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高数利用定积分定义求极限

（一）定积分的定义其中，分割是任意的分割，想怎么分就怎么分，任意分！分割的目的在于第二步的代替。

代替什么呢？就是“化曲为直”，用直线来近似代替那段曲线，为什么这时候能够用直线来近似代替那段曲线了？就是因为第一步的分割呀！因为你第一步的分割分的让每个子区间足够小，小的让在小区间内随便取一点，代入到被积函数中，它的值都一样！既然都一样了，此时就可以将曲线看成直线了，此时这段小区间的面积就可以近似看作是小矩形的面积，宽就是小区间长度，长就是将这一点代入被积函数后的值。

大家对照着上面的图一，看看上面讲的n等分法，这就是考研里面的特殊分割！你之前是任意分割，现在我就取个特殊，我将这个区间分成n等份，每一份的区间长度都是n分之一。

而近似呢，你之前的定义是说取小区间的任意一点，我这时候就取个特殊点，我取每个小区间的右端点！把这个右端点代入到被积函数中，用它的函数值来近似代替这段曲线上的每一点值，即：你要想明白1/n代表什么？它代表的是矩形面积微元中的那个宽！小 f 这个函数代表什么？它代表的是矩形面积微元中的那个长！（二）利用定积分定义求极限的题目特征在哪些题目需要考虑用定积分的定义？或者说这类题目有什么样的特征？汤老师是这样总结的：用定积分定义求极限的题目具有如下的特征：1、分子齐（都是1次或0次）；2、分母齐（都是2次）；3、分母比分子多一次；这里的“齐”是什么意思呢？举两个例子就明白了：比如说例1这个题：这个题，他的分母都是2次，是齐的，分子都是1次，分母比分子多一次。

又比如例2：这个题，它的分母都是1次，是齐的，分子都是0次（因为都是1，可以看做是0次方），分母比分子多一次。

像上面这两道题，就是典型的利用定积分定义做的。

两道题的求解步骤分别如下所示：。

考研数学专题利用定积分的几何意义求和式极限

2
ln xdx
1
故选择 B.
注：根据定积分的几何意义，易知如果将 C 选项改为 2 1ln(1 x)dx 也正确。利 0 用分部积分法容易算出结果,即：
lim ln n
n
1
1 n
2
1
2 n
2
1
n n
2
2
2
ln xdx 4 ln 2 2.
1
例题
1.2： lim n
n
1
1 n
2
1
2 n
们来看具体的做法。
解：先对原式进行适当的放缩
lim
n
sin k n
n k 1 n 1
lim
n
n k 1
sin k n
n 1
lim
n
sin k n
n n k 1
，下面利用定积分的定义求两侧极限，
k
lim
n
sin k n
n n k 1
1
sin
0
xdx
1
cos
x |10
2
,
lim
这道题目应该深刻体会和式的极限与定积分之间的转化并且熟悉定积分
的几何意义。
解：
lim ln
n
n
1
1 n
2
1
2 n
2
1
n 2 n
lim
n
1 n
(ln
1
1 n
2
1
2 n
2
1
n n
2
)

2
lim
n
1 n
(ln
1
1 n
ln
1

XX年考研资料数学：利用定积分的定义求极限.doc

2018考研数学：利用定积分的定义求极限对于多项求和再取极限的题目初次接触往往会觉得无从下手，考试中高度紧张的情况下甚至会选择直接放弃。

像下面这样，多项的乘积求和的形式统称为“积和式”.在学过定积分的定义后，会发现积和式的形式与定积分“分割、近似、求和、取极限”类似，当遇到积和式求极限的题目，自然想到能不能将其转化为求函数的定积分来简化计算。

由以上例子可知，利用定积分的定义来计算“积和式”的极限，大大减少了计算量，从而有效节省了解题时间.这类题目不仅考查数列极限的知识点，而且考查了定积分的定义，因此，在历年考试中受到出题人的“青睐”，在复习过程中应该特别引起重视，相信会得到很好的复习效果，对大家的复习大有帮助!赠送以下资料数学解题方法与技巧全汇总，考试就能派上用场！很多同学总是特别头疼数学成绩，要知道数学题只要掌握了方法，就能够迅速提升。

距离高考还有99天，小编特地为大家整理了一份高中数学老师都推荐的数学解题方法，这里面的21种方法涵盖了高中数学的方方面面，可以说是高中数学解题方法大综合，各位同学一定要记得收藏哦！解决绝对值问题主要包括化简、求值、方程、不等式、函数等题，基本思路是：把含绝对值的问题转化为不含绝对值的问题。

具体转化方法有：①分类讨论法:根据绝对值符号中的数或式子的正、零、负分情况去掉绝对值。

②零点分段讨论法：适用于含一个字母的多个绝对值的情况。

③两边平方法：适用于两边非负的方程或不等式。

④几何意义法：适用于有明显几何意义的情况。

因式分解根据项数选择方法和按照一般步骤是顺利进行因式分解的重要技巧。

因式分解的一般步骤是：提取公因式选择用公式十字相乘法分组分解法拆项添项法配方法利用完全平方公式把一个式子或部分化为完全平方式就是配方法，它是数学中的重要方法和技巧。

配方法的主要根据有：换元法解某些复杂的特型方程要用到“换元法”。

换元法解方程的一般步骤是：设元→换元→解元→还元待定系数法待定系数法是在已知对象形式的条件下求对象的一种方法。

专题1——利用定积分定义求极限 (1)

专题1——利用定积分定义求极限 (1) 哎呀，这可是个大问题啊！今天我们来聊聊一个特别重要的数学概念——极限。

你们知道吗？极限可是数学里的灵魂啊！它就像是我们生活中的大佬，总是能解决我们遇到的各种难题。

极限到底是什么呢？别着急，我给大家慢慢道来。

我们要明白什么是定积分。

定积分就像是一种加法，它可以把无穷多个小矩形拼接起来，形成一个更大的矩形。

这个更大的矩形的面积就是我们要找的那个数。

这个过程可能会遇到一个问题——无穷多个小矩形怎么才能拼成一个大矩形呢？这时候，我们就需要用到极限的概念了。

极限就像是一个桥梁，它可以帮助我们把无穷多个小矩形联系起来。

当我们把无穷多个小矩形的面积相加时，如果结果是一个无限大的数，那么我们就可以说这个数是无穷大；如果结果是一个有限的数，那么我们就可以说这个数是有限的。

而极限就是帮助我们确定这个数到底是无穷大还是有限的。

怎么求极限呢？其实，求极限的方法有很多种。

这里我给大家介绍一种最简单、最直接的方法——四分之法。

具体操作方法就是：把分子和分母都除以同一个非零常数，然后再求极限。

这样做的好处是，可以简化我们的计算过程，让我们更容易地找到答案。

求极限并不是一件容易的事情。

有时候，我们需要通过一些巧妙的方法来突破困境。

比如说，我们可以利用“夹逼定理”来求极限。

这个定理告诉我们，如果一个函数在某个区间内单调递增或单调递减，那么它在这个区间内的极限就是它的端点值。

这样一来，我们就可以通过比较两个端点值的大小来求出函数在这个区间内的极限了。

还有一种求极限的方法叫做“洛必达法则”。

这个法则适用于那些形式比较复杂的极限问题。

它的操作方法是：先对分子和分母分别求导，然后再求极限。

这样做的好处是，可以帮助我们找到隐藏在复杂表达式中的规律，从而更容易地求出极限。

求极限是数学中的一个重要概念，也是我们解决实际问题的关键。

虽然求极限的过程可能会遇到很多困难，但是只要我们掌握了正确的方法，就一定能够攻克这些难关。

8定积分应用(求极限,变上限求导,面积,体积,不等式)

y
o
x
4.设 y ax与 y x 2 围成图形的面积为s1 , 它们与x 1 围成图形的面积为s2 , 且 0 a 1 (1) 求 a , 使 s1 s2 最小
(2) 求此最小值对应的平面图形绕 x 轴旋转而得的旋转体体积. 解 (1) 0 a 1 时, s s1 s2
例
x sin( xt ) f ( x) . lim 2 ，其中 f ( x) 2 dt x x 0 x t
例 : 设f ( x )连续, 且f ( 0 ) 0
求 lim
x0
x
0
( x t ) f (t )dt
x 0
x f ( x t )dt
1 ( ) 2
例.
例
3
设隐函数y y( x )由
o
x
1 3 1 2 （） (1 y 2 y) dy ( y y y ) . 1 S 0 3 3 0 2 2 1 2 2 （2） V ( x) dx ( x 1) dx 0 1 6 2
1 2
1
(3)绕直线 x 2 旋转所得旋转体的体积.
例
.设f ( x)为奇函数，且当 0时，f ( x) 0 x
sin( xt ) f ( x) 0, 其中 f ( x) 2 dt，令 x t
x
F ( x) f ( xt)dt tf (t 2 x 2 )dt,
1 0
1
x
判别F (x)在，上的凹凸性
3 2 2
2 f ( ) f ( ) 0
(2).设f ( x)在2,4上可导, 且
f (2) ( x 1) f ( x)dx 。

数列极限定积分求法

数列极限定积分求法数列极限是数学中的一个重要概念，它描述了数列中的元素随着序号的增大趋向于某个确定的值。

而定积分则是微积分中的一个重要概念，用于计算曲线与坐标轴之间的面积。

本文将介绍如何利用定积分的方法来求解数列的极限。

在介绍定积分求解数列极限的方法之前，我们先来回顾一下数列极限的定义。

对于一个数列{an}，如果存在一个实数a，对于任意给定的正数ε，都存在正整数N，使得当n>N时，有|an-a|<ε成立，那么我们称数列{an}的极限为a，记作lim(n→∞)an=a。

现在我们来看如何利用定积分的方法来求解数列的极限。

假设我们要求解数列{an}的极限lim(n→∞)an，我们可以将数列中的元素表示为函数的形式，即an=f(n)，其中f(n)是一个关于n的函数。

然后我们可以将数列中的元素与函数的图像进行对应，将数列中的元素看作是函数图像上的一系列点。

接下来，我们可以利用定积分的方法来计算函数图像下的面积。

具体来说，我们可以将函数图像下的面积分成若干个小矩形，然后将这些小矩形的面积相加，得到整个函数图像下的面积。

这个过程可以用定积分的符号来表示，即∫f(x)dx，其中f(x)是函数的表达式，dx表示对x进行积分。

在计算函数图像下的面积时，我们可以选择合适的积分区间。

对于数列极限的求解，我们通常选择积分区间为[1,∞)，因为数列的序号n是从1开始递增的。

这样，我们就可以将数列的极限转化为定积分的形式，即lim(n→∞)an=∫[1,∞)f(x)dx。

通过计算定积分，我们可以得到数列的极限的近似值。

具体来说，我们可以选择一个足够大的正整数N，将积分区间[1,N]分成若干个小区间，然后计算每个小区间上的函数值乘以区间长度的和，即Σf(x)Δx，其中Δx表示小区间的长度。

随着N的增大，这个和会趋向于一个确定的值，这个值就是数列的极限的近似值。

需要注意的是，定积分求解数列极限的方法是一种近似方法，得到的结果只是数列极限的近似值，并不是精确值。

运用定积分求极限

运用定积分求极限修正后：求极限的方法层出不穷，但最常用的方法有极限的定义和性质、重要极限的结论、洛必达法则以及泰勒公式等。

应用极限的定义时，往往是在极限的结果已经比较明显，只需要根据极限的定义把相关式子进行放缩便可得到相应的结果。

但这种方法一方面叙述上比较麻烦，另一方面也只适用于看上去容易放缩的式子。

重要极限的结论形式上要求非常严格，只能解决两种形式的极限问题。

洛必达法则是用于解决“$\frac{0}{0}$”型的极限和“$\frac{\infty}{\infty}$”型极限的。

泰勒公式适宜于解决求分式极限中分子或分母有加减运算的问题，通过___展式后可以达到某些项抵消效果。

但若仔细观察这些方法，其特点不是表达较繁琐就是仅仅应用到微分学知识。

事实上，微分学和积分学的关系正如中小学时代研究过的加法与减法、乘法与除法、乘方与开方以及幂运算与取对数运算的关系一样，它们互为逆运算。

如果也能用到积分学知识来解决求极限的问题，那么求极限的方法才算完美。

而利用定积分求极限正体现了这一理念。

下面回顾一下定积分以及极限的定义：定积分：设函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上有定义，在闭区间$[a,b]$内任意插入$n-1$个分点将$[a,b]$分成$n$个区间$[x_{i-1},x_i]$，记$\Delta x_i=x_i-x_{i-1}(i=1,2,\dots,n)$，$\forall \xi\in[x_{i-1},x_i]$，作乘积$f(\xi_i)\Delta x_i$（称为积分元），把这些乘积相加得到和式$\sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Deltax_i$（称为积分形式）。

设$\lambda=\max\{\Delta i\leq n\}$，若$\lim\limits_{\lambda\to 0}\sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i$极限存在唯一且该极限值与区间$[a,b]$的分法$\lambda\to 0$及分点$\xi_i$的取法无关，则称这个唯一的极限值为函数$f(x)$在$[a,b]$上的定积分，记作$\int_a^b f(x)\mathrm{d}x$，即$\int_a^b f(x)\mathrm{d}x=\lim\limits_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i$。

专题利用定积分定义求极限

专题1——利用定积分定义求极限对于满足如下条件的极限，可以考虑采用利用定积分定义求极限的方法：① 是n →∞时的极限② 极限运算中含有连加符号1n i =∑在定积分的定义中，我们把区间[,]a b 平均分成n 个小区间（定积分的定义中是任意分割区间[,]a b ，我们当然可以平均分割），那么每个小区间的长度为b a n-（即定义中的i x ∆），这n 个小区间分别为[,]b a a a n -+，[,2]b a b a a a n n --++，[2,3]b a b a a a n n--++，……，[(2),(1)]b a b a a n a n n n --+-+-，[(1),]b a a n b n-+-，在定义中每个小区间上任意取的i ξ我们一致取为每个小区间的右端点i b a a i n ξ-=+（也可以取左端点(1)i b a a i n ξ-=+-），那么定义中的1()n i ii f x ξ=∆∑就变为1()n i b a b a f a i n n =--+∑，那么1lim ()()n b a n i b a b a f a i f x dx n n →∞=--+=∑⎰。

（取左端点时1lim ((1))()n b a n i b a b a f a i f x dx n n→∞=--+-=∑⎰）注意：定积分的定义中0λ→表示的意思是把区间分割为无线个小区间（n →∞也表示把区间分割成无数个小区间，但是在任意分割的前提下，不能用n →∞来表示把区间分割成无数个小区间，这里的原因我是理解的，但是不好表述，你清楚结论就行了），当分割方式为均等分割时，n →∞就表示把区间分割成无数个小区间，所以这里是1lim ()()n b a n i b a b a f a i f x dx n n →∞=--+=∑⎰，而不是01lim ()()n b a i b a b a f a i f x dx n n λ→=--+=∑⎰。

考研数学：用定积分的定义求极限

f ( x)
在区间
[ a, b]
上有界，在，这样
[ a, b]
内任意插入
n 1
个分点
a x0 x1 x2 ... x n 1 x n b [ xi 1 , xi ], (i 1, 2,..., n)
用 xi
[ a, b]
就被分为了
1i n
0
i 1
…………………………………………………………………………………………取极限
则作dx lim f (i )xi ，其中 f ( x) 称为被积函数， f ( x)dx 称为被积式， x 称
0
i 1
n
为积分变量， [a, b] 称为积分区间， b, a 分别称为积分上、下限。我们从定积分的定义内容可知，定积分的本质其实就是和式的极限。因此，我们可以利用定积分的定义来计算和式的极限。 2.利用定积分的定义求极限基本公式： lim
i 1 i
n
i
f (1 )x1 f (2 )x2 f (n )xn …………………求和 f ( x)
在区间 [ a, b] 上的定积分，记令
称
f ( x)
在区间 [ a, b] 上可积，该极限称之为
n
max(xi ) ，如果有极限 lim f (i )xi 存在且与 [a, b] 的划分及 i 的选取无关
取自 xi 处，那么和式极限就可以表示为 lim
n
f nn
i 1
n
i 1
1
0
f ( x)dx
考研试题中的应用：我们 2017 年研究生考试数一、二、三中就出现了这种题型。例题:求 lim

浅谈用定积分的定义解决极限问题

浅谈用定积分的定义解决极限问题王涛（周恩来政府管理学院政治学与行政学 0612723）摘要：数学是一门锻炼人的逻辑思维能力的科目。

我们在学习数学的过程中经常遇到的是计算题和证明题，掌握一定的方法和技巧对于我们快速地解出题目是非常有帮助的。

有些方法和技巧其实是对定义、概念深入理解所得到的。

本文主要探讨用定积分的定义来解决求极限的问题。

关键词：定积分的定义；定积分；极限；曲边梯形的面积在高等数学的学习中，微积分的学习占有很大的比重，地位也是很重要的。

微积分分为微分学和积分学，而微分运算与积分运算之间是互为逆运算的关系。

我们通常把微分运算看作正向运算，而把积分运算看作是微分的逆运算，在以往的实际学习上我们也可以看出这点：加减法，乘除法，平方开方，指数对数，三角函数反三角函数等等。

而在高等数学的学习中我们首先接触的是微分，然后是积分；从掌握程度上，我们对于正向运算的掌握程度可能要好于逆向运算，不管是学习的速度还是做题的准确性，正向运算可能都要好于逆向运算。

然而正逆运算是互通的，熟练掌握这两种运算对于增加解题方法，做到融会贯通都是很有帮助的。

下面就来介绍用积分学中定积分的定义来解决微分学中极限的问题。

我们一般在求解极限问题时，经常用到的方法是：极限的定义、性质，几种重要极限、洛必达法则、泰勒公式等。

但这些方法都局限于微分学中，没有超越微分学的范围，而我们知道微分与积分是互为逆运算的，那么运用积分学的方法来解决极限问题是否可行？答案是肯定的。

用定积分的定义就是解决极限问题的又一方法。

要用定积分的定义来求解极限问题，我们首先要弄清定积分的定义。

定积分的定义：设函数y =)(x f 定义在区间[]b a ,上有界，在[]b a ,上任意插入分点：a =n n x x x x ＜＜＜＜110-⋯=b ,令i x ∆=1--i i x x ，又任取[∈i ξi i x x ,1-], i =1,2,…n .作和式i ni i n x f I ∆∑==)(1ξ，令{}i ni x x ∆=∆≤≤m a x 1，如果当0→∆i x 时，和式n I 的极限存在，且此极限与[]b a ,的分法及i ξ的取法无关，则称函数)(x f 在[]b a ,上是可积的，并称该极限值为)(x f 在[]b a ,上的定积分，记作⎰b adx x f )(，即i ni i b ax x f dx x f ∆=∑⎰=→∆)()(10lim ξ.其中函数)(x f 称为被积函数，dx x f )(称为被积表达式，x 称为积分变量，a 称为积分下限，b 称为积分上限，[]b a ,称为积分区间。

利用定积分求极限

［ａ，ｂ］
区间等分，
取
ξｉ＝ｘｉ
或
ξｉ＝ｘｉ－１
所以
Δｘｉ
＝
ｂ－ａｎ
，ξｉ＝ａ＋
ｂ－ａｎ
ｉ或
ξｉ＝ａ＋
ｂ－ａｎ
（ｉ－１）。于是：
" ! " ｌｉｍｂ－ａ
ｎ
ｆ（ａ＋ｂ－ａｉ）＝
ｂ
ｆ（ｘ）ｄｘ或ｌｉｍ
ｂ－
ａ
ｎ
ｆ（ａ＋ｂ－ａ（ｉ－１））＝
ｎ λ→∞
ｉ＝１
ｎ
ａ
１
例４求ｌｉｍ（ｎ＋１ ·ｎ＋２ … ｎ＋ｎ）ｎ
ｎ→∞ ｎ
ｎ
ｎ
１
解：原式＝ｌｉｍ［（１＋１）·（１＋２）… （１＋ｎ）］ｎ
ｎ→∞
ｎ
ｎ
ｎ
（下转第１０７页）
科技信息
高校理科研究
层支持，以多种网络传输途径，将数据和后台数据服务器进行数据传输。在本系统的网络部分设计中，在局域网内利用Ｌｉｎｕｘ系统的提供的ＴＣＰ／ＩＰ协议支持，在编程中采用了动态与服务器建立连接的方法，在读取到标签信息并解码出有效信息的时候，向服务器相应端口发送相应的Ｓｏｃｋｅｔ请求信息，服务器端接受到请求后建立连接并新建Ｓｏｃｋｅｔ端口来和终端进行通信；只有在读取数据的时候数据库和终端间才产生数据传输和占用服务器端资源，从而降低了网络占有率和服务器端的负荷，提高了网络通信的效率。
042800010203040506070807083000121110090807060504030201000200160001000000020009现在对这个包进行解析根据协议规定接受包标签回复盘存总结042800010203040506070807083000121110090807060504030201000200160001000000020009标签1回复标签1id长度协议控制字标签1id标签1id长度044word64bit标签id协议控制字2800从而得出标签1id0102030405060708标签2回复标签2id长度协议控制字标签2id标签1id长度066word96bit标签id协议控制字3000得出标签2id121110090807060504030201而又有盘存总结标签数回复crc错误冲突次数通信轮数所以得到标签数1回复crc错误0冲突次数2通信轮在提取标签信息后则可以将所获得的标签信息送到嵌入式数据库模块进行本地暂存同时通过网络模块上传至后台服务器做记录中间的接口函数部分就不详细给出了

(完整版)专题1——利用定积分定义求极限(1)

（取左端点时1lim((1))()n b a n i b a b a f a i f x dx n n →∞=--+-=∑⎰）注意：定积分的定义中0λ→表示的意思是把区间分割为无线个小区间（n →∞也表示把区间分割成无数个小区间，但是在任意分割的前提下，不能用n →∞来表示把区间分割成无数个小区间，这里的原因我是理解的，但是不好表述，你清楚结论就行了），当分割方式为均等分割时，n →∞就表示把区间分割成无数个小区间，所以这里是1lim()()n b a n i b a b a f a i f x dx n n→∞=--+=∑⎰，而不是01lim ()()n b a i b a b a f a i f x dx n nλ→=--+=∑⎰。

定积分求极限例题

定积分求极限例题定积分是微积分中的重要概念之一，用于计算曲线下方的面积或者曲线围成的图形的面积。

在求定积分的过程中，有时需要考虑极限的问题。

下面我们来看一个例题：已知函数$f(x)=frac{1}{x}$，求$lim_{ntoinfty}sum_{i=1}^{n}frac{1}{n+i}$的极限。

首先，我们将$sum_{i=1}^{n}frac{1}{n+i}$转化为定积分的形式。

对于函数$f(x)=frac{1}{x}$，我们需要计算从1到2的定积分，即$int_{1}^{2}frac{1}{x}dx$。

根据定积分的定义，我们可以将区间$[1,2]$分成$n$个小区间，每个小区间的宽度为$frac{1}{n}$。

于是，我们可以将$int_{1}^{2}frac{1}{x}dx$近似为$frac{1}{n}sum_{i=1}^{n}frac{1}{1+frac{i}{n}}$。

进一步，我们可以将$frac{1}{1+frac{i}{n}}$展开为$frac{1}{1+frac{i}{n}}=frac{n}{n+i}$。

于是，我们的问题可以转化为求$lim_{ntoinfty}frac{1}{n}sum_{i=1}^{n}frac{n}{n+i}$的极限。

接下来，我们可以将$frac{1}{n}sum_{i=1}^{n}frac{n}{n+i}$简化为$frac{1}{n}sum_{i=1}^{n}frac{1}{1+frac{i}{n}}$，再进一步化简为$int_{0}^{1}frac{1}{1+x}dx$。

计算出$int_{0}^{1}frac{1}{1+x}dx$，我们得到结果为$ln(2)$。

所以，原问题的极限为$ln(2)$。

通过这个例题，我们可以看到定积分在求极限问题中的应用。

将求和转化为定积分，可以更方便地计算极限。

同时，这个例题也展示了定积分的定义和计算过程。

除了这个例题之外，定积分求极限还有很多其他的例题。

利用定积分定义求极限(by汤)

= lim Xn k
n
n!1
n+k n+n+1
k=1
= lim 1 Xn 1
n!1
n
k=1
1
+
k n
1 Z1 =
1
dx
2 0 1+x
1 2
= ln 2 1 2
n +
n+n
Ã n n+n+1
Example 7: 求极限:
lim
1
bn
1
X n 1 i bn
sin
b
2i +1 2n
(b > 1):
n!1
i =0
lim 1 Xn i = 1 n!1 n n
i =1
Z
1
x dx
=
1
0
2
故由夹逼准则知
p
p
lim
12 23
+
+
n!1 n2 + 1 n2 + 2
p
!
n (n + 1) 1
+
=
n2 + n
2
Example 3:
求极限:
I
= lim 1p + 3p + + (2n
n!1
np+1
1)p

Solution
考虑
利用定积分定义求极限
1 入门题
同济 7 的 p226
Zb
Xn
f (x) dx = I = lim f ( i )∆xi ; xi 1 6
a
!0 i=1
6 xi
做题时的公式

定积分定义求极限公式

考研数学——定积分定义求极限众所周知，2021年考研数学大纲进行了很大的调整，很多知识点的要求也更加深刻，其中对于定积分定义求极限部分的要求也有了很大提高，如果同学们对定积分定义求极限的复习还停留在最基本的公式层面是远远无法满足考试的要求的，而且从调整后的真题也能反映出来，考试对这一内容的要求是更加灵活的，这就需要大家对定积分的定义有着深刻的理解。

1）用定积分定义求极限基本思路：再由分部积分求定积分，上述方法属于定积分定义求极限的基本方法，但这还远远不够，接下来我们介绍这一公式在目前考研中的变化方向。

2）两个变形方向①积分区间的变化：前文中我们说了，一般情况下积分区间是，但是考试这一块是可以灵活变化的。

针对这种情况，可以先用上述公司把定义写成原始积分，再对区间进行调整。

此时，我们发现选项中没有对应选项，区别是选项中的区间都是，此时我们就需要调整积分区间，即积分上下限，换元即可，令T=1+X 可得：【解析】由上述公式知此题取的算术平均值，故直接选出B选项。

此题划分方式的变化较简单，我们再来看其他形式。

【解析】（1）式，显然是原始公式，即右端点，正确。

（2）式，对应的是算术平均值，正确。

（3）式，对应的是左端点，正确。

（4）式，将区间划分成段2n段，仍然选取右端点，正确。

（5）式，对应几何平均值，正确。

（6）式，对应调和平均值，正确。

故选D。

根据以上的讲解，相信大家能够发现，定积分定义求极限的变化方向多，灵活度广，就需要大家在学习中，一方面能够深刻理解微元法的思想及定积分定义的内容，另一方面也要掌握其中变形的方向和技巧，且备综合应用能力。

以此类推其他考点，也希望大家在学习中能够全面的把握知识点并结合考试要求进行理解和学习。

定积分求极限的几个例子

定积分求极限的几个例子
1、n lim1/n ∑ sin(kπ/n） = s【0,1】sin
我们将区间分为n个小区间每个区间均为1/n
lim1/n ∑ sin(kπ/n)的极限等于面积其中变量应该是k而不是n n 的取值只是影响面求极限后积精确度所以把n看做一个常数因为所求的图形已经确定而n的取值又影响到了k的取值范围所以我们把k/n看做一个变量整体 k/n的取值范围是1/n~n/n也就是0~1 将kπ/n=x相当于将uπ=x而u属于0~1；相当于变量换成x而x属于0~π(重点你的问题出在换成x以后是d(x/π)而不是d(x))
如果要写作积分模式的话就是∫sin(πu)du在0~1的定积分或者是∫sin(x)d(x/π)在0~π的定积分
2、用定积分定义求极限基本思路：
再由分部积分求定积分，。

巧用定积分求极限(数学分析)

定积分在求极限中的应用1.常识预备微积分学在大学的数学进修中占领相当重要的地位.然而,求极限又是微积分学中经常要面对的问题.是以,积聚更多求极限的办法应是每位大学生必备的素养.“00”型的极限和“∞∞”型极限的.泰勒公式合适于解决求分式极限平分子或分母有加减运算的问题,经由过程泰勒展式后可以达到某些项抵消后果.但若细心不雅察这些办法,其特色不是表达较繁琐就是仅仅应用到微分学常识.事实上,微分学和积分学的关系正如中小学时期进修过的加法与减法,乘法与除法,乘方与开方以及幂运算与取对数运算的关系一样,他们互为逆运算.倘使也能用到积分学常识来解决求极限的问题,那么求极限的办法才算完美.而应用定积分求极限正表现了这一理念. 1.2定积分的概念下面起首让我们回想一下定积分以及极限的界说:定积分:设函数()f x 在闭区间[],a b 上有界说,在闭区间[],a b 内随意率性拔出n-1个分点将[],a b 分成n个区间[,]x i i x x -,记(1,2,,i i i x x x i n ∆=-=）,1[,]i i x x ξ-∀∈,作乘积()i i f x ξ∆(称为积分元),把这些乘积相加得到和式1()niii f xξ=∆∑(称为积分情势)设{}max :1i x i n λ=∆≤≤,若1lim ()ni ii f x λξ→=∆∑极限消失独一且该极限值与区是[],a b 的分法及分点i ξ的取法无关,则称这个独一的极限值为函数()f x 在[],a b 上的定积分,记作b a ()f x dx⎰,即1()lim ()nbai ii f x dx f x λξ→=⎰=∆∑.不然称()f x 在[],a b 上不成积.注1:由牛顿莱布尼兹公式知,盘算定积分与原函数有关,故这里借助了不定积分的符号.注2:若()b a f x dx⎰消失,区间[],a b 进行特别朋分,分点i ξ进行特别的取法得到的和式极限消失且与定积分的值相等,但反之不成立,这种思惟在考题中经常消失,请读者要真正懂得.注3:定积分是否消失或者值是若干只与被积函数式和积分区间有关与积分变量用什么字母暗示无关,即()()().b b ba a a f x dx f t dt f u du ⎰=⎰=⎰细心不雅察定积分的界说,我们必定会发明定积分的极限有以下两个特点.第一,定积分是无穷项和式的极限,轻易知道一般项在项数趋近于无穷大时极限值必定趋近于零,不然和式极限不消失.第二,定积分与某一持续函数有慎密的关系,它的一般项受到这一持续函数的束缚,它是持续函数在某个区间长进行了无穷的朋分,各小区间上随意率性的函数值与区间长度的乘积的累加.对于极限,大学重要进修了数列的极限和函数的极限.数列的极限是用于解决离散的天然数的相干极限,而函数的极限则重要用于解决持续函数的相干极限.那么就让我们先一一往返想它们吧！极限的概念数列的极限设{}n a 为数列,a 为实数,若对任给的正数ε,总消失正整数N ,使得当n N >时有||n a a ε-<, 则称数列{}n a 收敛于a ,实数a 称为数列{}n a 的极限,并记作lim n n a a→∞=或()n a a n →→∞.(读作:当n 趋于无穷大时,n a 的极限等于a 或n a趋于a ).因为n 限于取正整数,所以在数列极限的记号中把n →+∞写成n →∞,即lim n n a a→∞=或()n a a n →→∞.若数列{}n a 没有极限,则称{}n a 不收敛,或称{}n a 为发散数列.注1:关于ε:①εε的感化在于权衡数列通项n a 与常数a 的接近程度,ε越小,暗示接近得越好;而正数ε可以随意率性小,解释n a 与常数a 可以接近到任何程度;②εε有其随意率性性,但一经给出,就临时地被肯定下来,以便依附它来求出Ｎ;③ε的多值性.ε既是随意率性小的正数,那么2,3,2εεε等等,同样也是随意率性小的正数,是以界说１中的不等式||n a a ε-<中的ε可用2,3,2εεε“||n a a ε-<”可用“||n a a ε-≤”代替;④正因为ε是随意率性小的正数,我们可以限制ε小于一个肯定的正数.注2:关于N :①响应性,一般地,N 随ε的变小而变大,是以常把N 界说作()N ε来强调,N 是依附于ε的;ε一经给定,就可以找到一个N ;②N 多值性N 的响应性其实不料味着N 是由ε独一肯定的,因为对给定的ε,若100N =时能使得当n N >时,有||n a a ε-<,则101N =N 不是独一的.事实上,在很多场合下,最重要的是N 的消失性,而不是它的值有多大.基于此,在实际应用中的N 也不必限于天然数,只如果N 正数即可;并且把“n N >”改为“n N >”也无妨.函数的极限设函数()f x 在点0x A ,对于随意率性给定的正数ε(不管它有何等小),总消失某正数δ,使得当x 知足不等式00x x δ<-<时,对应的函数值()f x 都知足不等式()f x A ε-<,那么常数A 就叫做函数()f x 当0x x →时的极限,记为0lim ()()()x x f x A f x A x x →=→→或当.可以看出,数列极限与函数极限界说的思惟是一致的,都是响应的某个表达上的值无穷地接近某个常数值.不合的是数列是离散的,数列中的项在跳跃式地接近,而函数是持续的,函数值在逐渐地接近,但二者都能与响应的常数值以随意率性程度地接近. 2.定积分与极限定积分在求极限中应用概述不难看出,无论是数列的极限照样函数的极限,它们都与定积分的界说消失着千丝万缕的关系,那么就让我们来揭晓它们之间玄机与奥妙吧.事实上,定积分的界说中蕴含着一列数｛()i i f x ξ∆｝的和,并且只要ix ∆充分地小,和式1()niii f xξ=∆∑就可以随意率性地接近肯定的实数J=()b a f x dx⎰,这恰是极限思惟的消失,即1lim ()J ()nb i i a n i f x f x dxξ→∞=∆==⎰∑.这就为我们求极限供给了一种奇特而有力的办法——应用定积分求极限.因为在积分学中有大量的积分公式,所以我们应用之解决浩瀚类型的和式极限. 定积分求极限中应用思惟的形成先让我们看一个简略的例子: 例1.求极限111lim()122n J n n n →∞++=++….分析:此极限式的求解,不轻易直接用极限的界说解决,因为该法往往是用来一边盘算一边证实某个极限成果已经比较明显的问题,是以这里不合适;重要极限的结论显然也在这里没有效武之地,因为情势上根本不合;再斟酌洛必达轨则,它不是无穷比无穷型的极限也非零比零型的极限,也不成能用到此法;那么泰勒公式呢？泰勒公式往往是用来解决持续函数的极限问题,经由过程泰勒展式往往能把非多项式情势的表达式转化成多项式情势,以简化情势从而求解,看来这里也不实用.那是不是就没有什么合适的办法了呢？答案当然是否认的,事实上,它从情势上与定积分的界说照样有一些相像的,那么就让我们测验测验用定积分的办法来解决这个问题吧！解:把此极限式转化为某个积分情势,从而盘算定积分.为此做如下变形:111lim 1nn i J i n n →∞==+∑.不难看出,个中的和式是函数1()1f x x =+在区间[]0,1上的一个积分和(这里取得是等量朋分,11,[,],1,2,i i i i i x i nn n n n ξ-∆==∈=…).所以,J=11001ln(1=ln21dx x x =++⎰）.从该例题的解法中可以看出,本题的症结是将极限和转化为积分和,从而应用了定积分将所求极限水到渠成.于是,我们可以总结出定积分在求极限中应用的一般办法步调:Sept1将和式极限1lim ()nn i g i →∞=∑经由变形,使其成为积分情势1lim ()ni in i f x ξ→∞=∆∑.这里常取11,[,],1,2,i i i i i x i nn n n n ξ-∆==∈=…;Sept2肯定积分函数的高低限. a=lim (i n i ξ→∞取第一个值）lim (i n b i ξ→∞=取最后一个值）;Sept3用x 代换i ξ,写出定积分表达式()baf x dx⎰,并求出原极限的值.经由过程以上的一般办法步调,我们在面对无穷项和式的极限问题时就有方可依,有法可循了.如今让我们再来看一个例子,并从中细心领会以上办法步调. 例2.求极限222222111lim (12n n n n n n →∞+++++…+）.解:Sept1 化和式极限为积分情势.原极限=22211111lim lim 1(nn n n i i i n i n n →∞→∞===++∑∑）. 显然,这里1,(i i ix n nξ=∆=即是进行N 等分）,被积函数可算作()21f x ,1,2,.1+i n x ==…Sept2 肯定积分函数高低限.Sept3 写出积分表达式并求出积分值.原极限=110201arctan 14dx x x π==+⎰.对于本题,我们是紧紧按照方才总结出的办法步调进行的,并顺遂地求出了原题的极限值.这是一个具体的例子,那么我们是否可以总结出更为一般性结论呢？答案天然是肯定的. 3.应用定积分求极限一般性结论的综述及其应用至此,我们可以得出如下结论:结论1假如函数()f x 在区间[],a b 上持续,将区间[],a b 进行n 等分,1[(()],i i i i b a b a b a x n n n ξ--∈--∆=），,那么,1lim ()()nb i a n i b a f f x dx n ξ→∞=-=∑⎰.事实上,持续函数必定可积,而将区间[],a b 进行n 等分也是朋分T的一种特别情况.依据定积分的界说,上述结论成立.当然,其实不是所有的用到定积分求极限的问题中都要严厉用到上面总结出的三个步调,我们可视情况灵巧处理,比方无需用到某一步调或者还需用到其他求极限的思惟等.下面我们再看一组求极限的习题,以充分感触感染结论1的用处. 习题组11)sinsinsinlim[]1112n n n n n n n n πππ→∞+++++2n ….这组习题都是无穷项式子和的极限问题,都可以把定积分的思惟应用到求极限中去.如今就让我们用结论1来解决这些求极限的问题,并从不合习题中查找出异同,以加深对结论1的控制和熟习.解:(1) 分析原极限显然可以算作()sin f x x π=在[]0,1上的定积分.故(2)分析先经由过程恒等变形,原极限式=11lim nn i n →∞=,被积函数()f x =,积分区间是[]0,1,于是原极限值=11022(13)33dx x =+=⎰; (3)分析原和式极限的通项是sin in i n n π+不成以算作是关于i n的某一个函数,但是留意到:应用结论1,上面不等式左端可以取极限,即111211lim (sin sin sin )lim sin [lim sin ][lim ]1+1+1nn n n n n i i n n i i n n n n n n n n n n n πππππ→∞→∞→∞→∞==+++=⋅⋅=⋅+∑∑…=12[sin ]1xdx ππ⋅=⎰,上面不等式右端可以取极限,即1011212lim (sin sin sin )lim sin sin n n n i n i xdx n n n n nn ππππππ→∞→∞=+++=⋅==∑⎰…. 于是,由极限的迫敛性可知原极限值=2π.这组题均典范地应用了定积分的盘算,从而求出了各极限.我们发明,只要找到某个持续函数()f x ,并能把这个和式极限1lim ()nn i g i →∞=∑转化成积分情势1limf ()n i n n→∞⋅,我们就只需盘算出f(x)在[0,1]上的积分值,从而肯定出原极限值.这三个习题中,例题1的式子无需再进行恒等变形,因为其情势上已经是limn →∞f(i n )1n ⋅了;习题2与习题3情势上直不雅上不是limn →∞f(i n )1n⋅的情势,因为式子n →∞与式子sinsinsinlim[]1112n n n n n n n n πππ→∞+++++2n …都不含i n的项.为此,我们须要对习题2以及习题3极限的式子进行恒等变形,经由过程提取公因式等手腕使其消失in ()f x ,例如习题3,我们可以用极限的一些性质,如极限的迫敛性,从而间接地求出原和式极限的极限值. 一般性结论的深化及推广接下来,我们对结论1进行恰当的推广,以得到更多情势的极限的求法.推论1假如函数(),(),()()f x g x f x g x ⋅均在[],a b 上可积, 证实:起首,(),(),()()f x g x f x g x ⋅均在[],a b 上可积. 又因为1,,i i i i n n ξη-⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,0(i x n ∆→→∞当）,所以,lim lim .i i n n ξη→∞→∞=于是,1lim ()()ni i ii f g x λξη→=∆∑=1lim ()()ni i ii f g x λξξ→=∆∑=()()baf xg x dx⎰.例3.求极限:122lim [sin cos()sin cos()sin cos()]222n n n n n n n n n n n n n πππππππππ→∞-+-++-….解:由推论1可知,f(x)= 于是,原极限式=1210011sin cos sin 02x xdx x ππππ=⋅⋅=⎰.推论2设1ln ()ln ()0,1]lim.f x dx n f x e →∞⎰=在区间[上可积，则例4.试求:112lim()nn n n n n n n n →∞+++⋅⋅….推论3假如函数()f x 在区间[]0,1上可积,且()1()11121f x 0,lim[1+()][1+()][1+()]f x dx n nf f f e n n n n n n →∞⎰≥⋅⋅=则….证实:记A=11121lim[1+()][1+()][1+()]n nf f f n n n n n n→∞⋅⋅…,则11ln lim ln[1+()]nn i i A f n n →∞==∑10()()11()1011()1111lim ln[1+()]lim ln[1+()]11lim ln lim ()()A .n if i n nnf n nn n i i i nn f n n n i i f x dx i if f n n n nn n ie f f x dxn nn e ⋅→∞→∞==→∞→∞======⋅=⎰=∑∑∑∑⎰于是，例5.盘算22212lim(1)(1)(1)333n n n n n →∞+⋅++….解:本题也可以直接应用推论3,这三个推论是对结论1的须要填补与完美.情势上我们不但有无穷项式子和的极限,还衍生出了无穷项式子乘积的极限.它们都是顺着结论1的思绪持续进行摸索,从情势上丰硕了定积分在求极限中应用这一思惟,但从本质上讲,它们与结论1是一致的.它们都紧紧抓住了定积分概念的本质,意识到定积分是无穷项和的极限,应用数学的一些基赋性质,对各式子进行恒等变形,尽量把不合情势的极限向定积分界说中的和式上去挨近.最终经由过程简略清楚明了的定积分公式,求出定积分的值来,以肯定出原极限的值.由这三个推论来看,111111111lim (),lim ()(),,[,],lim [()],lim [1+()]n n nn ni i i i n n n n i i i i i i i i i f f g f f n n n n n n n n ξηξη→∞→∞→∞→∞====-⋅∈∑∑∏∏对于等情势的极限,我们都有方可循,用定积分的办法轻易求出其极限来.对于任何一种数学办法,只要我们细心地不雅察与推究,都能将其结论或应用规模加以推广,就像结论1.如今让我们来看一组习题,以领会以上诸推论.如今,我们已经积聚了多种乞降式极限的办法,它们是往后应用定积分化决极限类问题的最佳模子与典范.那就再让我们来看一组习题,以熟习与巩固1111lim (),lim nnn n i i i f n n n →∞→∞==∑∑等情势的极限吧.下面这组习题分解用到了以上各结论与推论. 习题组2用定积分的办法盘算下列各极限.11111()(),,[,],lim [()],lim [1+()]n nn i i i in n i i i i i i f g f f n n n n n ξηξη→∞→∞==-⋅∈∏∏(1)222111lim [](1)(2)()n n n n n n →∞++++++…; (2)11111212111lim [()sin(+()sin(++()sin(]232323n n n n n n n n n n n n n n n n →∞------））…）;(3)lim n →∞(4)111lim(1)(1)(1)12n n n n n →∞++++++….解:分析以上例题都轻易恒等变形,使其知足结论1或者推论1至推论3的前提.于是, (1)122222*********lim []();(1)(2)()(1)21n n i n dx i n n n n n x n →∞=+++===+++++∑⎰ (2)11111212111lim [()sin(+()sin(++()sin(]232323n n n n n n n n n n n n n n n n →∞------））…） =11sin ni i i n ξη=⋅∑,1,[,],1,2,1i i i i i n n n ξη-∈=-… =10sin sin1cos1;x xdx =-⎰(3)1011ln(1)21lim lim[(1)]2n x dx n n n i i e n ππ-+→∞→∞=⎰=+⋅=∏ 22(1)ln(1)1ππ=++-; (4)1011111111lim(1)(1)(1)(1)2121n dx x n i e i n n n n n n +→∞=⎰+++=+⋅==++++∏….定积分在求极限中应用思惟的转移至此,我们已经深深的领会到了各类情势的定积分在极限中应用的感化.仅仅于此,我们尚不克不及知足,我们可以把定积分在求极限中的应用思惟借鉴到其他方面.例如,应用这种思惟办法来证实一些不等式,或者用之解决一些庞杂一点的求极限问题.下面将举例解释.例 6.证实:若函数()f x 在[],a b 上持续,且对于[],x a b ∀∈,有()0f x >,则21()()()bb a a f x dx dx b a f x ≥-⎰⎰.证实:已知()f x 与()g x 在[],a b [],a b 进行N 等分,分点是01n a x x x b =<<=…<.在第K 个区间上取1,k k k k b a x x x n ξ--=-=.由算数平均不小于几何平均,有 121111(()1(()()n n k n nk k k k k k k f x f x b a b a f x b a n f x n n n ====--⋅⋅⋅=-⋅⋅≥∑∑∑∑））22(()b a b a -=-）21()()()b b a a n f x dx dx b a f x →∞≥-⎰⎰当时，有.领会:本例刚巧反过来,将积分和转化为极限和的情势,并应用了算术平均数不小于几何平均数这一结论,将问题化繁为简.较好地熟习与控制定积分与极限之间的关系是解决本问题的症结.该例题解释,我们应当充分熟习到定积分在极限中的感化,并能做到灵巧变通,恰当情况下,二者可以互相转化,将问题化难为易,从而达到解决问题的目标.例7.试求极限(21)!!lim[](2)!!n m m →∞-.分析:该问题似乎不克不及直接应用结论1或推论1至推论3来求极限.因为极限的表达式不轻易化成以上结论或者推论的情况.但是,该问题的解决就真用不到定积分了吗？答案是否认的.在解决该问题之前,照样先让我们看一下沃利斯公式的由来吧！沃利斯公式:2(2)!!1lim[](21)!!212m m m m π→∞⋅=-+.证实:令20sin ,1,2,n n J xdx n π==⎰…,则当2n ≥时用分部积分法轻易求得移项并整顿后可得递推公式:21, 2.n n n J J n n --=≥因为 220100,sin 1,2J dx J xdx πππ====⎰⎰反复应用上面的递推公式可得2212123122222()2222121213m m m m J m m m m J m m π+--⎫=⋅⋅⋅⎪⎪-**⎬-⎪=⋅⋅⋅⎪+-⎭……, 又因为2122-1222000sin sin sin m m m xdx xdx xdx πππ+<<⎰⎰⎰,再将**（）式代入,即可以得到 22(2)!!1(2)!!1[][](21)!!212(21)!!2m m m m A B m m m m π=<<=-+-,因为2(2)!!110[]0()(21)!!2(21)22m m m B A m m m m m π<-=<⋅→→∞-+,依据极限的迫敛性可知lim()0m m m B A →∞-=.而02m m m A B A π<-<-,故得沃利斯公式2(2)!!1lim[](21)!!212m m m m π→∞⋅=-+.如今让我们来细心看看沃利斯公式毕竟与定积分有什么关系吧!事实上,在盘算定积分20sin ,1,2,n n J xdx n π==⎰…时,我们奇妙地应用了定积分的递推表达式,如许我们才正真地查找到懂得决极限问题的金钥匙,看来定积分的运算照样在个中施展了不成低估的感化.那么就让我们直接应用该公式来商量例8问题吧！依据沃利斯公式2(2)!!1lim[](21)!!212m m m m π→∞⋅=-+,可知1(21)!!21lim lim 0(2)!!2m m m m m π→∞→∞-+==.从某种程度上讲,我们应用了定积分办法解决了例8中极限的问题.倘使我们采取其办法来求这个极限,生怕会走一些弯路.定积分在求极限中应用思惟的完美我们知道反常积分也是定积分在极限下界说出来的.以上的所有求极限问题都是将极限的表达式整体转化成积分情势,从而应用了定积分奇妙地求出了原极限的成果,那么能不克不及把定积分在求极限中局部应用呢？如今我们再来看一个有味的问题,以便解释此问题.例8.证实:1112lim 1ln n n n →∞++=…+.分析:这个例题不合于前面所有的例题,前面的例题,我们都能敏捷地将所求极限的表达式转化成1lim ()n i i n i f x ξ→∞=∆∑,而本例不成,但它情势上与我们评论辩论的定积分在求极限中应用的例子异常相像,因为式子中有无穷多项和11n i i =∑,所以我们就测验测验用定积分的办法来求它吧！把这个极限式子的分子进行恰当变形11111n n i i i in n ===∑∑.假如依据前面的经验,我们知道101111lim n n i dx i n x n →∞==∑⎰的.可是如今我们对两个问题有所质疑.第一,我们并没有把原极限式直接转化成积分情势;第二,即使局部用到了定积分101dx x ⎰,但我们知道101dx x =∞⎰ 110001111111lim(ln )lim(ln )ln 2lim lim lim 1ln ln lim ln lim ln lim ln ln n i x x n n x x x x i n dx x x n n x x n n x x x x ++=→→→∞→∞→+∞→+∞→+∞→+∞++-======∑⎰…+(这里我们同一了分子分母中的变量,同一用变量x,这里已经暗示变量x 是慢慢趋近,由数学分析中归结道理”,这个手腕是不影响极限成果的).最后我们求得其成果,1112lim 1ln n n n →∞++=…+.由此可以看到,在求极限的问题中,定积分的思惟不但可以对表达式整体应用,也可以对其进行局部应用.总之,只要我们擅长思虑书本上的一些概念以及分析它们之间接洽,我们就往往可以或许游刃有余地把一种数学思惟用于解决其他数学问题上.最后,让我们再来总结一下,定积分在求极限中应用时所应当留意的几个问题.第一,极限必须是无穷项和的极限,并且这些和的极限经由恰当的恒等变形之后能转化为定积分的情势.第二,应用定积分求极限时,往往还须要用到其他的一些求极限的办法和手腕,例如极限的迫敛性,重要极限的结论,取对数手腕等.第三,求极限一类问题往往须要应用各类手腕,如许才干做到事半功倍.4.论文总结再熟习数学经由过程以上商量,我们从新熟习了数学.我们在进行推理与应用时,是有深切领会的.数学本身是一门严谨的天然科学,因为它是一种思维的对象,是一种思惟办法,它照样一种理性的艺术.,数学具抽象性.数学概念是以极端抽象的情势消失的.本文中评论辩论的定积分以及极限更是如斯.与此同时,数学的研讨办法也是抽象的,这就是说数学命题的真谛性不克不及树立在经验之上,而必须依附于严厉的证实.当数学应用于实际问题的研讨时,其症结在于能树立一个较好的数学模子.我们在应用定积分求极限时,就已经失去了较好的数学模子——函数模子.解决实际问题的表现.第二,数学付与科学常识以逻辑的周密性和结论的靠得住性,是使熟习从感性阶段成长到理性阶段,并使理性熟习进一步深化的重要手腕.在数学中,每一个公式,定理都要严厉地从逻辑上加以证实今后才干够确立.当我们发清楚明了“结论1”之后,接踵经由周密的推理与论证后才拓展到了“推论1”至“推论3”.第三,数学是一种帮助对象和表示方法.我们在解决数学问题本身时,还必须依附于数学中的其他相干办法思绪.别的数学反应的是一种庞杂而抽象事物内部关系,但是我们仍然有简明的数学符号与形象光鲜的图形等来暗示它.无论是定积分照样极限,个中都用到了丰硕的数学符号,分开这些数学符号,我们的表达似乎显得寸步难行.数学是一种思惟办法.数学是研讨量的科学.它研讨客不雅对象量的变更,关系等,并在提炼量的纪律性的基本上形成各类有关量的推导和演算的办法.数学的思惟办法表现着它作为一般办法论的特点和性质,是物资世界质与量的同一,内容与情势的同一的最有效的表示方法.无论是定积分照样极限都离不开盘算,这就意味着它们中都蕴含着量的变更.数学照样一种理性的艺术.一般我们认为,艺术与数学是两种作风与本质都有着明显不合的事物.它们一个处于高度理性化的峰顶,另一个则位于精力世界的枢纽地带;一个是天然科学的代表,另一个则是美学的佳构.但是,在各种概况上无关甚至完整不合的现象死后却隐蔽着艺术与数学相当一致的一般意义.我们进行学术研讨纯粹是我们朝长进步以及求知欲的使令.艺术与数学都是公认的地球说话.艺术与数学在描写万事万物的进程中,还同时完美了自身的表示情势,这种表示情势最根本的载体等于艺术与数学各自奇特的说话特点.其配合特色有(1)超文化性.艺术与数学所表达的是一种带有广泛意义的人类配合的心声,因而它们可以超出时光和地域界线,实现不合文化群体之间的广泛传播和交换.(2)整体性.艺术的整体性来自于其艺术表示的广泛性和广泛性;数学的整体性来自于数学同一的符号系统,各个分支之间的有力接洽,配合的逻辑轨则和既约的表达方法.(3)简明性.它起首表示为很高的抽象程度,其次是凝冻与浓缩.(4)代表代表性可以诱发某种强烈的情绪体验,唤起某种美的享受,而意义则在于把留意力转向思维,上升为理念,成为表示人类心坎意图的方法.(5)情势性.在艺术与数学各行其是的符号与信息的寄义交换中,其配合的特点就是达到了实体与情势的分别.我们研讨的定积分在求极限中的应用,那种思惟以及符号呈现方法可被世界人悦纳.艺术与数学具有配合的精力价值.接洽关系的;艺术的价值也是不克不及以人的意志而转移.艺术与数学的价值根本上是在自身框架内被辨别,鉴赏和评价的.(2)超出性.它们可以超出时空,彰显永恒.在艺术与数学的价值超出进程中,实际得以异于其他种类文化与科学的明显特点之一.(4)多样化,物资化与广泛化.在现代技巧与贸易化的推进下,艺术与数学的价值也开端产生升华,消失了各自价值在很多范畴内的散射,渗入渗出,应用,交叉等情况.定积分在求极限中的应用,不但仅进献于数学本身,它将逐渐在其他范畴也施展必定的感化.停止语我们已经见到了定积分在求极限问题中应用的各类情势.事实上,只要我们对学过的某些概念居心的领会,并加以深入的思虑,我们就可能将其精华应用到数学的其他范畴.正如我们这里把定积分与极限联合起来,并进行了恰当推广,得到了较为知足的结论和推论.本文重要给大家介绍了定积分在求极限中应用.一开端我们就回想了定积分以及极限等大学数学进修中的重要概念.然后分析它们之间的内涵接洽,进而查找到了一种奇特的求极限的办法——借助定积分求极限.当然,这种思惟也并不是空穴来风,它是源于教材中某些例题中具有创新性思惟办法或者一些奇特的步调.因为不是所有的数学概念之间经由思虑推理,互相之间就能树立起接洽来.是以,在日常平凡的数学进修中,我们务必对教材中的根本概念加深领会,尤其是要把互相之间或多或少消失着某种关系的概念加以比较与分析.然后对其进行大胆的假设,并进行必定的逻辑证实.假如我们的假设成立,那就是我们发明的新事物,这对于我们发散思维与创新思维都是大有裨益的;假设不成立,我们也可更好地控制不合概念之间差别,这对于我们懂得常识都是有利益的.所以,在我们日常平凡的进修进程中,我们要积极去思虑,并大胆地进行某些恰当的假设,以晋升我们创新思维才能.求极限的办法可能还有更多,值得大家去思虑与发掘.愿望本文能起到抛砖引玉的目标,能激发更多的数学快活爱好者携起手来摸索出更多实用与奇妙的求极限的办法来.迎接大家对本文进行批驳与斧正.参考文献[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].高级教导出版社,2001．[2]刘玉琏,刘伟等.数学分析课本习题选解.北京,高级教导出版社,2002．[3]同济大学数学教研室.高级数学[M]北京, 高级教导出版社,1997．[4]王业.关于积分在求极限中的初探[R].全国专科院校数学会,1992．[5]刘树利.盘算机数学基本.北京.高级教导出版社,2001．[6]刘利茹,孙永华.高级黉舍经济数学系列教材.北京,高级教导出版社,2004．[7]陈吉象,戴英等.文科数学基本.北京高级教导出版社,2003．[8]天津大学数学比赛(人文学科及医学等类),2005．英文摘要Abstract:In solving limit problem, we often think of the ways including the definition of limit, important limits, L’Hospital’s rule an d Taylor’s formula etc. These methods have some limitations, however the definite integral is also limit form in essentially, it is also simple in。

关于利用定积分定义去解决数列极限问题总结(最新整理)

n1
f
k 0
k
n
1 n
第一项是f
0
n
=f
0
, 第二项是f
n- 1
n
,
n- 1 n
0 n
n- 1 n
n
f
k 1
k
n
1 n
第一项是f
1 n
,
第二项是f
n n
,
n n
1 n
n- 1 n
n- 1 我们发现这两种方法选取的第一个点和最后的一个点自变量相减都是，
n
n
1
1
n
1
2
AAA
1 2n
=
1 n
n
n
1
n
n
2
AAA
n
2n
现在问题又来了，
1
感觉括号里面还是找不到对应的规律啊，因为要出来 f 0
n
x dx =l i m f n k 1
k 1
n
n
也就是说要出来 k ，说的更详细点也就是每一项要出现 0 , 1 , 2 , 3 之类的，
n
nnnn
分析：因为每一项xnk
1 k 1含有n, 所以想到定积分，但是每一项并没有 n2
出来
1 n
,
所以转化一下xnk
1 k n2
1=
1 n
n
1 k n2
1
下面我要让式子中出现 k 这个整体有关的东西，不然没法利用定积分去做 n
xnk
1 n
n
1 k n2
1
=
1 n
n
k n2
1 n n
n 1
2n