球面和球面光学系统

15
（二）、共轴光学系统的放 大率β、α、γ 各量的定义不变，经简单推导可得：
= 1 2 k = 1 2 k = 1 2 k
= n1 • l1'l 2' lk' = n1u1
nk' l1l 2 lk nk'uk'
= nk' 2
n1
= n1 1 nk'
物像位置公式 反射球面 垂轴放大率
求解像 (四要素)
二、其它重要知识：相关基本概念、符号规则、三个放大率、 常用公式记忆、公式应用条件、拓展应用。
17
重要公式：
sin I = L - r sin U r
sin I '
=
n n'
sin
I
U ' =U +I -I'
L ' = r + r sin I ' sin U '
物点位于球心时
= -1
= -1 =1
结论
J = uy = -uy 球面镜的拉赫不变量
<0，物体沿光轴移动时，像总是以相反方向移动。 通过球心的光线沿原光路反射。 反射球面镜的焦距等于球面半径的1/2。
§2.4 共轴球面系统
B1 n1
y1
-u1
A1
O1
-l1
n1'=n2
u1’ A1'(A2) O2
光轴以锐角方向转到光线，顺时针正,逆时针负；
光线与法线组成角度(I，I')：
光线以锐角方向转到法线，顺正逆负；
光轴与法线组成角度(φ) 光轴以锐角方向转到法线，顺正逆负。
4
IE
n'>n
A -U
h I' φ
U'
A'
O
C
r
-L
L'
4. 符号规则的意义：
通过各个物理量的正、负，体现光线传播和成像中的物理
这时：sin(-U)≈-U，改用小写：sin(-U)= - u ，sinI=i ，L=l
对已知 l, u 求 l',u'问题，前面大L公式组变为：
i= l
r
r
u
i'=
n n'
i
u '= u + i - i '
l'=r + r i' u'
A
A’ 当u改变时，l '不变！点 点，完善成 像，此时A，A'互为物像，称共轭点。
= y'
y
β>0时，成正像，虚实相反；
β<0时，成倒像，虚实相同；
|β|>1时，|y'|>|y|,，成放大像；反之成缩小像。
= n' 2
n
α>0，像移动方向与物移动方向相同 一般α≠β，立体物与像不再相似。
= β、α、γ之间的关系
由 y' = = nu 得 nyu = n' y'u' = J J为拉赫不变量
y
n'u'
拉赫不变量常用于说明光学系统的性能。J越大，性能越好。
12
例题2-1
• 一折射球面，半径为r =20㎜，两边的折射 率n=1，n′=1.5163，当物距l=－60㎜时，求
（1）轴上物点A的成像位置。
（2）垂轴物面上距轴10㎜处物点B的成像 位置。
• 解（1） n' - n = n'-n
=
（三）、光学系统的拉赫不变量 系统的拉赫不变量等于每一面的拉赫不变量：
j = nyu = n' y'u'= j1 = j2 = = jk = j
16
成像计算中有两种方法：
方法1： 对每一面用追迹公式
i = l-ru r
i' = n i n'
u' = u + i - i'
l ' = r(1+ i' )
o
r
- y
可导出：
-l
l'
n(1 - 1) = n'(1 - 1) = Q
rl
r l'
n' - n = n'-n l' l r
n'u'-nu = n'-n h r
9
阿贝不变量 折射球面的物像位置关系
光线经折射球面时的u，u'关系
sin I = L - r sin U r
sin I '
=
n n'
sin I
Ｃ.无限远轴上物点发出的宽光束光线 Ｄ.从球面顶点入射的光线
19
４、用大、小Ｌ公式组进行球面系统光路计算时，其截距过渡公式＿ ＿。 Ａ.在近轴条件下严格成立，非近轴条件下近似成立； Ｂ.在近轴及非近轴条件下均严格成立。
6、平行光轴的近轴光线，经半径为r的球面折射，其像方截距l’为＿＿＿。
A. nr/(n’- n) B. -nr/(n’- n) C. n’r/(n’- n) D. -n’r/(n’- n) 7、一物点位于球面反射镜前200mm处，成虚像于镜后600mm处，则该球面的曲率半径
为＿＿＿＿。 A. 600mm B. 300mm C. -300mm D. -600mm
三、正误判断
１、( )如果分界面为曲面，则入射光线、反射光线和分界面上入射点处 的法线三者不在同一平面内。
２、( )光线由光密射向光疏媒质且入射角等于临界角时，光线全部反射。 ３、( )全反射优于一切镜面反射。 ４、( )实像可以由屏幕、感光乳胶片及光电探测器来接受和记录，不能
• 解上式得lB′= 162.71㎜。距球心的位置为142.71mm。
§2.3 单个反射球面成像
利用 n'=-n
1、物像位置公式 1 + 1 = 2
l l r
f= f = r 2
B
y -u
A
E
-r
u' A' O
C
-y'
B'
-l' -l
2、成像放大率
= -l l
= - 2 = -1
像方孔径角——光轴与像方光线的夹角U'
IE
n'>n
A -U
h I' φ
Baidu NhomakorabeaU'
A'
O
C
r
-L
L'
2
特别注意：
截距：物方截距——顶点到物方光线与光轴的交点的距离L 像方截距——顶点到像方光线与光轴的交点的距离L'
该截距指的是物(像)方光线的截距！
IE
n'>n
A -U
h I' φ
U'
A'
O
C
r
-L
L'
（二）、符号规
第2章 球面和球面光学系统
2.1 基本概念与符号规则 2.2 单个折射球面成像 2.3 单个反射球面成像 2.4 共轴球面光学系统成像 1
§2.1 基本概念与符号规则
（一）、基本概念
1、光轴：通过球面之球心的直线 2、共轴系统：所有球面的球心均通过一条直线（光轴） 3、光线的截距：
物方截距——顶点到物方光线与光轴的交点的距离L 像方截距——顶点到像方光线与光轴的交点的距离L' 4、光线的孔径角：物方孔径角——光轴与物方光线的夹角U
物空间、像空间，共轴球面系统，近轴成像条件，垂轴放大率
二、多项选择
1、下列各种情况中，经光学元件能完善成像的有＿＿＿＿。
Ａ.有限大小的物置于平面镜前
Ｂ.平行光射向球面反射镜
Ｃ.旋转椭球面一焦点处放置一点光源 Ｄ.有限大小的物置于薄透镜前
２、关于大Ｌ、小ｌ公式组，下列说法中正确的有＿＿＿＿。
Ａ.大Ｌ公式组是严格成立的，小ｌ公式组只有在近轴条件下才适用；
近轴光线所成像称为高斯像，仅考虑近轴光的光学 叫高斯光学，近轴光线所在的区域叫近轴区。
8
2、近轴光线经折射球面计算的其他形式(物像关系）
（为计算方便，根据不同情况可使用不同公式）
利用 lu = h = l'u'
n
I
n
y
= h / r = u + i = u'+i' -U
h
I

U
ni = n'i'
n'>n
A -U
h I' φ
U'
A'
O
C
r
-L
L'
问题：由折射球面的入射光线求出射光线
即：已知：r， n， n'，L， U 求 ： L', U'
6
利用正弦定理、折射定律及U+I=U'+I'=φ 可得：
sin I = L - r sin U r
sin I '
=
n n'
sin I
U ' =U +I -I'
U ' =U +I -I'
L ' = r + r sin I ' sin U '
说明：大L、小l公式组的特点和使用
严格的，用于光线追迹，求解像差。
（第七章 像差理论的计算基础）
i= l
-ru r
i'= n i
n'
u '= u + i - i '
l'=r + r i' u'
n' - n l' l
=
n'-n r
及转面公式
u'
u2 = u'1 ,u3 = u'2 ,......uk = u'k-1 l2 = l'1- d1 ,l3 = l'2 - d2 ......lk = l'k-1- dk-1
方法2： 对每一面应用物像位置公式
n' - n = n'- n
l' l
r
及转面公式
l2 = l '1 - d1 ,l3 = l '2 - d2 ......lk = l 'k-1 - dk-1
意义和物理图象，给出更多、更细和更准确的描述；
执行一套统一的符号规则，便于在应用中表达统一含义，
避免误解和歧意。
5. 特别注意： 各量在图中以字母表示时，应冠以相应的“+、-”号，以保 证
几何量无正负之分。 以数子表示时，不加“+、-”号。
5
§2.2、 单个折射球面成像
（一）、实际光线的光路计算
IE
l' l r
1.5163 - 1 = 1.5163-1
l' - 60.62
20
• 解上式得lA′=165.75㎜。距球心的位置为145.75mm。
（2）过轴外物点B作连接球心的直线，该直线 也可以看作是一条（辅助）光轴，B点是该辅助 光轴O1C上的一个轴上点，其物距为
lB = -[102 + (60 + 20)2 ]1 2 + 20 = -60.62mm
C1
-y1' -y2 U2
r1 l1'
B1'(B2) -l2
d1
n2'=n3 C2
B2'
-u2'
y2' A2'
r2 l2'
已知：1、各球面的曲率半径 r1，r2，……，rk 2、各表面顶点的间隔 d1，d2，…... ，dk-1 3、各空间区域折射率 n1， n2， ……， nk+1
求：光线或物经共轴球面系统后的光路计算和成像计算问题。
当只关心物像位置且折射面很少时，用方法2较为 方便。如需知道一些中间量且折射面较多时，多 采用方法1。
第四节 总结
一、主要知识线索
过渡公式
三角、几何
单折射球面
折射定律
大L公式组
概念、符号规则
多球面系统 的光线追迹
小l 公式组
近轴条件
物像位置公式 过渡公式
垂轴放大率
多球面系统求解像(四要素)
n’=-n
② 轴向(沿轴)
放大率α
③ 角度放大率γ
= dl' = nl'2 = n' 2 = u' = l = n 1
dl n'l2 n
u l' n'
垂轴线段放大情况 沿轴线段放大情况 孔径角放大情况
11
讨论： = nl'
n'l
当n，n'一定， l不同，则β不同
当l一定(l'一定)时，β为常量。
n' - n = n'-n l' l r
n
I
A -U O
-L
n
y
A
O
-l
n’ I’
U’ A’ C r
L’
n’
C r
l’
A’
-y ’

=
y' = y
nl' n' l
反 射
1+1= 2
= - l'
镜：l' l r
l
18
特别注意：沿轴线段的正负
多球面系统：
li + 1 = li'-di
课堂练习一
一、名词解释：
IE
I'
n'>n
A -U O h φ C U’ A'
则：
-L
人1. 为光规线定基：准方向：从左向右
r L'
2. 线段：沿轴线段(L，L'，r)以顶点O为起点，左负右正；
垂轴线段(h，y，y')以光轴为准，上正下负；
间隔d (O1O2=d)，以前一个面为起点，左负右正；
3. 角度：光轴与光线组成角度(U，U')：
光焦度
= n - n
r
近似的，近轴条件下成立；用于求解成像
情况(四要素：位置、大小、正倒、虚实)。
（公式中的l、l ’ 可以使用中学的物距、像距）
10
3、近轴区成像的放大率及传递不变量
B
n
n’
y
A
r
-l
l’
A’ -y’ B’
① 横向放大率
(垂轴放大率)β
= y' = nl' = nu
y n'l n'u'
Ｂ.大Ｌ公式组是推导小ｌ公式组的中间过程，在光学计算中无实际用途；
Ｃ.大Ｌ公式组反映实际光线走向情况，小ｌ公式组反映理想成像情况；
Ｄ.大Ｌ公式组多用于像差计算和分析，小ｌ公式组多用于求理想像情况。
３、下列各情况中，确切满足近轴成像条件的光线有＿＿＿＿。
Ａ.有限远轴上物点发出的细光束光线 Ｂ.近轴物点发出的小孔径角光线
L ' = r + r sin I ' sin U '
n
A -U
E I
I’ h
φ
r -L
n’>n U’ A’
L’
由上式可见：L'=f(U)。
不同U角的光线经折射 后不能相交于一点，而
A
是一个斑，不完善成像！
Aa’ Ab’ Ac’
7
（二）、近轴光线经折射球面折射并成像
1、近轴光线： U角很小且入射点很靠近光轴的光线。
14
B1 n1
y1
-u1
A1
O1
-l1
n1'=n2
u1’ A1'(A2) O2
C1
-y1' -y2 U2
r1 l1'
B1'(B2) -l2
d1
（一）、过渡公式
基本方法：对一个面的操作+过渡公式
n2'=n3 C2
B2'
-u2'
y2' A2'
r2 l2'
ni' = ni + 1, (i = 1,2,...,k ) yi' = yi + 1, (i = 1,2,...,k -1) ui' = ui + 1, (i = 1,2,...,k -1) li + 1 = li'-di, (i = 1,2,...,k -1)