不定积分的定义和性质-PPT课件

（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）
例5 求积分
3 (1x2

2 )dx.
1x2
解:
3 ( 1x2
2 1x2
)dx
3
1 dx2 1x2
1 dx 1x2
3arctanx2arcsinx C 1 x x2
例6 求积分 x (1 x 2 ) d x.
6
例2 求
1 1 x2 dx.
解:
arctanx
1 1x2
,
11x2dxarctanxC.
二、不定积分的基本性质
由不定积分的定义，可知
ddxf(x)dxf(x),
d[f(x)dx]f(x)dx,
F(x)dxF(x)C,
dF(x)F(x)C.
(2) xdxx1 1C (1);
(3) dxxln| x|C;
说明： x
0


dx x

ln
x

C,
x0,[ln(x)] 1 ( x) 1
x
x
dxx ln(x)C,

dx x
ln|
x|
C.
(4) 11x2dxarctanxC; (1 0 ) s e cxta n x d x s e cx C ;
则称函数 F ( x ) 是已知函数 f ( x ) 在该区间上的一个原函数。
例 sinx cosx
sin x是cos x的原函数.
lnx 1 (x0)
x
ln x是 1 在区间(0,)内的原函数. x
原函数存在定理：
如果函数 f ( x ) 在区间 I 内连续，那么在区间 I 内存在可导 函数 F ( x ) ， 使x I 都有F(x)f(x).
称为 f ( x )在区间 I 内的不定积分，记为 f ( x)dx 。
即： f(x)dxF(x)C
积分号
被积 函数
积分 变量
积分常数
求不定积分的中心问题是
寻求被积函数f ( x ) 的一个
原函数。
例1 求 x 5 d x .
解:

x6 6


x5,
x5dx x6 C.
（2）若 F ( x和) G都( x是) 的f 原( x函) 数，则
F(x)G(x)C（C为任意常数）
证： F (x) G (x)F (x) G (x)f(x)f(x)0
F(x)G (x)C （ C为任意常数）
不定积分的定义：
在区间 I 内，函数 f ( x ) 的带有任意常数项的原函数
三、不定积分的性质
(1) [f(x)g(x)]dxf(x)dxg(x)dx;
(2) kf(x)dxk f (x)dx.（k 是常数，k 0)

现证(1) f(x)dxg(x)dx


f(x)dxg(x)dx f(x)g(x).
等式成立.
简言之：连续函数一定有原函数.
问题：(1) 原函数是否唯一？ (2) 若不唯一它们之间有什么联系？
例 sinx cosx sinxC cosx（C为任意常数）
s in x C ,s in x 都 是 c o s x 的 原 函 数 。
关于原函数的说明：
（1）若 F(x)，f(则x)对于任意常数 ， C F(x) C 都是 f ( x ) 的原函数。

C.
7
例4 求积分 3x e x dx.
2 根据积分公式（2）
解 3x e xdx (3e)xdx l(n3(e3x)ex)dxCx1311xlenx3C C
对被积函数稍加变形，化为指 数函数形式。据公式（13）
(13) axdx ax C; lna
(5)

1 dxarcsinxC; 1x2
( 1 1 )c s c x c o tx d x c s c x C ;
(6) cosxdxsinxC ; (12) exdxexC;
(7 ) sinxd xco sxC ; (13)
axdx ax C; lna
12cos2
dx x1

1 2

1 cos2
x
dx

1 tan x C. 2
四、不定积分的几何意义
若 y F(x)是 f ( x ) 的一个原函数，则称 y F(x)的图形是
结论能：否微根分据运求算导与公求式不得定出积积分分的公运式算？是互逆的.
实例:

x 1




1


Байду номын сангаас
x

xdx x1 C.
1
( 1)
结论：既然积分运算和微分运算是互逆的，
因此可以根据求导公式得出积分公式.
基本积分表
(1 ) k d x k x C(k 是 常 数 ）
1 2x2
x2
(1

x2
dx )

1 x2 x2 x2 (1 x2 )
dx

1dx 1 dx
x2
1x2
1arctanxC. x
例8 求积分 1说c1o明s 2：x 以要dx上进. 几行例恒中等的变被形积，函才数能都使需用
解
1 dx 1 cos 2x

基本1积分表.
解： 1 x x 2 d x x (1 x 2 )

x (1 x2)dx x(1 x2)
1 1 x2

1 x
dx
11x2 dx1xdx a rc ta n x ln x C .
1 2x2
例7 求积分
x2
(1

x2
dx. )
解
(8) co d sx 2xsec2xdxtanxC ;
有一个导数公式就 相应地有一个不定
(9 ) sin d x 2xcsc2xd x co txC ;
积分公式。
例3 求积分 x2 xdx.
解
x2 xdx
5
x 2dx
5 1
x2 C 5 1

2
7
x2
第一节 不定积分的定义和性质
一、原函数与不定积分的概念 二、基本积分表 三、不定积分的性质 四、小结
一、原函数与不定积分的概念
定义1 设函数 f ( x ) 在某区间上有定义，如果存在函数F ( x ) ，
对于该区间上任一点 x ，使
F '(x )f(x )或 d F (x )f(x )d x