，4]【考点】简单线性规划．【分析】画出不等式组表示的平面区域，利用目标函数的几何意义求其最值．【解答】解：不等式组表示的平面区域如图，当直线y=x﹣经过图中B时z最大，经过D时z最小，又得到B（4，﹣4），由得到D（0，4），所以x﹣2y的最大值为4+2×4=12，最小值为0﹣2×4=﹣8；所以z=x﹣2y的取值范围是[﹣8，12]；故选A．7．△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且c2﹣b2=ab，C=，则的值为（）A．B．1 C．2 D．3【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】由于已知及余弦定理可解得a=2b，利用正弦定理即可得解．【解答】解：∵C=，∴由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab，∵c2﹣b2=ab，∴a2+b2﹣ab=b2+ab，解得：a=2b，∴利用正弦定理可得：．故选：C．8．已知x1＞x2＞x3，若不等式恒成立，则实数m的最大值为（）A．9 B．7 C．3+2D．1+【考点】数列与不等式的综合．【分析】通过变形可知问题转化为求+2•的最小值，进而利用基本不等式计算即得结论．【解答】解：∵x1＞x2＞x3，∴x1﹣x2＞0，x2﹣x3＞0，x1﹣x3＞0，又∵，∴m≤（x1﹣x3）（+）=+2•=3++2•，∵+2•≥2=2，∴m≤3+2，故选：C．9．递增的等差数列{a n}满足：a1+a2+a3=12，a1a2a3=63，S n是数列{a n}的前n项和，则使S n＞2018的最小整数n的值为（）A．80 B．84 C．87 D．89【考点】等差数列的前n项和．【分析】由等差数列通项公式列出方程组，求出首项和公差，从而求出S n=，由此能求出使S n＞2018的最小整数n的值．【解答】解：递增的等差数列{a n}满足：a1+a2+a3=12，a1a2a3=63，∴，解得，d=，=，∵S n＞2018，∴＞2018，∴n2+13n﹣8072＞0，解得n＞≈83.6，由n∈N*，∴使S n＞2018的最小整数n的值为84．故选：B．10．已知椭圆=1（a＞b＞0）的左顶点、上顶点、右焦点分别为A、B、F，且∠ABF=90°，则的值为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用椭圆的性质用a，b，c表示出△ABF的边长，利用勾股定理列方程得出a，b，c的关系．【解答】解：由椭圆的定义可知|AF|=a+c，|AB|=，|BF|=a，∵∠ABF=90°，∴|AB|2+|BF|2=|AF|2，即a2+b2+a2=a2+c2+2ac，∴a2+b2=c2+2ac．又b2=a2﹣c2，∴a2﹣c2﹣ac=0，即（）2+﹣1=0，∴=，∴===．故选：D．11．已知数列{a n}满足：a1=1，a n+1﹣a n=2n（n∈N*），数列b n=），T n=b1+b2+…+b n，则T10的值为（）A． B． C．D．【考点】数列的求和．【分析】利用累加法先求出数列{a n}的通项公式，利用数列的递推关系求出数列{b n}的通项公式，利用错位相减法进行求和即可．【解答】解：∵a1=1，a n+1﹣a n=2n（n∈N*），∴a2﹣a1=2，a3﹣a2=22，a4﹣a3=23，…a n﹣a n﹣1=2n﹣1，等式两边同时相加得：a n﹣a1=2+22+23+…2n﹣1，即a n=a1+2+22+23+…2n﹣1=1+2+22+23+…2n﹣1==2n﹣1，b n=）===，则T n=+++…+，①则T n=+++…++，②①﹣②得T n=+++…+﹣=﹣=1﹣（）n﹣，则T n=2﹣﹣=2﹣．则T10=2﹣=2﹣=2﹣=．故选：B12．已知直线l与椭圆=1（a＞b＞0）相切于直角坐标系的第一象限的点P（x0，y0），且直线l与x、y轴分别相交于点A、B，当△AOB（O为坐标原点）的面积最小时，∠F1PF2=60°（F1、F2是椭圆的两个焦点），若此时∠F1PF2的内角平分线长度为a，则实数m的值是（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意，切线方程为=1，利用基本不等式，结合△AOB（O为坐标原点）的面积最小，可得切点坐标，利用三角形的面积公式，建立方程，即可求出实数m的值．【解答】解：由题意，切线方程为=1，∵直线l与x、y轴分别相交于点A、B，∴A（，0），B（0，），∴S△AOB=，∵=1≥，∴≥，∴S△AOB≥ab，当且仅当==时，△AOB（O为坐标原点）的面积最小，设|PF1|=x，|PF2|=y，由余弦定理可得4c2=x2+y2﹣xy，∴xy=b2，∴==b2，∴=b2，∴x0==b，∴c=b，∴a= b∵∠F1PF2的内角平分线长度为a，∴×x×a×+×y×a×=b2，∴×（x+y）=b2，∴××2a=b2，∴m=．故选：A．二、填空题（共20分）13．已知x＞y＞0，则与中较大者是．【考点】不等式的证明．【分析】根据已知中x＞y＞0，利用作差法，可得与的大小关系，进而得到答案．【解答】解：∵x＞y＞0，∴x﹣y＞0，y+1＞0，﹣=＞0，故与中较大者是，故答案为：14．△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，B=，sinA：sinC=4：3，且△ABC的面积为，则c= ．【考点】正弦定理．【分析】由正弦定理和条件求出a：c的值，根据三角形的面积公式列出方程，联立方程后求出c的值．【解答】解：∵sinA：sinC=4：3，∴由正弦定理得，a：c=4：3，①∵B=，且△ABC的面积为，∴，解得ac=4，②由①②解得，c=，故答案为：．15．等边△ABC的边长为2，且，则= ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据平面向量数量积的定义进行转化求解即可．【解答】解：∵，∴=， =，即D是BC的中点，则=（+）•（+）=（﹣+）•（+）= [﹣2+2+•﹣•]= [﹣4+×42+×2×2cos60°﹣2×2×cos60°]=（﹣4++﹣2）==，故答案为：16．已知圆C的圆心在直线x+y﹣2=0上，圆C经过点（2，﹣2）且被x轴截得的弦长为2，则圆C的标准方程为（x﹣3）2+（y+1）2=2或（x﹣5）2+（y+3）2=10 ．【考点】圆的标准方程．【分析】由题意，设圆心坐标为（a，2﹣a），则r2=（a﹣2）2+（2﹣a+22）=12+（2﹣a）2，求出a，r，可得圆心与半径，即可求出圆C的标准方程．【解答】解：由题意，设圆心坐标为（a，2﹣a），则r2=（a﹣2）2+（2﹣a+22）=12+（2﹣a）2，∴a=3，r=或a=5，r=，∴圆C的标准方程为（x﹣3）2+（y+1）2=2或（x﹣5）2+（y+3）2=10．故答案为：（x﹣3）2+（y+1）2=2或（x﹣5）2+（y+3）2=10．三、解答题（共70分）17．已知椭圆=1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在该椭圆上．（1）求实数m的取值范围；（2）若m=5，且|PF1|=3，求点P到x轴的距离．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意，，即可求实数m的取值范围；（2）求出|PF2|=1，|F1F2|=2，可得|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2，即可求点P到x轴的距离．【解答】解：（1）由题意，，∴3＜m＜9且m≠6；（2）m=5，椭圆方程为=1，∴a=2，b=，c=∵|PF1|=3，∴|PF2|=1，∵|F1F2|=2，∴|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2，∴P到x轴的距离为1．18．△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，角A为锐角，且．（1）求角C的大小；（2）求sinA+sinB的取值范围．【考点】正弦定理．【分析】（1）根据二倍角的正弦公式、商的关系化简后，再由余弦定理化简后求出C的值；（2）由（1）和内角和定理表示B，利用诱导公式、两角和的正弦公式化简后，由角A为锐角和正弦函数的性质，求出sinA+sinB的取值范围．【解答】解：（1）由题意得，，∴，得，∵角A为锐角，∴cosA=，由余弦定理得，，化简得c2=a2+b2，∴C=；（2）由（1）得，A+B=，则B=﹣A，∴sinA+sinB=sinA+sin（﹣A）=sinA+cosA=，由得，，∴，则，∴sinA+sinB的取值范围是（1，]．19．已知圆的方程为x2+y2﹣2x﹣2my+2m2﹣4m+1=0（m∈R）．（1）当该圆的半径最长时，求m的值；（2）在满足（1）的条件下，若该圆的圆周上到直线l：2kx﹣2y+4+﹣3k=0的距离等于1的点有且只有3个，求实数k的值．【考点】直线与圆的位置关系；圆的一般方程．【分析】（1）圆的方程x2+y2﹣2x﹣2my+2m2﹣4m+1=0化为（x﹣1）2+（y﹣m）2=﹣m2+4m，当﹣m2+4m＞0时表示圆，半径最大时，﹣m2+4m取得最大值，求出对应m的值；（2）圆周上到直线l的距离等于1的点有且只有3个时，圆心到直线l的距离d=r﹣1，列出方程求出k的值．【解答】解：（1）圆的方程x2+y2﹣2x﹣2my+2m2﹣4m+1=0可化为：（x﹣1）2+（y﹣m）2=﹣m2+4m，它表示圆时，应有﹣m2+4m＞0，解得0＜m＜4；当半径最大时，应有﹣m2+4m最大，此时m=2，圆的方程为 x2+y2﹣2x﹣4y+1=0；（2）圆的方程x2+y2﹣2x﹣4y+1=0，化为（x﹣1）2+（y﹣2）2=4；该圆的圆周上到直线l：2kx﹣2y+4+﹣3k=0的距离等于1的点有且只有3个，则圆心（1，2）到直线l的距离d等于半径r﹣1，即=1，化简得=4k2+4，解得k=﹣．20．已知S n是数列{a n}的前n项和，且a1=2，a n+1=3S n﹣2（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=），求证，b1b2+b2b3+…+b n b n+1＜3（n∈N*）．【考点】数列与不等式的综合；数列递推式．【分析】（1）当n≥2时通过a n+1=3S n﹣2与a n=3S n﹣1﹣2作差，进而整理即得结论；（2）通过（1）可知数列{b n}的通项公式，利用裂项相消法计算即得结论．【解答】（1）解：∵a n+1=3S n﹣2，∴当n≥2时，a n=3S n﹣1﹣2，两式相减得：a n+1﹣a n=3a n，即a n+1=4a n（n≥2），又∵a1=2，a2=3S1﹣2=4，∴数列{a n}的通项公式a n=；（2）证明：由（1）可知b n=，∵当n≥2时，b n b n+1==﹣，∴b1b2+b2b3+…+b n b n+1=2×1+（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）=3﹣＜3．21．已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率为，且点（2，）在C上．（1）求C的方程；（2）过点P（2，1）的直线l与椭圆C交于A，B两点，且AB的中点恰为P，求直线l的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）根据椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率为，且点（2，）在C上，建立方程，可a2=16，b2=8，即可求出C的方程；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=4，y1+y2=2，利用点差法求出直线的向量，可求直线l的方程．【解答】解：（1）∵椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率为，且点（2，）在C 上，∴=， =1∴a2=16，b2=8，∴C的方程为=1；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=4，y1+y2=2；由（1）知，8x12+16y12=128，①8x22+16y22=128，②①﹣②得：8（x1+x2）（x1﹣x2）+16（y1+y2）（y2﹣y1）=0，∴32（x1﹣x2）+32（y2﹣y1）=0，由题意知，直线l的斜率存在，k=﹣1，∴直线l的方程为y﹣1=﹣（x﹣2），即x+y﹣3=0．22．已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的两焦点F1、F2与短轴两端点构成四边形为正方形，又点M是C上任意一点，且△MF1F2的周长为2+2．（1）求椭圆C的方程；（2）若过点M（2，0）的直线与椭圆C相交于两点A、B，设P为椭圆E上一点，且满足（O为坐标原点），当|AB|＜时，求实数t的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）运用椭圆的定义和范围，可得2a+2c=2+2，b=c，a2﹣b2=c2，解方程可得a，b，即可得到椭圆方程；（2）由题意知直AB的斜率存在．AB：y=k（x﹣2），将直线的方程代入椭圆的方程，消去y 得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得k值取值范围，再结合向量的坐标运算利用点P在椭圆上，建立k与t的关系式，利用函数的单调性求出实数t取值范围，从而解决问题．【解答】解：（1）△MF1F2的周长是2+2，即为|MF1|+|MF2|+|F1F2|=2a+2c=2+2，由椭圆C： =1（a＞b＞0）的两焦点F1、F2与短轴两端点构成四边形为正方形，即有b=c，a2﹣b2=c2，解得a=，b=1，则椭圆的方程为y2=1；（2）由题意知直AB的斜率存在．AB：y=k（x﹣2），设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y）代入椭圆方程，得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0，△=64k4﹣4（2k2+1）（8k2﹣2）＞0，k2＜∴x1x2=，x1+x2=，∵|AB|＜，∴|x1﹣x2|＜，∴（1+k2）[（）2﹣4×]＜，∴（4k2﹣1）（14k2+13）＞0，∴k2＞，∴＜k2＜，∵满足，∴（x1+x2，y1+y2）=t（x，y），∴x==•，y=•（y1+y2）=，∵点P在椭圆上，∴（•）2+2（）2=2∴16k2=t2（1+2k2）∴t2==8﹣，由于＜k2＜，∴﹣2＜t＜﹣或＜t＜2∴实数t取值范围为：﹣2＜t＜﹣或＜t＜2．。