北大版高等数学高数第二章习题答案周建莹李忠

合集下载

高中数学北师大版必修2习题：第二章解析几何初步 2.1.5.2 Word版含解析

第2课时点到直线的距离公式1.点(1,-1)到直线x-y+1=0的距离是()A. B. C. D.解析:点(1,-1)到直线x-y+1=0的距离.d=-答案:D2.若动点A,B分别在直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移动,则AB的中点M到原点的距离的最小值为() A.B.2C.3D.4解析:设点M所在直线的方程为x+y+m=0,则由平行线间的距离公式得,即|m+7|=|m+5|,解得m=-6,即得x+y-6=0,由点到直线的距离公式可得,点M到原点的距离的最小值为-=3.答案:C3.已知点A(a,2)(a>0)到直线l:x-y+3=0的距离为1,则a=()A. B.2- C.-1 D.+1解析:由点到直线的距离公式知,d=-=1,解得a=-1±.又a>0,则a=1.答案:C4.P(x,y)在直线x+y-4=0上,则(x-1)2+(y-1)2的最小值是()A.2B.2C.D.4解析:(x-1)2+(y-1)2最小值即为(1,1)到直线x+y-4=0的距离的平方,所以(x-1)2+(y-1)2的最小值为=()2=2.答案:A5.点P(x,y)在直线x+y-4=0上,O是坐标原点,则|OP|的最小值是()A.B.C.2D.解析:当|OP|取得最小值时,OP⊥l,故|OP|min==2.答案:C6.若第二象限内的点P(m,1)到直线x+y+1=0的距离为,则m的值为.解析:由,得m=-4或m=0,又m<0,所以m=-4.答案:-47.过点M(-2,1)且与A(-1,2),B(3,0)两点距离相等的直线的方程为.解析:当直线斜率不存在时,直线为x=-2,它到A,B两点距离不相等.所以可设直线方程为y-1=k(x+2),即kx-y+2k+1=0.由,解得k=0或k=-.所求直线方程为y=1或x+2y=0.答案:y=1或x+2y=08.已知点M(a,b)在直线3x+4y=15上,则的最小值为.解析:的最小值即为原点O到直线3x+4y=15的距离d==3.答案:39.若两条平行直线3x-2y-1=0与6x+ay+c=0之间的距离为,则的值为.解析:由题意知,--,∴a=-4,c≠-2.∴6x+ay+c=0可化为3x-2y+=0.,解得c=2或c=-6,所以=±1.由两条平行直线间的距离公式,得-答案:±110.已知直线l过点(0,-1),且点(1,-3)到l的距离为,求直线l的方程,并求出坐标原点到直线l的距离.解若直线l的斜率不存在,此时l的方程为x=0,点(1,-3)到l的距离为1,不满足题意,从而可知,直线l的斜率一定存在.设直线l的斜率为k,则其方程为y=kx-1.由点到直线的距离公式,得,解得k=1或k=,所以直线l的方程为y=x-1或y=x-1,即x-y-1=0或x-7y-7=0.根据点到直线的距离公式可得,坐标原点到直线x-y-1=0的距离为,到直线x-7y-7=0的距离为.★11.已知三条直线l1:2x-y+a=0(a>0),l2:-4x+2y+1=0和l3:x+y-1=0,且l1与l2的距离是.(1)求a的值.(2)能否找到一点P同时满足下列三个条件:①P是第一象限的点;②点P到l1的距离是点P到l2的距离的;③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是.若能,求点P的坐标;若不能,请说明理由.解(1)因为直线l1:-4x+2y-2a=0(a>0),l2:-4x+2y+1=0,且l1与l2的距离是,所以,解得a=3.(2)设点P的坐标为(m,n),m>0,n>0,若P点满足条件②,则点P在与l1,l2平行的直线l:2x-y+C=0上,所以,解得C=或C=,故有2m-n+=0或2m-n+=0.若P点满足条件③,由题意及点到直线的距离公式可得,--,化简可得|2m-n+3|=|m+n-1|,故有2m-n+3=m+n-1或2m-n+3=-(m+n-1),即m-2n+4=0或3m+2=0(舍去).联立2m-n+=0和m-2n+4=0,解得-舍去.联立2m-n+=0和m-2n+4=0,解得故点P的坐标为,故能找到一点P同时满足这三个条件.★12.证明:等边三角形内任意一点到三边的距离之和等于定值.证明设△ABC是边长为2a的等边三角形,以BC边所在的直线为x轴,过BC边的中点O且垂直于BC 的直线为y轴,建立如图所示的直角坐标系,则点A(0,a),B(-a,0),C(a,0),直线AB的方程为x-y+a=0,直线AC的方程为x+y-a=0,直线BC的方程为y=0.设P(x0,y0)是△ABC内任意一点,则点P到AB的距离|PD|=-,点P到BC 的距离|PE|=|y0|=y0,点P到AC的距离|PF|=--,则---+y0=a(定值).因此,等边三角形内任意一点到三边的距离之和等于定值.给高中生的建议初中学生学数学，靠的是一个字：练！高中学生学数学靠的也是一个字：悟！学好数学的核心就是悟，悟就是理解，为了理解就要看做想。

高数课后习题及答案第二章 2.8

222222221111(1)1()32()3201x 21lim,2321(1)(1)1lim lim lim 2,032(2)(1)21()2x x x x x f x x x f x x x x x x x x x x x x x x x x x x f x x →→→→-=-+-+≠-=∞=-+-+-+===-=-+---==解：是一个初等函数,由分母可知除x=，=外f(x)有意义由于所以是一个无穷间断点由于所以是一个可去间断点综上所述，是一个可去间断点，是()f x 的无穷间断点01(2)1()sin cos 1()x 001lim sin cos 0,0x f x x xf x x x x x →=≠==解：是一个初等函数,由中可知除x=外f(x)有意义由于所以是一个可去间断点 1021(5)1()ln 1()ln 10.0,210,1ln 11,0ln 11,2ln 11()x x x f x x f x x x x x x x x x x x f x →-→→-=++≠≠≠-==-+=∞=+=∞=-+=-解：是一个初等函数,由对数的特点可知x=-1不在f(x)的定义域内,另外由可知也不在f(x)的定义域内.由于lim所以是一个可去间断点由于lim 所以是一个无穷间断点由于lim所以是一个无穷间断点综上所述，是一个可去间02()x x f x ==-断点，，是的无穷间断点2220022tan 26()(1)sin (1)sin 0tan 24tan 22lim lim 0,(1)sin tan 2tan 2lim lim (1)sin x x x x x x x x x xy x e x y e x x x xx x e xx x xx x x e x ππππππ→→→→=-<<--≠±±⋅==-⋅=-）解：函数是一个初等函数，由可知x=0,x=不在y 的定义域内，另外又由的特点可知x=不在y 的定义域内.由于从而x=0点是函数y 的可去间断点由于22222442121tan lim ,(1)sin 1cos 1tan 2tan 2limlim (1)sin (1)sin 44x x x x x x x e x e x e x x x x e x e x πππππππππππ→→→---=⋅=---=+∞=-∞--±±±从而x=点是函数y 的可去间断点由于且从而x=点是函数y 的无穷间断点综上所述，x=0,x=是函数y 的可去间断点，x=点是函数y 的无穷间断点。

高等数学课后习题答案第二章

1
=
1 4
1 tan
x 2
sec 2
x 2
5、设、 y =
1 2π D 1 2π D
e
−
( x−a)2 2D
，其中 a, D 是常数，求出使导数 y ′( x ) = 0 的 x 值
( x −a ) 2 2D
解： y ′ =
e
−
( x − a )2 2D
3、证明：（1）、可导的偶（奇）函数的导数是奇函数（偶）（2）、可导的周期函数的导数是具有相同周期的函数证明：设 f ( x ) 是偶函数，且可导则
f ( x) = f ( − x ) f (− x + ∆x ) − f (− x ) f ( x − ∆x ) − f ( x ) = lim = − f ′( x ) ∆x → 0 ∆x ∆x
[1 − ( x + ∆x ) 2 ] − (1 − x 2 ) − 2 x∆x − (∆x) 2 = lim = −2 x ∆x → 0 ∆x → 0 ∆x ∆x −b ) 2a
：
3、设函数 f ( x) = ax 2 + bx + c ，其中 a, b, c 是常数，求 f ′( x) ， f ′(0) ， f ′( −1) ， f ′( 解
f ′(− x ) = lim
∆x →0
表明 f ′( x) 是奇函数。设 f ( x) = f ( x + T )
f ′( x + T ) = lim
∆x →0
f ( x + T + ∆x ) − f ( x + T ) f ( x + ∆x ) − f ( x ) = lim = f ′( x) ∆ x → 0 ∆x ∆x

新版高中数学北师大版必修2习题第二章解析几何初步2.2.3.2含解析

第2课时圆与圆的位置关系1.已知A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)|(x-5)2+(y-5)2=4},则A∩B等于()A.⌀B.{(0,0)}C.{(5,5)}D.{(0,0),(5,5)}解析:集合A是由圆O:x2+y2=1上所有点组成的,集合B是由圆C:(x-5)2+(y-5)2=4上所有点组成的.又O(0,0),圆O的半径r1=1,C(5,5),圆C的半径r2=2,|OC|=5,所以|OC|>r1+r2=3.所以圆O和圆C相离,无公共点,即A∩B=⌀.答案:A2.若圆C1:(x+2)2+(y-2)2=m(m>0)与圆C2:x2+y2-4x-10y+13=0有3条公切线,则m=()A.1B.2C.3D.4答案:A3.已知圆O1:x2+y2-4x+6y=0和圆O2:x2+y2-6x=0交于A,B两点,则公共弦AB的垂直平分线的方程为()A.x+y+3=0B.2x-y-5=0C.3x-y-9=0D.4x-3y+7=0解析:由题意知,两圆的圆心分别为(2,-3),(3,0),=3, 因为公共弦AB的垂直平分线即为两圆圆心连线所在直线,所以所求直线的斜率为k=---故直线方程为3x-y-9=0.答案:C4.已知两圆相交于点A(1,3),B(m,-1),两圆的圆心均在直线x-y+c=0上,则m+c的值为()A.-1B.2C.3D.0解析:由题意知,AB的中点在直线x-y+c=0上,∴-1+c=0,m+2c=1.又直线AB的斜率k AB=--=-1,--∴m=5.∴c=-2.∴m+c=3,故选C.答案:C5.过点A(4,-1)且与圆x2+y2+2x-6y+5=0切于点B(1,2)的圆的方程是()A.(x+3)2+(y+1)2=5B.(x-3)2+(y+1)2=5C.(x-3)2+(y-1)2=5D.(x+3)2+(y-1)2=5解析:设所求圆的圆心为(a,b),半径为r,则有------解得所以所求圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=5.答案:C6.以两圆C1:x2+y2+4x+1=0及C2:x2+y2+2x+2y+1=0的公共弦为直径的圆的方程为()A.(x-1)2+(y-1)2=1B.(x+1)2+(y+1)2=1C.D.--解析:两圆方程相减,得相交弦所在直线为x-y=0,因为所求圆的圆心在直线x-y=0上,排除C,D选项.画图可知所求圆的圆心在第三象限,排除A,故选B.答案:B7.若点A(a,b)在圆x2+y2=4上,则圆(x-a)2+y2=1与圆x2+(y-b)2=1的位置关系是.解析:两圆的圆心距d=,又a2+b2=4,则d==2.两圆的半径之和为1+1=2,所以两圆的圆心距等于两圆的半径之和,故两圆外切.答案:外切8.若圆O1:x2+y2=5与圆O2:(x-m)2+y2=20(m∈R)相交于A,B两点,且两圆在点A处的切线互相垂直,则线段AB的长度是.解析:由题意知O1(0,0),O2(m,0),且<|m|<3,又O2A⊥AO1,所以有m2=()2+(2)2=25⇒m=±5,所以|AB|=2×=4.答案:49.若某圆的圆心为点(2,1),且它与圆x2+y2-3x=0的公共弦所在的直线经过点(5,-2),求此圆的方程.解设所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=r2,即x2+y2-4x-2y+5-r2=0,所求圆的方程与已知圆的方程作差可得公共弦所在直线的方程为x+2y-5+r2=0.又公共弦所在的直线经过点(5,-2),将点(5,-2)代入直线方程x+2y-5+r2=0,得5-4-5+r2=0,解得r2=4,故所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=4.10.求过点(0,6)且与圆C:x2+y2+10x+10y=0相切于原点的圆的方程.解方法一:将圆C的方程化为标准方程得(x+5)2+(y+5)2=50,则圆心为点(-5,-5).所以经过此圆心和原点的直线方程为x-y=0.设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.由题意得-----解得故所求圆的方程是(x-3)2+(y-3)2=18.方法二:由题意,所求的圆经过点(0,0)和(0,6),所以所求圆的圆心一定在直线y=3上,又由方法一,知所求圆的圆心在直线x-y=0上,所以由-得圆心坐标为(3,3).所以r==3,故所求圆的方程为(x-3)2+(y-3)2=18.★11.如图,已知圆心坐标为M(,1)的圆M与x轴及直线y=x均相切,切点分别为A,B,另一圆N与圆M,x轴及直线y=x均相切,切点分别为C,D.(1)求圆M和圆N的方程;(2)过B点作MN的平行线l,求直线l被圆N截得的弦的长度.解(1)由于圆M与∠BOA的两边相切,故M到OA及OB的距离均为圆M的半径,则M在∠BOA的角平分线上,同理,N也在∠BOA的角平分线上,即O,M,N三点共线,且OMN为∠BOA的角平分线,因为M的坐标为M(,1),所以M到x轴的距离为1,即圆M的半径为1,所以圆M的方程为(x-)2+(y-1)2=1;设圆N的半径为r,由Rt△OAM∽Rt△OCN,得OM∶ON=MA∶NC,即⇒r=3,OC=3,所以圆N的方程为(x-3)2+(y-3)2=9.(2)由对称性可知,所求弦长等于过A点的MN的平行线被圆N截得的弦长,此弦所在直线方程为y=(x-),即x-y-=0,圆心N到该直线的距离d=-,则弦长=2-.。

高等数学第2章课后习题及答案

-----高等数学第2章课后习题及答案习题211 设物体绕定轴旋转在时间间隔 [0 t]内转过的角度为从而转角是 t 的函数(t) 如果旋转是匀速的那么称为该物体旋转的角速度如果旋转t是非匀速的应怎样确定该物体在时刻t 0 的角速度？解在时间间隔 [t 0 t 0t] 内的平均角速度为(t 0t ) (t 0 )tt故 t 0 时刻的角速度为l i ml i m l i m(tt) (t 0) (t )t 0t 0 tt 0t2 当物体的温度高于周围介质的温度时物体就不断冷却若物体的温度 T与时间 t 的函数关系为 T T(t) 应怎样确定该物体在时刻t 的冷却速度？解物体在时间间隔 [t 0 t 0t]内温度的改变量为T T(tt) T(t)平均冷却速度为T T (t t) T(t) t t故物体在时刻 t 的冷却速度为limT lim T (t t ) T (t ) T (t) t 0t t 0 t 3 设某工厂生产 x 单位产品所花费的成本是 f(x)元此函数 f(x)称为成本函数成本函数 f(x)的导数 f (x)在经济学中称为边际成本试说明边际成本 f (x)的实际意义解 f(x x)f(x)表示当产量由 x 改变到 x x 时成本的改变量f (x x) f (x)表示当产量由 x 改变到 x x 时单位产量的成本xf (x)lim 0f (x x) f ( x)表示当产量为 x 时单位产量的成本x x4 设 f(x)10x 2 试按定义求 f ( 1)解 f ( 1)limf ( 1 x) f ( 1)10( 1x)2 10( 1)2xlimxxx 010 lim0 2 xx 2 10 lim ( 2x) 20xxx 05 证明 (cos x) sin x解 (cosx) limcos(x x) cosxxx2s i nx(x) s i nxlim2 2x 0 xlim [ s i nx(x ) s i n x] s i nx 2 x 0 2x26 下列各题中均假定 f (x 0)存在按照导数定义观察下列极限指出 A 表示什么(1) lim f ( x 0x) f ( x 0 ) A xx 解 Alim0f (x 0x) f (x 0)xxl i mf ( xx) f (x 0) f ( x 0 )x 0x(2) lim f (x)A 其中 f(0) 0 且 f (0)存在x 0 x解 Alim f ( x) lim f (0 x) f (0) f (0)x 0 x x 0x (3) lim f (x 0 h) f (x 0 h)Ah 0h解A lim f ( x 0 h 0 lim[ f (xh 0limf (xh 0h)f (x 0 h) hh) f ( x 0 )] [ f (x 0 h) f (x 0)]h h) f (x 0)limf (xh) f ( x 0 ) hh 0hf (x 0) [ f (x 0)] 2f (x 0)7 求下列函数的导数(1)y x 4(2) y 3 x 2(3) y x1 6-----(4) y1 x(5) y1x23 5 x(6) y x232(7) y x x解 (1)y (x 4) 4x 4 1 4x 322 1 2 x (2) y (3 x 2 ) ( x 3 )2x 3331 3(3)y (x 1 6) 1 6x 1 6 1 1 6x 0 61 1 x(4) y ( 1) (x 2)x21 121 x 23 2(5) y(1)( x 2 )2x 3x 23 516 16 16 116 11 (6) y (x x) (x 5)x 5 x 555(7) y ( x2 3 x21 111 x ) (x 6) 1 x 6x 5665 68 已知物体的运动规律为 s t 3(m) 求这物体在 t 2 秒 (s)时的速度解 v(s) 3t 2 v|t 2 12(米 /秒)9 如果 f(x)为偶函数且 f(0)存在证明 f(0)证明当 f(x)为偶函数时 f( x) f(x)所以f (0) l i mf (x)f (0) l i m f (x) f (0) l i m f ( x) f (0)x 0xx 0x 0x 0x 0从而有 2f (0) 0 即 f (0) 010 求曲线 ysin x 在具有下列横坐标的各点处切线的斜率x 解因为 y cos x 所以斜率分别为2 1k 1 c o sk 2 cos 13 2f (0)2x311 求曲线 y cos x 上点 ( , 1) 处的切线方程和法线方程式3 2解 ysin x ysin3x3 23故在点 (, 1) 处切线方程为 y 1 3(x)3 22 23法线方程为 y 1 2(x )23 312 求曲线 y e x在点 (0 1)处的切线方程解 y e xy |x 0 1 故在 (0 1)处的切线方程为y 1 1 (x 0)即 y x 113 在抛物线 y x 2上取横坐标为 x 1 1 及 x 2 3 的两点作过这两点的割线问该抛物线上哪一点的切线平行于这条割线？解 yy(3) y(1)9 1 42x 割线斜率为 k132令 2x 4 得 x 2因此抛物线 y x 2 上点 (2 4)处的切线平行于这条割线 14 讨论下列函数在 x 0 处的连续性与可导性(1)y |sin x| (2) yx 2sin 1x 0xx 0解 (1)因为y(0) 0 lim y lim |sin x | lim ( sin x) 0x 0x 0x 0 lim ylim |sin x|lim sin xx 0x 0x所以函数在 x 0 处连续又因为y (0)l i m y( x)y(0) l i m |si nx | |si n0 |l i m s i nx1x 0x 0x 0x 0x 0xy (0) lim y( x) y(0) lim |sin x | |sin0|lim s i nx 1x 0 x 0 x 0x 0 x 0 x而 y (0) y (0) 所以函数在 x 0 处不可导-----解因为 lim y(x) lim x 2sin10 又 y(0)0 所以函数在 x 0 处连续x 0 x 0x 又因为21 0y(x) y(0)xs i n1 l i mx l i ml i mxs i n 0 x 0xx 0xx 0x所以函数在点 x 0 处可导且 y (0) 015 设函数 f (x)x 2x 1为了使函数 f(x)在 x 1 处连续且可导a b 应取什ax b x 1么值？解因为lim f ( x) lim x 21 limf (x) lim (ax b)a b f(1) a bx 1x 1x1x 1所以要使函数在 x1 处连续必须 a b 1 又因为当 a b1 时f (1)x 2 12l i m1x 1 xf (1) lim ax b 1 lim a( x 1) a b 1 lim a(x 1) ax 1 x 1 x 1 x 1 x 1x 1 所以要使函数在 x 1 处可导必须 a 2 此时 b 116已知 f (x)x 2x 0求 f (0)及 f(0) 又 f (0)是否存在？x x 0解因为f(0) lim f (x) f (0)lim x 0x 0 x x 0x f(0) lim f (x) f (0)lim x 2 0xxx 0x 而 f (0) f (0) 所以 f (0)不存在17 已知 f(x)sin x x0 求 f (x)x x解当 x<0 时 f(x) sin x f (x) cos x 当x>0 时 f(x) x f (x) 11因为 f (0) lim f (x) f (0) lim sin x 0 1x 0 x x 0xf (0) lim f (x)f (0) lim x 0 1所以 f (0) 1 从而x 0x x 0x f (x)cosx x1 x18 证明双曲线 xy a 2 上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于 2a 2解由 xy a 2得 ya 2k ya 2xx 2设 (x 0 y 0)为曲线上任一点则过该点的切线方程为y a2x 0 ) y 02 ( xx 02y x 2令 y 0并注意 x 0y 0a 解得 xx 0 2x 0为切线在 x 轴上的距 a 2令 x 0并注意 x 0y 0 a 2 解得 y a 2y 2 y0 为切线在 y 轴上的距x 0 0此切线与二坐标轴构成的三角形的面积为S1|2x 0 ||2y 0 | 2|x 0 y 0 | 2a 22习题221 推导余切函数及余割函数的导数公式(cot x)csc 2x(csc x)csc xcot x解 (cot x)(cosx )sin x sin x cosx cosxsin xsin 2 x2 21 2s i nx c o s x2 2 c s cxs i nxs i nx( c sxc) ( 1 ) c o xsc s cx c o xt s i nx 2s i n x 2 求下列函数的导数(1) y4 7 2 12x 5 x 4x-----(2) y 5x 3 2x 3e x (3) y 2tan x sec x 1 (4) y sin x cos x (5) y x 2ln x (6) y 3e x cos x(7) yln xxx(8) y e 2 ln 3x(9) y x 2ln x cos x(10) s 1 sint1 cost解 (1) y ( 4 7 2 12)(4x 5 7x 4 2x 112)x 5 x 4 x20x628x52x220282x6x5x2(2) y (5x 32x 3e x ) 15x22xln2 3ex(3) y (2tan x sec x 1)2sec x tan x sec x(2sec x tan x)2sec x (4) y (sin x cos x) (sin x) cos x sin x (cos x)cos x cos x sin x ( sin x) cos 2x(5) y (x 2ln x) 2x ln x x 21 x(2ln x 1)x(6) y (3e x cos x) 3e x cos x 3e x ( sin x) 3e x(cos x sin x)ln x1 x ln x1 ln x(7) y ( ) xx x 2 x 2(8) y ( e x ln 3) e x x 2 e x 2x e x ( x 2)x 2 x 43x(9) y221cos x x 2ln x ( sin x)(x ln x cos x) 2x ln x cos x x x2x ln x cos x x cos x x 2 ln x sin x(10) s (1sin t ) cost(1 cost) (1 sin t)( sin t)1 sin t cost1 cost(1 cost)2(1 cost)23 求下列函数在给定点处的导数(1) y sin x cos x 求 y和 yxx46(2)sin1cos 求d2d4(3) f (x)3 x 2求 f (0)和 f (2)5 x 5解 (1)ycos x sin xyc o s s i n3 1 3 1x22266 6yc o s s i n22 2x2 244 4(2)dsincos1sin1sincosd22d1s i nc o s 1 2 422(1)d4 244 4 2 22 42(3) f (x)32x f (0)3 f (2) 17(5 x)2525154 以初速 v 0 竖直上抛的物体其上升高度 s 与时间 t 的关系是 s v 0t 1gt 22求(1)该物体的速度 v(t)(2)该物体达到最高点的时刻解 (1)v(t) s (t) v 0 gt(2)令 v(t) 0 即 v 0 gt 0 得 t v 0这就是物体达到最高点的时刻g5 求曲线 y 2sin x x 2 上横坐标为 x 0 的点处的切线方程和法线方程解因为 y 2cos x 2x y |x 0 2又当 x 0 时 y 0 所以所求的切线方程为y 2x所求的法线方程为-----y 1x即x 2y 0 26求下列函数的导数(1)y (2x 5)4(2)y cos(4 3x)(3) y e 3x 2(4)y ln(1x2)(5)y sin2x(6) y a2x2(7)y tan(x2)(8)y arctan(e x)(9)y(arcsin x)2(10) y lncos x解 (1) y4(2x 5)4 1 (2x5) 4(2x 5)3 2 8(2x 5)3 (2)y sin(4 3x) (4 3x)sin(4 3x) ( 3) 3sin(4 3x)(3) y e 3 x2 ( 3x2 )(4)y1 (1 x2)1x2(5)y 2sin x (sin x) e 3x 2(6x)6xe 3x212x2x1 x2 1 x22sin x cos x sin 2x(6) y [( a21] 1 (a211(a2 x2 ) x2) 2x2) 221 (a2x2 )1x2 ( 2x)x2 2a2 (7) y sec2(x2) (x2)2xsec2(x2)(8) y1x2 (e x)e x2x1(e ) 1 e2 arcsin x (9) y2arcsin x (arcsin x)1x2(10) y1 (cosx)1( sin x) tan xcosx cosx 7 求下列函数的导数(1) y arcsin(1 2x)(2) y11 x 2x(3) y e 2 cos3x(4) y arccos 1x(5) y1 ln x1 ln x (6) y sin 2xx(7) y arcsin x(8) y ln(x a 2 x 2 ) (9) y ln(sec x tan x)(10) y ln(csc x cot x)解 (1) y1(1 2x)21 1 (1 2x)2x x 21 (1 2x) 2(2) y [(111 1 x 2)x 2) 2]1(1 x 2) 2(1213x(1 x 2 ) 2 ( 2x)x 22(1 x 2 ) 1xxxx) cos3xx(3) y (e 2) cos3x e 2(cos3x) e 2(e 2( sin 3x)(3x)21 e xxx2 c o 3sx 3e 2 s i n3x 1e 2( c o3sx6s i n3x)22-----(4) y1 1 (1)1 1 ( 1 )|x|1 (2 x 1 ( ) 2x2x 2x21)xx1(1 l n x) (1 ln x)12(5) yxx(1ln x) 2x(1 ln x)2(6) ycos2x 2 x sin 2x 1 2x cos2x sin2xx2x2(7) y1( x)1111 ( x)21 ( x )22 x 2 x x 2(8) y1x 2 (xa 2x 2 )1x 2 [1 1(a 2 x 2) ]xa 2x a 22 a 2 x 21[112 (2x)]1x a 2 22 a 2x a 2x 2x(9) y1(secx tan x) secxtan x(10) y1(csc x cot x)csc x cot xsecx tan x sec 2x secxsecx tan x cscx cot x csc 2 x cscxcscx cot x8 求下列函数的导数(1) y (arcsin x )22(2) y ln tan x2(3) y 1 ln 2 x(4) y e arctan x(5) y sin nxcos nx(6) y arctanx 1x 1(7) y arcsinxarccosx(8) y=ln[ln(ln x)](9) y1x 1 x 1 x1 x(10) y arcsin1 x1 x解 (1) y2(arcsin x ) (arcsin x)2 22( a r c s xi)n 1( x)2 1 ( x )2 222( a r c s xi) n1 x 12 1 ( ) 222x2a r c s i n24 x 2(2) y1x (tan x) 1 x sec 2 x( x)tan 2 tan2 22 2(3) y(4) y1 2 x 1x s e c2 c s cxt a n 22 1 ln 2 x 2 1 (1 ln 2 x)1 ln2 x1 2ln x ( l nx)12ln x12 1 ln 2x2 1 ln 2xxln xx1 ln2 xearctan x(arctan x)e arctan x1 x) 2( x)1 (-----e a r c t axn11x e a r c t axn1( x)2 2 2 x(1 x)(5) y n sin n 1x (sin x) cos nx sin n x ( sin nx) (nx)n sin n 1x cos x cos nx sin n x ( sin nx) nn sin n 1x (cos x cos nx sin x sin nx) n sin n 1xcos(n 1)x(6) y1( x 1) 1(x 1) ( x 1)11 ( x 1) 2x 11 (x 1)2(x 1)2 1 x 2x 1x 11arccosx 1 arcsin x1 x2 1 x 2(7) y(arccos x)21 a r c c oxs a r c s ixn1 x22( ar c c ox)s2 1 x 2 ( a r c cxo)2s(8) y1 ln(ln x)1ln(ln x)[ln(ln x)] 11(ln x)ln(ln x) ln x 1 1 1 ln x x xln x l n ( lxn)(1 1 )( 1 x1 x) ( 1 x1 x)(1 1)(9) y2 1 x 2 1 x2 1 x 2 1 x( 1 x1 x)211 x 21 x2(10) y1 (1 x) 1 (1 x) (1 x)1 1 x 1 x 1 1 x(1 x)21 x1 x1(1 x) 2x(1 x)9. 设函数 f(x)和 g(x)可导且 f 2(x) g 2(x) 0 试求函数 y f 2 (x) g 2 (x) 的导数解 yf 1[ f 2(x) g2 (x)]22 (x)g 2(x)1[2 f (x) f ( x) 2g(x) g ( x)] 2f 2(x)g2(x)f (x) f (x)g(x)g (x)f 2 (x)g 2 (x)10设 f(x)可导求下列函数 y 的导数dy dx(1) y f(x2)(2)y f(sin2x) f(cos2x)解 (1) y f (x2) (x2)f(x2) 2x 2x f (x2)(2)y f(sin2x) (sin2x) f (cos2x) (cos2x)f(sin2x) 2sin x cos x f (cos2x) 2cosx ( sin x)sin 2x[f (sin2x)f(cos2x)]11求下列函数的导数(1)y ch(sh x )(2)y sh x e ch x(3)y th(ln x)(4)y sh3x ch2x(5)y th(1 x2)(6)y arch(x2 1)(7)y arch(e2x)(8)y arctan(th x)(9)y ln chx12 x 2ch(10)y ch2( x 1) x 1解 (1) y sh(sh x) (sh x) sh(sh x) ch x(2) y ch x e ch x sh x e ch x sh x e ch x(ch x sh2x)(3) y1(ln x)12 (ln x)2 (ln x)ch x ch-----(4) y3sh 2x ch x 2ch x sh x sh x ch x (3sh x 2) (5) ych 21 2 (1 x 2)2 2xx 2 )(1 x )ch (1 (6) y1 1(x 2 1)2x( x 2 1)x 4 2x 2 2(7) y1(e 2x)2e2x(e 2x )21 e 4 x 1 (8) y 1(th x) 1 1 1 1 1 (thx) 2 1 th 2 x ch 2 x 1 2 2sh x ch xch 2x 1 1ch 2 x sh 2x 1 2sh 2 x(9) y1 (ch x) 1 (ch 2x)ch x2ch 4 xsh x 1 2ch x shxch x2ch 4 xsh x shx sh x ch 2x shxch xch 3x ch 3xsh x (ch 2 x 1) sh 3x th 3xch 3xch 3x(10) y2ch(x1) [ch(x1)] 2ch(x1) sh(x1) ( x 1)x 1x 1x 1 x 1 x 1sh(2x 1(x 1) (x 1)2sh(2 x 1)(x 1)2( x 1)2 )x 1x 112 求下列函数的导数(1) y e x (x 2 2x 3)(2) y sin 2x sin(x 2) (3) y (arctan x )22(4) yln xx ne t e (5) ye t ett(6) y ln cos 1x(7) y e sin 2 1x(8) y x x(9) yxarcsinx4 x 22(10) y arcsin2t1 t 2解 (1) y e x (x 2 2x 3) e x (2x 2) ex( x 2 4x 5)(2) y2 222sin x cos x sin(x ) sin x cos(x ) 2xsin2x sin(x 2) 2x sin 2x cos(x 2)(3) y 2arctanx1 1 4 arctan x2 1 x 2 2 x 2 4 241 xnln x nxn 11 n ln x(4) yxx 2nx n 1(5) y(e te t )(e t e t ) (e t e t )(e te t )4e 2t(e t e t )2(e 2t 1) 211111 1 1(6) y sec x (cos x ) sec x ( sin x ) ( x 2 ) x 2tanx(7) y esin 21 ( sin 21) e sin 21xxx( 2sin 1) cos1( 1 ) xxx2122 1s i nx 2 s i nexx(8) y1x (x x )2 1 (1 1 ) 2 xxx2 x2 x 1 4 xxx(9) y arcsinxx1 12 1 ( 2x) arcsin x21 x2 2 4 x 2 24-----(10) y1 ( 2t ) 12 (1 t 2) 2t (2t) 1 (2t)2 1 t 21 ( 2t )2 (1 t 2) 21 t21 t21 t22(1 t 2)2(1 t 2)(1 t 2)2 (1 t 2 )2 |1 t 2 |(1 t 2 )习题231 求函数的二阶导数(1) y 2x 2ln x (2) y e2x 1(3) y xcos x (4) y e t sin t (5) y a 2 x 2 (6) y ln(1 x 2)(7) y tan x1(8) yx 3 12(9) y (1 x )arctan x(10) ye xx(11) y x 2xe(12) y ln( x 1 x 2 )解 (1) y 4x1 y4 1xx2(2) y e 2x 12 2e 2x 1y 2e2x 1 2 4e 2x 1(3) y xcos x y cos x xsin xy sin x sin x xcos x2sin x xcos x(4) ye tsin t e tcos t e t(cos t sin t)ye t (cos t sin t) e t ( sin t cos t) 2e t cos t(5) y21x2(a2x2)xx2a2a2a2x2x xa2ya2x2a2 x2(a2 x2 ) a2 x2(6) y11(1x2 )12x x2x2y 2(1x2 )2x (2x)2(1 x2)(1 x2 )2(1x2 )2(7) y sec2 xy2sec x (sec x)2sec x sec x tan x2sec2x tan x(8) y(x31)3x2 (x31) 2(x31)2y 6x ( x31)23x22( x31) 3x6x(2x3 1) (x3 1)4(x31)3(9) y2xarctanx(1x2)112xarctanx1 x2y2a r c t xa n2x1 x2(10)y e x x e x 1e x( x 1)x2x2y [e x( x 1) e x] x2 e x( x 1) 2x e x(x2 2x 2)x4x3(11)y e x 2x e x2(2x)e x2(12x2 )yx22x24xx22 e2x (12x )e2xe(32x )(12)y12( x1x2 )12(12x 2 )12x 1 x x 1 x 2 1 x 1 x y1(1 x2 )12x x1 x2 1 x22 1 x2)(1 x) 2 1 x-----2 设 f(x)(x6(2)?10)f解 f(x) 6(x5f(x)43 10)30(x 10) f (x) 120(x 10)f(2)120(210)32073603若 f (x)存在求下列函数 y 的二阶导数d2ydx2(1)y f(x2)(2)y ln[ f(x)]解 (1)y f(x2) (x2) 2xf(x2)y2f(x2)2x 2xf(x2)2f(x2) 4x2f(x2)(2) y1 f (x)f (x)f(x) f (x) f ( x) f(x)f( x) f (x)[ f ( x)] 2 y[ f ( x)]2[ f ( x)]24试从dx 1导出dy y(1) d 2 x ydy 2( y ) 3(2)d 3x3( y )2y y dy3( y )5解(1) d 2x d dx d1d1dx y1ydy2dy dy dy y dx y dy( y )2y( y )3(2) d3x d y d y dxdy3dy y 3dx y 3dyy ( y )3 y 3( y )2 y13( y )2 y y(y )6y(y )55已知物体的运动规律为s Asin t(A、是常数 )求物体运动的加速度并验证d 2s2 s 0dt 2解dsA cos t dt d2 s A 2 sin t dt 22d s就是物体运动的加速度dt2d2 s 2 s A 2 s i n t2 As i n t 0dt 2C1e x C2e x(6验证函数 y C1 C2是常数 )满足关系式y2y 0解y C1 e x C2 e xy C12e x C22e xy2y (C12e x C22e x)2(C1e x C2e x)(C12e x C22e x) (C12e x C22e x) 0 7验证函数 y e x sin x 满足关系式y2y2y 0解 y e x sin x e x cos x e x(sin x cos x)y e x(sin x cos x)e x(cos x sin x) 2e x cos xyx xcos x)x2y 2y 2e cos x2e (sin x2e sin x 2e x cos x2e x sin x2e x cos x2e x sin x 08求下列函数的 n 阶导数的一般表达式(1) y x n1n 12n 2n 1n 12n 都是常数)a x a x a x a (a a a(2)y sin2x(3)y xln x(4)y xe x解 (1) y nx n 1(n1)a1x n 2 (n2)a2x n 3a n 1y n(n1)x n 21 n 32n 4n 2 (n 1)(n2)a x(n 2)(n 3)a x ay(n) n(n 1)(n 2) 2 1x0 n!(2) y 2sin x cos x sin2xy 2c o 2sx 2s i n2(x)2-----y22 c o s2x()22 s i n2x( 2)22y(4)23 c o s2x(2) 23 s i n2(x 3 )22y(n)2n 1s i n2x[ (n 1)]2(3)y ln x 1y 1 x1xy ( 1)x 2y(4) ( 1)( 2)x 3y(n)(1)( 2)( 3) ( n 2)x n 1( 1)n 2(n 2)!( 1)n (n 2)!x n 1x n 1(4) y e x xe xy e x e x xe x 2e x xe xy 2e x e x xe x 3e x xe xy(n) ne x xe x e x(n x)9求下列函数所指定的阶的导数(1)y e x cos x 求 y(4)(2)y xsh x 求 y(100)(3) y x2sin 2x求y(50) .xv cos x有解 (1)令 u eu u u u(4)e xv sin x v cos x v sin x v(4) cos x所以y(4)u(4) v4u v6u v4u v u v(4)e x[cos x4(sin x)6(cos x)4sin x cos x] 4e x cos x(2)令 u x v sh x则有u 1 u0v ch x v sh x v(99)ch x v(100) sh x所以y(100)u(100)v C1 u(99) v C2u(98) v C 98 u v(98) C99 u v(99)u v(100)100100100100100ch x xsh x(3)令 u x2 v sin 2x则有u2x u 2 u0v(48)248 sin(2x48)248 s i n2x2v(49)249cos 2x v(50)250sin 2x所以y(50)u(50)v C1501u(49) v C502u(48) v C5048u v(48) C5049u v(49) u v(50)C5048u v(48)C5049u v(49) u v(50)50 492 228 sin 2x50 2x 249 c o 2sx x2 (250 s i n2x)250x2sin 2x50xc o 2sx12252 (s i n2x)2习题231求函数的二阶导数(1)y 2x2 ln x(2)y e2x 1(3)y xcos x(4)y e t sin t(5)y a2 x2(6)y ln(1 x2)(7)y tan x1(8) yx3 1(9) y (1 x2)arctan x(10) y e xx-----(11) y xe x2(12) y ln( x1x2 )解 (1) y4x1y41x x2(2) y e2x 1 2 2e2x 1y2e2x 1 2 4e2x 1(3) y xcos x y cos x xsin xy sin x sin x xcos x2sin x xcos x(4) y e t sin t e t cos t e t (cos t sin t)y e t(cos t sin t) e t (sin t cos t)2e t cos t(5) y21x2(a2x2)xx2a2a2a2x2x xx2a2ya2a2 x2(a2 x2 ) a2 x2(6) y11(1x2 )12x x2x2y 2(1x2 )2x (2x)2(1x2)(1 x2 )2(1x2 )2(7) y sec2 xy2sec x (sec x)2sec x sec x tan x2sec2x tan x(8) y(x31)3x2 (x31) 2(x31)2y 6x ( x31)23x22( x31) 3x 6x(2x3 1) (x31)4(x31)3(9) y2xarctanx(1x2)112xarctanx1 x2y2a r c t xa n 2x21 x(10)y e x x e x1 e x( x 1)x2x2y[e x ( x 1) e x ] x 2 e x ( x 1) 2x e x (x 2 2x 2)x4x3(11) ye x 2 x e x 2 (2x) e x 2 (1 2x 2 )yx 22x (1 2x 2x22e 2x ) e4x 2xe (3 2x )(12) y1( x1x 2 ) 1 (1 2x ) 1x 1 x 2x 1 x 22 1 x 21 x 2y1(1 x 2) 12xx1 x21 x 22 1 x 2)(1 x) 21 x2 设 f(x) (x 10)6f (2) ?解 f (x) 6(x 10)5 f (x) 30(x 10)4f (x) 120(x 10)3f(2) 120(2 10)3 2073603 若 f (x)存在求下列函数(1) y f(x 2)(2) y ln[ f(x)]解 (1)yf(x 2) (x 2) 2xf (x 2) y 2f(x 2) 2x 2xf (x 2) (2) y1 f (x)f (x)f (x) f (x) f( x) f (x) y2[ f ( x)]4 试从dx 1导出dy y(1) d 2xydy 2( y ) 3(2)d 3x 3( y )2 y ydy3( y )5解 (1) d 2xd dxd 1dy2dy dydyyd 2 yy的二阶导数d x 22f (x 2) 4x 2f (x 2)f ( x) f (x) [ f ( x)] 2[ f ( x)]2d1dx y 1y dx y dy( y )2 y( y )3(2) d3x d y d y dxdy3dy y 3dx y 3dyy ( y )3 y 3( y )2 y13( y )2 y y(y )6y(y )55已知物体的运动规律为s Asin t(A、是常数 )求物体运动的加速度并验证d 2s2s 0dt 2解dsA cos t dt d2 s A 2 sin t dt 22d s就是物体运动的加速度dt2d2 s 2 s A 2 s i n t2 As i n t 0dt 2C1e x C2e x(6验证函数 y C1 C2是常数 )满足关系式y2y 0解y C1 e x C2 e xy C12e x C22e xy212e x C22x21x2e x)y (C e ) (C e C(C12e x C22e x) (C12e x C22e x) 0 7验证函数 y e x sin x 满足关系式y2y2y 0解 y e x sin x e x cos x e x(sin x cos x)y e x(sin x cos x)e x(cos x sin x) 2e x cos xyx xcos x)x2y 2y 2e cos x2e (sin x2e sin x 2e x cos x2e x sin x2e x cos x2e x sin x 08求下列函数的 n 阶导数的一般表达式(1) y x n1n 12n 2n 1n 12n 都是常数)a x a x a x a (a a a(2) y sin2x-----(3)y xln x(4)y xe x解 (1) y n 11n 2(n2 n 3n 1nx(n 1)a x2)a x ay n(n1)x n 2 (n1)(n2)a1x n 3(n 2)(n 3)a2x n 4a n 2y(n) n(n 1)(n 2) 2 1x0 n!(2) y2sin x cos x sin2xy2c o 2sx 2s i n2(x)2y22 c o s2x() 22 s i n2x( 2)22y(4) 23 cos(2x2) 23 sin(2x 3 )22(n)n 1y 2 s i n2x[ (n 1)](3)y ln x 1y 1x 1 xy ( 1)x 2y(4) ( 1)( 2)x 3(n)( 1)( 2)( 3)( n 2)x n 1( 1)n 2 (n 2)!( 1)n (n 2)!y x n 1x n 1 (4)y e x xe xy e x e x xe x 2e x xe xy 2e x e x xe x 3e x xe xy(n) ne x xe x e x(n x)9求下列函数所指定的阶的导数(1)y e x cos x 求 y(4)(2)y xsh x 求 y(100)(3)y x2sin 2x 求 y(50) .所以所以xv cos x有解 (1)令 u eu u u u(4)e xv sin x v cos x v sin x v(4)cos xy(4)u(4) v4u v6u v4u v u v(4)e x[cos x4(sin x)6(cos x)4sin x cos x] 4e x cos x(2)令 u x v sh x则有u 1 u0v ch x v sh x(99)ch x(100)sh xv vy(100) u(100) v C1 u(99)v C2u(98)v C 98 u v(98)C99 u v(99)u v(100) 100100100100(3)令 u x2u 2xv(48)100ch x xsh xv sin 2x 则有u 2 u0248 sin(2x 48 )248 s i n2x2v(49)249cos 2x v(50)250sin 2x所以y(50)u(50)v C1501u(49) v C502u(48) v C5048u v(48) C5049u v(49) u v(50) C5048u v(48) C5049u v(49) u v(50)50 492 228 sin 2x50 2x 249 c o 2sx x2 (250 s i n2x)250x 2sin 2x50xc o 2sx1 2 2 52 (2s i n2x)习题241求由下列方程所确定的隐函数 y 的导数dydx(1)y2 2x y 9 0(2)x3 y3 3axy 0(3)xy e x y(4)y 1 xe y解 (1)方程两边求导数得-----2y y 2y 2x y 0于是(y x)y yyyy x(2)方程两边求导数得3x 2 3y 2y 2ay 3axy 0于是(y 2 ax)y ayx 2yay x 2y2ax(3)方程两边求导数得y xy e x y (1 y )于是(x e x y )y e x y ye x yyyx e x y(4)方程两边求导数得y e y xe yy于是(1 xe y )y e yyey1 xey222在点 ( 2a, 2a) 处的切线方程和法线方程2 求曲线 x3y 3a34 4解方程两边求导数得 2 x31 13 2y 3 y 031于是yx31y3在点 (2a,2a) 处 y 144所求切线方程为y2a ( x2a) 即 x y 2 a442所求法线方程为y2a (x2a) 即 x y 04423 求由下列方程所确定的隐函数 y 的二阶导数d ydx22 2(1) x y 1(2) b 2x 2 a 2y 2 a 2b 2 (3) y tan(x y)(4) y 1 xe y解 (1)方程两边求导数得2x 2yy 0yx yy ( x)y xxy xy y y 2x 21yy 2y 2y 3 y 3(2)方程两边求导数得2b 2 x 2a 2 yy 0yb 2 xa2yy x( b 2 x)b 2 y xy b 2 a 2 y ya2y2a2y 2b 2 a 2 y 2 b 2 x 2b 4a2a 2 y3a 2 y3(3)方程两边求导数得y sec 2(x y) (1 y )2y)1y s e c( x2y) 2y) 11 s e c(xc o s( x2y)21s i n(xc o s(x y)12y)y 2s i n( xy23 y23( 112 )2(1 y 2 )y 5yyy(4)方程两边求导数得yyy e xe y-----yeyeyey1 xe y1 (y 1)2 yye y y (2 y) e y ( y ) e y (3 y) y e 2 y (3 y)(2 y)2(2 y)2(2 y)34 用对数求导法求下列函数的导数(1) y ( x )x1 x (2) y5x 525 x2(3) yx 2(3 x)4( x 1)5(4) y xsin x 1e x解 (1)两边取对数得ln y xln|x| xln|1 x|，两边求导得1 y ln x x 1 l n1( x) x 1y x 1 x 于是y ( x)x[ l nx1 ]1 x 1 x 1x(2)两边取对数得ln y1ln |x 5|1l nx(22)两边求导得5251 y1 1 12x2y5 x 525 x 2于是y 1 5x 5[11 2x ]5 5 x 2 2x 5 5 x 2 2(3)两边取对数得ln y1l nx( 2) 4 l n3( x) 5l n x( 1)2两边求导得1 y 1 3 45y 2(x 2)x x 1于是yx 2(3x)4 [ 12)4 5 ](x 1)52(x x 3 x 1(4)两边取对数得ln y1ln x1ln s i nx1l n1( e x )两边求导得22 41 y1 1 c o xte xy 2x24(1 e x )于是yxs i nx 1 e x[11c o xte x]2x 2 4(1 e x )1 x 22c o tx e x ]4 xs i nx 1 e [ x e x1 dy5求下列参数方程所确定的函数的导数dxx at 2(1)y bt2x (1 sin ) (2)ycos解 (1)dyy t 3bt 2 3b tdxx t 2at 2ady ycos sin(2) dx x 1 sincos6 已知xe tsin t, 求当 t 3 时 dy的值y e tcost. dx解dy y te t cost e t sin t costsin t dxx t e tsin t e tcost sintcostdy 1 3 1 3 当 t 时 2 2 3 2dx 1 3 1 3 32 27 写出下列曲线在所给参数值相应的点处的切线方程和法线方程(1)x sin t在 t处y cos2t4x3at (2)1 t 2在 t=2 处y 3at 21 t 2解 (1) dyy t2sin 2tdxx tcost-----dy 2sin(2)当 t时42 2 2 x02y0 0 dx4cos2242所求切线方程为y 2 2(x2) 即2 2x y 2 0 2所求法线方程为y1(x 2 )即 2x 4y1222(2) y t 6at (1t2 )3at 2 2t6at(1t 2 )2(1t 2 )2x t 3a(1t 2)3at2t3a3at 2 (1t 2 )2(1t 2)2dy y t6at2tdx x t3a3at 21t 2当 t 2 时dy 2 24x 6a ydx1223050所求切线方程为012a 5y12 a 4(x6a)即 4x 3y 12a 0535所求法线方程为y12 a3(x 6a)即 3x 4y 6a 0545d 2 y8求下列参数方程所确定的函数的二阶导数dx2 x t 2(1)2y 1 t. xacost(2)y bsin t(3)x3e t y2e t(4)x f t (t )设 f(t)存在且不为零y tf t (t) f (t)dy y t1 d 2 y(y x)t1解 (1)t 21 dx x t t dx2x t t t3(2) dy y tbcostbcot tdx x t asin t ab 2 d 2 y (y x )t a csc t b dx 2 x t asin ta 2 sin 3 tdy y t 2e t22t(3) dx x t3e t3ed 2y( y x )t2 2t3 2e4 3tdx 2x t3e te9 (4) dy y t f (t) tf (t) f (t)dx x tf (t)td 2 y ( y x )t 1dx 2x tf (t)9 求下列参数方程所确定的函数的三阶导数(1) x 1 t 2y t t3(2)x ln(1 t 2) y t arctan t解 (1)dy (t t 3)1 3t2dx (1 t 2 )2t1 3t 2d 2y ( 2t )1 ( 1 3) dx 22t4 t 3 t1 1 3d 3y 4 ( t 3t )3(1 t 2)dx 32t8t 5dy (t arctan t)11(2)1 t 21 tdx [ln(1 t 2)]2t 21 t21d 2 y ( 2t) 1 t 2 dx 22t 4t1 t 23d y-----1 t 2d 3 y ( 4t ) t 4 1dx 3 2t 8t 31t 210 落在平静水面上的石头产生同心波纹若最外一圈波半径的增大率总是6m/s 问在 2 秒末扰动水面面积的增大率为多少？解设波的半径为 r 对应圆面积为 S 则 S r 2 两边同时对 t 求导得S t 2 rr当 t 2 时 r 6 2 12 r t 6故 S t t 22 126 144( 米 2 秒)| 其速率为 4m 2/min11 注水入深 8m 上顶直径 8m 的正圆锥形容器中当水深为 5m 时其表面上升的速度为多少？解水深为 h 时水面半径为 r1 h 水面面积为 S 1 h 21hS 1 h 1 h 224水的体积为 Vh 33 34 12dV 12 3h 2dh dh 4 dVdt dt dt h 2 dt已知 h 5(m)， dV 4 (m 3/min) 因此 dh 4 dV 4 4 16(m/min)dtdt h 2 dt252512 溶液自深 18cm 直径 12cm 的正圆锥形漏斗中漏入一直径为 10cm 的圆柱形筒中开始时漏斗中盛满了溶液已知当溶液在漏斗中深为 12cm 时其表面下降的速率为 1cm/min 问此时圆柱形筒中溶液表面上升的速率为多少？解设在 t 时刻漏斗在的水深为 y 圆柱形筒中水深为 h 于是有1 62 18 1r 2 y 52hy 3y3由 r得 r 代入上式得 6 18 31 62 18 1 ( y ) 2 y 23 3 3 5 h即162 18 1y 3 52 h 两边对 t 3 33求导得1 y2 y 52 h32t当 y 12 时 y t1 代入上式得1 122( 1) 16h t32 52 0.64 (cm/min).25。

高一数学北师大版必修二第二章解析几何初步练习题及答案解析课时作业21

一、选择题1．若直线x＋y＝1与圆x＋y＝r(r>0)相切，则实数r的值等于( )A.22B．1C.2【解析】【答案】由d＝r得AD．2|－1|2＝r，∴r＝.1＋12．直线l：y＝kx＋2与圆C：x＋y＝16的位置关系是()A．相离C．相交【解析】B．相切D．不确定直线l恒过定点A(0,2)，又0＋2＝4<16，∴A在圆C内，从而直线与圆相交．【答案】C3．若直线l：ax＋by＝1与⊙C：x关系是( )＋y＝1相交，则点P(a，b)与⊙C的位置A．点P在圆内C．点P在圆上B．点P在圆外D．不确定【解析】圆心C到直线l的距离d＝a 1＜1，即a＋b＞1.故点P在22圆外．【答案】B4．(2013·三明高一检测)直线2x－y－1＝0被圆(x－1)＋y＝2所截得的弦长为( )A.305B．35522222222222222＋b22C.2 30 5D ．6 5 5【解析】圆心为(1,0)，半径为 2，|2－0－1| 1＝，圆心到直线的距离 d ＝5 51 6 5 弦长 l ＝2r －d ＝2 2－＝ .【答案】 D5．(2013· 咸阳高一检测)若过点 A (4,0)的直线 l 与圆(x －2) 则直线 l 的斜率的取值范围为()A ．[－ 3， 3]B ．(－ 3， 3)3 33 3C ．[－， ]D ．(－， )＋y＝1 有公共点，【解析】由题意知，直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 y ＝k (x －4)，即 kx －y －4k ＝0，则圆心到直线 l 的距离为 d ＝|2k －4k |k ＋1，若直线 l 与圆(x －2) ＋y＝1 有公共点，|2k －4k |则 d ＝ ≤1，k ＋13 3 解得 k ∈[－， ]．【答案】C 二、填空题6．若直线 4ax －3by ＋6＝0(a ，b ∈R )始终平分圆 x ＋y ＋6x －8y ＋1＝0 的周长，则 a 、b 满足的条件是__________．【解析】圆心(－3,4)在直线 4ax －3by ＋6＝0 上，所以 2a ＋2b －1＝0.【答案】2a ＋2b －1＝07．已知圆 C 的圆心是直线 x －y ＋1＝0 与 x 轴的交点，且圆 C 与直线 x ＋y ＋3＝0 相切，则圆 C 的方程为________．【解析】由题意得圆心为 C (－1,0)．由点到直线的距离公式得圆心 C 到直2 2 5 5 2 23 3 3 3 2 22 23 3 2 2线 x ＋y ＋3＝0 的距离 d ＝|－1＋0＋3|2＝ 2，即圆半径 r ＝ 2.∴圆的方程为(x ＋ 1) ＋y ＝2. 【答案】(x ＋1)＋y＝28．直线 x ＋y ＋a ＝0(a ＞0)与圆 x ＋y ＝4 交于 A ，B 两点，且 S △OAB＝ 3，则 a ＝________.【解析】 |a |∵圆心到直线 x ＋y ＋a ＝0 的距离 d ＝，|AB |＝2×2a 4－，∴S△1＝ ×2×OABa |a | 4－ × ＝ 3，2解得 a2＝6 或 a 2＝2.又 a ＞0，∴a ＝ 6或 2.【答案】6或 2三、解答题9．(2013· 松原高一检测)已知圆的方程是 x＋y＝2，直线 y ＝x ＋b ，当 b 为何值时，(1)圆与直线有两个公共点；(2)只有一个公共点；(3)没有公共点．【解】法一圆心到直线 y ＝x ＋b 的距离 d ＝|b | 2，(1)当 d <r ，即|b | 2< 2，－2<b <2 时，直线与圆相交，有两个公共点；|b |(2)当 d ＝r ，即＝ 2，b ＝±2 时，直线与圆相切，有一个公共点；2(3)当 d >r ，即|b |2> 2，b <－2 或 b >2 时，直线与圆相离，没有公共点．法二x ＋y ＝2，联立方程组消去 y 得，y ＝x ＋b ，2x ＋2bx ＋b －2＝0， ∴Δ＝16－4b .(1)当 Δ>0，即－2<b <2 时，有两个公共点；(2)当 Δ＝0，即 b ＝±2 时，有一个公共点；(3)当 Δ<0，即 b >2 或 b <－2 时，无公共点．10．(2013· 武威高一检测)已知圆 C 满足以下条件：2 2 222 2 2 2 22 2 2 22 222 2(1)圆上一点 A 关于直线 x ＋2y ＝0 的对称点 B 仍在圆上，(2)圆心在直线 3x －2y －8＝0 上，(3)与直线 x －y ＋1＝0 相交截得的弦长为 2 2，求圆 C 的方程．【解】设圆的方程为(x －a ) ＋(y －b ) ＝r 2(r ＞0)，∵圆上的点关于直线 x ＋2y ＝0 的对称点仍在圆上， ∴圆心在 x ＋2y ＝0 上，∴a ＋2b ＝0.又∵3a －2b －8＝0，∴a ＝2，b ＝－1.∵圆被直线 x －y ＋1＝0 截得的弦长为 2 2，|a －b ＋1| ∴(2 2＋( 2) ＝r2 ，∴r2＝10，∴圆的方程为(x －2) ＋(y ＋1) ＝10.11．已知圆 M 过两点 E (1，－1)，F(－1,1)且圆心 M 在 x ＋y －2＝0 上． (1)求圆 M 的方程；(2)设 P 是直线 3x ＋4y ＋8＝0 上的动点，PA 、PB 是圆 M 的两条切线，A ，B 为切点，求四边形 PAMB 面积的最小值．【解】(1)设圆 M 的方程为(x －a ) ＋(y －b ) ＝r (r ＞0)，1－a ＋－1－b ＝r 根据题意得－1－a 2＋1－b 2＝r 2a ＋b －2＝0解得 a ＝b ＝1，r ＝2，故所求圆 M 的方程为(x －1) ＋(y －1) ＝4. (2)由题知，四边形 PAMB 的面积为S ＝S △ PA M＋S△PBM 1 1＝ |AM ||PA |＋ |BM ||PB |，又|AM |＝|BM |＝2，|PA |＝|PB |，所以 S ＝2|PA |，而|PA |＝ |PM | －|AM | ＝ |PM | －4，2 2)2 2 22 2 22 2 2222 22 2 2即 S ＝2 |PM | －4，因此要求 S 的最小值，只需求|PM |的最小值即可，即在直线 3x ＋4y ＋8＝0 上找一点 P ，使得|PM |的值最小．所以|PM | ＝ min|3×1＋4×1＋8| 3 ＋4＝3，所以四边形 PAMB 面积的最小值为S ＝2 |PM | －4＝2 3 －4＝2 5. 2 2 2 2 2。

北大版高数答案

习题1.1222222222222222222.,,.3,3.3,,313 2.961,9124,31.3,93,3,3.,,.,,,,p p p q p q p q q p p k p k p k k p k k p p k k q q k q p q p a a a b p a pb b b====+=+=++=++======为互素自然数除尽必除尽否则或除将余故类似得除尽与互素矛盾.设是正的素数为互素自然数,则素证 2.证 1.2222222,,.,..,:(1)|||1| 3.\;(2)|3| 2.0,13,22,1,(1,0);01,13,13,(0,1);1,13,3/2,(1,3/2).(1,0)(0,1)p a p a a pk p k pb pk b p b a b x x x x x x x x x x x x x x x X ===+-<-<<-+-<>->--<<+-<<>+-<<=-⋃数除尽故除尽类似得除尽此与为互素自然数矛盾.解下列不等式若则若则若则3.解(1)222(1,3/2).(2)232,15,1||5,1||(1).,(1)||||||;(2)||1,|||| 1.(1)|||()|||||||||,||||||.(2)|||()||||||x x x x x a b a b a b a b a b a a b b a b b a b b a b a b a b a b b a b b ⋃-<-<<<<<<<=⋃-+≥--<<+=++-≤++-=+++≥-=+-≤+-<设为任意实数证明设证明证4.,| 1.(1)|6|0.1;(2)||.60.160.1. 5.9 6.1.(, 6.1)( 5.9,).(2)0,(,)(,);0,;0,(,).11,01,.1, 1.11x x a l x x x x X l X a l a l l x a l X a a n n a b a ++>->+>+<->-<-=-∞-⋃-+∞>=++∞⋃-∞-=≠<=-∞+∞-><<>=>-=-=解下列不等式或或若若若若证明其中为自然数若解(1)证5.:6.1200001)(1)1).(,),(,).1/10.{|}.(,),,{|},10{|}./10,(1)/10,/10(1)/101/10n n n n n n n n n n n b b n a b a b n b a mA A m A a b ABC B A x x b C A x x a B m m C b a m m --+++><-=∈⋂=∅=⋃=⋂≥=⋂≤-∈-≤-Z 设为任意一个开区间证明中必有有理数取自然数满足考虑有理数集合= 若则中有最小数-=证7.(,),(,).1/10.|}.10n n nn a b a b mn b a A m <-=∈Z ,此与的选取矛盾. 设为任意一个开区间证明中必有无理数取自然数满足考虑无理数集合以下仿8题.8.证习题1.26426642642666613.(1,)1).13.(,).13||13,||1,3,11||3,(,).yy xx x xyxx x x x x x xx xx x xy y x=+∞===<>++=-∞+∞+++++≤≤>≤=++=≤∈-∞+∞证明函数内是有界函数.研究函数在内是否有界时,时证解习题1.4221.-(1)0);(2)lim;(3)lim;(4)lim cos cos.1)0,|,,||.,||,|,(2)0x ax a x a x a x ax aa x a e e x ax a x aεδεεεδδεε→→→→→=>===∀>=<<<-<=-<<=∀>直接用说法证明下列各极限等式:要使取则当时故证(222222,|| 1.||||||,|||||2|1|2|,1|2|)||,||.min{,1},||,1|2|1|2|||,lim(3)0,.||(1),01),1x ax a a x a x aax a x a x a x ax a x a a aa x a x a x aa ax a x ax a e e e e eeεεεεδδεεεε→---<-=+-<+≤-+<++-<-<=-<++-<=∀>>-=-<<-<<不妨设要使由于只需(取则当时故设要使即(.1,0ln1,min{,1},0,||,1|2|lim lim lim0,|cos cos|2sin sin2sin sin||,2222,|,|cos cosx aax aax a x a x ax a x a x aeex a x a e ee ae e e e e ex a x a x a x ax a x a x a x aεεεδδεεδεδ-→+→-→<+⎛⎫<-<+=<-<-<⎪+⎝⎭===+-+-∀>-==≤-=-<-取则当时故类似证故要使取则当|时...(4)2|,lim cos cos.2.lim(),(,)(,),().1,0,0|-|,|()|1,|()||()||()|||1||.(1)1(1)lim lim2x ax ax xx af x l a a a a a u f xx a f x lf x f x l l f x l l l Mxxεδδεδδ→→→→<==-⋃+==><<-<=-+≤-+<+=+-=故设证明存在的一个空心邻域使得函数在该邻域内使有界函数对于存在使得当时从而求下列极限证3.:2002222200000221222lim(1) 1.222sin sin1cos11122(2)lim lim lim1.2222(3)0).22(4)lim.22332(5)lim22xx x xx xxxx x xxx xxxx xax xx xx xx x→→→→→→→→+=+=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎪====⎪⎪⎝⎭==>---=-------2.33-=-20103030300022********(23)(22)2(6)lim1.(21)2 1.13132(8)lim lim lim 11(1)(1)(1)(1)(1)(2)limlim (1)(1)x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →∞→→→-→-→-→--+==+==-+---⎛⎫-==⎪+++-++-+⎝⎭+-==+-+214442100(2)3 1.(1)3244.63(1)1(1)12(10)limlim lim .1(11)lim x x x nnnxy y x x x x n n ny y y x y n x yy →-→→→→→→→∞--==--+====-+++-+-===-1011001001010010120.(12)lim (0)./,(13)lim(0)0,, .(14)lim lim 1x m m mm nn n x n n mm m n n x nx x a x a x a a b b x b x b b a b m na x a x a a bn m b x b xb m n x --→--→∞→∞→∞==+++≠=+++=⎧+++⎪≠=>⎨+++⎪∞>⎩=+2 1.11/x =+03323223220312(12)5lim(112)55lim.3(112)(16)0,l x x x xx x x x x xx x x x x x x a →→→→-+=++-+=++-+==++-+>00im lim lim x a x a x a →+→+→+⎛⎫=+⎛⎫=00lim lim x a x a →+→+⎛⎫=⎫==000222200000sin 14.lim 1lim 1sin sin(1)lim lim lim cos .tan sin sin(2)sin(2)2(2)lim lim lim 100323tan 3sin 2tan 3sin 2(3)lim lim lim sin 5sin 5xx x x x x x x x x x x x e x x x x x x x x x x x x xx x x x x αααββββ→→∞→→→→→→→→→⎛⎫=+= ⎪⎝⎭=====-=-利用及求下列极限:00()1/0321.sin 5555(4)lim lim 2cos sinsin sin 22(5)lim lim cos .2(6)lim 1lim 1lim 1.(7)lim(15)x x x a x a kxxxk kk k x x x yy x x xxx a x a x a a x a x ak k k e x x x y →+→+→→----→∞→∞→∞→=-===+--==--⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦-=51/(5)50100100lim(15).111(8)lim 1lim 1lim 1.5.lim ()lim ().lim ():0,0,0|-|().lim (y y x xx x x x ax x a x y e e x x x f x f x f x A x a f x A f x δδ--→+→∞→∞→∞→→-∞→→-∞⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=+∞=-∞=+∞>><<>给出及的严格定义对于任意给定的存在使得当时):0,0,().A x f x A =-∞>∆><-∆<-对于任意给定的存在使得当时习题1.5222 21.(2)sin5.(1)0,|.,,|||||,0555()(2)(1)0,|sin5sin5|2|cos||sin|.22xx x axx x x xx a x ax aεδεεεδδεεε-==∀>=<≤<<=<<=+-∀>-=<试用说法证明连续在任意一点连续要使只需取则当时有连续.要使由于证000000555()2|cos||sin|5||,5||,||,225,|||sin5sin5|,sin55()()0,0||()0.(),()/2,0||(x a x ax a x a x ax a x a x x a y f x x f x x x f xf x x f x x xf xεεεδδεδδεδδ+-≤--<-<=-<-<==>>-<>=>-<只需取则当时有故在任意一点连续.2.设在处连续且证明存在使得当时由于在处连续对于存在存在使得当时证000000000000 )()|()/2,()()()/2()/20.3.()(,),|()|(,),?(,),.0,0|||()()|,||()||()|||()()|,||.f x f x f x f x f x f xf x a b f x a bx a b f x x xf x f x f x f x f x f x f xεδδεε-<>-=>∈>>-<-<-≤-<于是设在上连续证明在上也连续并且问其逆命题是否成立任取在连续任给存在使得当时此时故在连续其证0001,,(),()|11,ln(1),1,0,(1)()(2)()arccos, 1.0;lim()lim1(0),lim()(0)x x xxf x f xxax xxf x f xa x xa x xf x f f x fπ→-→→+⎧=≡⎨-⎩+≥⎧<==⎨<+≥⎩⎪⎩=====逆命题是有理数不真例如处处不连续但是|处处连续.是无理数4.适当地选取,使下列函数处处连续:解(1)11112sin2limsin31.(2)lim()lim ln(1)ln2(1),lim()lim arccos(1)ln2,ln2.5.3:(1)lim cos lim cos0 1.(2)lim(3)lim xx x x xx xxxxxaf x x f f x a x a fae eπ→→+→+→-→-→+∞→+∞→→==+====-===-=====利用初等函数的连续性及定理求下列极限sin22sin33.(4)lim arctan arctan1.4xxx xeπ→∞→∞====()()(ln ())()(5)6.lim ()0,lim (),lim)().lim)()lim)x g x b x x x x x x g x f x g x x x x x f x a g x b f x a f x e →→→→→=====>====设证明证0lim [(ln ())()]ln 22.7.,,(1)()cos ([]),,(2)()sgn(sin ),,,,1,(3)()1,1/2, 1.1(4)()x x f x g x b a b e e a f x x x n f x x n n x x f x x x x f x ππ→===-∈=∈⎧≠==⎨=⎩+=Z Z 指出下列函数的间断点及其类型若是可去间断点请修改函数在该点的函数值,使之称为连续函数:间断点第一类间断点.间断点第一类间断点.间断点第一类间断点.,011,sin,12,11,01,2(5)(),12,2,1,2 3.1x x x x x x f x x x x x xπ⎧≤≤⎪=⎨<≤⎪-⎩⎧≤≤⎪-⎪=<≤=⎨⎪⎪<≤-⎩间断点第二类间断点.间断点第一类间断点.0000008.(),(),()()()()()()()()()()(()())()()()()()0,()().y f x y g x x h x f x g x x f x g x x h x f x g x x x g x f x g x f x x x f x g x x f x g x D x ϕϕ===+==+=+-=≡=R R 设在上是连续函数而在上有定义但在一点处间断.问函数及在点是否一定间断?在点一定间断.因为如果它在点连续,将在点连续,矛盾.而在点未必间断.例如解习题1.600001.:()lim (),lim (),,,,()0,()0,[,],,(,),()0.2.01,,sin ,.(x x P x P x P x A B A B P A P B P A B x A B P x y y x x f x εε→+∞→-∞=+∞=-∞<<>∈=<<∈=-R 证明任一奇数次实系数多项式至少有一实根.设是一奇数次实系数多项式,不妨设首项系数是正数,则存在在连续根据连续函数的中间值定理存在使得设证明对于任意一个方程有解且解是唯一的令证证000000000000000212121212121)sin ,(||1)||1||,(||1)||1||,[||1,||1],,[||1,||1],().,()()(sin sin )||0,.3.()(,x x f y y y y f y y y y f y y x y y f x y x x f x f x x x x x x x x x f x a b εεεεε=---=--+<-≤+≥+->≥--+∈--+=>-=---≥--->在连续由中间值定理存在设故解唯一设在1212112212121121121112212221212121212),,(,),0,0,(,)()()().()(),.()(),()()()()()()()(),[,]x x a b m m a b m f x m f x f m m f x f x x f x f x m f x m f x m f x m f x m f x m f x f x f x m m m m m m x x ξξξ∈>>∈+=+==<+++=≤≤=+++连续又设证明存在使得如果取即可设则在上利用连续函数的中间值定理证.4.()[0,1]0()1,[0,1].[0,1]().()(),(0)(0)0,(1)(1)10.,01.,,(0,1),()0,().5.()[0,2],(0)(2).y f x f x x t f t t g t f t t g f g f t t g t f t t y f x f f =≤≤∀∈∈==-=≥=-≤∈====即可设在上连续且证明在存在一点使得如果有一个等号成立取为或如果等号都不成立则由连续函数的中间值定理存在使得即设在上连续且证明证12121212[0,2],||1,()().()(1)(),[0,1].(0)(1)(0),(1)(2)(1)(0)(1)(0).(0)0,(1)(0),0, 1.(0)0,(0),(1),,(0,1)()(1x x x x f x f x g x f x f x x g f f g f f f f g g f f x x g g g g f ξξξ-===+-∈=-=-=-=-====≠∈=+在存在两点与使得且令如果则取如果则异号由连续函数的中间值定理存在使得证12)()0,, 1.f x x ξξξ-===+取第一章总练习题221.:581 2.3|58|1422.|58|6,586586,.3552(2)33,52333,015.5(3)|1||2|1(1)(2),2144,.22|2|,.2,2,4,2;2,3x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x y x y x y x y x y x -≥-≥-≥-≥-≤-≥≤-≤-≤-≤≤≤+≥-+≥-+≥-+≥=+-≤=+≤=->=求解下列不等式（）或或设试将表示成的函数当时当时解解解2.解222312312,4,(2).32,41(2), 4.313.1.22,4(1)44,0.1,0.4.:1232(1)2.222221211,.22123222n n y x y y y x y y x x x x x x x x x x n n n n ->=--≤⎧⎪=⎨->⎪⎩<+≥-<++<++>≥-≠+++++=-+==++的全部用数学归纳法证明下列等式当时,2-等式成立设等式对于成立,则解证1231111121211222112312222222124(1)(1)3222,22221..1(1)(2)123(1).(1)1(11)1(1)1,(1)(1)n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x nx x x nxx x x x x n x x ++++++-+++++=++++++++-+++=-+=-=-+-++++++=≠--++-===--即等式对于也成立故等式对于任意正整数皆成立当时证1,1212.1(1)123(1)(1)(1)n n n nnn n x nx x x nxn x n xx +--++++++++=++-等式成立设等式对于成立,则122122112211221221(1)(1)(1)(1)1(1)(12)(1)(1)1(1)(2)(1)(1)1(1)(2)(1)(1)1(2)(1),(1)1n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x nx x n x x n x nx x x n x x n x nx x x x n x n x nx x x x n x n x n x x n ++++++++++-+++-+=--+++-++=--+++-++=--+++-++=--+++=-+即等式对于成立.,.|2|||25.()(1)(4),(1),(2),(2);(2)();(3)0()(4)224211222422(1)(4)1,(1)2,(2)2,(2)0.41224/,2(2)()x x f x xf f f f f x x f x x f f f f x x f x +--=---→→----------==--==-====----≤-=由归纳原理等式对于所有正整数都成立设求的值将表成分段函数当时是否有极限:当时是否有极限?解00022222222;2,20;0,0.(3).lim ()2,lim ()0lim ().(4).lim ()lim (4/)2,lim ()lim 22lim (),lim () 2.6.()[14],()14(1)(0),x x x x x x x x x x x f x f x f x f x x f x f x f x f x x f x x f →-→+→-→--→--→-+→-+→--→-⎧⎪-<≤⎨⎪>⎩==≠=-======--无因为有设即是不超过的最大整数.求003,;2(2)()0?(3)()?391(1)(0)[14]14,1467.[12]12.244(2).lim ()lim[14]14(0).(3).()12,()x y x x f f f x x f x x f f f f x y f f x f x →→+⎛⎫⎪⎝⎭==⎛⎫⎡⎤⎡⎤=-=-=-=-+=-=-=- ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦=-=-==-的值在处是否连续在连续因为不连续因为解111111.7.,0,,:(1)(1);(2)(1).n n n n n n a b a b n b a b a n b n a b a b a++++=-≤<--<++<--设两常数满足对一切自然数证明1111111()()(1),(1).118.1,2,3,,1,1.:{},{}..111,1,7,111n n n n n n n n n n n n nn n n n n n n b a b a b b a a b b b b n b b a b a b a n a b an a b n n a b a b a b n nn ++--+++--+++=<+++=+--->+-⎛⎫⎛⎫==+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<+=++⎛+ ⎝类似有对令证明序列单调上升而序列单调下降,并且令则由题中的不等式证证=11111111111(1)1,111111111(1)11(1)1111111,11111.1111(1)11n n nn n nn nn nn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n +++++++⎫⎛⎫-+⎪ ⎪+⎛⎫⎭⎝⎭<++ ⎪⎝⎭-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+<++ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+<+ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫+<+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎛⎫+ ⎛⎫⎝⎭++< ⎪+⎝⎭111111121111111111(1)1111(1)11111111111111111.1111111.111n n nn n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n nn n n n n +++++++⎛⎫-+⎪ ⎪+⎝⎭-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫++<+-+ ⎪ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫+<+-+ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<+ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫++>+ ⎪++⎝⎭⇔我们证明22111211111(1)11..(1)(1)1111,1,1,11.nn n n n n n n n n n n e e e n n n n ++++>+++++⇔>++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫→∞+→+→+<<+ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭最后不等式显然成立当时故9.求极限22222222221111lim 1111234111111112341324351111().2233442210.()lim (00, ()lim n n n n n n n n n n n n nxf x a nx ax nxf x nx a →∞→∞→∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭++==→→∞=≠+===+作函数)的图形.解解0;1/,0.x x ⎧⎨≠⎩1111.?,()[,]|()|,[,].,(),[,],max{||,||}1,|()|,[,].,|()|,[,],(),[,].12.f x a b M f x M x a b M N f x N x a b M M N f x M x a b M f x M x a b M f x M x a b <∀∈≤≤∀∈=+<∀∈<∀∈-<<∀∈1在关于有界函数的定义下证明函数在区间上为有界函数的充要条件为存在一个正的常数使得设存在常数使得M 取则有反之若存在一个正的常数使得则证12121212:()()[,],()()()()[,].,,|()|,|()|,[,].|()()||()||()|,|()()||()||()|,[,].113.:()cos 0y f x y g x a b f x g x f x g x a b M M f x M g x M x a b f x g x f x g x M M f x g x f x g x M M x a b f x x x xπ==+<<∀∈+≤+<+=<∀∈==证明若函数及在上均为有界函数则及也都是上的有界函数存在证明在的任一证,0().11(,),00,,,(),1()(,)0,()(21/2)cos(21/2)0,21/20().n x f x M n n M f n M n nf x f x n n n x f x δδδδδδπ→->><>=>-=→=++=→∞+→n 邻域内都是无界的但当时不是无穷大量任取一个邻域和取正整数满足和则故在无界.但是x 故当时不是无穷大量证11111000114.lim (1)ln (0).1ln 1,ln ln(1),.lim lim 10.ln(1)ln(1)lim lim ln(1)ln lim(1)ln 1,ln (1)ln ().ln(1)15.()()nn nn n n n n y y y y y n nn n x x x xx y x y n y x n y y y y e y y xn x x n y f x g x →∞→∞→∞→→→-=>-==+==-=++=+=+==-=→→∞+证明令则注意到我们有设及在实轴上有证00002022222220000.:()(),,()lim ()lim ()().1cos 116.lim.22sin 1cos 2sin 1sin 12lim lim lim lim 1422n n n n n x x x y y f x g x x x x f x f x g x g x x x x x y y x x y y →∞→∞→→→→→→===-=⎛⎫-==== ⎪⎝⎭定义且连续证明若与在有理数集合处处相等,则它们在整个实轴上处处相等.任取一个无理数取有理数序列证明证证0011000000001.2ln(1)17.:(1)lim 1;(2)lim .ln(1)(1)lim lim ln(1)ln lim(1)ln 1.(1)11(2)lim lim lim lim ln(1)ln(1)lim1.1x a xa y x y y y y y x a a a x x aa ax x x y y a a y e e e y x y y y e ye e e e e y e e e y x x x y ye e +→→→→→+→→→→→=+-==+=+=+==---====++==证明证0111018.()lim ()0,()lim ()()0.|()|,0||.0,0,0|||()|/.min{,},0||,|()()||()||()|,li x ax ay f x a f x y g x a f x g x g x M x a x a f x M x a f x g x f x g x M Mδεδδεδδδδεε→→====<<-<>><-<<=<-<=<=设在点附近有定义且有极限又设在点附近有定义,且是有界函数.证明设对于任意存在使得当时令则时故证m ()()0.x af xg x →=19.()(,),,()()|()|() () ()(),()(,).y f x c g x f x f x c g x c f x cc f x c g x g x =-∞+∞≤⎧⎪=>⎨⎪-<-⎩-∞+∞设在中连续又设为正的常数定义如下当当当试画出的略图并证明在上连续0000000000000|()|,0,||lim ()lim ()()().(),0,||()lim ()lim ().(),().0,,0,x x x x x x x x f x c x x g x f x f x g x f x c x x f x c g x c c g x f x c g x c c δδδδεεδ→→→→<>-<===>>-<>=====><>一若则存在当时|f(x)|<c,g(x)=f(x),若则存在当时,g(x)=c,若则对于任意不妨设存在使证()0000121212|||()|.||.(),()(),|()()||()|,(),(),|()-()|0.()()min{(),}max{(),}().max{(),()}(|()()|()())/2.min x x f x c x x f x c g x f x g x g x f x c f x c g x c g x g x g x f x c f x c f x f x f x f x f x f x f x δεδεε-<-<-<≤=-=-<>==<=+--=-++得当时设若则若则二利用证121212123123123111123{(),()}(|()()|(()())/2.120.()[,],[()()()],3,,[,].[,],().()()(),(),.()min{(),(),()},f x f x f x f x f x f x f x a b f x f x f x x x x a b c a b f c f x f x f x f x c x f x f x f x f x f ηηη=--++=++∈∈======设在上连续又设其中证明存在一点使得若则取即可否则设证31231313000000()min{(),(),()},()(),[,],,[,],().21.()(),()g(),,.0()g()()g()x f x f x f x f x f x f x x c a b f c y f x x g x x x kf x l x x k l l kf x l x x kf x l x x ηη=<<∈==+=+≠+在连续根据连续函数的中间值定理存在一点使得设在点连续而在点附近有定义但在不连续问是否在连续其中为常数如果在连续;如果在解,l 0,000000||()[[()lg()]()]/.22.Dirichlet ..,()1;,()0;lim (),()11(1)lim 0;(2)lim (arctan )sin 12n n n n x x x x x g x kf x x kf x l x x x x D x x x D x D x D x x x x x →→∞→+∞=+-''→→→→+⎛⎫= ⎪+⎝⎭不连续,因否则将在连续证明函数处处不连续任意取取有理数列则取无理数列则故不存在在不连续.23.求下列极限:证222001/112132100;2tan 5tan 5/5(3)lim lim 5.ln(1)sin [[ln(1)]/]sin /1lim(1).24.()[0,),0().0,(),(),,().{x x y x y n n x x x x x x x x x x x y e y f x f x x a a f a a f a a f a π→→→→+=====++++=+==+∞≤≤≥===设函数在内连续且满足设是一任意数并假定一般地试证明11},lim .lim ,(),().(),{}()0(1,2,),{}n n n n n n n n n n n n a a l a l f x x f l l a f a a a a f a n a →∞→∞++====≤=≥=单调递减且极限存在若则是方程的根即单调递减.又单调递减有下界,证111lim ,lim lim ()(lim )().25.()(,),:(0)1,(1),()()().()((,)).()()().()()n n n n n n n n n x n n a l a l a f a f a f l y E x E E e E x y E x E y E x e x E x x E x E x E nx E x +→∞→∞→∞→∞======-∞+∞==+==∀∈-∞+∞++==故有极限.设则设函数在内有定义且处处连续并且满足下列条件证明用数学归纳法易得于是证11.,()(11)(1).1(0)(())()()(),().().1111,(1)()()()(),().11()()().,n n n n n n nn mmm n n n E n E E e E E n n E n E n e E n E n e E n e n E E n E n E e E E e n n n n m E E m E e e r E n n n -=++====+-=-=--======⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设是正整数则于对于任意整数对于任意整数即对于所有有理数lim ().,,(),()lim ()lim ().nn n r x x x x n n n r e x x E x E x E x e e e e →∞→∞→∞=→====n 对于无理数取有理数列x 由的连续性的连续性习题2.1201.,.,.()2(0)(1),;(2),?(3)lim ,?x l O x x m x x x l x x m mx mx ∆→=≤≤∆∆∆∆∆∆设一物质细杆的长为其质量在横截面的分布上可以看作均匀的现取杆的左端点为坐标原点杆所在直线为轴设从左端点到细杆上任一点之间那一段的质量为给自变量一个增量求的相应增量求比值问它的物理意义是什么求极限问它的物理意义是什么2222222000(1)2()22(2)22(2).2(2)(2)2(2).(3)lim lim 2(2)4.lim x x x m x x x x x x x x x x x m x x x m x x x x x x x x m mx x x x x x∆→∆→∆→∆=+∆-=+∆+∆-=∆+∆∆∆+∆∆==+∆+∆∆∆∆∆∆=+∆=∆∆是到那段细杆的平均线密度.是细杆在点的线密度.解00223.()(,()):(1)2,(0,1); (2)2,(3,11).(1)2ln 2,(0)ln 2,1ln 2(-0),(ln 2) 1.(2)2,(3)6,:116(3).4.2(0)(,)(0,0)x x y f x M x f x y M y x B y y y x y x y x y y x y px p M x y x y ===+''==-==+''==-=-=>>>求下列曲线在指定点处的切线方程切线方程切线方程试求抛物线上任一点处的切线斜率解,0,.2p F x ⎛⎫⎪⎝⎭,并证明:从抛物线的焦点发射光线时其反射线一定平行于轴33303223322200002.,:(1);(2)2,0;(3)sin 5.()(1)lim(33)lim lim (33)3.2()2(2)lim 2lim(2lim x x x x x x y ax y px p y x a x x ax y xx x x x x x x a a x x x x ax xp x x px x x xy p xx p ∆→∆→∆→∆→→→==>=+∆-'=∆+∆+∆+∆-==+∆+∆=∆+∆-+∆'==∆+∆=根据定义求下列函数的导函数解00000)()2lim()()22lim25(2)52cossin sin 5()sin 522(3)limlim55(2)552cos sin sin5(2)2222lim 5lim cos lim 5522x x x x x x x x x x x x p x x x x x x x x p p x x x xx x xx x xy xxx x x x x x x →→∆→∆→∆→∆→∆→-+∆+=∆+∆+∆+∆+==+∆++∆∆+∆-'==∆∆+∆∆∆+∆==∆∆5cos5.2x x =2000,().(),.,2,.2,.p py y M PMN Y y X x yy p y x N X y X x X x x y p p FN x FM p x FN FNM FMN M PQ x PMQ FNM FMN '===-=--=-=-=-=+=====+=∠=∠∠=∠=∠过点的切线方程：切线与轴交点(,0),故过作平行于轴则证2005.2341,.224,1,6,4112564(1),4 2.:6(1),.444y x x y x y x x y k y x y x y x y x =++=-'=+====⎛⎫-=-=+-=--=-+ ⎪⎝⎭曲线上哪一点的切线与直线平行并求曲线在该点的切线和法线方程切线方程:法线方程解(2)33(3)()2(),()(),().r R g r GM GMg R g R g R g r r R R R-+-≠'''==-≠=时可导.在不可导 323226.,,;(),,, (1)():(2)();(3)().()lim ()lim,lim ()limr R r R r R r R r g r GMrr R R g r R M G GM r R rg r r g r g r r GMr GMr R g r g r R RGM g r r →-→-→+→+⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩≠====离地球中心处的重力加速度是的函数其表达式为其中是地球的半径是地球的质量是引力常数.问是否为的连续函数作的草图是否是的可导函数明显地时连续.解,2lim (),()r R GMg r g r r R R→-==在连续.3222222222228.:(1)87,24 1.(2)(53)(62),5(62)12(53)903610.(3)(1)(1)tan (1)tan ,(2)tan (1)sec .9(92)(56)5(9)51254(4),56(56)y x x y x y x x y x x x x x y x x x x x y x x x x x x x x x x x x y y x x '=++=+'=+-=-++=+-'=+-=-=+-+++-+++'===++求下列函数的导函数22.(56)122(5)1(1),.11(1)x x y x y x x x ++'==-+≠=---23322222226(6)(1),.1(1)1(21)(1)1(7),.(8)10,1010ln1010(1ln10).sin cos sin (9)cos ,cos sin .(10)sin ,sin cos (s x x x x xx x x x x x x x x y x y x x x x x e e x x x x y y e e ey x y x x x x x xy x x y x x x x x y e x y e x e x e -'=≠=--+++-++-+-'==='==+=+-'=+=-+'==+=in cos ).x x +00000001001100009.:()()()(),()0().()()(1)(2).()()(),()0()()()()()()(()()())()(),(m k k k k k P x P x x x g x g x x P x m x P x k x P x k k P x x x g x g x P x k x x g x x x g x x x kg x x x g x x x h x h x ---=-≠'->=-≠''=-+-'=-+-=-定义若多项式可表为则称是的重根今若已知是的重根,证明是的重根证00)()0,()(1)kg x x P x k '=≠-由定义是的重根.227.(),:(1,3)(),(0)3,(2) 1.3(),()2.34111113,,3(),()3.2222P x y P x P P a b c P x ax bx c P x ax b b a b b a c a b P x x x ''===++=⎧⎪'=++=+=⎨⎪+=⎩==-=-+==-++求二次函数已知点在曲线上且解000000010.()(,),()(),().()(0),(0)0.()(0)()(0)()(0)(0)lim limlim (0),(0)0.()()11.(),lim22x x x x f x a a f x f x f x f x f f f x f f x f f x f f f f xx x f x x f x x f x x f x→→→∆→--=''=-----'''==-=-=-+∆--∆'=∆若在中有定义且满足则称为偶函数设是偶函数,且存在试证明设在处可导证明证=000000000000000000000().()()()()()()1lim lim 22()()()()1lim 2()()()()11lim lim [()22x x x x x x f x x f x x f x x f x f x x f x x x x f x x f x f x x f x x x f x x f x f x x f x f x x x ∆→∆→∆→∆→∆→+∆--∆+∆--∆-⎡⎤=-⎢⎥∆∆∆⎣⎦+∆--∆-⎡⎤=+⎢⎥∆-∆⎣⎦+∆--∆-⎡⎤'=+=+⎢⎥∆-∆⎣⎦证002()]().12.,(0/2)()((),()):.f x f x y x t t P t x t y t OP x t t π''==<<=一质点沿曲线运动且已知时刻时质点所在位置满足直线与轴的夹角恰为求时刻时质点的位置速度及加速度.222222422222()()()tan ,()tan ,()()(tan ,tan ),()(sec ,2tan sec ),()(2sec tan ,2sec 4tan sec )2sec (sec ,2tan ).y t x t x t t y t t x t x t t t v t t t t v t t t t t t t t t ===='=''=+=位置解y =x 21/1/1/1/1/000013.,0()10, 00.1111(0)lim lim 1,(0)lim lim 0.1114.()||(),()()0.().()limxx x x x x x x x x xx f x ex x x x e e f f x e xe f x x a x x x a a f x x a f a ϕϕϕ→-→-→+→+-→⎧≠⎪=+⎨⎪=⎩=++''======++=-=≠='=求函数在的左右导数设其中在处连续且证明在不可导-+解证()()()()(),()lim ()().a x a a x x x a x a a a f a x a x aϕϕϕϕ-→---''=-==≠--+-f习题2.2()()()22221.,:111(2)[ln(1)],.[ln(1)](1).111(3)2.22x x xx x xx xx x x x''=-=-='''-=-=-=---'''⎡==⎣'''⎡=+=⎣=下列各题的计算是否正确指出错误并加以改正错错错3322222()221(4)ln|2sin|(14sin)cos,.2sin1ln|2sin|(14sin cos).2sin2.(())()|.() 1.(1)(),(0),(),(sin);(2)(),(sin);(3)u g xx x x xx xx x x xx xf g x f u f x xf x f f x f xd df x f xdx dx=='⎡⎤+=+⎣⎦+'⎡⎤+=+⎣⎦+''==+''''错记现设求求[]()[][]2222223(())(())?.(1)()2,(0)0,()2,(sin)2sin.(2)()()224.(sin)(sin)(sin)2sin cos sin2.(3)(())(()),(())(())().f g x f g xf x x f f x x f x xdf x f x x x x xdxdf x f x x x x xdxf g x f g x f g x f g x g x''''''====''===''==='''''=与是否相同指出两者的关系与不同解()()()222233312232323.2236(1),.111(2)sec,(cos)(cos)(cos)(cos)(sin)tan sec.(3)sin3cos5,3cos35sin5.(4)sin cos3,3sin cos cos33sin sin33sinx xy yx x xy x y x x x x x x x y x x y x xy x x y x x x x x---'==-=----'''===-=--='=+=-'==-=求下列函数的导函数:2(cos cos3sin sin3)3sin cos4.x x x x x x x-=22222222222232222222241sin 2sin cos cos (1sin )(sin )2(5),cos cos sin 2cos 2(1sin )(sin ).cos 1(6)tan tan ,tan sec sec 13tan sec tan tan (sec 1)tan .(7)sin ,s ax ax x x x x x x x y y x x x x x x x xy x x x y x x x x x x x x x y e bx y ae +-+-'==++='=-+=-+=-=-='==5422in cos (sin cos ).(8)cos 5cos 11(9)ln tan ,sec 24224tan 2411112tan cos 2sin 24242ax ax bx be bx e a bx b bx y y x x y y x x x x ππππππ+=+'==-=⎛⎫⎛⎫'=+=+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭==⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222cos 42411sec .cos sin()211()()1(10)ln (0,),.22()x x x x x a x a x a x a y a x a y a x a a x a x a x a ππ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===+-++--'=>≠±==+-+-22222222224.:11(1)arcsin (0),11111(2)arctan (0),.1(3)arccos (||1),2arccos 1111(4)arctan ,.111(5)ar 2xy a y aa a x y a y a a a a a x x a y x x x y x x y y x x x xa y '=>==-'=>==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭'=<=-'===-++=求下列函数的导函数csin (0),x a a>22222222(6)ln0)212(7)arcsin,1ya xy aayxy xx'====>⎛⎫'=+=+==≠±+22222222221.2112sgn(1)2.111(8)(0).212211sec2()tan()cos()s22xx x xyx xxxy a bxyxx xab a b a b a b--'===++-⎫=>≥⎪⎪⎭⎛⎫'= ⎪⎝⎭==++-++-2in21.cos(9)(1ln(1ln(1ln(1 /.(10)(11)(12)xa b xy yy yy yy yy y=+=+++=+++++ '=⎡⎤'='=='==y y'==222222222311(13)ln(),1.21(14)(1)(31)(2).ln ln(1)ln(31)ln(2),331211131321211.13132(15),(1).(16)xxxx e x e x x e x y x x a y x x a x a x ay x x x y x x x y y x x x y y x x x y e e y e e e e e ⎛⎫'=++=+= ⎪++++⎝⎭=-+-=-+++-'-=++-+--⎡⎤'=++⎢⎥-+-⎣⎦'=+=+=+11112(0).ln ()ln ln ln ln .aaxa a xaaxa x a a a x a a x a ax a a x y x a a a y a x a a ax a aa aa x a aa x a a a ----=++>'=++=++222225.()1()()84,tan (),24001001()arctan ,()100110t x t t x t t t t t t t t θθθθ===='==+2一雷达的探测器瞄准着一枚安装在发射台上的火箭,它与发射台之间的距离是400m.设t=0时向上垂直地发射火箭,初速度为0,火箭以的匀加速度8m/s 垂直地向上运动;若雷达探测器始终瞄准着火箭.问:自火箭发射后10秒钟时,探测器的仰角的变化速率是多少?解222110,(10)0.1(/).505010101006.,2m t s θπθ'==⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭弧度在图示的装置中飞轮的半径为且以每秒旋转4圈的匀角速度按顺时针方向旋转.问:当飞轮的旋转角为=时,活塞向右移动的速率是多少?20()2cos8(8)()16sin8,811()8,,,()16.2161616m/s.x t t t x t t t t t t x ππππππαπππ='=-'====-活塞向右移动的速率是解习题2.323222(1)(1).1.0,?(1)10100.1(2)2(3)(1cos)2sin ,222.:0,()().()().()()3.()()(0),()()(0).o o o x o o o x x y x x x y x xy x x x x x x x x x x x x xx x x x x x αααααβ=→=++===-=→=====→=→当时下列各函数是的几阶无穷小量阶.阶.阶.已知当时试证明设试证明证00(1)(1)(1)()()()(0).()()()().()()().4.(1)sin ,/4.sin cos ,1,1.444(2)(1)(0).o o o o o o o x x x x x x x x x x xx x x x y x x x y x x x y dy dx y x y ααβαβαβππππα+=→+=+=+=+=⎛⎫⎫⎫''===+=+=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎭⎭=+>':上述结果有时可以写成计算下列函数在指定点处的微分:是常数证122(1),(0),.5.1222(1)1,,.11(1)(1)(2),(1).(1).26.(1),3 3.001,11,(3).222.001x x x x x x y dy dx x dx y y dy x x x x y xe y e xe e x dy e x dx y x x x y y αααα-'=+==-'==-+=-=-++++'==+=+=+=≠-''=-∆=求下列各函数的微分:设计算当由变到时函数的增量和向相应的微分.22解 y =-(x -1)1222113333332220.0010.0011,.2.00127..1.162(1) 2.002.5328.:11(1)(0).0,.33(2)()()(,,).2()2()dy y x y a a xy y y x x a y b c a b c x a y b y ---=-=-==+=⎛⎫''+=>+==- ⎪⎝⎭-+-='-+-=求下列方程所确定的隐函数的导函数为常数0,.x ay y b-'=--。

高数课后习题及答案--第二章-2.7

高数课后习题及答案--第二章-2.71．()()()()211110,11)()21,121,2()(),1,122,()12(),:lim ()0,lim ()lim 213lim ()x x x x x f x x x x x f x f x f x x x f x f x f x x f x -++-→→→→<⎧⎪=+≤<⎨⎪+≥⎩-∞+∞==-∞+∞==+=若若若解：由题设可知是一个分段函数，由分段函数的特点可知在区间，是连续的，因此只要证明出在点，处的连续性，便可得出函数在定义域上的连续性，具体如下因为，12222222lim ()()1lim ()lim 215,lim ()lim 15lim ()lim ()(2)5()2x x x x x x x f x f x x f x x f x x f x f x f f x x +--++-+→→→→→→→≠==+==+=====所以在处不连续又因为，所以在处连续()()()0000sin ,02)()1,0,0()(),0,0,()0(),:sin lim ()lim 1,lim ()lim 1x x x x x x xx x f x x e x f x f x f x x f x xf x f x e x --++--→→→→⎧<⎪⎪==⎨⎪>⎪⎩-∞+∞=-∞+∞====若若解：由题设可知是一个分段函数，由分段函数的特点可知在区间是连续的，因此只要证明出在点处的连续性，便可得出函数在定义域上的连续性，具体如下因为，f(0)=1即0lim ()lim ()()0x x f x f x f x x -+→→===f(0)=1所以在处连续()()()()22001sin ,0;3)()0,0;()(),0,0,()0(),:1lim ()lim sin 0(0),()0(),x x x x f x xx f x f x f x x f x f x x f f x x xf x →→⎧≠⎪=⎨⎪=⎩-∞+∞=-∞+∞====-∞+∞若若解：由题设可知是一个分段函数，由分段函数的特点可知在区间是连续的，因此只要证明出在点处的连续性，便可判定函数在定义域上是否连续，具体如下所以可知函数在处的连续，函数在定义域20001sin()01'(0)limlim lim sin 0x x x x f x x f x x x x→→→-====-上连续。

高等数学第二章课后习题答案

⾼等数学第⼆章课后习题答案第⼆章导数与微分1. ()().1,102-'=f x x f 试按定义求设200200(1)(1)10(1)10'(1)lim lim1020lim lim (1020)20x x x x f x f x f x xx x x x→?→?→?→-+?--?---==-?==?-=-?2. 下列各题中均假定()0x f '存在，按导数定义观察下列极限，指出此极限表⽰什么, 并将答案填在括号内。

⑴ ()()=?-?-→?xx f x x f x 000lim（0'()f x -）；⑵ ()=→?xx f x 0lim （'(0)f ），其中()()存在；且0,00f f '= ⑶ ()()=--+→hh x f h x f h 000lim（02'()f x ）.3. 求下列函数的导数：⑴ ='=y x y ,4则34x ⑵ ='=y x y ,32则1323x -⑶ ='=y xy ,1则3212x -- ⑷ ='=y x x y ,53则115165x 4．求曲线. 21,3 cos 程处的切线⽅程和法线⽅上点??=πx y'sin ,'()3y x y π=-==-2(1)0y +-=法线⽅程为1)23y x π-=-化简得3)0x π+-+= 5. 讨论函数=≠=0001sin 2x x xx y 在0=x 处的连续性和可导性. 20(0)01lim sin 0(0)()x f x f x→===因为有界量乘以⽆穷⼩所以函数在0x =处连续因为 20001sin(0)(0)1lim limlim sin 0x x x x f x f x x xx x→?→?→?+?-==?=所以函数在0x =处可导.6. 已知()()()()是否存在？⼜及求 0 ,0 0 ,0 2f f f x x x x x f '''<-≥=-+ 2'00(0)(0)(0)lim lim 0h h f h f h f h h+→+→++-==='0lim 1h h f h f hf h h-→-→++--===- ''(0)(0)f f +-≠Q '(0)f ∴不存在7. ()(). , 0sin x f x x x x x f '??≥<=求已知当0x <时, '()(sin )'cos f x x x ==; 当0x >时, '()()'1f x x ==;当0x =时'00(0)(0)(0)limlim 1h h f h f hf hh +→→+-===＋＋ '00(0)(0)sin (0)limlim 1h h f h f h f h h-→-→+-===－ '(0)1f ∴=综上，cos ,0'()1,0x x f x x8. 求下列函数的导数：（1）;54323-+-=x x x y （2）;1227445+-+=x xx y 2222222232242222csc cot (1)2csc 2'(1)2(1)csc cot 4csc (1)23(3)(3ln )(2ln )(2)'(3ln )(94)ln 32(3ln )x x x x xy x x x x x x x x x x x x x xx y x x x x x x x x x x -+-=+-+-=+++-++=+-+-+=+g g 2'364652'20282y x x x ---=--+（3）;3253xxe x y +-= （4）;1sec tan 2-+=x x y2'152ln 23x x y x e =-+ 2'2sec sec tan y x x x =+（5）;log 3lg 2ln 2x x x y +-= （6）()();7432x x y -+= 123'ln10ln 2y x x x =-+'422y x =--（7）;ln x xy =（8）;cos ln 2x x x y = 21ln 'x xx y x-= 221'2ln cos cos ln sin y x x x x x x x x x =+- 21ln x x-= 22ln cos cos ln sin x x x x x x x x =+- （9）;1csc 22 xxy +=2222csc cot (1)2csc 2'(1)x x x x x y x -+-=+g g 2222(1)csc cot 4csc (1)x x x x x x -+-=+ （10）.ln 3ln 223xx x x y ++= 2232223(3)(3ln )(2ln )(2)x x x x x x x x y x x ++-++=+ 4222(94)ln 32(3ln )x x x x x x x x -+-+=+9. 已知. ,cos 21sin 4πρρ=+=d d 求因为1sin cos sin 2d d ρ=+-所以412422284d d πρπ?==+-=+10. .1轴交点处的切线⽅程与写出曲线x xx y -= 令0y =，得11x x ==-或因为2'1y x -=+，所以 11'2,'2x x y y ==-==曲线在(1,0)处的切线⽅程为2(1)y x =-，即220x y --=；曲线在(1,0)-处的切线⽅程为2(1)y x =+，即220x y -+=。

《高等数学》(北大第二版)第02章习题课

《高等数学》(北大第二版)第02章习题课《高等数学》(北大第二版)课件《高等数学》(北大第二版)课件一、学习本章的主要要求是：学习本章的主要要求是：(1)掌握导数、微分(及高阶导数)的定义，它们的联系与区别及几何意义，会用定义求导数、微分及高阶导数. (2) 熟练地掌握计算导数与导函数、微分及高阶导数的各种方法，并善于运用相应公式、法则和方法熟练地进行计算；(3)会用微分进行近似计算并估计误差. 二、综合例题f ( x) 处连续，存在，证明f(x)在x=0处可导处可导. 例1 设f(x)在x=0处连续，且lim 在处连续存在，证明在处可导x →0f ( x ) f (0) lim x →0 x 0x 存在，故只要证f(0)=0. 分析需证证设lim f ( x) = A, 则lim f ( x) = lim x f ( x) = 0 A = 0, x →0 x →0 x →0 x x 因为f(x)在x=0处连续，所以f (0) = lim f ( x) = 0. x→0 f ( x ) f ( 0) f ( x) f ′(0) = lim = lim = A 存在，即f(x)在x=0处可导. 故x →0 x→0 x 0 x《高等数学》(北大第二版)课件例2 设f(u)的一阶导数存在，求1 r r lim [ f (t + ) f (t )] r →0 r a r a r f (t + ) f (t ) + f (t ) f (t ) a a 解原式= lim r →0 r r r [ f (t + ) f (t )] [ f (t ) f (t )] 1 1 a a 令r =h = lim + lim r r r r a →0 a →0 a a a a a1 f (t + h) f (t ) 1 f (t ) f (t h) = lim + lim h →0 a h a h →0 h 1 f (t + h) f (t ) 1 f (t h) f (t ) = lim + lim h →0 a h a h →0 hh = x1 12 = f ′(t ) + f ′(t ) = f ′(t ) a a a《高等数学》(北大第二版)课件例3 已知y = xln(x + 1 + x 2 ) 1 + x 2解′( ′ y′ = xln(x + 1 + x 2 )) 1 + x 2) (求y′.x 1+ x2 = ln(1 + 1 + x ) + x. x + 1+ x2 1+ x221+x= ln( 1 + 1 + x ) +2x 1+ x2x 1+ x2= ln( 1 + 1 + x 2 )例4 求y = 解x x x 的导数 .y= x1 1 1 + +2 4 8= x , 所以27 87 8 7 ′= x = y . 8 8 8 x1练习: y = ln1 1+ x, 求y ′.《高等数学》(北大第二版)课件例5设y =a1 x 3x log b14arctan x 2 ( a 0 , b 0 ), 求y ′.1 1 1 x ∵ ln y = ln a + ln log b x + ln arctan x2 , 解2 6 24 1 1 1 ln y = ln a + (ln ln x ln ln b ) + ln arctan x 2 , 2x 6 24 对上式两边求导,得ln a 1 x ′ = y[ y + + ] 2 4 2 2x 6 x ln x 12 (1 + x ) arctan x1 = 2a1 x 3x log b4arctan x 2x 1 ln a [ 2 + ]. 4 2 x 3 x ln x 6 (1 + x ) arctan x《高等数学》(北大第二版)课件例6 设y = y ( x) 由方程e xy + tg ( xy ) = y 确定，求y′(0)解由方程知当x = 0 时y = 1.对方程两变求导：1 e ( y + xy ′) + ( y + xy ′) = y ′2 cos ( xy ) 1 0 1 e (1 + 0 y′(0)) + (1 + 0 y ′(0)) = y ′(0) 2 cos (0)xy故y ′(0) = 2例7 已知xy = e x + y 求y′′解将方程两边对x求导，得y + xy′ = e x + y (1 + y′)(A)y + xy′ = e x + y + y′e x + y再将(B)两边对x求导,得(B)y - ex+y y′ = x + y e x(C)y′ + y′ + xy′′ = e x + y (1 + y′) + y′′e x + y + y′e x + y (1 + y′)《高等数学》(北大第二版)课件e x + y (1 + y′) 2 2 y′ y′′ = x e x+ yy - ex+y 其中y′ = x + y e x.x = ln(1 + t2 ), 例7 已知求y′, y′′, y′′′. y = t arctan t. 1 1 (t - arctant)′ 1+ t2 = t , 解y′ = = 2 2t 2 (ln(1 + t )′ 1+ t2 t ( )′ 1+ t 2 2 y′′ = = , 2 ′ (ln(1 + t )) 4t1+ t 2 ( )′ t 4 1 4t y′′′ = = 3 . (ln(1 + t 2 ))′ 8t《高等数学》(北大第二版)课件例8 设y = f 2 ( x) + f ( x 2 ), 其中f ( x)具有二阶导数, 求y′′. 解y′ = 2 f ( x) f ′( x) + f ′( x 2 )2 x. y′′ = 2[ f ′( x)]2 + 2 f ( x) f ′′( x) + 2 f ′( x 2 ) + 2 xf ′′( x 2 ) 2 x = 2[ f ′( x)]2 + 2 f ( x) f ′′( x) + 2 f ′( x 2 ) + 4 x 2 f ′′( x 2 ).例9 求下列函数的n 阶导数y ( n ) ( n 3). x4 1 (1) y = ; (2) y = 2 . 2 1 x x ax4 1+1 1 y= = ( x 3 + x 2 + x + 1) 1 x 1 x n! (n) . 当n 3时, y = n +1 (1 x) 1 ( 2) y = 2 (练习). 2 x a解(1)《高等数学》(北大第二版)课件例10 求由方程先求微分，易得导数] 解[先求微分，易得导数将方程两边同时取微分，因为y ln x + y = arctan 所确定的隐函数的导数和微分. x2 22 2d ln x + y ==1 x +y2 2d x + y =2 21 x +y2 2d (x2 + y2 ) 2 x2 + y21 x2 + y22 xdx + 2 ydy 2 x2 + y2=而xdx + ydy , 2 2 x +yy 1 xdy ydx xdy ydx d arctan = = 2 x 1 + ( y )2 x2 x + y2 x∴xdx + ydy xdy ydx = 2 2 2 x +y x + y2∴x+ y dy = dx, x y∴dy x + y y′ = = . dx x y《高等数学》(北大第二版)课件a xb a x b 例11 设f(x) 可导, 求y = f (sin x ) + ( ) ( ) ( ) .的导数, b x a a 其中, a 0, b 0, ≠ 1, x ≠ 0. b a x b a x b 2 解记y1 = f (sin x ) , y2 = ( ) ( ) ( ) , b x a ′ 则y1 = f ′(sin 2 x ) 2 sin x cos x = sin 2 x f (sin 2 x ).2ln y 2 = x (ln a ln b ) + a (ln b ln x ) + b (ln x ln a ),a xb a x b a b a a b ′ ). ∴ y 2 = y 2 [(ln a ln b ) + ] = ( ) ( ) ( ) (ln + b x a b x x x 例12 设y = (ln x ) x x ln x , 求y ′. ln y = x ln(ln x ) + (ln x ) 2 , 解两边取对数, 两边关于x求导1 y ′ = ln(ln x ) + 1 + 2 ln x , y ln x x 1 2 ln x x ln x y ′ = (ln x ) x [ln(ln x ) + ∴ + ]. ln x x练习：设( cosx) y = (sin y ) x求y′《高等数学》(北大第二版)课件例13 解dy 已知y = a + x , a 0为常数, (a ≠ 1), 求 . dx arctan x 2 sin x 设y1 = a , y2 = x .arctan x 2 sin x)′ = ln a a (arctan x 2 )′ 1 arctan x 2 2 ′ = ln a a arctan x 2 2 x . = ln a a (x ) 4 1+ x 1+ x4 对y2 = x sin x两边取对数，得ln y2 = sin x ln x 1 sin x ′ y2 = cos x ln x + , 两边对x求导，得x y2 sin x sin x ′ y2 = x (cos x ln x + ). xarctan x 2arctan x 2′ y1 = (a《高等数学》(北大第二版)课件2 - x, 1 x +∞, 2 例13 设f(x) = x , 0 ≤ x ≤ 1, x 3 , - ∞ x 0. 解第一步，在各开区间内分别求导：1, 1 x f ′( x) = 2x, 0 x 1, 3x 2 , - ∞ x 0.求f ′ (x).第二步，在分段点用导数定义求导，分段点为x = 0,1f (0 + x) f (0) ( x) 2 0 f +′ (0) = lim+ = lim+ =0 x →0 x →0 x x 《高等数学》(北大第二版)课件f (0 + x)f (0) ( x)3 0 f ′ (0) = lim = lim = 0, ∴ f ′(0) = 0 x →0 x →0 x xf (1 + x) f (1) 2 (1 + x) 12 x = lim+ = lim+ = 1 f +′ (1) = lim+ x → 0 x → 0 x → 0 x x xf (1 + x) f (1) (1 + x) 2 12 2 x + ( x) 2 = lim = lim =3 f ′ (1) = lim x → 0 x →0 x → 0 x x x∴ f(x)在x = 1的导数不存在1, 1 x +∞, 故f ( x) = 2x, 0 ≤ x 1, 3x 2 , - ∞ x 0.在x = 1 处f(x)不可导.x ≤ c, sinx, 例14 设f(x) = c 为常数ax + b , x c.试确定a, b的值，使f ′(c) 存在.《高等数学》(北大第二版)课件解因为f ′ (c) 存在，所以f(x) 在c处连续.x →clim- f ( x) = lim- sin x = sin cx →c x →cx →clim+ f ( x) = lim+ (ax + b) = ac + bf ′ (c) = lim∴ sinc = ac + b (1)因为f(x) 在c处可导，sin x sin c f ( x ) f (c ) = lim x →c x →c x c x c x c x c x+c sin 2 sin cos 2 cos x + c = cos c. 2 2 = lim = lim x →c x c x →c 2 x c 2 f ( x ) f (c ) ax + b sin c ax + b (ac + b) = a.f +′ (c) = lim = lim = lim + + + x →c x →c x →c x c x c x c所以，cosc = a (2) 解(1), ( 2) 得，= cosc , b = sinc - ccosc. a《高等数学》(北大第二版)课件x2, x ≤ 1, 习题2-1 15. 设f(x) = ax + b , x 1. 为了使函数f(x)在x=1处连续且可导，a,b应取什么值？解要使f(x)在x=1处连续，因为x →1lim f ( x) = lim x 2 = 1, x →1x →1x →1lim (ax + b) = a + b, +应有lim f ( x) = lim f ( x) = f (1) +x →1即a+b=1(1)要使f(x)在x=1处可导，因为(1 + x) 2 12 2 x + ( x) 2 f (1 +x) f (1) = lim = 2, f ′ (1) =lim = lim x →1 x →1 x →1 x x x代a + b =1a (1 + x) +b 12 f (1 + x) f (1) a x f +′ (1) = lim = lim = lim = a, + + + x →1 x →1 x →1 x x x应有a=2,代入(1)式得b=-1.《高等数学》(北大第二版)课件6. 假定f ′( x0 )存在，指出下式A表示什么？f ( x) = A, 其中f (0) = 0, 且f ′(0)存在；x →0 x f ( x0 + h) f ( x0 h) (3) lim = A. h→0 h 解(2) ∵ lim f ( x) = lim f ( x) f (0) = f ( x0 ), x →0 x →0 x 0 x (2) lim∴ A = f ( x0 ).(3) ∵ limh →0f ( x0 + h) f ( x0 ) + f ( x0 ) f ( x0 h) f ( x0 + h) f ( x0 h) = lim h →0 h h f ( x0 + h) f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 h) + lim h →0 h h = limh →0f ( x0 h) f ( x0 ) 令h = x = f ′( x0 ) + lim ======== f ′( x0 ) + f ′( x0 ) = 2 f ′( x0 ), h →0 h∴ A = 2 f ′( x0 ).《高等数学》(北大第二版)课件9 .如果f ( x)为偶函数，且f ′(0)存在，证明f ′(0) = 0.证f ( x) f ( x0 ) f ( x) f (0) f ( x) f (0) ′( x0 ) = lim (f ) f ′(0) = lim = lim x → x0 x →0 x →0 x x0 x 0 x 0f ( x) f (0) (令x = y ) f ( y ) f (0) = f ′(0) = lim ========== lim x →0 x 0 y →0 y 0∴ 2 f ′(0) = 0,f′(0) = 0.1 例16 设f (t ) = lim t (1 + ) 2tx ,求f ′(t ). x →∞ x 1 x 2t 1 2tx 解lim t (1 + ) = lim t[(1 + ) ] = t e 2t x →∞ x →∞ x xf ′(t )= (t e 2t )′ = (2t + 1)e 2t .《高等数学》(北大第二版)课件1 2 x sin , x ≠ 0; 例15 求f(x) = x 0, x=0一阶导数和二阶导数.1 1 解当x ≠ 0时, f ′( x) =2 x sin cos , x x 1 2 1 1 1 f ′′( x ) = 2 sin cos 2 sin . x x x x x当x=0时,用导数定义先求一阶导数,再来看二阶导数.f (0 + x) f (0) = lim f ( x ) f ′(0) = lim x → 0 x → 0 x x= lim由于x 2 sinx → 01 x = lim x sin 1 = 0; x → 0 x x1 lim f ′( x) = lim(2 x sin 1 cos 1 ) = lim cos x →0x →0不存在(极限故处不连续(是振荡间断点是振荡间断点),所以不可导,即不存在极限),故f ′(x ) 在x=0 处不连续是振荡间断点所以f ′(x ) 在x=0不可导即极限不可导 f ′′(0) 不存在不存在.xxx→0x《高等数学》(北大第二版)课件1 g(x)cos , x ≠ 0, 例16 设f(x) = x 0, x = 0.且g(0) = g′(0) = 0 试问：(1) lim f ( x);x →0(2) f(x) 在x = 0处是否连续？(3) f(x) 在x = 0处是否可导？若可导，f ′(0) = ?解(1 lim f ( x) = lim g ( x) cos ) 1 =0 x →0 x →0 x 1 ( ∵ lim g(x) = g(0) = 0; cos 为有界函数) x →0 __ →0(2) ∵ lim f ( x) = 0 = f (0)∵ f(x)在x = 0 处连续.1 1 g ( x ) cos 0 g ( x) cos x x =0 lim (3) f ′(0) = lim x →0 x →0 x 0 x1 g ( x ) g ( 0) g ( x) ( ∵ g′ (0) = lim = lim = 0, cos 有界) x →0 x →0 x 0 x x。

高等数学（上）李忠周建莹课后习题答案一习题1.3

习题1.31.(1,2,),lim 1,0,,2|-1|,:n n n n nx n x N n n N x εε→∞===>+><L 设证明即对于任意求出正整数使得当时有并填下表220,1,|-1||1|,2,2222,,|-1|.2.lim ,lim ||||.0,,,||,||||||||,lim ||||.3.{},(1),n n n n n n n n n n n n n x n n n N n N x a l a l N n N a l a l a l a l a l N εεεεεεεεε→∞→∞→∞∀><=-=<>-++⎡⎤=-><⎢⎥⎣⎦==∀>∃>-<-≤-<=不妨设要使只需取则当时就有设证明使得当时此时故设有极限证明存在一个自然数证证1||||1;(2){},,||(12,).(1)1,,,||1,|||||||||| 1.(2)max{||1,||,,||},||(12,).-313(1)lim 23n n n n n n n N n n n N a l a M a M n N n N a l a a l l a l l l M l a a a M n N n n εε→∞<<+≤==∃>-<=-+≤-+<+=+≤=+=-L L L 是一个有界数列即存在一个常数使得对于使得当时此时令则 4.用说法证明下列各极限式:证23/23/2; (2)lim0;21!(3)lim 0(||1); (4)lim0;111(5)lim 1;1223(1)11(6)lim 0.(1)(2)31311(1),2322(23)n n nn n n n n n n n q q n n n n n n n n n εεε→∞→∞→∞→∞→∞=+=<=⎛⎫+++= ⎪-⎝⎭⎛⎫++= ⎪+⎝⎭+∀-=<--L g g g L 不妨设要使只需证>0,<1,3113,2113133133,,,lim .22322321(2),,,n n n N n N n n n εεεεεεε→∞>+++⎡⎤=+>-<=⎢⎥--⎣⎦∀<≤<>取当时故>0,ε0.1 0.01 0.001 0.0001 N18 198 1998 1999832222333331,.1(3)||(0).41||(1)(1)(2)(1)1266242424,,max{4,}.(1)(2)!111(4),,.11(5)1223nnnn N n N q n n n n q n n n n n n n n N n n n n n N n n εεαααααααεααεαεαεεε⎡⎤=><⎢⎥⎣⎦=>>+==---++++++⎡⎤<<<>=⎢⎥--⎣⎦⎡⎤≤<>=⎢⎥⎣⎦+++L L g g取当3/23/23/22211(1)1111111111,,.1223(1)1111(6),,.(1)(2)(1)5.lim 0,{},,||(1,2,),lim n n n n n n n n N n n n n n N n n n a b M b M n εεεεεε→∞⎛⎫- ⎪-⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤=-+-++--=<>= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎡⎤++≤<<>=⎢⎥++⎣⎦=<=g L L L 设是有界数列即存在常数使得证明2222220.0,,||,||||||,lim 0.6. 1.0,11, 1.(1)24444,1,,.(1)(1)(1)127.:(1)l n n n n n n n n n n n nn a b N a a b a b M MMa b nn n n N n n n n n n εεεεεεεεεεεεεεε→∞→∞=∀>∃<=≤===∀><<+⎡⎤=<<<>=⎢⎥-+-⎣⎦++g 正整数使得故证明只需而只需求下列各极限的值证证32232244432220.310013/100/1(2)lim lim .4241/2/4(210)(210/)(3)lim lim 16.11/11(4)lim 1lim 1.n n n n n n nn n n n n n n n n n n n n n n n e n n →∞→∞→∞→∞→∞---→∞→∞==+-+-==-+-+++==++⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦21111(5)lim 1lim 11111111.11lim 1lim 1111111(6)lim 1lim 1,(,1),,,1101nn n n n n n nn n nn n n n n n e n n q N n N q n n e n n -→∞→∞-→∞→∞→∞→∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭==⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-∈∃>-<⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎛⎫<-⎢ ⎪⎝⎭⎢⎣⎦取当时2211,lim 0,lim 10,lim 10.1111(7)lim 1lim 1lim 1 1.nnn nn nn n n n n nn n n q q n n e n n n e →∞→∞→∞→∞→∞→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫<=-=-=⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎥⎢⎥⎣⎦⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭g 即 12221212218.1111(1),,12(1)11112 2.12(1)1111(2),,21212121111111111121222222221n n n n n n n n n n n n nn n n x x x x n n x x n nn x x x x x +++-=+++=+>+<+++=-<-=+++=+>++++-⎛⎫=+++=++++= ⎪⎝⎭L L g L L L g 利用单调有界序列有极限证明下列序列极限的存在性:单调增加有上界，故有极限.111 1.12111111(3).0,1222122,0,111(4)11.0,2!!(1)!111111213 3.2231n n n n n n n n n n n n n x x x x n n n n n n n x x x x x x x n n x n n n x +++<-=+++-=-=-<++++++<>=++++-=>+⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤+-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L L 单调增加有上界，故有极限.单调减少有下界，故有极限.单调增加有上界，故11lim 11.2!!n e n →∞⎛⎫++++ ⎪⎝⎭L 有极限.9.证明=211(1)1(1)(1)1112!!(1)(1)1!111111112111112!!!1111111.lim 1lim 112!!2!!nknnn n n n n n n k n n n n k n n n n n n n k n n k n n n n n e n n n →∞→∞---+⎛⎫+=+++++ ⎪⎝⎭--++--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+--+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫<++++=+≤++++ ⎪⎝⎭L g g L L L L L L L 证1.,11111112111,2!!1111,2!!1111lim 11lim 11.2!!2!!10.:||||,1,2,,nk n n n k n k k n n k n n n e k e k n x k x n →∞→∞+⎛⎫ ⎪⎝⎭>-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+>+-+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫→∞≥++++ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫≥++++=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≤=LL L L L 对于固定的正整数,由上式,当时令得设满足下列条件其中是小于211111.lim 0.||||||||0(),lim 0.n n n n n n n n x x k x k x kx n x →∞-+-→∞=≤≤≤→→∞=L 的正数证明由得证。

北大版高等数学课后习题答案_完整版

习题1.1222222222222222222.,,.3,3.3,,313 2.961,9124,31.3,93,3,3.,,.,,,,p p p q p q p q q p p k p k p k k p k k p p k k q q k q p q p a a a b p a pb b b====+=+=++=++======为互素自然数除尽必除尽否则或除将余故类似得除尽与互素矛盾.设是正的素数为互素自然数,则素证 2.证 1.2222222,,.,..,:(1)|||1| 3.\;(2)|3| 2.0,13,22,1,(1,0);01,13,13,(0,1);1,13,3/2,(1,3/2).(1,0)(0,1)p a p a a pk p k pb pk b p b a b x x x x x x x x x x x x x x x X ===+-<-<<-+-<>->--<<+-<<>+-<<=-⋃数除尽故除尽类似得除尽此与为互素自然数矛盾.解下列不等式若则若则若则3.解(1)222(1,3/2).(2)232,15,1||5,1||(1).,(1)||||||;(2)||1,|||| 1.(1)|||()|||||||||,||||||.(2)|||()||||||x x x x x a b a b a b a b a b a a b b a b b a b b a b a b a b a b b a b b ⋃-<-<<<<<<<=⋃-+≥--<<+=++-≤++-=+++≥-=+-≤+-<设为任意实数证明设证明证4.,| 1.(1)|6|0.1;(2)||.60.160.1. 5.9 6.1.(, 6.1)( 5.9,).(2)0,(,)(,);0,;0,(,).11,01,.1, 1.11x x a l x x x x X l X a l a l l x a l X a a n n a b a ++>->+>+<->-<-=-∞-⋃-+∞>=++∞⋃-∞-=≠<=-∞+∞-><<>=>-=-=解下列不等式或或若若若若证明其中为自然数若解(1)证5.:6.1200001)(1)1).(,),(,).1/10.{|}.(,),,{|},10{|}./10,(1)/10,/10(1)/101/10n n n n n n n n n n n b b n a b a b n b a mA A m A a b ABC B A x x b C A x x a B m m C b a m m --+++><-=∈⋂=∅=⋃=⋂≥=⋂≤-∈-≤-Z 设为任意一个开区间证明中必有有理数取自然数满足考虑有理数集合= 若则中有最小数-=证7.(,),(,).1/10.|}.10n n nn a b a b mn b a A m <-=∈Z ,此与的选取矛盾. 设为任意一个开区间证明中必有无理数取自然数满足考虑无理数集合以下仿8题.8.证习题1.26426642642666613.(1,)1).13.(,).13||13,||1,3,11||3,(,).yy xx x xyxx x x x x x xx xx x xy y x=+∞===<>++=-∞+∞+++++≤≤>≤=++=≤∈-∞+∞证明函数内是有界函数.研究函数在内是否有界时,时证解习题1.4221.-(1)0);(2)lim;(3)lim;(4)lim cos cos.1)0,|,,||.,||,|,(2)0x ax a x a x a x ax aa x a e e x ax a x aεδεεεδδεε→→→→→=>===∀>=<<<-<=-<<=∀>直接用说法证明下列各极限等式:要使取则当时故证(222222,|| 1.||||||,|||||2|1|2|,1|2|)||,||.min{,1},||,1|2|1|2|||,lim(3)0,.||(1),01),1x ax a a x a x aax a x a x a x ax a x a a aa x a x a x aa ax a x ax a e e e e eeεεεεδδεεεε→---<-=+-<+≤-+<++-<-<=-<++-<=∀>>-=-<<-<<不妨设要使由于只需(取则当时故设要使即(.1,0ln1,min{,1},0,||,1|2|lim lim lim0,|cos cos|2sin sin2sin sin||,2222,|,|cos cosx aax aax a x a x ax a x a x aeex a x a e ee ae e e e e ex a x a x a x ax a x a x a x aεεεδδεεδεδ-→+→-→<+⎛⎫<-<+=<-<-<⎪+⎝⎭===+-+-∀>-==≤-=-<-取则当时故类似证故要使取则当|时...(4)2|,lim cos cos.2.lim(),(,)(,),().1,0,0|-|,|()|1,|()||()||()|||1||.(1)1(1)lim lim2x ax ax xx af x l a a a a a u f xx a f x lf x f x l l f x l l l Mxxεδδεδδ→→→→<==-⋃+==><<-<=-+≤-+<+=+-=故设证明存在的一个空心邻域使得函数在该邻域内使有界函数对于存在使得当时从而求下列极限证3.:2002222200000221222lim(1) 1.222sin sin1cos11122(2)lim lim lim1.2222(3)0).22(4)lim.22332(5)lim22xx x xx xxxx x xxx xxxx xax xx xx xx x→→→→→→→→+=+=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎪====⎪⎪⎝⎭==>---=-------2.33-=-20103030300022********(23)(22)2(6)lim 1.(21)2 1.13132(8)lim lim lim 11(1)(1)(1)(1)(1)(2)lim lim (1)(1)x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →∞→→→-→-→-→--+==+==-+---⎛⎫-== ⎪+++-++-+⎝⎭+-==+-+214442100(2)31.(1)3244.63(1)1(1)12(10)lim lim lim .1(11)lim x x x nnnx y y x x x x n n ny y y x y n x y y→-→→→→→→→∞--==--+====-+++-+-===-1011001001010010120.(12)lim (0)./,(13)lim(0)0, , .(14)lim lim 1x m m m mnn n x n n m m m n nx nx x a x a x a a b b x b x b b a b m na x a x a ab n m b xb x b m n x --→--→∞→∞→∞==+++≠=+++=⎧+++⎪≠=>⎨+++⎪∞>⎩=+21.11/x =+033233223220312(1212)5lim(112)55lim .3(112)(16)0,l x x x xx x x x x x xx x x x x x a →→→→-+=+-+-=++-+==++-+>00im lim lim x a x a x a →+→+→+⎛⎫=⎛⎫=00lim lim x a x a →+→+⎛⎫=⎫==000222200000sin 14.lim 1lim 1sin sin (1)limlim lim cos .tan sin sin(2)sin(2)2(2)lim lim lim 100323tan 3sin 2tan 3sin 2(3)lim lim lim sin 5sin 5xx x x x x x x x x x x x e x x x x x x x x x x x x xx x x x x αααββββ→→∞→→→→→→→→→⎛⎫=+= ⎪⎝⎭=====-=-利用及求下列极限:00()1/0321.sin 5555(4)lim lim 2cos sinsin sin 22(5)lim lim cos .2(6)lim 1lim 1lim 1.(7)lim(15)x x x a x a kxxxk kk k x x x yy x x xxx a x a x a a x a x ak k k e x x x y →→+→→----→∞→∞→∞→=-===+--==--⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦-=51/(5)50100100lim(15).111(8)lim 1lim 1lim 1.5.lim ()lim ().lim ():0,0,0|-|().lim (y y x xx x x x ax x a x y e e x x x f x f x f x A x a f x A f x δδ--→+→∞→∞→∞→→-∞→→-∞⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=+∞=-∞=+∞>><<>给出及的严格定义对于任意给定的存在使得当时):0,0,().A x f x A =-∞>∆><-∆<-对于任意给定的存在使得当时习题1.5222 21.(2)sin5.(1)0,|.,,|||||,0555()(2)(1)0,|sin5sin5|2|cos||sin|.22xx x axx x x xx a x ax aεδεεεδδεεε-==∀>=<≤<<=<<=+-∀>-=<试用说法证明连续在任意一点连续要使只需取则当时有连续.要使由于证000000555()2|cos||sin|5||,5||,||,225,|||sin5sin5|,sin55()()0,0||()0.(),()/2,0||(x a x ax a x a x ax a x a x x a y f x x f x x x f xf x x f x x xf xεεεδδεδδεδδ+-≤--<-<=-<-<==>>-<>=>-<只需取则当时有故在任意一点连续.2.设在处连续且证明存在使得当时由于在处连续对于存在存在使得当时证000000000000 )()|()/2,()()()/2()/20.3.()(,),|()|(,),?(,),.0,0|||()()|,||()||()|||()()|,||.f x f x f x f x f x f xf x a b f x a bx a b f x x xf x f x f x f x f x f x f xεδδεε-<>-=>∈>>-<-<-≤-<于是设在上连续证明在上也连续并且问其逆命题是否成立任取在连续任给存在使得当时此时故在连续其证0001,,(),()|11,ln(1),1,0,(1)()(2)()arccos, 1.0;lim()lim1(0),lim()(0)x x xxf x f xxax xxf x f xa x xa x xf x f f x fπ→-→→+⎧=≡⎨-⎩+≥⎧<==⎨<+≥⎩⎪⎩=====逆命题是有理数不真例如处处不连续但是|处处连续.是无理数4.适当地选取,使下列函数处处连续:解(1)11112sin2limsin31.(2)lim()lim ln(1)ln2(1),lim()lim arccos(1)ln2,ln2.5.3:(1)lim cos lim cos0 1.(2)lim(3)lim xx x x xx xxxxxaf x x f f x a x a fae eπ→→+→+→-→-→+∞→+∞→→==+====-===-=====利用初等函数的连续性及定理求下列极限sin22sin33.(4)lim arctan arctan1.4xxx xeπ→∞→∞====()()(ln ())()(5)6.lim ()0,lim (),lim)().lim)()lim)x g x b x x x x x x g x f x g x x x x x f x a g x b f x a f x e →→→→→=====>====设证明证0lim [(ln ())()]ln 22.7.,,(1)()cos ([]),,(2)()sgn(sin ),,,,1,(3)()1,1/2, 1.1(4)()x x f x g x b a b e e a f x x x n f x x n n x x f x x x x f x ππ→===-∈=∈⎧≠==⎨=⎩+=Z Z 指出下列函数的间断点及其类型若是可去间断点请修改函数在该点的函数值,使之称为连续函数:间断点第一类间断点.间断点第一类间断点.间断点第一类间断点.,011,sin,12,11,01,2(5)(),12,2,1,2 3.1x x x x x x f x x x x x xπ⎧≤≤⎪=⎨<≤⎪-⎩⎧≤≤⎪-⎪=<≤=⎨⎪⎪<≤-⎩间断点第二类间断点.间断点第一类间断点.0000008.(),(),()()()()()()()()()()(()())()()()()()0,()().y f x y g x x h x f x g x x f x g x x h x f x g x x x g x f x g x f x x x f x g x x f x g x D x ϕϕ===+==+=+-=≡=R R 设在上是连续函数而在上有定义但在一点处间断.问函数及在点是否一定间断?在点一定间断.因为如果它在点连续,将在点连续,矛盾.而在点未必间断.例如解习题1.600001.:()lim (),lim (),,,,()0,()0,[,],,(,),()0.2.01,,sin ,.(x x P x P x P x A B A B P A P B P A B x A B P x y y x x f x εε→+∞→-∞=+∞=-∞<<>∈=<<∈=-R 证明任一奇数次实系数多项式至少有一实根.设是一奇数次实系数多项式,不妨设首项系数是正数,则存在在连续根据连续函数的中间值定理存在使得设证明对于任意一个方程有解且解是唯一的令证证000000000000000212121212121)sin ,(||1)||1||,(||1)||1||,[||1,||1],,[||1,||1],().,()()(sin sin )||0,.3.()(,x x f y y y y f y y y y f y y x y y f x y x x f x f x x x x x x x x x f x a b εεεεε=---=--+<-≤+≥+->≥--+∈--+=>-=---≥--->在连续由中间值定理存在设故解唯一设在1212112212121121121112212221212121212),,(,),0,0,(,)()()().()(),.()(),()()()()()()()(),[,]x x a b m m a b m f x m f x f m m f x f x x f x f x m f x m f x m f x m f x m f x m f x f x f x m m m m m m x x ξξξ∈>>∈+=+==<+++=≤≤=+++连续又设证明存在使得如果取即可设则在上利用连续函数的中间值定理证.4.()[0,1]0()1,[0,1].[0,1]().()(),(0)(0)0,(1)(1)10.,01.,,(0,1),()0,().5.()[0,2],(0)(2).y f x f x x t f t t g t f t t g f g f t t g t f t t y f x f f =≤≤∀∈∈==-=≥=-≤∈====即可设在上连续且证明在存在一点使得如果有一个等号成立取为或如果等号都不成立则由连续函数的中间值定理存在使得即设在上连续且证明证12121212[0,2],||1,()().()(1)(),[0,1].(0)(1)(0),(1)(2)(1)(0)(1)(0).(0)0,(1)(0),0, 1.(0)0,(0),(1),,(0,1)()(1x x x x f x f x g x f x f x x g f f g f f f f g g f f x x g g g g f ξξξ-===+-∈=-=-=-=-====≠∈=+在存在两点与使得且令如果则取如果则异号由连续函数的中间值定理存在使得证12)()0,, 1.f x x ξξξ-===+取第一章总练习题221.:581 2.3|58|1422.|58|6,586586,.3552(2)33,52333,015.5(3)|1||2|1(1)(2),2144,.22|2|,.2,2,4,2;2,3x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x y x y x y x y x y x -≥-≥-≥-≥-≤-≥≤-≤-≤-≤≤≤+≥-+≥-+≥-+≥=+-≤=+≤=->=求解下列不等式（）或或设试将表示成的函数当时当时解解解2.解222312312,4,(2).32,41(2), 4.313.1.22,4(1)44,0.1,0.4.:1232(1)2.222221211,.22123222n n y x y y y x y y x x x x x x x x x x n n n n ->=--≤⎧⎪=⎨->⎪⎩<+≥-<++<++>≥-≠+++++=-+==++的全部用数学归纳法证明下列等式当时,2-等式成立设等式对于成立,则解证1231111121211222112312222222124(1)(1)3222,22221..1(1)(2)123(1).(1)1(11)1(1)1,(1)(1)n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x nx x x nxx x x x x n x x ++++++-+++++=++++++++-+++=-+=-=-+-++++++=≠--++-===--即等式对于也成立故等式对于任意正整数皆成立当时证1,1212.1(1)123(1)(1)(1)n n n nnn n x nx x x nxn x n xx +--++++++++=++-等式成立设等式对于成立,则122122112211221221(1)(1)(1)(1)1(1)(12)(1)(1)1(1)(2)(1)(1)1(1)(2)(1)(1)1(2)(1),(1)1n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x nx x n x x n x nx x x n x x n x nx x x x n x n x nx x x x n x n x n x x n ++++++++++-+++-+=--+++-++=--+++-++=--+++-++=--+++=-+即等式对于成立.,.|2|||25.()(1)(4),(1),(2),(2);(2)();(3)0()(4)224211222422(1)(4)1,(1)2,(2)2,(2)0.41224/,2(2)()x x f x xf f f f f x x f x x f f f f x x f x +--=---→→----------==--==-====----≤-=由归纳原理等式对于所有正整数都成立设求的值将表成分段函数当时是否有极限:当时是否有极限?解00022222222;2,20;0,0.(3).lim ()2,lim ()0lim ().(4).lim ()lim (4/)2,lim ()lim 22lim (),lim () 2.6.()[14],()14(1)(0),x x x x x x x x x x x f x f x f x f x x f x f x f x f x x f x x f →-→+→-→--→--→-+→-+→--→-⎧⎪-<≤⎨⎪>⎩==≠=-======--无因为有设即是不超过的最大整数.求003,;2(2)()0?(3)()?391(1)(0)[14]14,1467.[12]12.244(2).lim ()lim[14]14(0).(3).()12,()x y x x f f f x x f x x f f f f x y f f x f x →→+⎛⎫⎪⎝⎭==⎛⎫⎡⎤⎡⎤=-=-=-=-+=-=-=- ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦=-=-==-的值在处是否连续在连续因为不连续因为解111111.7.,0,,:(1)(1);(2)(1).n n n n n n a b a b n b a b a n b n a b a b a++++=-≤<--<++<--设两常数满足对一切自然数证明1111111()()(1),(1).118.1,2,3,,1,1.:{},{}..111,1,7,111n n n n n n n n n n n n nn n n n n n n b a b a b b a a b b b b n b b a b a b a n a b an a b n n a b a b a b n nn ++--+++--+++=<+++=+--->+-⎛⎫⎛⎫==+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<+=++⎛+ ⎝类似有对令证明序列单调上升而序列单调下降,并且令则由题中的不等式证证=11111111111(1)1,111111111(1)11(1)1111111,11111.1111(1)11n n nn n nn nn nn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n +++++++⎫⎛⎫-+⎪ ⎪+⎛⎫⎭⎝⎭<++ ⎪⎝⎭-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+<++ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+<+ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫+<+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎛⎫+ ⎛⎫⎝⎭++< ⎪+⎝⎭111111121111111111(1)1111(1)11111111111111111.1111111.111n n nn n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n nn n n n n +++++++⎛⎫-+⎪ ⎪+⎝⎭-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫++<+-+ ⎪ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫+<+-+ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<+ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫++>+ ⎪++⎝⎭⇔我们证明22111211111(1)11..(1)(1)1111,1,1,11.nn n n n n n n n n n n e e e n n n n ++++>+++++⇔>++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫→∞+→+→+<<+ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭最后不等式显然成立当时故9.求极限22222222221111lim 1111234111111112341324351111().2233442210.()lim (00, ()lim n n n n n n n n n n n n nxf x a nx ax nxf x nx a →∞→∞→∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭++==→→∞=≠+===+作函数)的图形.解解0;1/,0.x x ⎧⎨≠⎩1111.?,()[,]|()|,[,].,(),[,],max{||,||}1,|()|,[,].,|()|,[,],(),[,].12.f x a b M f x M x a b M N f x N x a b M M N f x M x a b M f x M x a b M f x M x a b <∀∈≤≤∀∈=+<∀∈<∀∈-<<∀∈1在关于有界函数的定义下证明函数在区间上为有界函数的充要条件为存在一个正的常数使得设存在常数使得M 取则有反之若存在一个正的常数使得则证12121212:()()[,],()()()()[,].,,|()|,|()|,[,].|()()||()||()|,|()()||()||()|,[,].113.:()cos 0y f x y g x a b f x g x f x g x a b M M f x M g x M x a b f x g x f x g x M M f x g x f x g x M M x a b f x x x xπ==+<<∀∈+≤+<+=<∀∈==证明若函数及在上均为有界函数则及也都是上的有界函数存在证明在的任一证,0().11(,),00,,,(),1()(,)0,()(21/2)cos(21/2)0,21/20().n x f x M n n M f n M n nf x f x n n n x f x δδδδδδπ→->><>=>-=→=++=→∞+→n 邻域内都是无界的但当时不是无穷大量任取一个邻域和取正整数满足和则故在无界.但是x 故当时不是无穷大量证11111000114.lim (1)ln (0).1ln 1,ln ln(1),.lim lim 10.ln(1)ln(1)lim lim ln(1)ln lim(1)ln 1,ln (1)ln ().ln(1)15.()()nn nn n n n n y y y y y n nn n x x x xx y x y n y x n y y y y e y y xn x x n y f x g x →∞→∞→∞→→→-=>-==+==-=++=+=+==-=→→∞+证明令则注意到我们有设及在实轴上有证00002022222220000.:()(),,()lim ()lim ()().1cos 116.lim.22sin 1cos 2sin 1sin 12lim lim lim lim 1422n n n n n x x x y y f x g x x x x f x f x g x g x x x x x y y x x y y →∞→∞→→→→→→===-=⎛⎫-==== ⎪⎝⎭定义且连续证明若与在有理数集合处处相等,则它们在整个实轴上处处相等.任取一个无理数取有理数序列证明证证0011000000001.2ln(1)17.:(1)lim 1;(2)lim .ln(1)(1)lim lim ln(1)ln lim(1)ln 1.(1)11(2)lim lim lim lim ln(1)ln(1)lim1.1x a xa y x y y y y y x a a a x x aa ax x x y y a a y e e e y x y y y e ye e e e e y e e e y x x x y ye e +→→→→→+→→→→→=+-==+=+=+==---====++==证明证0111018.()lim ()0,()lim ()()0.|()|,0||.0,0,0|||()|/.min{,},0||,|()()||()||()|,li x ax ay f x a f x y g x a f x g x g x M x a x a f x M x a f x g x f x g x M Mδεδδεδδδδεε→→====<<-<>><-<<=<-<=<=设在点附近有定义且有极限又设在点附近有定义,且是有界函数.证明设对于任意存在使得当时令则时故证m ()()0.x af xg x →=19.()(,),,()()|()|() () ()(),()(,).y f x c g x f x f x c g x c f x cc f x c g x g x =-∞+∞≤⎧⎪=>⎨⎪-<-⎩-∞+∞设在中连续又设为正的常数定义如下当当当试画出的略图并证明在上连续0000000000000|()|,0,||lim ()lim ()()().(),0,||()lim ()lim ().(),().0,,0,x x x x x x x x f x c x x g x f x f x g x f x c x x f x c g x c c g x f x c g x c c δδδδεεδ→→→→<>-<===>>-<>=====><>一若则存在当时|f(x)|<c,g(x)=f(x),若则存在当时,g(x)=c,若则对于任意不妨设存在使证()0000121212|||()|.||.(),()(),|()()||()|,(),(),|()-()|0.()()min{(),}max{(),}().max{(),()}(|()()|()())/2.min x x f x c x x f x c g x f x g x g x f x c f x c g x c g x g x g x f x c f x c f x f x f x f x f x f x f x δεδεε-<-<-<≤=-=-<>==<=+--=-++得当时设若则若则二利用证121212123123123111123{(),()}(|()()|(()())/2.120.()[,],[()()()],3,,[,].[,],().()()(),(),.()min{(),(),()},f x f x f x f x f x f x f x a b f x f x f x x x x a b c a b f c f x f x f x f x c x f x f x f x f x f ηηη=--++=++∈∈======设在上连续又设其中证明存在一点使得若则取即可否则设证31231313000000()min{(),(),()},()(),[,],,[,],().21.()(),()g(),,.0()g()()g()x f x f x f x f x f x f x x c a b f c y f x x g x x x kf x l x x k l l kf x l x x kf x l x x ηη=<<∈==+=+≠+在连续根据连续函数的中间值定理存在一点使得设在点连续而在点附近有定义但在不连续问是否在连续其中为常数如果在连续;如果在解,l 0,000000||()[[()lg()]()]/.22.Dirichlet ..,()1;,()0;lim (),()11(1)lim 0;(2)lim (arctan )sin 12n n n n x x x x x g x kf x x kf x l x x x x D x x x D x D x D x x x x x →→∞→+∞=+-''→→→→+⎛⎫= ⎪+⎝⎭不连续,因否则将在连续证明函数处处不连续任意取取有理数列则取无理数列则故不存在在不连续.23.求下列极限:证222001/112132100;2tan 5tan 5/5(3)lim lim 5.ln(1)sin [[ln(1)]/]sin /1lim(1).24.()[0,),0().0,(),(),,().{x x y x y n n x x x x x x x x x x x y e y f x f x x a a f a a f a a f a π→→→→+=====++++=+==+∞≤≤≥===设函数在内连续且满足设是一任意数并假定一般地试证明11},lim .lim ,(),().(),{}()0(1,2,),{}n n n n n n n n n n n n a a l a l f x x f l l a f a a a a f a n a →∞→∞++====≤=≥=单调递减且极限存在若则是方程的根即单调递减.又单调递减有下界,证111lim ,lim lim ()(lim )().25.()(,),:(0)1,(1),()()().()((,)).()()().()()n n n n n n n n n x n n a l a l a f a f a f l y E x E E e E x y E x E y E x e x E x x E x E x E nx E x +→∞→∞→∞→∞======-∞+∞==+==∀∈-∞+∞++==故有极限.设则设函数在内有定义且处处连续并且满足下列条件证明用数学归纳法易得于是证11.,()(11)(1).1(0)(())()()(),().().1111,(1)()()()(),().11()()().,n n n n n n nn mmm n n n E n E E e E E n n E n E n e E n E n e E n e n E E n E n E e E E e n n n n m E E m E e e r E n n n -=++====+-=-=--======⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设是正整数则于对于任意整数对于任意整数即对于所有有理数lim ().,,(),()lim ()lim ().nnn r x x x x n n n r e x x E x E x E x e ee e →∞→∞→∞=→====n 对于无理数取有理数列x 由的连续性的连续性习题2.1201.,.,.()2(0)(1),;(2),?(3)lim ,?x l O x x m x x x l x x m mx mx ∆→=≤≤∆∆∆∆∆∆设一物质细杆的长为其质量在横截面的分布上可以看作均匀的现取杆的左端点为坐标原点杆所在直线为轴设从左端点到细杆上任一点之间那一段的质量为给自变量一个增量求的相应增量求比值问它的物理意义是什么求极限问它的物理意义是什么2222222000(1)2()22(2)22(2).2(2)(2)2(2).(3)lim lim 2(2)4.lim x x x m x x x x x x x x x x x m x x x m x x x x x x x x m mx x x x x x∆→∆→∆→∆=+∆-=+∆+∆-=∆+∆∆∆+∆∆==+∆+∆∆∆∆∆∆=+∆=∆∆是到那段细杆的平均线密度.是细杆在点的线密度.解33332233222 00002.,:(1);(2)0;(3)sin5.()(1)lim(33)lim lim(33)3. (2)lim limlimxx xx xxy ax y p y xa x x axyxx x x x x x xa a x x x x axxyx∆→∆→∆→∆→→→==>=+∆-'=∆+∆+∆+∆-==+∆+∆=∆'==∆=根据定义求下列函数的导函数解00000limlim5(2)52cos sinsin5()sin522(3)lim lim55(2)552cos sin sin5(2)2222lim5lim cos lim5522xxx xx x xx x xx x xyx xx x x xx xx→→∆→∆→∆→∆→∆→===+∆∆+∆-'==∆∆+∆∆∆+∆==∆∆5cos5.2xx=00223.()(,()):(1)2,(0,1); (2)2,(3,11).(1)2ln2,(0)ln2,1ln2(-0),(ln2) 1.(2)2,(3)6,:116(3).4.2(0)(,)(0,0)xxy f x M x f xy M y x By y y x y xy x y y xy px p M x y x y===+''==-==+ ''==-=-=>>>求下列曲线在指定点处的切线方程切线方程切线方程试求抛物线上任一点处的切线斜率解,0,.2pF x⎛⎫⎪⎝⎭,并证明:从抛物线的焦点发射光线时其反射线一定平行于轴2000,().(),.,2,.2,.p py y M PMN Y y X x yy p y x N X y X x X x x y p p FN x FM p x FN FNM FMN M PQ x PMQ FNM FMN '===-=--=-=-=-=+=====+=∠=∠∠=∠=∠过点的切线方程：切线与轴交点(,0),故过作平行于轴则证2005.2341,.224,1,6,4112564(1),4 2.:6(1),.444y x x y x y x x y k y x y x y x y x =++=-'=+====⎛⎫-=-=+-=--=-+ ⎪⎝⎭曲线上哪一点的切线与直线平行并求曲线在该点的切线和法线方程切线方程:法线方程解323226.,,;(),,, (1)():(2)();(3)().()lim ()lim,lim ()limr R r R r R r R r g r GMrr R R g r R M G GM r R rg r r g r g r r GMr GMr R g r g r R RGM g r r →-→-→+→+⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩≠====离地球中心处的重力加速度是的函数其表达式为其中是地球的半径是地球的质量是引力常数.问是否为的连续函数作的草图是否是的可导函数明显地时连续.解,2lim (),()r R GMg r g r r R R→-==在连续.(2)33(3)()2(),()(),().r R g r GM GMg R g R g R g r r R R R-+-≠'''==-≠=时可导.在不可导227.(),:(1,3)(),(0)3,(2) 1.3(),()2.34111113,,3(),()3.2222P x y P x P P a b c P x ax bx c P x ax b b a b b a c a b P x x x ''===++=⎧⎪'=++=+=⎨⎪+=⎩==-=-+==-++求二次函数已知点在曲线上且解3222222222228.:(1)87,24 1.(2)(53)(62),5(62)12(53)903610.(3)(1)(1)tan (1)tan ,(2)tan (1)sec .9(92)(56)5(9)51254(4),56(56)y x x y x y x x y x x x x x y x x x x x y x x x x x x x x x x x x y y x x '=++=+'=+-=-++=+-'=+-=-=+-+++-+++'===++求下列函数的导函数22.(56)122(5)1(1),.11(1)x x y x y x x x ++'==-+≠=---23322222226(6)(1),.1(1)1(21)(1)1(7),.(8)10,1010ln1010(1ln10).sin cos sin (9)cos ,cos sin .(10)sin ,sin cos (s x x x x xx x x x x x x x x y x y x x x x x e e x x x x y y e e ey x y x x x x x xy x x y x x x x x y e x y e x e x e -'=≠=--+++-++-+-'==='==+=+-'=+=-+'==+=in cos ).x x +00000001001100009.:()()()(),()0().()()(1)(2).()()(),()0()()()()()()(()()())()(),(m k k k k k P x P x x x g x g x x P x m x P x k x P x k k P x x x g x g x P x k x x g x x x g x x x kg x x x g x x x h x h x ---=-≠'->=-≠''=-+-'=-+-=-定义若多项式可表为则称是的重根今若已知是的重根,证明是的重根证00)()0,()(1)kg x x P x k '=≠-由定义是的重根.000000010.()(,),()(),().()(0),(0)0.()(0)()(0)()(0)(0)lim lim lim (0),(0)0.()()11.(),lim 22x x x x f x a a f x f x f x f x f f f x f f x f f x f f f f x x xf x x f x x f x x f x→→→∆→--=''=-----'''==-=-=-+∆--∆'=∆若在中有定义且满足则称为偶函数设是偶函数,且存在试证明设在处可导证明证=000000000000000000000().()()()()()()1lim lim 22()()()()1lim 2()()()()11lim lim [()22x x x x x x f x x f x x f x x f x f x x f x x x x f x x f x f x x f x x x f x x f x f x x f x f x x x ∆→∆→∆→∆→∆→+∆--∆+∆--∆-⎡⎤=-⎢⎥∆∆∆⎣⎦+∆--∆-⎡⎤=+⎢⎥∆-∆⎣⎦+∆--∆-⎡⎤'=+=+⎢⎥∆-∆⎣⎦证002()]().12.,(0/2)()((),()):.f x f x y x t t P t x t y t OP x t t π''==<<=一质点沿曲线运动且已知时刻时质点所在位置满足直线与轴的夹角恰为求时刻时质点的位置速度及加速度.222222422222()()()tan ,()tan ,()()(tan ,tan ),()(sec ,2tan sec ),()(2sec tan ,2sec 4tan sec )2sec (sec ,2tan ).y t x t x t t y t t x t x t t t v t t t t v t t t t t t t t t ===='=''=+=位置解1/1/1/1/1/000013.,0()10, 00.1111(0)lim lim 1,(0)lim lim 0.1114.()||(),()()0.().()limxx x x x x x x x x xx f x ex x x x e e f f x e xe f x x a x x x a a f x x a f a ϕϕϕ→-→-→+→+-→⎧≠⎪=+⎨⎪=⎩=++''======++=-=≠='=求函数在的左右导数设其中在处连续且证明在不可导-+解证()()()()(),()lim ()().a x a a x x x a x a a a f a x a x aϕϕϕϕ-→---''=-==≠--+-f习题2.2()()()22221.,:111(2)[ln(1)],.[ln(1)](1).111(3)2.22x x xx x xx xx x x x''=-=-='''-=-=-=---'''⎡==⎣'''⎡=+=⎣=下列各题的计算是否正确指出错误并加以改正错错错3322222()221(4)ln|2sin|(14sin)cos,.2sin1ln|2sin|(14sin cos).2sin2.(())()|.() 1.(1)(),(0),(),(sin);(2)(),(sin);(3)u g xx x x xx xx x x xx xf g x f u f x xf x f f x f xd df x f xdx dx=='⎡⎤+=+⎣⎦+'⎡⎤+=+⎣⎦+''==+''''错记现设求求[]()[][]2222223(())(())?.(1)()2,(0)0,()2,(sin)2sin.(2)()()224.(sin)(sin)(sin)2sin cos sin2.(3)(())(()),(())(())().f g x f g xf x x f f x x f x xdf x f x x x x xdxdf x f x x x x xdxf g x f g x f g x f g x g x''''''====''===''==='''''=与是否相同指出两者的关系与不同解()()()222233312232323.2236(1),.111(2)sec,(cos)(cos)(cos)(cos)(sin)tan sec.(3)sin3cos5,3cos35sin5.(4)sin cos3,3sin cos cos33sin sin33sinx xy yx x xy x y x x x x x x x y x x y x xy x x y x x x x x---'==-=----'''===-=--='=+=-'==-=求下列函数的导函数:2(cos cos3sin sin3)3sin cos4.x x x x x x x-=22222222222232222222241sin 2sin cos cos (1sin )(sin )2(5),cos cos sin 2cos 2(1sin )(sin ).cos 1(6)tan tan ,tan sec sec 13tan sec tan tan (sec 1)tan .(7)sin ,s ax ax x x x x x x x y y x x x x x x x xy x x x y x x x x x x x x x y e bx y ae +-+-'==++='=-+=-+=-=-='==5422in cos (sin cos ).(8)cos 5cos sin 11(9)ln tan ,sec 24224tan 2411112tan cos 2sin 24242ax ax bx be bx e a bx b bx y y x x y y x x x x ππππππ+=+'==-=⎛⎫⎛⎫'=+=+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭==⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222cos 42411sec .cos sin()211()()1(10)ln (0,),.22()x x x x x a x a x a x a y a x a y a x a a x a x a x a ππ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===+-++--'=>≠±==+-+-22222222224.:1(1)arcsin (0),11111(2)arctan (0),.1(3)arccos (||1),2arccos 1111(4)arctan ,.111(5)ar 2xy a y aa a x y a y a a a a a x x a y x x x y x x y y x x x xa y '=>==-'=>==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭'=<=-'===-++=求下列函数的导函数csin (0),x a a>22222222(6)ln(0)212(7)arcsin,1ya xy aayxy xx'=+==+=>⎛⎫'=++===≠±+22222222221.112sgn(1)2.111(8)(0).212211sec2()tan()cos()s22x xyx xxxy a bxyxx xa b a b a b a b--'===++-⎫=>≥⎪⎪⎭⎛⎫'= ⎪⎝⎭==++-++-2in21.cos(9)(1ln(1ln(1ln(1 /.(10)(11)(12)xa b xy yy yy yy yy y=+=+++=++++ '=+⎡⎤'='=='==y y'==(13)ln(121(14)(ln(1)ln(31)ln(2),331211131321211.13132(15),(1).(16)xxxx e x e x x e y x y y x y x x x y y x x x y y x x x y e e y e e e e e ⎛⎫'==+==-=-+++-'-=++-+--⎡⎤'=++⎢⎥-+-⎣⎦'=+=+=+11112(0).ln ()ln ln ln ln .aaxa a xaaxa x a a a x a a x a ax a a x y x a a a y a x a a ax a aa aa x a aa x a a a ----=++>'=++=++222225.()1()()84,tan (),24001001()arctan ,()100110t x t t x t t t t t t t t θθθθ===='==+2一雷达的探测器瞄准着一枚安装在发射台上的火箭,它与发射台之间的距离是400m.设t=0时向上垂直地发射火箭,初速度为0,火箭以的匀加速度8m/s 垂直地向上运动;若雷达探测器始终瞄准着火箭.问:自火箭发射后10秒钟时,探测器的仰角的变化速率是多少?解222110,(10)0.1(/).505010101006.,2m t s θπθ'==⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭弧度在图示的装置中飞轮的半径为且以每秒旋转4圈的匀角速度按顺时针方向旋转.问:当飞轮的旋转角为=时,活塞向右移动的速率是多少?20()2cos8()16sin811()8,,,()16.2161616m/s.x t t x t t t t t x ππππαπππ='=-'====-活塞向右移动的速率是解习题2.323222(1)(1).1.0,?(1)10100.1(2)2(3)(1cos)2sin ,222.:0,()().()().()()3.()()(0),()()(0).o o o x o o o x x y x x x y x xy x x x x x x x x x x x x xx x x x x x αααααβ=→=++===-=→=====→=→当时下列各函数是的几阶无穷小量阶.阶.阶.已知当时试证明设试证明证00(1)(1)(1)()()()(0).()()()().()()().4.(1)sin ,/4.sin cos ,1,1.444(2)(1)(0).o o o o o o o x x x x x x x x x x xx x x x y x x x y x x x y dy dx y x y ααβαβαβππππα+=→+=+=+=+=⎛⎫⎫⎫''===+=+=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎭⎭=+>':上述结果有时可以写成计算下列函数在指定点处的微分:是常数证122(1),(0),.5.1222(1)1,,.11(1)(1)(2),(1).(1).26.(1),3 3.001,11,(3).222.001x x x x x x y dy dx x dx y y dy x x x x y xe y e xe e x dy e x dx y x x x y y αααα-'=+==-'==-+=-=-++++'==+=+=+=≠-''=-∆=求下列各函数的微分:设计算当由变到时函数的增量和向相应的微分.22解 y =-(x -1)1222113333332220.0010.0011,.2.00127..1.162(1) 2.002.5328.:11(1)(0).0,.33(2)()()(,,).2()2()dy y x y a a xy y y x x a y b c a b c x a y b y ---=-=-==+=⎛⎫''+=>+==- ⎪⎝⎭-+-='-+-=求下列方程所确定的隐函数的导函数为常数0,.x ay y b-'=--。

2021版高考文科数学(北师大版)一轮复习教师用书：第二章第7讲函数的图象Word版含答案

第 7 讲函数的图象一、知识梳理1．利用描点法作函数图象其基本步骤是列表、描点、连线．第一：①确立函数的定义域；②化简函数分析式；③议论函数的性质(奇偶性、单一性、周期性、对称性等)．其次：列表 (特别注意特别点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线．2．利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换[注意 ] (1)对于左 (右 )平移变换，可熟记为：左加右减，但要注意加(减)指的是自变量．(2)对于上 (下 )平移变换，可熟记为：上加下减，但要注意加(减)指的是函数值．(2)对称变换对于 x轴对称①y＝ f(x) ――→ y＝－ f(x)；对于 y轴对称②y＝ f(x) ――→ y＝f(－ x)；对于原点对称③ y＝ f(x) ――→ y＝－ f(－ x)；对于 y＝x对称④y＝ a x(a＞ 0 且 a≠ 1) ――→ y＝ log a x(x＞ 0)．(3)翻折变换保存 x轴及上方图象① y＝ f(x)――→y＝ |f(x)|；将 x轴下方图象翻折上去保存 y轴及右侧图象，并作其② y＝ f(x) ――→y＝ f(|x|)．对于 y轴对称的图象(4)伸缩变换① y＝ f(x)1倍，纵坐标不变a＞ 1，横坐标缩短为本来的a →1倍，纵坐标不变0<a<1，横坐标伸长为本来的ay＝ f(ax)．② y＝ f(x)a＞ 1，纵坐标伸长为本来的a倍，横坐标不变→0<a<1，纵坐标缩短为本来的a倍，横坐标不变y＝ af(x)．常用结论1．函数图象自己的轴对称(1)f(－ x)＝ f(x)? 函数 y＝ f(x)的图象对于y 轴对称．(2)函数 y＝ f(x)的图象对于x＝a 对称 ? f( a＋x)＝ f(a－x) ? f(x)＝ f(2a－ x)? f(－ x)＝ f(2a＋x)．(3)若函数y＝f(x)的定义域为R，且有 f(a＋x)＝ f(b－ x)，则函数 y＝ f(x)的图象对于直线a＋ bx＝2对称．2．函数图象自己的中心对称(1)f(－ x)＝－ f(x)? 函数 y＝f(x)的图象对于原点对称．(2)函数 y＝ f(x)的图象对于 (a，0)对称 ? f(a＋ x)＝－ f(a－ x)? f(x)＝－ f(2a－ x)? f(－ x)＝－f(2a＋ x)．二、教材衍化x2，x<0 ，1．以下图象是函数y＝的图象的是()x－ 1， x≥ 0答案： C12．函数 f(x)＝ x＋x的图象对于 ( )A ． y 轴对称B． x 轴对称C．原点对称D．直线 y＝ x 对称答案： C一、思虑辨析判断正误 (正确的打“√”，错误的打“×”)(1) 将函数 y＝ f(x)的图象先向左平移 1 个单位，再向下平移 1 个单位获得函数y＝ f(x＋1) ＋1 的图象． ()(2) 当 x∈ (0，＋∞ ) 时，函数 y＝|f(x)|与 y＝ f(|x|)的图象同样． ( )(3) 函数 y＝ f(x)与 y＝－ f(－ x)的图象对于原点对称． ( )(4) 若函数 y＝ f(x)知足 f(1＋ x)＝ f(1－ x)，则函数 f(x)的图象对于直线x＝ 1 对称． ()答案： (1)×(2) ×(3) √(4)√二、易错纠偏常有误区 (1)函数图象的平移、伸缩法例记混犯错；(2)不注意函数的定义域犯错．1．将函数y＝ f(－ x)的图象向右平移 1 个单位长度获得函数的图象．分析： y＝ f(－ x)的图象向右平移 1 个单位长度，是将 f(－ x) 中的 x 变为答案： y＝ f(－ x＋ 1)2.已知函数f(x)的图象以下图，则函数g(x)＝ log 2 f(x)的定义域是x－ 1.．分析：当 f(x)＞ 0 时，函数 g(x) ＝ log2f(x)存心义，由函数f(x)的图象知知足f(x) ＞0 时，x∈(2 ，8]．答案： (2，8]作函数的图象 (师生共研 )分别作出以下函数的图象．(1)y＝ |lg x|；(2)y＝ 2x＋2；(3)y＝ x2－ 2|x|－ 1.lg x， x≥ 1，【解】(1) y＝－lg x， 0<x<1.图象如图① 所示．(2)将 y＝ 2x的图象向左平移 2 个单位，图象如图②所示．x2－ 2x－1， x≥ 0，(3)y＝图象如图③ 所示．x2＋ 2x－1， x<0.函数图象的画法[提示 ] (1)画函数的图象必定要注意定义域．(2) 利用图象变换法时要注意变换次序，对不可以直接找到熟习的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的次序对变换单位及分析式的影响．分别作出以下函数的图象．(1)y ＝ |x － 2|(x ＋ 1)；1 |x|(2)y ＝ 2.解： (1)当 x ≥ 2，即 x － 2≥ 0 时，219y ＝ (x － 2)(x ＋ 1)＝ x 2－ x － 2＝ x － 2 － 4；当 x<2，即 x － 2<0 时，2y ＝－ (x － 2)(x ＋ 1)＝－ x 2＋x ＋ 2＝－ x －12 ＋ 94.2x －1－ 9， x ≥2，24所以 y ＝1 2 9－ x －2 ＋4， x<2. 这是分段函数，每段函数的图象可依据二次函数图象作出(如图 )．1 x1 x 1 x(2)作出 y ＝ 2 的图象，保存 y ＝ 2 图象中 x ≥0 的部分，加上 y ＝ 2 的图象中 x>0 部分对于 y 轴的对称部分，即得 y ＝1 |x|2 的图象，如图中实线部分．函数图象的辨别 (师生共研 )(1)( 一题多解 )(2019 高·考全国卷Ⅰ )函sin x＋ x在[－π，π]的图象大概为()数f(x)＝cos x＋x2(2)已知函数f(x)的图象以下图，则f( x)的分析式能够是()A ． f(x)＝ln|x| B． f(x)＝e x x x1 1C．f(x)＝x2－ 1 D． f(x)＝x－xππ1＋2 【分析】(1) 法一：明显f(x) ＝－ f(－ x)，所以 f(x)为奇函数，清除 A ； f 2 ＝π2 ＝24＋ 2π2>1，察看题图可知 D 正确．应选 D.π法二：明显 f(x)＝－ f(－ x)，所以 f(x)为奇函数，清除 A ；易知当 x→ 0＋时，f(x)>0，清除πC； f( π)＝2－ 1>0，清除 B，应选 D.π1(2)由函数图象可知，函数f(x)为奇函数，应清除B，C.若函数为f(x)＝ x－x，则x→＋∞时， f(x)→＋∞，清除 D ，应选 A.【答案】(1)D(2)A(1)抓住函数的性质，定性剖析：①从函数的定义域，判断图象的左右地点；从函数的值域，判断图象上下地点；②从函数的单一性，判断图象的变化趋势；③从周期性，判断图象的周而复始；④从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(2)抓住函数的特点，定量计算：利用函数的特点点、特别值的计算，剖析解决问题．1．甲、乙二人同时从A地赶往 B 地，甲先骑自行车到两地的中点再改为跑步，乙先跑步到中点再改为骑自行车，最后两人同时抵达 B 地．已知甲骑车比乙骑车的速度快，且两人骑车速度均大于跑步速度．现将两人走开 A 地的距离 s 与所用时间 t 的函数关系用图象表示，则以下给出的四个函数图象中，甲、乙的图象应当是( )A ．甲是图①，乙是图②B．甲是图①，乙是图④C．甲是图③，乙是图②D．甲是图③，乙是图④分析：选 B.由题知速度v＝s反应在图象上为某段图象所在直线的斜率．由题知甲骑自t行车速度最大，跑步速度最小，甲与图①切合，乙与图④ 切合．x2， x≥ 0，2． (2020 湖·北省部分要点中学 4 月联考 )已知函数 f(x)＝ 1 ，g( x)＝－ f(－ x)，x， x<0 ，则函数 g(x)的图象大概是 ( )x2， x≥ 0，分析：选 D.先画出函数 f(x) ＝1 的图象，如图 (1)所示，再依据函数 f( x)与－ f(－， x<0xx)的图象对于坐标原点对称，即可画出函数－ f(－ x)的图象，即 g(x)的图象，如图 (2)所示．故选 D.3． (2020 济·南市学习质量评估)函数 y＝x2－ ln|x|的图象大概为 () 8x2分析：选 D.令 f(x) ＝ y＝－ln|x|，则f(－x)＝f(x)，故函数f(x)为偶函数，清除选项B；8当 x>0 且 x→ 0 时，y→＋∞，清除选项 A ；当 x＝ 2 2时，y＝ 1－ ln 22<1 －ln e＝ 0，清除选项 C.应选 D.函数图象的应用(多维研究 )角度一研究函数的性质对于函数f(x)＝ lg(|x|＋ 1)，给出以下三个命题：① f(x)是偶函数；② f(x)在区间 (－∞， 0)上是减函数，在区间 (0，＋∞ )上是增函数；③ f( x) 没有最小值．此中正确的个数为()A．1B．2C．3D． 0【分析】作出f(x)的图象，可知f(x)在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞ )上是增函数；由图象可知函数存在最小值0.所以①②正确．【答案】 B对于已知分析式或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质常借助图象研究：①从图象的最高点、最低点，剖析函数的最值、极值；②从图象的对称性，剖析函数的奇偶性；③从图象的走向趋势，剖析函数的单一性、周期性．角度二解不等式函数f(x) 是周期为x∈[0 ，2]时， f(x)＝x－ 1，则不等式xf(x)>0 在 (－ 1， 3)上的解集为 ( A．(1， 3)B．(－1，1)C．( －1， 0)∪ (1， 3)D． (－ 1，0)∪(0， 1) 【分析】作出函数f(x) 的图象以下图．)4 的偶函数，当当 x∈ (－ 1，0)时，由 xf(x)>0 得 x∈ (－ 1，0)；当 x∈ (0，1)时，由 xf(x)>0 得 x∈?；当 x∈ (1，3)时，由 xf(x)>0 得 x∈ (1， 3)．所以 x∈ (－ 1， 0)∪(1 ， 3) ．【答案】 C利用函数的图象研究不等式的思路当不等式问题不可以用代数法求解但其与函数相关时，常将不等式问题转变为两函数图象的上下关系问题或函数图象与坐标轴的地点关系问题，进而利用数形联合法求解．角度三求参数的取值范围f(x) ＝－ x2＋ 1，x<1，已知函数若关log x， x≥ 1，2于 x 的方程 f(x)＝ k 有三个不一样的实根，则实数k 的取值范围是．【分析】画出函数 y＝ f(x)与 y＝ k 的图象，以下图．时， y＝ k 和 y＝ f( x)的图象有 3 个交点，即方程f(x)＝ k 有三个不一样由图可知，当 0<k<1的实根．【答案】(0，1)求解函数图象的应用问题，其本质是利用数形联合思想解题，其思想流程一般是：1．已知函数 f(x) ＝x|x|－ 2x，则以下结论正确的选项是() A ． f(x)是偶函数，递加区间是(0，＋∞ )B．f(x)是偶函数，递减区间是(－∞， 1)C．f(x)是奇函数，递减区间是(－ 1，1)D． f(x)是奇函数，递加区间是(－∞， 0)分析：选 C. 将函数 f(x) ＝x|x|－ 2x 去掉绝对值得x2－ 2x， x≥0，f(x) ＝－ x2－ 2x，x<0 ，画出函数f(x)的大概图象，如图，察看图象可知，函数 f(x)的图象对于原点对称，故函数 f(x)为奇函数，且在 ( － 1， 1)上递减．2．已知函数 f(x)＝ |x－ 2|＋ 1，g(x)＝ kx.若方程 f(x)＝ g(x)有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是 ( )A. 0，1B.1，1 2 2C．(1， 2) D． (2，＋∞ )分析：选 B.先作出函数 f(x)＝ |x－2|＋ 1 的图象，以下图，当直线 g(x)＝ kx 与直线 AB平行时斜率为 1，当直线 g(x)＝ kx 过 A 点时斜率为1，故 f(x)＝ g(x)有两个不相等的实根时，21k 的范围为2，1.3．函数f(x)是定义域为 (－∞， 0)∪ (0，＋∞ )的奇函数，在(0，＋∞ )上是增添的，f(3) ＝0，若 x·[f(x)－ f(－ x)]<0 ，则 x 的取值范围为．分析：函数 f(x)的图象大概以下图．由于 f(x)为奇函数，且 x·[f(x)－ f( －x)]<0 ，所以 2xf(x)<0.由图可知，不等式的解集为(－ 3， 0)∪ (0， 3)．答案： (－ 3， 0)∪ (0， 3)[基础题组练 ]1．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通拥塞逗留了一段时间后，为了赶时间加迅速度行驶，与以上事件符合得最好的图象是()分析：选 C.小明匀速行驶时，所得图象为一条直线，且距离学校愈来愈近，故清除因交通拥塞逗留了一段时间，与学校的距离不变，故清除 D.以后为了赶时间加迅速度行驶A. ，故清除 B.2． (2020 ·北衡水中学第二次调研河)函数y＝ (2x－1)e x的图象大概是( )分析：选 A. 由于 x 趋势于－∞时，y＝ (2x－ 1)e x<0，所以 C，D 错误；由于 y′＝ (2x＋ 1)e x，所以当 x<－12时， y′<0， y＝ (2x－ 1)e x在 (－∞，－12)上是减少的，所以 A 正确， B 错误，故选A.3.(2020 函数在区间江·西七校第一次联考(－ 2， 1]上的图象，则)设 f(x)是定义在R 上的周期为f(2 018)＋ f(2 019)＝ ()3 的周期函数，如图表示该A ． 2 B． 1C．－ 1 D． 0分析：选 C. 由于函数 f(x)是定义在R 上的周期为3 的周期函数，所以 f(2 018) ＝ f(2 018 －673× 3)＝ f(－ 1)，f(2 019)＝ f(2 019－ 673×3) ＝f(0)，由题图知f( －1) ＝－ 1，f(0) ＝ 0，所以f(2 018)＋ f(2 019) ＝ f(－ 1)＋ f(0) ＝－ 1.4.(2020 甘·肃酒泉敦煌中学一诊)已知奇函数f(x)在x≥ 0 时的图象以下图，则不等式xf(x)<0 的解集为( )A．(1， 2)C．( －2，－ 1)∪ (1， 2) B． (－ 2，－ 1) D． (－ 1，1)分析：选C.由于函数f(x)是奇函数，所以图象对于原点对称，补全当x<0 时的函数图象，如图．对于不等式xf(x)<0 ，当x>0 时，f(x)<0 ，所以1<x<2；当x<0 时，f(x)>0 ，所以－2< x< －1，所以不等式xf(x)<0 的解集为( －2，－ 1)∪ (1，2)，应选 C.5．已知函数y＝ f(－ |x|)的图象以下图，则函数y＝ f(x)的图象不行能是()分析：选 C.函数 y＝f(－ |x|)＝f（－ x）， x≥ 0，当 x<0 时， y＝f(－ |x|)＝ f(x)，所以函数f（ x）， x<0 ，y＝f(－ |x|)的图象在 y 轴左侧的部分，就是函数 y＝ f(x)的图象，故可得函数 y＝ f(x)的图象不行能是 C.6.如图，函数f(x)的图象是曲线OAB ，此中点 O， A，B 的坐标分别为 (0 ，0)， (1， 2)，1 的值等于．(3， 1)，则 f f（3）1 1分析：由图象知f(3) ＝ 1，所以f（3）＝ 1.所以 f f（ 3）＝ f(1) ＝ 2.答案： 27.若函数 f(x)＝ax＋ b， x<－1，f(－ 3)＝的图象以下图，则．ln （x＋ a）， x≥－ 1分析：由题图可得a(－ 1) ＋ b＝ 3， ln( － 1 ＋ a) ＝ 0 ，得 a ＝ 2 ， b ＝ 5，所以f(x) ＝2x＋ 5， x<－ 1故 f(－ 3)＝2× (－ 3)＋ 5＝－ 1.ln（ x＋ 2）， x≥ － 1，答案：－18．设函数f(x)＝ |x＋ a|， g(x)＝ x－ 1，对于随意的x∈ R，不等式f(x)≥ g(x) 恒建立，则实数 a 的取值范围是．分析：如图，作出函数 f(x)＝|x＋ a|与 g(x)＝ x－ 1 的图象，察看图象可知：当且仅当－ a≤1，即 a≥ － 1 时，不等式 f(x)≥ g(x)恒建立，所以 a 的取值范围是 [－ 1，＋∞ )．答案： [－ 1，＋∞ )9．作出以下函数的图象．x＋ 2；(1)y＝x－1(2)y＝ |log2 (x＋ 1)|.解： (1)由于 y＝x＋2＝1＋3，先作出 y＝3的图象，将其图象向右平移 1 个单位长度，x－1x－ 1 xx＋ 2再向上平移 1 个单位长度，即得 y＝的图象，以下图．(2)利用函数y＝ log 2x 的图象进行平移和翻折变换，图象如图实线所示．10．已知函数f(x)＝ x|m－ x|(x∈ R)，且 f(4)＝ 0.(1)务实数 m 的值；(2)作出函数f(x)的图象；(3)若方程 f(x)＝ a 只有一个实数根，求 a 的取值范围．解： (1)由于 f(4)＝ 0，所以 4|m－ 4|＝ 0，即 m＝ 4.(2)f(x)＝ x|x－ 4|x（x－ 4）＝（ x－ 2）2－ 4， x≥ 4，＝－x（ x－ 4）＝－（ x－ 2）2＋ 4， x<4，f(x)的图象以下图．(3)从 f(x)的图象可知，当 a>4 或 a<0 时，f(x)的图象与直线 y＝a 只有一个交点，即方程f(x)＝ a 只有一个实数根，即 a 的取值范围是 (－∞， 0)∪ (4，＋∞ )．[综合题组练 ]x2＋ 2x－ 1， x≥0，1．已知函数 f(x)＝则对随意 x1，x2∈ R ，若 0<|x1|<|x2 |，以下不等式x2－ 2x－ 1， x<0，建立的是 ( )A ． f(x1)＋ f(x2)<0 B． f(x1)＋ f(x2)>0C．f(x )－ f(x )>0 D． f(x )－ f(x )<01 2 1 2分析：选 D. 函数 f( x)的图象以下图，且 f(－ x)＝ f(x)，进而函数f(x)是偶函数，且在 [0，＋∞ )上是增函数．又 0<|x1|<|x2|，所以 f(x2)> f(x1) ，即 f(x1 )－ f(x2)<0.2．已知函数f(x) ＝x＋1， x∈ R，则不等式f(x2－2x)<f(3x－ 4)的解集是|x|＋ 11， x≥ 0，分析：由已知得， f(x)＝2 其图象以下图：－1－， x<0.x－ 13x－ 4<0，3x－ 4≥0，由图可知，不等式 f(x2－ 2x)<f(3x－ 4)等价于或 x2－ 2x<0 ，x2 －2x<0x2－ 2x<3 x－4，．解得4≤x<2 3或 1<x<4，所以所求的解集为 (1， 2)． 3答案： (1，2)3．已知函数f(x) ＝|x|(x－a) ，a>0，(1)作出函数f(x)的图象；(2)写出函数f(x)的单一区间；(3)当 x∈ [0， 1]时，由图象写出 f(x)的最小值．x（ x－ a）， x≥ 0，解： (1)f(x)＝－x（ x－ a）， x<0 ，其图象以下图．a ，＋ ∞ ；递减区间是 0 ， a(2)由图知， f(x)的递加区间是 (－ ∞， 0) ， 2 2 .(3)由图象知，当 a ，即 a>2 时，所求最小值 f(x) ＝ f(1) ＝1－ a ；2>1 min当 0<a ≤ 1，即 0<a ≤ 2 时，2a a 2所求最小值 f(x)min ＝ f 2 ＝－ 4 .－ a 2（ 0<a ≤ 2），综上， f(x)min ＝41－ a （ a>2） .4．已知函数 f(x) ＝2x ， x ∈R.(1)当 m 取何值时，方程 |f(x)－ 2|＝ m 有一个解？两个解？(2)若不等式 [f(x)] 2＋ f(x)－ m>0 在 R 上恒建立，求 m 的取值范围．解： (1)令 F( x)＝ |f(x)－ 2|＝ |2x － 2|， G(x)＝ m ，画出 F(x) 的图象以下图，由图象看出，当m ＝ 0 或 m ≥ 2 时，函数 F( x)与 G(x)的图象只有一个交点，即原方程有一个解；当 0<m<2 时，函数 F( x)与 G(x)的图象有两个交点，即原方程有两个解．(2)令 f(x)＝ t(t>0) ， H(t)＝ t2＋ t，由于 H (t)＝ t＋12－1在区间 (0，＋∞ )上是增函数，2 4所以 H (t)>H(0)＝ 0.所以要使 t2＋ t>m 在区间 (0，＋∞ )上恒建立，应有 m≤ 0，即所求 m 的取值范围为 (－∞，0]．。

2018秋新版高中数学北师大版必修2习题：第二章解析几何初步 2.1.5.1 含解析数学

1.5平面直角坐标系中的距离公式第1课时两点间的距离公式1.若点A为(1,-3),点B为(5,-1),则原点到线段AB中点的距离是()A.1B.13C.13D.210解析:因为线段AB中点为M(3,-2),所以|OM|=32+(-2)2=13.答案:B2.已知点A(2k,-1),B(k,1),且|AB|=13,则实数k等于()A.±3B.3C.-3D.0解析:|AB|=(2k-k)2+(-1-1)2=13,解得k=±3.答案:A3.已知点P的横坐标是7,点P到点Q(-1,5)的距离为10,则点P的纵坐标是()A.11B.-1C.11或-1D.41解析:设点P的纵坐标为y,则(-1-7)2+(5-y)2=10,解得y=11或y=-1.答案:C4.过点A(4,a)和点B(5,b)的直线与y=2x平行,则|AB|的值为()A.5B.5C.2D.2=b-a,又因为过点A,B的直线与y=2x平行,所以b-a=2,解析:k AB=b-a5-4所以|AB|=(5-4)2+(b-a)2=5.答案:B5.已知两点M(a,b),N(c,d),且2+b2− c2+d2=0,则()A.原点一定是线段MN的中点B.M,N一定都与原点重合C.原点一定在线段MN上但不一定是中点D.点M,N到原点的距离相等解析:将等式2+b2− c2+d20变形为2+b2= c2+d2根据两点间的距离公式可知,点M(a,b)到原点的距离与点N(c,d)到原点的距离相等.答案:D6.过两直线x-3y+1=0和3x+y-3=0的交点,并与原点的距离等于1的直线有()A.0条B.1条C.2条D.3条解析:两直线交点为A1,3,得|AO|=1,则适合题意的直线只有1条.故选B.答案:B★7.已知A(1,3),B(5,-2),点P在x轴上,则使|AP|-|BP|取最大值的点P的坐标是()A.(4,0)B.(13,0)C.(5,0)D.(1,0)解析:点A(1,3)关于x轴的对称点为A'(1,-3),连接A'B并延长交x轴于点P,即为所求.直线A'B的方程是y+3=-2+35-1(x-1),即y=1x-13.令y=0,得x=13.答案:B8.已知△ABC的顶点坐标为A(3,2),B(1,0),C(2+3,1-3),则AB边上的中线CM的长为.解析:由中点公式得AB的中点的坐标为M(2,1).由两点间的距离公式,有|CM|=(2+3-2)2+(1-3-1)2=6.所以AB边上的中线CM的长为.答案:9.已知点A(-3,5),B(2,15),点P在直线l:3x-4y+4=0上,则|PA|+|PB|的最小值为.解析:设点A关于l:3x-4y+4=0的对称点为C(a,b),则3·a-3-4·b+5+4=0, b-5=-4,解得a=3,b=-3,所以|PA|+|PB|的最小值为|CB|=(2-3)2+[15-(-3)]2=5答案:513★10.若点P(x,y)在直线4x+3y=0上,且满足-14≤x-y≤7,则点P到坐标原点距离的取值范围是.解析:由4x+3y=0得y=-43x ,则x-y=73x.由-14≤x-y ≤7可知-6≤x ≤3,所以x 2∈[0,36],所以点P 到坐标原点的距离为 x 2+y 2= x 2+16x 2=5 x 2. 因为x 2∈[0,36],所以53 x 2[0,10].答案:[0,10]★11.在平行四边形ABCD 中,A (1,1),B (7,1),D (4,6),M 是线段AB 的中点,线段CM 与BD 交于点P ,求线段AP 的长.解AB 的中点为M (4,1),因为四边形ABCD 为平行四边形,所以AC 的中点与BD 的中点重合,设点C 的坐标为(x ,y ),则 x +1=7+4,y +12=1+62,解得点C (10,6). 所以直线CM 的方程为y-1=6-110-4(x-4), 即5x-6y-14=0.又直线BD 的方程为y-1=6-14-7(x-7), 即5x+3y-38=0. 由 5x -6y -14=0,5x +3y -38=0,得P 6,83 . 所以由两点间的距离公式得|AP|= (6-1)2+ 8-1 2=5 10.。

2021_2022学年新教材高中数学第二章导数及其应用6.2函数的极值课后巩固提升含解析北师大版选择

第二章导数及其应用§6用导数研究函数的性质6.2函数的极值课后篇巩固提升必备知识基础练1.设a<b,函数y=(x-a)2(x-b)的图象可能是()(x-a)(3x-a-2b),.由y'=0得x1=a,x2=a+2b3当x=a时,y取得极大值0,时,y取得极小值且极小值为负,故选C.当x=a+2b32.若函数f(x)=x3-3ax+b(a>0)的极大值为6,极小值为2,则f(x)的单调递减区间为()A.(-1,1)B.(-∞,-1)C.(1,+∞)D.(-∞,-1)和(1,+∞)f'(x)=3x2-3a=0,得x=±√a,令f'(x)>0,得x>√a或x<-√a;令f'(x)<0,得-√a<x<√a.即f(x)在x=-√a处取极大值,在x=√a处取极小值.∵函数f(x)=x3-3ax+b(a>0)的极大值为6,极小值为2,∴f(√a)=2,f(-√a)=6,即a√a-3a√a+b=2且-a√a+3a√a+b=6,得a=1,b=4,∴f'(x)=3x2-3.由f'(x)<0,得-1<x<1.则f(x)的单调递减区间为(-1,1).故选A.3.函数f(x)=x3-ax2-bx+a2在x=1处有极值10,则a,b的值为()A.a=3,b=-3或a=-4,b=11B.a=-4,b=2或a=-4,b=11C.a=-4,b=11D.以上都不对(x )=3x 2-2ax-b ,则f'(1)=3-2a-b=0, ① f (1)=1-a-b+a 2=10,②由①②可得{a =3,b =-3或{a =-4,b =11.对{a =3,b =-3,f'(x )=3(x-1)2≥0,无极值点,当a=-4,b=11时满足题意, ∴a=-4,b=11.4.函数f (x )=34x 4+23ax 3+2x 2+b ,若f (x )仅在x=0处有极值,则a 的取值X 围是()A.(-∞,-2√3)∪[2√3,+∞)B.(-∞,-2√3]∪[2√3,+∞)C.(-2√3,2√3)D.[-2√3,2√3](x )=3x 3+2ax 2+4x ,令f'(x )=3x 3+2ax 2+4x=0,可得x=0或3x 2+2ax+4=0,∵f (x )仅在x=0处有极值,∴Δ=4a 2-48≤0,∴-2√3≤a ≤2√3,故选D .5.设函数f (x )=(2x 2-3x )e x +4,则f (x )的 ()A.极小值点为32,极大值点为-1B.极小值点为-1,极大值点为32 C.极小值点为1,极大值点为-32 D.极小值点为-32,极大值点为1f (x )=(2x 2-3x )e x +4,∴f'(x )=(2x 2+x-3)e x =(2x+3)(x-1)e x ,令f'(x )>0,解得x>1或x<-32, 令f'(x )<0,解得-32<x<1,故f (x )在-∞,-32内单调递增,在-32,1内单调递减,在(1,+∞)内单调递增, 故x=-32是极大值点,x=1是极小值点. 6.函数y=x e x 在其极值点处的切线方程为. y=-1ey'=e x +x e x =(1+x )e x =0,得x=-1,∴y=-1e ,∴在极值点处的切线方程为y=-1e .7.设函数f (x )=sin x-cos x+x+1,0<x<2π,则函数f (x )的极大值为,极小值为.+23π2f (x )=sin x-cos x+x+1,0<x<2π,所以f'(x )=1+√2sin x+π4,0<x<2π,所以由f'(x )=0,得sin x+π4=-√22,且0<x<2π,所以x=π或3π2. f (x ),f'(x )随x 的变化情况如下表:π,3π2 3π3π2,2π- 0+由上表知,f (x )的极大值为π+2,极小值为3π2.8.若函数f (x )=(x-2)(x 2+c )在x=2处有极值,则函数f (x )的图象在x=1处的切线的斜率为. 5函数f (x )=(x-2)(x 2+c )在x=2处有极值,且f'(x )=(x 2+c )+(x-2)×2x ,∴f'(2)=0,∴(c+4)+(2-2)×4=0, ∴c=-4,∴f'(x )=(x 2-4)+(x-2)×2x.∴函数f (x )的图象在x=1处的切线的斜率为f'(1)=(1-4)+(1-2)×2=-5.9.已知函数f (x )=e x (4x+4)-x 2-4x ,求: (1)f (x )的单调区间; (2)f (x )的极大值.f'(x )=e x (4x+4)+4e x -2x-4=4e x (x+2)-2(x+2)=(x+2)(4e x -2),令f'(x )=0,解得x=-2或x=ln 12,显然-2<ln 12. 当x<-2或x>ln 12时,f'(x )>0,f (x )为增函数, 所以f (x )的单调递增区间为(-∞,-2),ln 12,+∞; 当-2<x<ln 12时,f'(x )<0,f (x )为减函数, 所以f (x )的单调递减区间为-2,ln 12.(2)由(1)知,当x=-2时,f (x )有极大值f (-2)=-4e -2-4+8=4-4e -2.关键能力提升练10.设函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x),且函数y=(1-x)f'(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是()A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1)C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2)D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2),f'(-2)=0,f'(2)=0,并且当x<-2时,f'(x)>0;当-2<x<1时,f'(x)<0;当1<x<2时,f'(x)<0;当x>2时,f'(x)>0,故函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2).11.若函数y=x2e x在区间(1-a,a+1)上存在极值点,则实数a的取值X围是()A.(3,+∞)B.(1,+∞)C.(-1,+∞)D.(-3,+∞)(x)=2x e x+x2e x=x(2+x)e x,∵函数f(x)=x2e x在区间(1-a,a+1)上存在极值点,∴f'(x)=0在区间(1-a,a+1)上有解,令f'(x)=0,解得x=0或-2,易知x=0或x=-2是函数f(x)的极值点,∴1-a<0<a+1,或1-a<-2<a+1,解得a>3,∴实数a的取值X围为(3,+∞).故选A.12.函数f(x)=2sin x-x(x>0)的所有极大值点从小到大排成数列{a n},设S n是数列{a n}的前n项和,则cos S2 021=()A.1B.12C.-12D.0(x)=2cos x-1(x>0),f'(x)是周期为2π的周期函数, 令f'(x)=0,则cos x=12,在区间(0,2π]上,x=π3,5π3,作出f'(x)的图象:可得f (x )在(0,2π]上的极大值点为x=π3,所以{a n }是首项为a 1=π3,公差为d=2π的等差数列,所以S 2021=2021×π3+2021×20202×2π,所以cos S 2021=cos 2021×π3+2021×20202×2π=cos -2021π3=cos -674π+π3=cos π3=12. 故选B .13.若函数f (x )=x 3-3ax 2+12x (a>0)存在两个极值点x 1,x 2,则f (x 1)+f (x 2)的取值X 围是 ()A.(-∞,16]B.(-∞,16)C.(16,+∞)D.[16,+∞)f (x )=x 3-3ax 2+12x (a>0)存在两个极值点x 1,x 2,所以f'(x )=3x 2-6ax+12=3(x 2-2ax+4)=0的两个不相等的根为x 1,x 2, 则Δ=4a 2-16>0且a>0,解得a>2,x 1+x 2=2a ,x 1x 2=4,所以f (x 1)+f (x 2)=x 13+x 23-3a (x 12+x 22)+12(x 1+x 2)=(x 1+x 2)[(x 1+x 2)2-3x 1x 2]-3a [(x 1+x 2)2-2x 1x 2]+12(x 1+x 2) =2a (4a 2-12)-3a (4a 2-8)+24a =-4a 3+24a (a>2),令h (a )=-4a 3+24a (a>2),则h'(a )=-12a 2+24<0,即h (a )在(2,+∞)内单调递减, 所以h (a )<h (2)=16,所以f (x 1)+f (x 2)的取值X 围是(-∞,16). 14.(多选题)对于函数f (x )=16ln(1+x )+x 2-10x ,下列说法正确的是() A.x=3是函数f (x )的一个极值点 B.f (x )的单调增区间是(-1,1),(2,+∞) C.f (x )在区间(1,2)内单调递减D.直线y=16ln 3-16与函数y=f (x )的图象有2个交点(x )=16x+1+2x-10 =2(x -1)(x -3)x+1(x>-1),∴当-1<x<1时,f'(x )>0,当1<x<3时,f'(x )<0,当x>3时,f'(x )>0, ∴f (x )在(-1,1)内单调递增,在(1,3)内单调递减,在(3,+∞)内单调递增,故x=3是f (x )的极小值点,故A 正确,B 错误,C 正确; 由单调性可知f (3)<f (2)<f (1), 而f (2)=16ln3-16,故直线y=16ln3-16与y=f (x )的图象有3个交点,故D 错误.15.设a ∈R ,若函数y=e x +ax (x ∈R )有大于0的极值点,则实数a 的取值X 围为.-∞,-1)y=e x+ax,∴y'=e x+a,由题意知,e x+a=0有大于0的实根.令y1=e x,y2=-a,则两曲线的交点在第一象限,如图所示,结合图形可得-a>1,解得a<-1.16.已知函数f(x)=a e x-e-x-(a+1)x(a>1).(1)若a=e,讨论函数f(x)的单调性.(2)若函数f(x)的极大值点和极小值点分别为x1,x2,试判断方程f(x1)-f(x2)=4是否有解?若有解,求出相应的实数a;若无解,请说明理由.当a=e时,f(x)=e x+1-e-x-(e+1)x,∵f'(x)=e x+1+e-x-(e+1)=e2x+1+1-(e+1)e xe x =(e x+1-1)(e x-1)e x,∴当x∈(-∞,-1),x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x∈(-1,0)时,f'(x)<0,f(x)单调递减.(2)f'(x)=a e x+e-x-(a+1)=(e x-1)(a-e-x)=a e-x(e x-1)e x-1a,令f'(x)=0,得x1=-ln a或x2=0,∵a>1,∴-ln a<0,当x<-ln a或x>0时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当-ln a<x<0时,f'(x)<0,f(x)单调递减,∴当x1=-ln a时,函数取得极大值,且f(x1)=f(-ln a)=1-a+(a+1)ln a,当x2=0时,函数取得极小值,且f(x2)=f(0)=a-1,令g(x)=2-2x+(x+1)ln x(x>1),则g'(x)=ln x+1x-1,令u(x)=g'(x),则u'(x)=x-1x2>0,∴u(x)在(1,+∞)上为增函数,即g'(x)=u(x)>u(1)=0,∴g(x)在(1,+∞)上为增函数,∴方程g(x)=4在(1,+∞)上至多有一个实数解,又g(e2)=2-2e2+2(e2+1)=4,即方程f(x1)-f(x2)=4有解,∴实数a=e2.学科素养创新练17.坐标平面内,由A ,B ,C ,D 四点所决定的“贝茨曲线”指的是次数不超过3的多项式函数的图象,过A ,D 两点,且在点A 处的切线经过点B ,在点D 处的切线经过点C.若曲线y=f (x )是由A (0,0),B (1,4),C (3,2),D (4,0)四点所决定的“贝茨曲线”,试回答下列问题: (1)求函数f (x )的解析式;(2)求证:函数g (x )=8f (x )+(12-3a )x 2-35x+5a (a>0)总存在两个极值点x 1,x 2,且当g (x 1)+g (x 2)≤0时,a 的最小值为1.f (x )的图象过点A (0,0),D (4,0),∴f (x )有两个零点0,4,∴设f (x )=x (x-4)(kx+m )(其中k ≠0),则f'(x )=kx (x-4)+(kx+m )(2x-4).∵在点A 处的切线经过点B ,在点D 处的切线经过点C ,由f'(0)=4,f'(4)=-2,解得m=-1,k=18,∴f (x )=18x (x-4)(x-8).(x )=8f (x )+(12-3a )x 2-35x+5a (a>0),则g'(x )=3x 2-6ax-3,∵Δ=(-6a )2-4×3×(-3)=36a 2+36>0,∴g'(x )有两个不相等的根x 1,x 2,易知x 1,x 2是g (x )的两个极值点. ∴x 1+x 2=--6a 3=2a ,x 1x 2=-33=-1,∴g (x 1)+g (x 2)=x 13-3a x 12-3x 1+5a+x 23-3a x 22-3x 2+5a =x 13+x 23-3a (x 12+x 22)-3(x 1+x 2)+10a=(x 1+x 2)[(x 1+x 2)2-3x 1x 2]-3a [(x 1+x 2)2-2x 1x 2]-3(x 1+x 2)+10a =2a (4a 2+3)-3a (4a 2+2)-6a+10a =-4a 3+4a=4a (1-a 2),∵g (x 1)+g (x 2)≤0,∴4a (1-a 2)≤0,∵a>0,∴1-a 2≤0,∴a ≥1,即a 的最小值为1.。

北师大版数学-第2章 3 3.2

第二章 §3 3.2一、选择题1．(2013·福建文，3)双曲线x 2－y 2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( ) A.12 B.22C ．1 D. 2[答案] B[解析] 双曲线x 2－y 2＝1的一个顶点为A (1,0)，一条渐近线为y ＝x ，则A (1,0)到y ＝x 距离为d ＝12＝22. 2．(2013·北京理，6)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±12xD ．y ＝±22x[答案] B[解析] 本题考查双曲线的离心率及渐近线方程等几何性质．因为离心率e ＝3，所以c ＝3a ，即b ＝2a ，由双曲线的焦点在x 轴上，所以渐近线方程为y ＝±2x .选B.3．(2014·河北唐山市一模)双曲线x 2－y 2＝4左支上一点P (a ，b )到直线y ＝x 的距离为2，则a ＋b ＝ ( )A ．－2B ．2C ．－4D ．4 [答案] A[解析] |a －b |2＝2，∴|a －b |＝2，∵双曲线左支在直线y ＝x 上方，∵a <b ，∴a －b ＝－2，又∵a 2－b 2＝4，∴a ＋b ＝－2.4．(2014·山西大学附中月考)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1和椭圆x 2m 2＋y 2b 2＝1(a >0，m >b >0)的离心率互为倒数，那么( )A ．a 2＋b 2＝m 2B ．a 2＋b 2>m 2C ．a 2＋b 2<m 2D ．a ＋b ＝m[答案] A[解析] 双曲线离心率e 1＝a 2＋b 2a，椭圆离心率e 2＝m 2－b 2m，由e 1·e 2＝1得a 2＋b 2·m 2－b 2am＝1，化简得a 2＋b 2＝m 2.5．已知双曲线x 22－y 2b 2＝1(b >0)的左右焦点分别为F 1、F 2，其一条渐近线方程为y ＝x ，点P (3，y 0)在该双曲线上，则PF 1→·PF 2→＝( )A ．－12B ．－2C ．0 D.4[答案] C[解析] 本小题主要考查双曲线的方程及双曲线的性质．由题意得b 2＝2，∴F 1(－2,0)，F 2(2,0)，又点P (3，y 0)在双曲线上，∴y 20＝1， ∴PF 1→·PF 2→＝(－2－3，－y 0)·(2－3，－y 0)＝－1＋y 20＝0，故选C.6．已知F 1、F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，以线段F 1F 2为边作正△MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为( )A ．4＋2 3 B.3－1 C.3＋12D.3＋1[答案] D[解析] 设线段MF 1的中点为P ，由已知△F 1PF 2为有一锐角为60°的直角三角形， ∴|PF 1|、|PF 2|的长度分别为c 和3c . 由双曲线的定义知：(3－1)c ＝2a ， ∴e ＝23－1＝3＋1.二、填空题7．已知圆C ：x 2＋y 2－6x －4y ＋8＝0，以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为________．[答案] x 24－y 212＝1[解析] 本题考查双曲线的标准方程．令x ＝0，则y 2－4y ＋8＝0无解．令y ＝0，则x 2－6x ＋8＝0，∴x ＝4或2. ∴圆C 与x 轴的交点坐标为(4,0)和(2,0)，故双曲线的顶点为(2,0)、焦点为(4,0)，故双曲线的标准方程为x 24－y 212＝1.8．双曲线x 24＋y 2b ＝1的离心率e ∈(1,2)，则b 的取值范围是________．[答案] (－12,0)[解析] ∵b <0，∴离心率e ＝4－b2∈(1,2)， ∴－12<b <0.9．(2013·泗阳县模拟)两个正数a 、b 的等差中项是92，等比中项是25，且a ＞b ，则双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的离心率为________．[答案]415[解析] ∵两个正数a 、b 的等差中项是92，等比中项是25，且a ＞b ，∴⎩⎨⎧a ＋b 2＝92，ab ＝25，a >b ，解得a ＝5，b ＝4，∴双曲线方程为x 225－y 216＝1，∴c ＝25＋16＝41，∴双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝c a ＝415.三、解答题10．(1)求与椭圆x 29＋y 24＝1有公共焦点，且离心率e ＝52的双曲线的方程；(2)求虚轴长为12，离心率为54的双曲线的标准方程．[答案] (1)x 24－y 2＝1 (2)x 264－y 236＝1或y 264－x 236＝1[解析] (1)设双曲线的方程为x 29－λ－y 2λ－4＝1(4<λ<9)，则a 2＝9－λ，b 2＝λ－4， ∴c 2＝a 2＋b 2＝5，∵e ＝52，∴e 2＝c 2a 2＝59－λ＝54，解得λ＝5， ∴所求双曲线的方程为x 24－y 2＝1.(2)由于无法确定双曲线的焦点在x 轴上还是在y 轴上，所以可设双曲线标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)或y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)．由题设知2b ＝12，c a ＝54且c 2＝a 2＋b 2，∴b ＝6，c ＝10，a ＝8.∴双曲线的标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 236＝1.一、选择题11．已知F 1、F 2为双曲线C x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|＝( )A ．2B ．4C ．6 D.8[答案] B[解析] 该题考查双曲线的定义和余弦定理，考查计算能力．在△F 1PF 2中，由余弦定理得， cos60°＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝(|PF 1|－|PF 2|)2－|F 1F 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|2|PF 1|·|PF 2|＝4a 2－4c 22|PF 1||PF 2|＋1＝－2b 2|PF 1|·|PF 2|＋1，故|PF 1|·|PF 2|＝4.12．设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26.若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为( )A.x 242－y 232＝1 B.x 2132－y 252＝1 C.x 232－y 242＝1 D.x 2132－y 2122＝1 [答案] A[解析] 本题考查椭圆、双曲线的定义．∵椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26，∴C 1的长半轴为13，半焦距为5，则C 1的两个焦点F 1(－5,0)，F 2(5,0)，设C 2上的点P (x ，y )，∴||PF 1|－|PF 2||＝8<|F 1F 2|＝10，∴C 2的轨迹是实轴长为8，焦距长为10的双曲线，方程为：x 242－y 232＝1，故选A.13．(2014·吉林延边州质检)已知双曲线x 29－y 2m ＝1的一个焦点在圆x 2＋y 2－4x －5＝0上，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±34xB ．y ＝±43xC ．y ＝±223xD ．y ＝±324x[答案] B[解析] ∵方程表示双曲线，∴m >0，∵a 2＝9，b 2＝m ， ∴c 2＝a 2＋b 2＝9＋m ，∴c ＝9＋m ，∵双曲线的一个焦点在圆上，∴9＋m 是方程x 2－4x －5＝0的根，∴9＋m ＝5，∴m ＝16，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±43x ，故选B.14．(2014·天津理，5)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x ＋10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为( )A.x 25－y 220＝1 B.x 220－y 25＝1 C.3x 225－3y 2100＝1 D.3x 2100－3y 225＝1 [答案] A[解析] 由于一个焦点在直线y ＝2x ＋10上，则一个焦点为(－5,0)，又由渐近线平行于直线y ＝2x ＋10.则ba＝2，结合a 2＋b 2＝c 2，c ＝5得，∴a 2＝5，b 2＝20，双曲线标准方程为x 25－y 220＝1，选A. 二、填空题15．(2014·三峡名校联盟联考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为x －2y ＝0，则椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的离心率e ＝________.[答案]32[解析] 由条件知b a ＝12，即a ＝2b ，∴c 2＝a 2－b 2＝3b 2，c ＝3b ， ∴e ＝c a ＝3b 2b ＝32.16．(2014·天津市六校联考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)和椭圆x 216＋y 29＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为________．[答案] x 24－y 23＝1[解析] 椭圆中，a 2＝16，b 2＝9，∴c 2＝a 2－b 2＝7， ∴离心率e 1＝74，焦点(±7，0)， ∴双曲线的离心率e 2＝c a ＝72，焦点坐标为(±7，0)，∴c ＝7，a ＝2，从而b 2＝c 2－a 2＝3， ∴双曲线方程为x 24－y 23＝1.三、解答题17．焦点在x 轴上的双曲线过点P (42，－3)，且点Q (0,5)与两焦点的连线互相垂直，求此双曲线的标准方程．[答案] x 216－y 29＝1[解析] 因为双曲线焦点在x 轴上，所以设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，F 1(－c,0)，F 2(c,0)．因为双曲线过点P (42，－3)，所以32a 2－9b2＝1.①又因为点Q (0,5)与两焦点的连线互相垂直，所以QF 1→·QF 2→＝0，即－c 2＋25＝0. 所以c 2＝25. ② 又c 2＝a 2＋b 2，③所以由①②③可解得a 2＝16或a 2＝50(舍去)．所以b 2＝9，所以所求的双曲线的标准方程是x 216－y 29＝1. 18．设双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同的点A ，B .(1)求双曲线C 的离心率e 的取值范围；(2)设直线l 与y 轴的交点为P ，且PA →＝512PB →，求a 的值．[答案] (1)⎝⎛⎭⎫62，2∪(2，＋∞) (2)1713[分析] 本题主要考查直线和双曲线的概念和性质、平面向量的运算等解析几何的基本思想和综合解题能力．[解析] (1)由C 和l 相交于两个不同的点，知方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2＝1x ＋y ＝1有两个不同的实数解．消去y 并整理得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0.①所以⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠04a 4＋8a 2(1－a 2)>0，解得0<a <2且a ≠1. 双曲线的离心率e ＝1＋a 2a＝1a 2＋1. ∵0<a <2且a ≠1， ∴e >62且e ≠2，即离心率e 的取值范围为⎝⎛⎭⎫62，2∪(2，＋∞)． (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (0,1)． ∵PA →＝512PB →，∴(x 1，y 1－1)＝512(x 2，y 2－1)．由此得x 1＝512x 2.由于x 1，x 2都是方程①的根，且1－a 2≠0， ∴1712x 2＝－2a 21－a 2，512x 22＝－2a 21－a 2. 消去x 2，得－2a 21－a 2＝28960.又∵a >0，∴a ＝1713.。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。