高等数学第二章课后习题答案
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第二章 导数与微分
1. ()().1,102-'=f x x f 试按定义求设
2002
00(1)(1)10(1)10
'(1)lim lim
1020lim lim (1020)20x x x x f x f x f x x
x x x x
∆→∆→∆→∆→-+∆--∆---==∆∆∆-∆==∆-=-∆
2. 下列各题中均假定()0x f '存在,按导数定义观察下列极限,指出此极限表示什么, 并将答案填在括号内。
⑴ ()()=∆-∆-→∆x
x f x x f x 000lim
(0'()f x -); ⑵ ()=→∆x
x f x 0lim ('(0)f ), 其中()()存在;且0,00f f '= ⑶ ()()
=--+→h
h x f h x f h 000lim
(02'()f x ).
3. 求下列函数的导数:
⑴ ='=y x y ,4
则34x ⑵ ='=y x y ,32
则1
323
x -
⑶ ='=y x
y ,1
则3212x -- ⑷ =
'=y x x y ,5
3则11
5165x 4. 求曲线. 21,3 cos 程处的切线方程和法线方上点⎪⎭
⎫
⎝⎛=πx y
'sin ,'()3y x y π=-=
所以切线方程为1)23y x π-
=-
2(1)0y +-=
法线方程为1)23y x π-
=-
化简得3)0x π+-+= 5. 讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0
00
1sin 2
x x x
x y 在0=x 处的连续性和可导性. 20(0)0
1
lim sin 0(0)()x f x f x
→===因为有界量乘以无穷小 所以函数在0x =处连续
因为 20001
sin
(0)(0)
1lim lim
lim sin 0x x x x f x f x x x
x x
∆→∆→∆→∆+∆-==∆=∆∆∆
所以函数在0x =处可导.
6. 已知()()()()是否存在?
又及求 0 ,0 0 ,
0 2f f f x x x x x f '''⎩⎨⎧<-≥=-+ 2
'
00(0)(0)(0)lim lim 0h h f h f h f h h
+
→+→++-===
'0
0(0)(0)(0)lim
lim 1h h f h f h
f h h
-→-→++--===- ''(0)(0)f f +-≠Q '(0)f ∴不存在
7. ()(). , 0
sin x f x x x x x f '⎩⎨
⎧≥<=求已知 当0x <时, '()(sin )'cos f x x x ==; 当0x >时, '()()'1f x x ==;
当0x =时
'0
0(0)(0)(0)lim
lim 1h h f h f h
f h
h +→→+-===++ '0
0(0)(0)sin (0)lim
lim 1h h f h f h f h h
-→-→+-===- '(0)1f ∴=
综上,cos ,0
'()1,0x x f x x <⎧=⎨≥⎩
8. 求下列函数的导数:
(1);5432
3
-+-=x x x y (2);122744
5+-+=
x x
x y 222
222
223224222
2csc cot (1)2csc 2'(1)2(1)csc cot 4csc (1)23
(3)(3ln )(2ln )(2)
'(3ln )(94)ln 32(3ln )x x x x x
y x x x x x x x x x x x x x x
x y x x x x x x x x x x -+-=
+-+-=
+++-++=+-+-+=
+g g 2'364
y x x =-+
652'20282y x x x ---=--+
(3);3253
x
x
e x y +-= (4);1sec tan 2-+=x x y
2'152ln 23x x y x e =-+ 2'2sec sec tan y x x x =+
(5);log 3lg 2ln 2x x x y +-= (6)()();7432x x y -+=
123
'ln10ln 2
y x x x =
-+
'422y x =--
(7);ln x x
y =
(8);cos ln 2x x x y = 2
1
ln 'x x
x y x
-= 221'2ln cos cos ln sin y x x x x x x x x x =+- 2
1ln x x
-= 2
2ln cos cos ln sin x x x x x x x x =+- (9);1csc 22
x
x
y +=
222
2csc cot (1)2csc 2'(1)x x x x x y x -+-=+g g 222
2(1)csc cot 4csc (1)
x x x x x x -+-=+ (10).ln 3ln 22
3
x
x x x y ++= 22322
23
(3)(3ln )(2ln )(2)
'(3ln )
x x x x x x x x y x x ++-++=+ 4222
(94)ln 32(3ln )x x x x x x x x -+-+=+
9. 已知. ,cos 21sin 4
π
ϕϕ
ρϕϕϕρ=+
=d d 求
因为
1
sin cos sin 2
d d ρϕϕϕϕϕ=+-