平方差与完全平方公式教案与答案

15.2.1 平方差公式

知识导学

1．平方差公式：（a+b）(a-b)=a2-b2

即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。

2. 平方差公式的灵活运用：通过变形，转化为符合平方差公式的形式，也可以逆用平方差公式，连续运用平方差公式，都可以简化运算。

典例解悟

例1. 计算：（1）(2x+3y)(2x-3y) (2) (-4m2-1)(-4m2+1)

解：（1）(2x+3y)(2x-3y)=(2x)2-(3y)2=4x2-9y2

(2) (-4m2-1)(-4m2+1)=(-4m2)2-12=16m4-1

感悟：正确掌握平方差公式的结构，分清“相同项”与“相反项”，再结合已学知识计算本题。其中第（2）题中的相同项是-4m2,不能误以为含有负号的项一定是相反项。

例2.先化简，再求值：(x+2y)(x-2y)-(2x-y)(-2x-y),其中x=8,y=-8.

解：原式=(x2-4y²)-(y2-4x²)=5x2-5y2.

当x=8，y=-8时，原式=5×82-5×(-8)2=0.

感悟：本题是整式的混合运算，其中两个多项式相乘符合平方差公式的特征。在本题(2x-y)(-2x-y)中，相同项是-y，相反项是2x与-2x，应根据加法的交换律，将此式转化为（-y+2x）（-y-2x）。

阶梯训练

A级

1.下列各多项式乘法中，可以用平方差公式计算的是（）

A.(-a-b)(a+b)

B.(-a-b)(a-b)

C.(-a+b)(a-b)

D.(a+b)(a+b)

2.在下列各式中，计算结果是a2 -16b2 的是（）

A．（-4b+a）（-4b-a） B.(-4b+a)(4b-a)

C．（a+2b）（a-8b） D.(-4b-a)(4b-a)

3.下列各式计算正确的是（）

A.（x+3）（x-3）=x2 -3

B．（2x+3）（2x-3）=2x2 -9

C.（2x+3）（x-3）=2x2 -9

D．（2x+3）（2x-3）=4x2 -9

4．（0.3x-0.1）（0.3x+0.1）=_________

5. (2

3x+

3

4

y) (

2

3

x-

3

4

y) = _________

6.（-3m-5n）（3m-5n）=_________

7.计算

(-1

2

x+

1

3)(-

1

2

x-

1

3) 8.（b³+3a2）（3a2-b³）；

9.(2

3

m+

1

2

n)(

2

3

m-

1

2

n) 10.（-3x2-4）（3x2-4）

11.计算（a+3b）（a-3b）-（2b+5a）（-5a+2b）

12.先化简下面的代数式，再求值：

（a+2）(a-2)+a(4-a),其中

B级

1.下列式子可用平方差公式计算的是（）

A.（a-b）（b-a）

B.（-x+1）（x-1）

C.（-a-b）（-a+b）

D.（-x-1）(x+1)

2. 4x2 -（2x-3y）（2x+3y）的计算结果是（）

A. 9y2

B. -9y2

C. 3y2

D. 2x2+3y2

3.(x+2)(x-2)(x2 +4)的计算结果是（）

A. x4+16

B. –x4-16

C. x4-16

D. 16-x4

4.（-a+1）（a+1）；

5.(1

2

x+

1

3

y)(

1

3

y-

1

2

x)

6.(a-1

2

)(a+

1

2

)(a2+

1

4

)(a4+

1

16

)

7.化简：（x-y）（x+y）+（x-y）+（x+y）

8.解方程：(-4x-1

2

)(

1

2

-4x)=2x(8x-

1

5

)

C级

求 (3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)的值

15.2.2完全平方公式

知识导学：

1.完全平方公式：（a+b）2=a2+ab+b2（a-b）2=a2-2ab+b2

即两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍．

2.公式中的a和b既可以表示具体的数，也可以表示单项式或多项式。利用完全平方公式运算，把握公式结构特征，正确找出公式中的a、b是解题的关键。

3.添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号。

典例解悟

例1．（1）（1+x）2

(2) (1

2

a-b）2 ;

(3) (-1

5

x-

1

10

y)2

(4) (2x+3y)(-2x-3y). 解：(1)（1+x）2 =x2 +2x+1.

(2) (1

2

a-b）2 =(

1

2

a)2-2×

1

2

a.b+b2=

1

4

a2-ab+b2

(3) (-1

5

x-

1

10

y)2=[-(

1

5

x+

1

10

y)]2=(

1

5

x)2+2×

1

5

x×

1

10

y+(

1

10

y)2=

1

25

x2+

1

25

xy+

1

100

y2

(4)（2x+3y）（-2x-3y）=-（2x+3y）2=-[（2x）2 +2·2x·3y+(3y)2]=-4x2 -12xy-9y2

感悟：本题是套用完全平方公式的乘法运算，其中第（3）小题有两种解法，法一如解答所

示，法二是直接运用公式，将-1

5

x作为整体，运用两数差的完全平方公式计算；第（4）小

题必须添上括号后，转化为完全平方的形式后再完全平方公式运算。

例2．计算：

（1）（a-2b-3c）2 ；（2）（a+b-2c）（a+b+2c）

解：1.（a-2b-3c）2 =[a-（2b+3c）]2 =a2-2a（2b+3c）+（2b+3c）2

=a2 -4ab-6ac+[（2b）2 +2×2b×3c+（3c）2 ]

=a2 +4b2 +9c2 -4ab-6ac+12bc；

(2)（a+b-2c）（a+b+2c）=[（a+b）-2c][(a+b)+2c]=(a+b) 2 –(2c) 2 =a2 +2ab+b2 -4c2

感悟：本题第（1）题通过添括号的方法转化为完全平方的形式，再计算。第（2）题通过添括号的方法转化为平方差的形式，再计算。

阶梯训练

A级

1.下列各式中，计算正确的是（）

A （2a+b）2=4a2+b2

B (m-n)2=m2-n2

C (-5x+2y)2=25x2-10xy+4y2

D (-x-y)2=x2+2xy+y2

2.下列各式中，运算结果为1-2xy2+x2y4的是（）

A （-1-x2y2）2

B (-1+xy2)2

C (1-x2y2)2

D (-1-xy2)2

3.计算（a+2b）2+(a-2b)2的结果是（）

A 2a2

B 4b2

C 2a2-8b2

D 2a2+8b2

4.若（x+m）2=x2+nx+9,则m=_________,n=_________.

5.计算（2a+1）2(2a-1)2=____________