初二平面几何习题集及规范标准答案

习题1

如图，P为等边△ABC内一点，∠APB=113°，∠APC=123°，试说明：以AP、BP、CP为边长可以构成一个三角形，并确定所构成三角形的各内角的度数．

解：将△APC绕点A顺时针旋转60°得△AQB，则△AQB≌△APC

∴BQ=CP，AQ=AP，

∵∠1+∠3=60°，

∴△APQ是等边三角形，

∴QP=AP，

∴△QBP就是以AP，BP，CP三边为边的三角形，

∵∠APB=113°，

∴∠6=∠APB-∠5=53°，

∵∠AQB=∠APC=123°，

∴∠7=∠AQB-∠4=63°，

∴∠QBP=180°-∠6-∠7=64°，

∴以AP，BP，CP为边的三角形的三内角的度数分别为64°，63°，53°．

习题3

P是等边△ABC中的一点，PA=2,PB=2倍根号3，PC=4，则BC 的边长是多少？

把△APC绕点A顺时针旋转60°到△AMB，则AM=AP=2，

BM=PC=4,∠PAM=60°

连结PM，则△PAM是等边三角形，∴PM=2

在△PBM中，PM²+PB²=2²+(2√3)²=16

BM²=4²=16

∴PM²+PB²=BM²

∴△PBM是直角三角形，∠BPM=90°

∴∠APB=90°+60°=150°

过A作AD⊥BP交BP的延长线于D，则∠APD=30°

∴AD=1,PD=√3

∴AB²=1²+（3√3)²=28

∴BC=AB=2√7

习题4

已知四边形abcd中,ab=ad,∠bad=60°,∠bcd=120°,证明bc+dc=ac 证明：

连接BD，延长BC到点E，使CE=CD，连接DE

∵AB=AD，∠BAD=60°，AB=AD

∴△ABD是等边三角形

∴∠ADB=60°，AD=BD

∵∠BCD=120°

∴∠DCE=60°

∴△DCE是等边三角形

∴∠CDE=60°，DC=DE

∴∠ADC=∠BDE

∴△ACD≌△BDE

∴AC=BE=BC+CD

习题5 如图,己知在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,点D是BC上的任意一点,探究BD²+CD²与AD²的关系

证明：作AE⊥BC于E，如图所示：

由题意得：ED=BD-BE=CE-CD，

∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，

∴BE=CE= 1/2BC，

由勾股定理可得：

AB²+AC²=BC²，

AE²=AB²-BE²=AC²-CE²，

AD²=AE²+ED²，

∴2AD²=2AE²+2ED²=AB²-BE²+（BD-BE）²+AC²-CE²+（CE-CD）²

=AB²+AC²+BD²+CD²-2BD×BE-2CD×CE

=AB²+AC²+BD²+CD²-2× 1/2BC×BC

=BD²+CD²，

即：BD²+CD²=2AD²．

习题6 D,E是等腰直角三角形斜边BC所在直线上的两点，满足∠DAE=135°，求证CD²+BE²=DE²

∵∠BAC=90°，AC=AB，

∴将△ABE绕点A逆时针转90°，得△ACF，

则△ABE≌△ACF，∠EAF=90°，

∴BE=CF，∠ACF=∠ABE=45°，AE=AF,

∵∠DAE=90°，∠EAF=135°,

∴∠DAF=135°,

∴△ADF≌△ADE，

∴DE=DF，

∵∠DCF=∠DCA+∠ACF=90°，

∴DC²+CF²=DF²,

∴DC²+BE²=DE²

习题七

GF平行于AB平行于CD,P又是中点，∠ HDP=∠ GFP,∠ HPD=∠GPE,P为中点，所以△ HDP全等于△ GFP,

这样DH=GF,所以CH=CG，则有等腰△ CHG，有P为HG中点,所以PC⊥PG,

因为菱形ABCD ∠ ABC=60°所以∠ DCB=120° CP为角平分线，∠PCG=60° PG:PC=√3

证明：如图3，延长GP到H，使PH=PG，

连接CH，CG，DH，

∵P是线段DF的中点，

∴FP=DP，

∵∠GPF=∠HPD，

∴△GFP≌△HDP，

∴GF=HD，∠GFP=∠HDP，

∵∠GFP+∠PFE=120°，∠PFE=∠PDC，

∴∠CDH=∠HDP+∠PDC=120°，

∵四边形ABCD是菱形，

∴CD=CB，∠ADC=∠ABC=60°，点A、B、G又在一条直线上，

∴∠GBC=120°，

∵四边形BEFG是菱形，

∴GF=GB，

∴HD=GB，

∴△HDC≌△GBC，

∴CH=CG，∠DCH=∠BCG，

∴∠DCH+∠HCB=∠BCG+∠HCB=120°，即∠HCG=120°

∵CH=CG，PH=PG，

∴PG⊥PC，∠GCP=∠HCP=60°，

∴

P

G

P

=

．即PG=

3

PC．

习题8

已知在Rt△ABC中,AB=BC;在Rt△ADE中,AD=DE连接EC,取EC中点M,连接DM和BM.

（1）证：Rt△ABC中，因为AB=CB;所以角A=角C=45°Rt△ADE中，AD=DE，所以角AED=角ADE=45°

因为M是EC中点

所以MB=MC=ME=MD

角EMD=角MCD*2; 角EMB=角BCE*2

所以角DMB=角EMD+角EMB=2*(角MCD+角

MCB)=2*角C=90°

所以BM=DM且BM垂直DM

(2)证明:取AE的中点G,AC的中点F,连接DG,MG,BF,MF.

又M为CE中点,则:MF=AE/2=DG;GM=AC/2=BF;GM∥AC;MF∥AE.(中位线的性质)

得:∠MFC=∠EAC=∠EGM;又∠BFC=∠EGD=90度.则∠MFB=∠DGM. ∴⊿BFM≌⊿MGD(SAS),BM=DM;∠FBM=∠GMD.

又GM平行AC,BF垂直AC,则GM垂直BF.

故∠FBM+∠BMG=90度=∠GMD+∠BMG,即∠BMD=90度,得:BM⊥DM.