第七章 量子力学的矩阵形式与表象变换
量子力学的表象变换与矩阵形式
基矢变换的一个重要应用是求解量子力学中的本征值 问题。通过选择合适的基矢，可以将一个复杂的二次 型哈密顿量变为简单的形式，从而方便求解。
坐标表象与动量表象
01
坐标表象和动量表象是量子力学中最常用的两种表象。在 坐标表象中，波函数是坐标的函数，而在动量表象中，波 函数是动量的函数。
02 03
在坐标表象中，哈密顿量是一个关于坐标的二次型，而在 动量表象中，哈密顿量是一个关于动量的二次型。因此， 这两种表象适用于不同类型的问题。在求解一些与位置和 动量有关的物理问题时，选择合适的表象可以大大简化计 算过程。
表象变换
基矢变换
基矢变换的基本思想是通过线性组合的方式，将一组 旧的基矢变换为新的基矢。在量子力学中，这种变换 通常是通过一个可逆矩阵来实现的。
基矢变换是指在不同表象之间进行转换时，基矢的选 择会发生改变。在量子力学中，一个量子态由一个波 函数来描述，而波函数在不同的表象下会有不同的形 式。基矢变换就是用来描子计算
01
量子纠缠是量子力学中的一种现象，指两个或多个量子系统之 间存在一种特殊的关联，使得它们的状态无法单独描述。
02
量子纠缠在量子计算中具有重要作用，是量子并行性和量子算
法复杂性的基础。
利用量子纠缠，可以实现更高效的量子算法和量子通信协议。
03
量子通信与量子密码学
量子通信利用量子力学原理实现 信息的传输和保护，具有无条件
描述了密度矩阵的演化，其矩阵形式为密度矩阵与时间导数的乘积。
矩阵形式的测量与观测
量子测量
通过测量操作，将量子态投影到测量 算子的本征态上，其结果以概率的形 式给出。
观测结果
观测结果以概率分布的形式给出，反 映了量子态的测量结果与测量算子的 本征值的关联。
量子力学的矩阵形式和表象变换
§4.5 量子力学的矩阵形式和表象变换态和力学量算符的不同表示形式称为表象。
态有时称为态矢量。
力学量算符对态的作用实际上是对矢量量进行变换，因此可与代数中线性变换进行类比。
1、量子态的不同表象 幺正变换（1）直角坐标系中的类比取平面直角坐标系21X OX 其基矢（我们过去称之为单位矢）可表示为21,e e,见图其标积可写成下面的形式)2,1,(),(==j i e e ijj i δ我们将其称之为基矢的正交归一关系。
平面上的任一矢量A可以写为2211e A e A A +=其中),(11A e A =，),(22A e A=称为投影分量。
而),(21A A A = 称为A在坐标系21XOX 中的表示。
现在将坐标系21X OX 沿垂直于自身面的轴顺时针转θ角度，则单位基矢变为','21e e，且同样有)2,1,()','(==j i e e ijj i δ而平面上的任一矢量A此时可以写为 ''''2211e A e A A +=其中投影分量是),'('11A e A=，),'('22A e A =。
而)','(21A A A = 称为A在坐标系'X 'OX21中的表示。
现在的问题是：这两个表示有何关系？显然，22112211''''e A e A e A e A A+=+=。
用'1e 、'2e分别与上式中的后一等式点积（即作标积），有),'(),'('2121111e e A e e A A+= ),'(),'('2221212e e A e e A A+=表成矩阵的形式为⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛212212211121),'(),'(),'(),'(''A A e e e e e e e e A A由于'1e、1e及'2e、2e的夹角为θ，显然有⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21212212211121cos sin sin cos ),'(),'(),'(),'(''A A A A e e e e e e e e A A θθθθ或记为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2121)(''A A R A A θ 其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=θθθθθcos sin sin cos )(R 是把A在两坐标中的表示⎪⎪⎭⎫⎝⎛''21A A 和⎪⎪⎭⎫⎝⎛21A A 联系起来的变换矩阵。
第7章 量子力学的矩阵形式与表象变换
这组数(a1,a2, … an, …)就是态ψ在Q表象中 的表示。可用列矩阵表示。设ψ是归一化的， 那么就有
* * d a a u m n mun d 2 mn
a an mn a an 1
* m * n mn n
9
由此可见，|an|2是ψ所描述的态中测量力学量Q所
ˆ 的共同本征态un(n代表 的任何一个力学量完全集 Q
一组完备的量子数，并先考虑分立谱情况)可以用
来构成此态空间的一组正交归一完备基矢，称为Q
表象。基矢满足正交归一性
(u m , u n ) mn
8
按态叠加原理，体系的任何一个态ψ可以用它们 展开
an u n
n
其中an (u n , )
为λ。可见，幺正变换不改变算符的本征值。
ˆ 自身的表象， 如果F' 是对角矩阵，即B表象是 F ˆ 本征值的问题归结为寻找一个幺正变换把算符 F
ˆ 的本征值。于是求算符 那么F' 的对角元素就是 F ˆ 自身的表象，使 F ˆ 的矩阵 从原来的表象变换到 F 表示对角化。解定态薛定谔方程求定态能级的问
ˆ 在A表象中的本征值方程为Fa=λa。λ为本 设F
征值，a为本征矢。通过幺正变换将F和a从A表 象变换到B表象，则有
F ' SFS ; b Sa
1
在B表象中有
F ' b (SFS1 )Sa
SFa Sa b
即 F'b b
19
ˆ 在B表象中的本征值仍 这个本征值方程说明算符 F
am ' u m ' an u n
第七章量子力学的矩阵形式与表象变换习题
一． 选择题99.动量为p '的自由粒子的波函数在坐标表象中的表示是)'exp(21)('x p ix P πψ=,它在动量表象中的表示是D A.δ(')p p -. B.δ(')p p +. C.δ()p . D.δ(')p .100.力学量算符 x对应于本征值为x '的本征函数在坐标表象中的表示是AA.δ(')x x -.B.δ(')x x +.C.δ()x .D.δ(')x .101.一粒子在一维无限深势阱中运动的状态为)(22)(22)(21x x x ψψψ-=,其中ψ1()x 、ψ2()x 是其能量本征函数,则ψ()x 在能量表象中的表示是DA.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛ 02/22/2.B.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛- 02/22/2.C.222200//⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪.D.222200//-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪.102.线性谐振子的能量本征函数ψ1()x 在能量表象中的表示是C A.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 001. B. ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 010. C. 1000⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪. D. 0100⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪.103. 线性谐振子的能量本征函数)()(10x b x a ψψψ+=在能量表象中的表示是DA.⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++ 0//2222b a b b a a . B. ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++0//02222b a b b a a . C.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛ 0b a .D. 00a b ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪.104.在( , L L z 2)的共同表象中,波函数φ=⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪22101,在该态中 L z 的平均值为 AA. .B. - .C. 2 .D. 0.105.算符Q 只有分立的本征值{}Q n ,对应的本征函数是{()}u x n ,则算符(,)F x i x ∂∂在 Q 表象中的矩阵元的表示是BA.F u x F x i x u x dx mn n m =⎰*()(,)() ∂∂. B.F u x F x i x u x dx mn m n =⎰*()(,)() ∂∂.C.F u x F x i x u x dx mn n m =⎰()(,)()* ∂∂. D.F u x F x i x u x dx mn m n =⎰()(,)()*∂∂.106.力学量算符在自身表象中的矩阵表示是AA. 以本征值为对角元素的对角方阵. B 一个上三角方阵. C.一个下三角方阵.D.一个主对角线上的元素等于零的方阵.107.力学量算符xˆ在动量表象中的微分形式是A A.-i p x∂∂. B.i p x ∂∂. C.-i p x 2∂∂. D.i p x 2∂∂. 108.线性谐振子的哈密顿算符在动量表象中的微分形式是BA.p p 22222212μμω∂∂+ .B.p p 2222212μμω∂∂-. C.22222212p p ∂∂μωμ -.D.--p p 2222212μμω∂∂. 109.在 Q 表象中F =⎛⎝ ⎫⎭⎪0110,其本征值是A A. ±1. B. 0. C. ±i . D. 1±i .110. 在 Q 表象中F =⎛⎝ ⎫⎭⎪0110, F 的归一化本征态分别为A A.22112211⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪,. B. 1111⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪,. C. 12111211⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪,.D.22102201⎛⎝ ⎫⎭⎪⎛⎝ ⎫⎭⎪,. 111.幺正矩阵的定义式为AA.S S +-=.B.S S +=*.C.S S =-.D.S S *=-. 112.幺正变换BA.不改变算符的本征值,但可改变其本征矢.B.不改变算符的本征值,也不改变其本征矢.C.改变算符的本征值,但不改变其本征矢.D.即改变算符的本征值,也改变其本征矢.113.算符 ()( )/axip=+μωμω212,则对易关系式[ , ]a a +等于B A. [ , ]aa +=0. B. [ , ]a a +=1. C. [ , ]a a +=-1. D. [ , ]a a i +=.二． 填空题1. Q 表象是以Q 的本征函数系(){}x u n 为基底的表象，在这个表象中，有()()x u Q x u Q n n n =()()x u t a n n ∑=ψ()()()())(,,)(,)(,***t a t a t a t a t a t a n n 21+21=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=ψψ2. 算符F 对应一个矩阵（方阵），矩阵元是dxFu u F m n nm ⎰=*3. 选定表象后，算符和量子态都用 表示。
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在能量本征态 下逐项计算平均值，并利用公式
即得
式（3）加式（4），再减式（5）和（6），即得式（1）．
注意：如
和 并无简单关系．如 F 为厄米算符，即
，则
，
这时
，式（1）就变成《量子力学习题精选与剖析》[下]题 2.4 式（1）．
类似有
AC＋CA＝0
（b）由于
，可知其本征值为±1，又按假定，A 本征态无简并，所以，在 A 表象
中 A 的对角矩阵表示为
设 B 的矩阵为
由 AB＋BA＝0，得
即
1/8
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所以
，即
又由
，有
所以 bc＝1，因而 B 的矩阵表示为
8/8
在 sz 表象中可以表示为
证明：按假设， 不妨取
．基矢的正交完备性表现为
可以验证，假想的自旋算符的 2 维矩阵表示分别为
与《量子力学教程》8.1 节，（21）式（Pauli 矩阵）比较． 【参见《量子力学教程》8.1 节，（21）式．】
7.9 设 F 为体系的一个可观测量（厄米算符），H 为体系的 Hamilton 量，证明在能量 表象中的下列求和规则：
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第 7 章 量子力学的矩阵形式与表象变换
7.1 设矩阵 A、B、C 满足
（a）证明
；
（b）在 A 表象中（设无简并），求出 B 和 C 的矩阵表示．
解：（a）对
分别右乘 B 和左乘 B，利用
，得
（1）＋（2）得
AB＋BA＝0
式（2）取共轭，得到 和式（2）相加，即得式（1）。
第七章量子力学的矩阵形式与表象变换习题
一． 选择题99.动量为p '的自由粒子的波函数在坐标表象中的表示是)'exp(21)('x p ix P πψ=,它在动量表象中的表示是D A.δ(')p p -. B.δ(')p p +. C.δ()p . D.δ(')p .100.力学量算符 x对应于本征值为x '的本征函数在坐标表象中的表示是AA.δ(')x x -.B.δ(')x x +.C.δ()x .D.δ(')x .101.一粒子在一维无限深势阱中运动的状态为)(22)(22)(21x x x ψψψ-=,其中ψ1()x 、ψ2()x 是其能量本征函数,则ψ()x 在能量表象中的表示是DA.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛ 02/22/2.B.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛- 02/22/2.C.222200//⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪.D.222200//-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪.102.线性谐振子的能量本征函数ψ1()x 在能量表象中的表示是C A.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 001. B. ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 010. C. 1000⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪. D. 0100⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪.103. 线性谐振子的能量本征函数)()(10x b x a ψψψ+=在能量表象中的表示是DA.⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++ 0//2222b a b b a a . B. ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++0//02222b a b b a a . C.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛ 0b a .D. 00a b ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪.104.在( , L L z 2)的共同表象中,波函数φ=⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪22101,在该态中 L z 的平均值为 AA. .B. - .C. 2 .D. 0.105.算符Q 只有分立的本征值{}Q n ,对应的本征函数是{()}u x n ,则算符(,)F x i x ∂∂在 Q 表象中的矩阵元的表示是BA.F u x F x i x u x dx mn n m =⎰*()(,)() ∂∂. B.F u x F x i x u x dx mn m n =⎰*()(,)() ∂∂.C.F u x F x i x u x dx mn n m =⎰()(,)()* ∂∂. D.F u x F x i x u x dx mn m n =⎰()(,)()*∂∂.106.力学量算符在自身表象中的矩阵表示是AA. 以本征值为对角元素的对角方阵. B 一个上三角方阵. C.一个下三角方阵.D.一个主对角线上的元素等于零的方阵.107.力学量算符xˆ在动量表象中的微分形式是A A.-i p x∂∂. B.i p x ∂∂. C.-i p x 2∂∂. D.i p x 2∂∂. 108.线性谐振子的哈密顿算符在动量表象中的微分形式是BA.p p 22222212μμω∂∂+ .B.p p 2222212μμω∂∂-. C.22222212p p ∂∂μωμ -.D.--p p 2222212μμω∂∂. 109.在 Q 表象中F =⎛⎝ ⎫⎭⎪0110,其本征值是A A. ±1. B. 0. C. ±i . D. 1±i .110. 在 Q 表象中F =⎛⎝ ⎫⎭⎪0110, F 的归一化本征态分别为A A.22112211⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪,. B. 1111⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪,. C. 12111211⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪,.D.22102201⎛⎝ ⎫⎭⎪⎛⎝ ⎫⎭⎪,. 111.幺正矩阵的定义式为AA.S S +-=.B.S S +=*.C.S S =-.D.S S *=-. 112.幺正变换BA.不改变算符的本征值,但可改变其本征矢.B.不改变算符的本征值,也不改变其本征矢.C.改变算符的本征值,但不改变其本征矢.D.即改变算符的本征值,也改变其本征矢.113.算符 ()( )/axip=+μωμω212,则对易关系式[ , ]a a +等于B A. [ , ]aa +=0. B. [ , ]a a +=1. C. [ , ]a a +=-1. D. [ , ]a a i +=.二． 填空题1. Q 表象是以Q 的本征函数系(){}x u n 为基底的表象，在这个表象中，有()()x u Q x u Q n n n =()()x u t a n n ∑=ψ()()()())(,,)(,)(,***t a t a t a t a t a t a n n 21+21=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=ψψ2. 算符F 对应一个矩阵（方阵），矩阵元是dxFu u F m n nm ⎰=*3. 选定表象后，算符和量子态都用 表示。
量子力学 第7章-1(第19讲)
一位富有正义感的科学家！
希尔伯特 (D. Hilbert) (1862～1943) 德国数学家, 格廷根(哥廷根 )大学教授.
希尔伯特是对二十世纪数学有深刻影响的数学家之 一。他领导了著名的哥廷根学派,使哥廷根大学成 为当时世界数学研究的重要中心,并培养了一批对 现代数学发展做出重大贡献的杰出数学家。
b
t
m
x
x
dx
n
m
(x)
n ( x)d
x
m
n
Sm
m
(
x)
(x)d
x
am t Smb t
写成矩阵形式:
a1 a2
t t
S11
S21
S12 S22
..... .....
S1 S2
...... ......
b1 b2
t t
........ .... .... ..... .... ....... ......
am
t
Sm1
Sm2
.....
Sm
......
b
t
.........
.....
.....
.....
....
...... ......
其中
Sm
m
(
x)
(x)d
x
简写为 a Sb 从B表象变换到A表象
反之， b S1a Sa 从A表象变换到B表象
5. 如何求么正变换矩阵
不两同者信从息不（同力的学侧量面r描和写粒P 子的的信状息态）,。给出了粒子的
2．Q 表象
力学量算符 Qˆ 的正交归一的本征函数完备系：un (r )
本征方程：
Qˆ un
力学量的矩阵形式与表象变换
Introduction to Quantum mechanics
成都理工大学 2016年9月—11月
课程内容
第一章 波函数和薛定谔方程 第二章 一维势场中的粒子 第三章 力学量用算符表达 第四章 力学量随时间的演化 第五章 中心ห้องสมุดไป่ตู้场 第七章 量子力学的矩阵形式与表象变换 第九章 力学量本征值问题的代数解法 第十章 微扰论
F | cn | n n
| c | a
G a a
G F 则 ca S na cn a
S na n | a C SC , C S C S C
F G G F 1 F
4、表象变换
• C、力学量的变换
ˆ 把态 | A 变为态 | B ，即 | B H ˆ | A 设算符H
G G
2、矩阵表示
• C、本征方程
ˆ g G b1 ˆ 的本征函数在F表象中的表示为：B b 假设G 2 (G gI ) B 0 G gI 0求出多个g , 每个g给出一个列矢量， 即为本征波函数在F表象中的表示。
第七章 量子力学的矩阵形式 与表象变换
1、希尔伯特空间 2、矩阵表示 3、Dirac符号 4、表象变换
1、希尔伯特空间
• A、三维空间
R r1e1 r2e 2 r3e 3 ei e j ij i,j 1,2,3 ri ei R
三个矢量构成三维空间的完备正交基，展开系数就 是任意矢量在这组基下的表示或坐标。基不同，表 示也不一样。
n
G表象的基 | a 可用F表象的基 | n 展开： Sna n | a S12 S22 其中SS S S 1，S为幺正变换 S11 S Sna S21
量子力学讲义第七章讲义
(8)
是|>在F表象中的基矢|j>方向的投影。式(8)即的本征方程在F表象中的表
述形式。
(6) A2=0，但A=0不一定成立
5、对角矩阵 6、单位矩阵
除对角元外其余为零 即
单位矩阵与任何矩阵A的乘积仍为A：IA=A，并且与任何矩阵都是可
对易的：IA=AI
7、转置矩阵：把矩阵A的行和列互相调换，所得出的新矩阵称为A的转
置矩阵。
m列n行n列m行 共轭矩阵： m列n行n列m行转成共轭复数
8、厄密矩阵：
矢量。选取一个特定力学量F表象，相当于选取特定的坐标系。该坐标
系是以力学量F的本征函数系为基矢，态矢量在各基矢上的分量则为展
开系数，在F表象中态矢量可用这组分量来表示。
F表象的基矢有无限多个，所以态矢量所在的空间是一个无限维的 抽象的函数空间，称为Hilbert空间。
§7.2 力学量(算符)的矩阵表示
它就是与本征值相应的本征态在F表象中的表示。 给定算符如何求本征值与本征函数 ——（1）先求用矩阵表示的本征 方程；（2）代入久期方程求得本征值的解；（3）本征值代入本征方程 求本征函数。
4、 举例： 例1、已知体系的哈密顿算符Ĥ与某一力学量算符在能量表象中的矩阵 形式为：
， 其中和b为实常数，问
(1)、H和B是否是厄密矩阵； (2)、H和B是否对易； (3)、求算符的本征值及相应的本征函数； (4)、算符的本征函数是否也是Ĥ的本征函数。
态矢与的标积记为，
而记为
若，则称与正交；若，则称为归一化态矢。 设力学量完全集F的本征态（离散）记为|k>，它们的正交归一性表
示为
连续谱的本征态的正交“归一性”，则表成函数形式。 例如动量本征态，，坐标本征态，等。
第七章量子力学的矩阵表述
7.18
2 本征方程
Fφk = λkφk
7.19
或
(F − λk I )φk = 0
7.20
把矩阵元写出来 即
F11 − λk
F21
F31 M
F12 F22 − λk
F32 M
F13 F23 F33 − λk M
OLLL
d1 d2 d3 M
=
0
7.21
这是关于 {d k }的线性齐次方程组 它有非平庸解的充分必要条件是系数行列式等于零
Sin Fnm S + mj
n,m
h,m
矩阵形式为
F ′ = SFS +
7.41
利用 7.33 得逆变换
F = S + F ′S
7.42
7.41 和 7.42 即算符变换公式
三 表象变换下的不变量和不变形式
1. 不变量 物理测量结果应该与态空间的基底选择无关 因此是表象变换下的不变量 此外 一
些态矢量的 几何性质 也是不变量 1 内积
∑ ψ (x) = cnϕ n
n
7.3
cn 2 是在ψ (x) 态中测量力学量 A 得到值α n 的概率 ]
一 态的矩阵表述
矩阵表示的实质是选取态空间的一套基底后 用量子态的分量来表示量子态
以分立谱为例 设某力学量 A 的正交归一本征态集为{ϕ n } 它是完备的 可以作为
态空间的基底 即任意态可表示为
和是没有意义的 引入共轭态矢是为了方便地表示内积 若基底是正交归一的 则ψ 与另
一态矢φ 它的分量为{bn } 的内积 (ψ ,φ ) 可表示成
b1
b2
( ) ∑ ψ +φ = c1∗
量子力学(第七章)
(6)
5
或记为
A1 A1 R ( ) A2 A2
(7)
其中
cos R( ) sin
sin cos
(8)
是将 A 在两个坐标系的表示联系起来的 变换矩阵。
6
相应地，新旧坐标系中基矢的变化也能用 矩阵表示为
b1 * b2 ai bi i
15
相同维数的Hilbert空间的基矢可以用一组 相同矩阵表示，如二维
a1 2 * * * a1 , a2 , a2 ai ai ai 1 i i
基矢满足正交归一化条件，下面验证：其共 轭量为 11 1 0 0
10 0 1 0 1 1 0 0 1
因此它们的内积为
27
1 11 11 1 0 0 0 1 0
同理 10 10 1 而
1 1 1 1 1
0 11 10 1 0 0 1 0 0 同理 11 1 1 0 10 1 1 0
x
(k ) ( x x)
24
而二个矢量的标积
* a k k k bk
k
k
x dx x a b
( x )( x )dx
*
25
ˆ 2 ˆ 在 L , Lz 表象中，量子数 l 1 有几个本征函 数？以此作为空间的基矢，此空间是几维的？ 基矢的矩阵形式如何表示？ ˆ2 , L ˆ 的共同本征函数为 Ylm , 解： L z
cos e1 e2 sin
RT ( )
量子力学的矩阵形式和表象变换考试题PPT课件
A1 A2
(e'1 e1 ) (e'2 e1 )
(e'1 e2 ) (e'2e2 )
A1 A2
x2
x’2
A’2
cos sin
sin cos
A1 A2
A1 A2
R(
)
A1 A2
（5） （6）
A2
e2 θ e’2
O
e1
θ
e’1 A’1
A A1
x1 x’1
R（θ）称为变换矩阵元，是两个坐标系基矢之间的标积。当R确定后，任何两个 坐标系之间的关系也就确定了。
0
x e 1 xdx
1
(
1)!(
N0)
2 3
xe( px )xdx
23 1 ( px )2
第10页/共98页
c( px )
23 1 ( px )2
动量的几率分布为
wp
c( px ) 2
23
(
1 px )4
动量的平均值为
p *(x) pˆ (x)
pˆ (x) i
43
n
下标n表示能级，上式两边同乘以u*m(x), 并积分
（16）
am (t) um (x) (x,t)dx,
（17）
粒子态完全由an完全集确定，即能量表象。
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(x,t) 2 dx
an
(t
)a
* m
(t
)
um*(x)un (x)dx
m,n
an (t)a*m(t)mn a*n (t)an (t)
4. 2算符的矩阵表示
设算符F有如下关系 ：
Fˆ(x,t) (x,t)
4.6 量子力学的矩阵形式和表象变换
an给(t出) 2在
态(中r,测t)量粒子的力学量Q 取 值的几q率n。
69
13
以上讨论与三维矢量空间一矢量的表示很类似。
三维矢量空间
e1,
e2
,
e3
A A1e1 A2e2 A3e3
A1 A A2
A3
Hilbert空间：满足态迭加原理的状态全体构成一个复线性空间，称
为Hilbert空间，体系的状态波函数 是Hilbert空间中的一个矢量，称为
并引入记号： Fnm
un*
(
x)Fˆ
(
x,
i
x
)um
(
x)dx
69
26
可将（2）式写成：bn (t) Fnmam (t)
排成矩阵形式：
m
b1(t) F11 F12
b2
(t
)
F21
F1m
a1(t)
a2
(t
)
bn (t) Fn1 Fn2
Fnm
am (t)
69
a
1
e
i
pa
2 p2a2 / 2
22
能量表象：本征函数 n x
2 sin n x
aa
展开系数：
anE
1
x
* n
(
x)dx
1,n
即在自身表象中取δ形式。
∴ 基态在能量表象中的表示：
1
0
an
0
.
. .
1x an E n x a1E1x
n
69
23
2、算符的矩阵表示
力学量算符在不同表象中的表示
阵力学（海森堡Heisenberg）
量子力学 07量子力学的矩阵形式与表象变换
p p' ψ (x)=p' p' ψ (x)
p (p'-p)=p' (p'-p) δ δ
这类似于一个矢量可以在不同坐标系描写一样。矢量 A在直角 坐标系由三分量Ax ，Ay ，Az 描述；在球坐标系用三分量Ar ， A ， A 描述。 Ax ， Ay ， Az 和 Ar, ， A, ， A 形式不同，但描 写同一矢量A。
共轭矩阵
a 1 ( t ) *
a2 (t ) *
an (t ) *
归一化可写为
a1 ( t ) *
a2 ( t ) *
an (t ) *
a1 ( t ) a2 (t ) an (t )
n
n
( x , t )
归一化则变为： an * ( t )an ( t ) aq * ( t )aq ( t )dq 1
n
|an(t)|2 是在 Ψ(x,t) 态中 测量力学量 Q 所得结果 为 Qn 的几率；
a (t ) n aq (t )
|aq(t)|2dq 是在Ψ(x,t) 态中 测量力学量 Q 所得结果在 q → q + dq之间的几率。
坐标表象 动量本 1 1 i(p' x-E't)/h Ψp' (x,t)=[ π ]2 e 2 h 征函数
1 不含时 ψp' [ 1 ]2 i(p' x)/h (x)= 动量本 π 2 h e 征函数
动量表象 C(p,t)= (p'-p)exp[ iE't/ h] δ -
C(p)=δ (p'-p)
第七章 量子力学的矩阵形式与表象变换
x表象的基函数是坐标算符的本征函数
ˆδ ( x − x′) = x′δ ( x − x′) x
二、 p表象 1. 状态 ϕ ( p, t )
ϕ ( p, t ) ：几率密度
2
∂ ˆ ˆ (x ˆ = iℏ , p ) ˆ, p ˆ) = ? F (x 2. 力学量 F ∂p
n ∂ ∂ n n ℏ ˆ = i? i. x ˆ x = ( i ℏ ) 同理 ∂p ∂p n n n ˆ ˆ ii. p = p p = p
−∞ +∞
或ψ p′ ( x)
ψ ( x, t ) = ∫ ϕ ( p′, t )ψ p′ ( x) dp′
−∞ ∞
ˆ δ ( p − p′) = p′δ ( p − p′) p
ˆ ψ p′ ( x ) = p ′ψ p′ ( x) p
p表象的基函数是动量算符的本征函数
例1：在p表象计算一维谐振子的定态能量和 波函数。
� � � � � � � � ∫ψ (r ′, t )δ (r − r ′)dr ′ 或 ∫ ϕ ( p′,t )δ ( p − p′)dp′
3. 波函数是态矢在基上的投影或分量。
五、力学量完全集 1.力学量变量 力学量的测值可作为波函数的变量 2. 力学量变量的个数等于自由度数 3. 作为波函数变量的力学量必须相互对易
n
* cn = (ϕ n , ϕ (0)) = ∫ ϕ n ( p )ϕ ( p,0) dp −∞ ∞
∂ ˆ v. 平均值 F = ∫ ϕ ( p, t ) F ( x ˆ = iℏ , p)ϕ ( p, t )dp −∞ ∂p
+∞ *
4. 基函数
{δ ( p − p′) | p′ ∈ R}
第七章量子力学的矩阵形式与表象变换
a
2
(1)
mn
1 1 4amn mn 1 (1) 1 2 2 2 2 2 2 ( m n ) ( m n ) ( m n )
ˆ 哈密顿算符 H
对角元：
n En 2a 2
2 2
2
§7.3 量子力学公式的矩阵表示
一、Schrö dinger方程
n
F表象的基矢有无限多个，所以态矢量所在的空间是一个
无限维的抽象的函数空间，称为Hilbert空间。
§7.2 力学量(算符)的矩阵表示
力学量算符的具体形式应该与波函数的具体形式相对应， 以保证对波函数的作用有意义。 F表象中的算符表示（分立谱的情况） ：
ˆ 运算后变成另一个态： 设量子态经过算符 L
L12 L22 Ln 2
L1m L2 m Lnm
左边的一列矩阵和右边的一列矩阵分别是波函数和波函数
在F表象中的矩阵表示，而矩阵 L jk 即算符
中的表示。
用 LF 表示这个矩阵
ˆ L
在F表象
则有：
F LF F
b1 L11 b2 L21 bn Ln1
LL
其对角矩阵元为实数
Lnm L
* mn
证明:
Lnm L m dx ( L n ) * m dx
* n
[ L n dx] L
* m *
* mn
例: 求一维无限深势阱中粒子的坐标算符 ˆ 在能量表象中的矩阵表示。 H
ˆ x
及哈密顿算符
L12 L22 Ln 2
L1m L2 m Lnm
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（二）希尔伯特（Hilbert）空间
一个微观体系所有可能的量子态的态函数张成 一个抽象的函数空间，称为希耳伯特空间，每一个 量子态（不涉及表象）看成希耳伯特空间的一个 “矢量”，称为态矢量。
如同三维实空间需要建立一组正交、归一的基
矢 {eˆ1, eˆ2, eˆ3}，即建立坐标系，空间中的任何矢量
新的基矢组：
(',') —F ' 表象或Q'表象
任意态矢量
a'';
在F' 表象下的矩阵表示
a'(',)
a'(',)
a '1
a
'2
F'表象下的 具体表示
（四）表象之间的变换—幺正变换
F表象： akk; F'表象： a''
k
a''akk
k
左乘' 再取标积
a' (',k)ak
线性方程组(I)有非零解得条是系数行列式等于0：
L11 L12
相应的表象变换称为幺正变换。
幺正变换的特点：变换后不改变矢量的长度(模)。 因此态矢量（波函数）在表象变换下不改变模的 大小，即相应的概率不变。
§2 力学量算符的矩阵表示
力学量算符 Lˆ 作用于量子态后变成另一态
Lˆ (不涉及表象)
因此，在Hilbert空间力学量算符相当于一个线性映射。
一旦在Hilbert空间建立具体的表象，力学量算符 （线性映射）就有了具体的数学表示：
*第七章 量子力学的矩阵形式与表象变换
本章要求
1. 了解量子态在不同表象下的矩阵表示以 及表象之间的幺正变换（幺正矩阵）。
2.了解力学量算符的矩阵表示；了解量子 力学公式(如薛定谔方程、本征方程、平均 值等)的矩阵形式；
3.了解Dirac符号
*第七章 量子力学的矩阵形式与表象变换
教学内容
§1 量子态在不同表象下的矩阵表示与 幺正变换
(k ,) ( x x ')d x ( x ') ( x )
常用的表象：坐标表象，动量表象，能量表象。
（三）量子态在不同表象中的矩阵表示
在F表象(或Q表象)中，任意量子态的具体表示
可以写成一个列矩阵：
a1
ak (k,)
a
2
考虑另一力学量完全集F' ( 或者另一力学量算符
Q' )，其正交、归一完备的共同本征态 { ' } 构成
F 表象 基矢{k}
bkk
akk
k
k
bkk akL ˆk
k
k
bkk akLˆk
k
k
左乘j 再取标积
bk(j,k) ak(j,L ˆk)
k
k
bj ak(j,L ˆk)
k
令
Ljk (j,Lˆk)
则有
bj Ljkak
k
写成矩阵形式：
bj Ljkak
k
b 1 L11 L12
续），可以用来构成该态空间的一组正交、归一 完备的基矢（称为F表象）。
(k,j )kj
因为体系的任何量子态（对应Hilbert空间的一个
抽象矢量）可以按 { k } 展开
akk; ak (k,)
k
这组数（a1, a2 , …）就是量子态在F表象下的表示。
k是F表象的基矢。
可见，态函数张成的Hilbert空间的维数可以是有
b2
L21
L22
a1
a
2
相应的矩阵元
算符Lˆ 在F表象中
的矩阵表示
Ljk (j,Lˆk)
特别地，在算符L的自身表象中
Ljk (j,Lˆk)(j, Lkk) Lk jk （*）
（基矢k是算符L的本征态，对应本征值Lk）
因此，算符在其自身表象中是一个对角矩阵，即
L11 0
k
令
Sk (',k)
两个表象的基矢的 标积，反映基矢之
间的关系
反映表象之间的变换关系？
则 a' Skak
k
写成矩阵形式
a ' 1 S11 S12
a
'2
S
21
S 22
Sk (',k)
a1
a
2
F'表象中 的表示
表象间的 变换矩阵S
F表象中 的表示
变换矩阵S是幺正矩阵
SSSSI S S1
(j,H ˆk)Hjk 能量算符在F表象中的矩阵元
i
aj(t)
t
k
Hjkak(t)
或表示为
a 1 t H 11 H 12
i
a
2
t
H
21
H 22
a1
a
2
此为薛定谔方程在F表象中的矩阵形式
（二）本征值方程的矩阵形式
力学量算符 Lˆ 的本征值方程
Lˆ （本征值 ）
在F 表象中，本征函数
akk
k
akL ˆkakk
k
k
左乘j 再取标积
ak(j,L ˆk) ak(j,k)
k
k
ak(j,L ˆk) ak(j,k)
k
k
Ljkak ak jk
k
k
即
(Ljkjk)ak0 (I)
k
L11 L12
或
L21
L22
a1
a
2
0
此为算符L的本征值方程在表象中的矩阵形式。
§2 力学量算符的矩阵形式 §3 量子力学公式的矩阵形式 §4 Dirac符号
§1 量子态在不同表象下的矩阵表示与幺正变换
（一）例子
同同 表一 象个 下状 的态 表在 示不
Ψ(r,t) (p,t)
以坐标为自变量—坐标表象中 的波函数表示
以动量为自变量—动量表象中 的波函数表示
表象=“坐标 系”
问题：量子态在其他力学量表象下的表示？
A才能按这组基矢展开（即矢量有了具体表示）：
A A 1 e ˆ 1 A 2 e ˆ 2 A 3 e ˆ 3
那么，如何建立Hilbert空间的基矢组（表象）以便 任何态矢量都能按此展开（态矢量的具体表示）？
体系的任何一组对易力学量完全集F有完备的
共同的本征函数组{ k } （其本征值谱可离散或连
0
L22
且由(*)式，对角元就是其本征值。
§3 量子力学公式的矩阵表示
（一）薛定谔方程的矩阵形式
i Hˆ
t
在F 表象中
(t) ak(t)k
k
i k a kt(t)kk ak(t)H ˆk
左乘j 再取标积
i ka kt(t)(j,k)kak(t)(j,H ˆk)
(j,k)ij 基矢的正交归一性
限的，也可无限的，甚至不可数的（基矢k为连
续谱时），同时由于态函数是复数，Hilbert空 间又是一个复空间。
Q表象
任何一个厄米算符Q的本征函数系{ k } 具有正交、
归一、完备性，也可以用来构成Hilbert空间的基矢 从而建立所谓的Q表象。
例如，用坐标算符x的本征函数系 (xx')（本征值
谱x'连续）构成Hilbert空间的基矢，就是坐标表象。 Hilbert空间的任意态矢量在坐标表象下的表示：