专题1——利用定积分定义求极限.doc

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专题 1——利用定积分定义求极限

对于满足如下条件的极限,可以考虑采用利用定积分定义求极限的方法:

① 是 n

时的极限

n

② 极限运算中含有连加符号

i 1

在定积分的定义中, 我们把区间 [ a, b] 平均分成 n 个小区间 (定积分的定义中是任意分割区间 [ a, b] , 我们当然可以平均分割) ,那么每个小区间的长度为

b a

(即定义中的

x i ),这 n 个小区间分别为

n

[ a, a b a

] , [ a b a

, a 2

b a

] , [ a 2 b a , a 3 b a

] , , n n n n n

[ a (n 2)

b a

, a (n 1)

b a

] ,[ a ( n 1)

b a

, b] ,在定义中每个小区间上任意取的

i 我们

n

n

n

一致取为每个小区间的右端点

i

a

i

b

a (也可以取左端点 i

a

(i 1)

b a

),那么定义中

n n

n

f (

i

) x

i

n

f (a

i

b

a ) b

a ,那么 lim n

i

b

a )

b a f (x)dx 。( 取

b

i 1

i 1

n n

n

i 1

n

n

a

n

1)

b

a )

b a

b

左端点时 lim

f (a (i

f ( x)dx )

n

1

n

n

a

i

注意:定积分的定义中

0 表示的意思是把区间分割为无线个小区间

( n

也表示把区间分割

成无数个小区间,但是在任意分割的前提下,不能用

n

来表示把区间分割成无数个小区间,这

里的原因我是理解的,但是不好表述,你清楚结论就行了)

,当分割方式为均等分割时,

n

n

b a b a b

表示把区间分割成无数个小区间,所以这里是

limf (a i

)

f ( x) dx ,而不是

n

n

n a

i 1

lim

n

i b a ) b

a

f ( x)dx 。

b 0 i 1

n n

a

1 f ( x) dx lim

1 如 f ( x) 在区间 [0,1] 上的积分可以表示为

n

n

n

i 1

f ( i

) —— i 取每个小区间的右端 n

1

lim

1 点,或者 f ( x)dx

n

n

n

i 1

i

1

f ( ) ——

i 取每个小区间的左端点。

n i 3

举例:求 lim

n 4

n

i 1

1 n

分析:函数 f (x)

x

3

x 3dx lim

在区间 [0,1] 上的定积分的定义可以表示为

n

i 1

1 ( i

) 3(这里 i 取 n n

1

n

lim

的是每个小区间的右端点) ,即 x 3dx

n

i 1

1 ( i ) 3

n i 3 lim

4 。所以 n n n

i 1

n

n

3

1

4

i

3

dx

x

|10 1

lim

4 x n

n 0

4 4

i 1

对于这个考点的考法应该不会很深 (这个方法经常在数学竞赛中用到) ,给出的极限应该可以化为某

个函数在区间 [0,1] 上的定积分,基于此,遇到这类题时,一定要把给出的极限化为如下形式:

n

lim

n

i 1

f ( i

) n

f ( i

n

1 1

lim

) 或者 lim

n n

n n i 1

n

n i 1

f (

i

1) n

1 1

lim n n

n n i 1

f ( i 1

) ,只要化为以上的几种

n

形式,那么给出的极限就是函数

f ( x) 在区间 [0,1] 上的积分,即

1

n f ( x)dx

lim

n

i 1

f ( i

) n

1 1

lim

n n

n n i 1

f ( i

)

n lim n n i 1

f ( i

1) n

1 1 lim

n n

n n i 1

i

1

f (

)

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