高考数学一轮总复习第2章函数的概念与基本初等函数第3节二次函数与幂函数模拟创新题理-人教版

合集下载

2024年高考数学总复习第二章《函数与基本初等函数》幂函数与二次函数

2024年高考数学总复习第二章《函数与基本初等函数》§2.4幂函数与二次函数最新考纲1.通过实例，了解幂函数的概念.2.结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x，y ＝12x 的图象，了解它们的变化情况.3.理解并掌握二次函数的定义、图象及性质.4.能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题．1．幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y ＝x α的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数．(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较函数y ＝xy ＝x 2y ＝x 3y ＝12xy ＝x －1图象性质定义域R R R {x |x ≥0}{x |x ≠0}值域R {y |y ≥0}R {y |y ≥0}{y |y ≠0}奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在R 上单调递增在(－∞，0]上单调递减；在(0，＋∞)上单调递增在R 上单调递增在[0，＋∞)上单调递增在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减公共点(1,1)2.二次函数的图象和性质解析式f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0)概念方法微思考1．二次函数的解析式有哪些常用形式？提示(1)一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)；(2)顶点式：y ＝a (x －m )2＋n (a ≠0)；(3)零点式：y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)．2．已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，写出f (x )≥0恒成立的条件．提示a>0且Δ≤0.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，x ∈[a ，b ]的最值一定是4ac －b 24a.(×)(2)在y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中，a 决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．(√)(3)函数y ＝122x 是幂函数．(×)(4)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．(√)(5)当n <0时，幂函数y ＝x n 是定义域上的减函数．(×)题组二教材改编2．已知幂函数f (x )＝k ·x αk ＋α等于()A.12B ．1C.32D ．2答案C解析1，k.∴k ＝1，α＝12.∴k ＋α＝32.3．已知函数f (x )＝x 2＋4ax 在区间(－∞，6)内单调递减，则a 的取值范围是()A ．a ≥3B ．a ≤3C ．a <－3D ．a ≤－3答案D解析函数f (x )＝x 2＋4ax 的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是x ＝－2a ，由函数在区间(－∞，6)内单调递减可知，区间(－∞，6)应在直线x ＝－2a 的左侧，∴－2a ≥6，解得a ≤－3，故选D.题组三易错自纠4．幂函数f (x )＝21023a a x －＋(a ∈Z )为偶函数，且f (x )在区间(0，＋∞)上是减函数，则a 等于()A ．3B ．4C ．5D ．6答案C解析因为a 2－10a ＋23＝(a －5)2－2，f (x )＝2(5)2a x－－(a ∈Z )为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是减函数，所以(a －5)2－2<0，从而a ＝4,5,6，又(a －5)2－2为偶数，所以只能是a ＝5，故选C.5．已知函数y ＝2x 2－6x ＋3，x ∈[－1,1]，则y 的最小值是______．答案－1解析函数y ＝2x 2－6x ＋3的图象的对称轴为x ＝32>1，∴函数y ＝2x 2－6x ＋3在[－1,1]上单调递减，∴y min ＝2－6＋3＝－1.6．设二次函数f (x )＝x 2－x ＋a (a >0)，若f (m )<0，则f (m －1)________0.(填“>”“<”或“＝”)答案>解析f (x )＝x 2－x ＋a 图象的对称轴为直线x ＝12，且f (1)>0，f (0)>0，而f (m )<0，∴m ∈(0,1)，∴m －1<0，∴f (m －1)>0.题型一幂函数的图象和性质1．若幂函数的图象经过点2，14()A ．(0，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．(－∞，＋∞)D ．(－∞，0)答案D解析设f (x )＝x α，则2α＝14，α＝－2，即f (x )＝x －2，它是偶函数，单调递增区间是(－∞，0)．故选D.2.若四个幂函数y ＝x a ，y ＝x b ，y ＝x c ，y ＝x d 在同一坐标系中的图象如图所示，则a ，b ，c ，d 的大小关系是()A ．d >c >b >aB ．a >b >c >dC ．d >c >a >bD ．a >b >d >c 答案B解析由幂函数的图象可知，在(0,1)上幂函数的指数越大，函数图象越接近x 轴，由题图知a >b >c >d ，故选B.3．已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)23n nx －(n ∈Z )的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为()A ．－3B ．1C ．2D ．1或2答案B 解析由于f (x )为幂函数，所以n 2＋2n －2＝1，解得n ＝1或n ＝－3，经检验只有n ＝1符合题意，故选B.4．(2018·潍坊模拟)若(a ＋1)13－<(3－2a )13－，则实数a 的取值范围是____________．答案(－∞，－1)∪23，32解析不等式(a ＋1)13－<(3－2a )13－等价于a ＋1>3－2a >0或3－2a <a ＋1<0或a ＋1<0<3－2a ，解得a <－1或23<a <32.思维升华(1)幂函数的形式是y ＝x α(α∈R )，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．(2)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x 轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x 轴．(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．题型二求二次函数的解析式例1(1)已知二次函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (0)＝3，对∀x ∈R ，都有f (1＋x )＝f (1－x )成立，则f (x )的解析式为________________．答案f (x )＝x 2－2x ＋3解析由f (0)＝3，得c ＝3，又f (1＋x )＝f (1－x )，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴b2＝1，∴b ＝2，∴f (x )＝x 2－2x ＋3.(2)已知二次函数f (x )与x 轴的两个交点坐标为(0,0)和(－2,0)且有最小值－1，则f (x )＝________.答案x 2＋2x解析设函数的解析式为f (x )＝ax (x ＋2)(a ≠0)，所以f (x )＝ax 2＋2ax ，由4a ×0－4a 24a＝－1，得a ＝1，所以f (x )＝x 2＋2x .思维升华求二次函数解析式的方法跟踪训练1(1)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R ，a ≠0)，x ∈R ，若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，则f (x )＝________.答案x 2＋2x ＋1解析设函数f (x )的解析式为f (x )＝a (x ＋1)2＝ax 2＋2ax ＋a (a ≠0)，又f (x )＝ax 2＋bx ＋1，所以a ＝1，故f (x )＝x 2＋2x ＋1.(2)已知二次函数f (x )的图象经过点(4,3)，它在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，则f (x )＝________.答案x 2－4x ＋3解析因为f (2－x )＝f (2＋x )对任意x ∈R 恒成立，所以f (x )图象的对称轴为直线x ＝2.又因为f (x )的图象被x 轴截得的线段长为2，所以f (x )＝0的两根为1和3.设f (x )的解析式为f (x )＝a (x －1)(x －3)(a ≠0)，又f (x )的图象过点(4,3)，所以3a ＝3，即a ＝1，所以f (x )的解析式为f (x )＝(x －1)(x －3)，即f (x )＝x 2－4x ＋3.题型三二次函数的图象和性质命题点1二次函数的图象例2(2018·重庆五中模拟)一次函数y ＝ax ＋b (a ≠0)与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一坐标系中的图象大致是()答案C解析若a >0，则一次函数y ＝ax ＋b 为增函数，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向上，故可排除A ；若a <0，一次函数y ＝ax ＋b 为减函数，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向下，故可排除D ；对于选项B ，看直线可知a >0，b >0，从而－b2a<0，而二次函数的对称轴在y 轴的右侧，故应排除B ，选C.命题点2二次函数的单调性例3函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a 的取值范围是()A ．[－3,0)B ．(－∞，－3]C ．[－2,0]D ．[－3,0]答案D解析当a ＝0时，f (x )＝－3x ＋1在[－1，＋∞)上单调递减，满足题意．当a ≠0时，f (x )的对称轴为x ＝3－a2a，由f (x )在[－1，＋∞)－1，解得－3≤a <0.综上，a 的取值范围为[－3,0]．引申探究若函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1的单调减区间是[－1，＋∞)，则a ＝________.答案－3解析由题意知f (x )必为二次函数且a <0，又3－a 2a ＝－1，∴a ＝－3.命题点3二次函数的最值例4已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－1,2]上有最大值4，求实数a 的值．解f (x )＝a (x ＋1)2＋1－a .(1)当a ＝0时，函数f (x )在区间[－1,2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；(2)当a >0时，函数f (x )在区间[－1,2]上是增函数，最大值为f (2)＝8a ＋1＝4，解得a ＝38(3)当a <0时，函数f (x )在区间[－1,2]上是减函数，最大值为f (－1)＝1－a ＝4，解得a ＝－3.综上可知，a 的值为38或－3.引申探究将本例改为：求函数f (x )＝x 2＋2ax ＋1在区间[－1,2]上的最大值．解f (x )＝(x ＋a )2＋1－a 2，∴f (x )的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x ＝－a .(1)当－a <12即a >－12时，f (x )max ＝f (2)＝4a ＋5，(2)当－a ≥12即a ≤－12时，f (x )max ＝f (－1)＝2－2a ，综上，f (x )maxa ＋5，a >－12，－2a ，a ≤－12.命题点4二次函数中的恒成立问题例5(1)已知二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1，若不等式f (x )>2x ＋m 在区间[－1,1]上恒成立，则实数m 的取值范围为____________．答案(－∞，－1)解析设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝1，得c ＝1，又f (x ＋1)－f (x )＝2x ，得2ax ＋a ＋b＝2x ，所以a ＝1，b ＝－1，所以f (x )＝x 2－x ＋1.f (x )>2x ＋m 在区间[－1,1]上恒成立，即x 2－3x ＋1－m >0在[－1,1]上恒成立，令g (x )＝x 2－3x ＋1－m －54－m ，x ∈[－1,1]，g (x )在[－1,1]上单调递减，所以g (x )min ＝g (1)＝1－3＋1－m >0，所以m <－1.(2)函数f (x )＝a 2x ＋3a x －2(a >1)，若在区间[－1,1]上f (x )≤8恒成立，则a 的最大值为________．答案2解析令a x ＝t ，因为a >1，x ∈[－1,1]，所以1a≤t ≤a ，原函数化为g (t )＝t 2＋3t －2，t ∈1a ，a ，显然g (t )在1a ，a上单调递增，所以f (x )≤8恒成立，即g (t )max ＝g (a )≤8恒成立，所以有a 2＋3a －2≤8，解得－5≤a ≤2，又a >1，所以a 的最大值为2.思维升华解决二次函数图象与性质问题时要注意：(1)抛物线的开口，对称轴位置，定义区间三者相互制约，要注意分类讨论；(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)．(3)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．两种思路都是将问题归结为求函数的最值或值域．跟踪训练2(1)函数y ＝x 2＋bx ＋c (x ∈[0，＋∞))是单调函数的充要条件是()A ．b ≥0B ．b ≤0C ．b >0D ．b <0答案A解析∵函数y ＝x 2＋bx ＋c (x ∈[0，＋∞))是单调函数，∴图象的对称轴x ＝－b2在区间[0，＋∞)的左边或－b 2＝0，即－b2≤0，得b ≥0.(2)已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋2a ＋4的定义域为R ，值域为[1，＋∞)，则a 的值为________．答案－1或3解析由于函数f (x )的值域为[1，＋∞)，所以f (x )min ＝1.又f (x )＝(x －a )2－a 2＋2a ＋4，当x ∈R 时，f (x )min ＝f (a )＝－a 2＋2a ＋4＝1，即a 2－2a －3＝0，解得a ＝3或a ＝－1.(3)设函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，对于满足1<x <4的一切x 值都有f (x )>0，则实数a 的取值范围为________．答案解析由题意得a >2x －2x2对1<x <4恒成立，又2x －2x 2＝－＋12，14<1x <1，＝12，∴a >12.数形结合思想和分类讨论思想在二次函数中的应用研究二次函数的性质，可以结合图象进行；对于含参数的二次函数问题，要明确参数对图象的影响，进行分类讨论．例设函数f (x )＝x 2－2x ＋2，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，求函数f (x )的最小值．解f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，函数图象的对称轴为x ＝1.当t ＋1≤1，即t ≤0时，函数图象如图(1)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为减函数，所以最小值为f (t ＋1)＝t 2＋1；当t <1<t ＋1，即0<t <1时，函数图象如图(2)所示，在对称轴x ＝1处取得最小值，最小值为f (1)＝1；当t ≥1时，函数图象如图(3)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为增函数，所以最小值为f (t )＝t 2－2t ＋2.综上可知，f (x )min ＋1，t ≤0，，0<t <1，－2t ＋2，t ≥1.1．幂函数y ＝f (x )经过点(3，3)，则f (x )是()A ．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数B ．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数C ．奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数D ．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数答案D解析设幂函数的解析式为y ＝x α，将(3，3)代入解析式得3α＝3，解得α＝12，∴y ＝12x ，故选D.2.幂函数y ＝24m mx－(m ∈Z )的图象如图所示，则m 的值为()A ．0B ．1C ．2D ．3答案C 解析∵y ＝24m mx－(m ∈Z )的图象与坐标轴没有交点，∴m 2－4m <0，即0<m <4.又∵函数的图象关于y 轴对称且m ∈Z ，∴m 2－4m 为偶数，∴m ＝2.3．若幂函数f (x )＝(m 2－4m ＋4)·268m m x －＋在(0，＋∞)上为增函数，则m 的值为()A ．1或3B ．1C ．3D ．2答案B解析由题意得m 2－4m ＋4＝1，m 2－6m ＋8>0，解得m ＝1.4．已知函数f (x )＝ax 2＋x ＋5的图象在x 轴上方，则a 的取值范围是()－120，答案C解析>0，<0，>0，－20a <0，得a >120.5．已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (0)＝f (4)>f (1)，则()A ．a >0,4a ＋b ＝0B ．a <0,4a ＋b ＝0C ．a >0,2a ＋b ＝0D ．a <0,2a ＋b ＝0答案A解析由f (0)＝f (4)，得f (x )＝ax 2＋bx ＋c 图象的对称轴为x ＝－b2a＝2，∴4a ＋b ＝0，又f (0)>f (1)，f (4)>f (1)，∴f (x )先减后增，于是a >0，故选A.6．已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a ，x ∈[0,1]有最大值2，则a 等于()A ．2B ．0C ．0或－1D ．2或－1答案D 解析函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a ＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1，其图象的对称轴方程为x ＝a .当a <0时，f (x )max ＝f (0)＝1－a ，所以1－a ＝2，所以a ＝－1；当0≤a ≤1时，f (x )max ＝f (a )＝a 2－a ＋1，所以a 2－a ＋1＝2，所以a 2－a －1＝0，所以a ＝1±52(舍去)；当a >1时，f (x )max ＝f (1)＝a ，所以a ＝2.综上可知，a ＝－1或a ＝2.7．已知f (x )＝x 2，g (x )＝12x ，h (x )＝x －2，当0<x <1时，f (x )，g (x )，h (x )的大小关系是________________．答案h (x )>g (x )>f (x )解析分别作出f (x )，g (x )，h (x )的图象如图所示，可知h (x )>g (x )>f (x )．8．已知二次函数y ＝f (x )－32，f (x )＝0的两个实根之差的绝对值等于7，则此二次函数的解析式是________________．答案f (x )＝－4x 2－12x ＋40解析设f (x )＝＋49(a ≠0)，方程＋49＝0的两个实根分别为x 1，x 2，则|x 1－x 2|＝2－49a＝7，所以a ＝－4，所以f (x )＝－4x 2－12x ＋40.9．已知函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5f (2)的取值范围是______________．答案[7，＋∞)解析函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5(抛物线)开口向上，所以其对称轴x ＝a －12或与直线x ＝12重合或位于直线x ＝12的左侧，即应有a －12≤12，解得a ≤2，所以f (2)＝4－(a －1)×2＋5≥7，即f (2)≥7.10．设函数f (x )＝－2x 2＋4x 在区间[m ，n ]上的值域是[－6，2]，则m ＋n 的取值范围是______________．答案[0,4]解析令f (x )＝－6，得x ＝－1或x ＝3；令f (x )＝2，得x ＝1.又f (x )在[－1,1]上单调递增，在[1,3]上单调递减，∴当m ＝－1，n ＝1时，m ＋n 取得最小值0；当m ＝1，n ＝3时，m ＋n 取得最大值4.11．(2018·河南南阳一中月考)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是____________．答案－22，解析因为函数图象开口向上，所以根据题意只需满足m )＝m 2＋m 2－1<0，m ＋1)＝(m ＋1)2＋m (m ＋1)－1<0，解得－22<m <0.12．已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3.(1)当a ＝2，x ∈[－2,3]时，求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )在[－1,3]上的最大值为1，求实数a 的值．解(1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋3x －3，x ∈[－2,3]，函数图象的对称轴为x ＝－32[－2,3]，∴f (x )min ＝＝94－92－3＝－214，f (x )max ＝f (3)＝15，∴f (x )的值域为－214，15.(2)函数图象的对称轴为直线x ＝－2a －12.①当－2a －12≤1，即a ≥－12时，f (x )max ＝f (3)＝6a ＋3，∴6a ＋3＝1，即a ＝－13，满足题意；②当－2a －12>1，即a <－12时，f (x )max ＝f (－1)＝－2a －1，∴－2a －1＝1，即a ＝－1，满足题意．综上可知，a ＝－13或－1.13.如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)图象的一部分，图象过点A (－3,0)，对称轴为x ＝－1.给出下面四个结论：①b 2>4ac ；②2a －b ＝1；③a －b ＋c ＝0；④5a 0，即b 2>4ac ，①正确；对称轴为x ＝－1，即－b 2a ＝－1,2a －b ＝0，②错误；结合图象，当x ＝－1时，y >0，即a －b ＋c >0，③错误；由对称轴为x ＝－1知，b ＝2a .又函数图象开口向下，所以a <0，所以5a <2a ，即5a <b ，④正确．14．当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围是________．答案(－∞，－5]解析方法一∵不等式x 2＋mx ＋4<0对x ∈(1,2)恒成立，∴mx <－x 2－4对x ∈(1,2)恒成立，即m <x ∈(1,2)恒成立，令y ＝x ＋4x ，x ∈(1,2)，则函数y ＝x ＋4x在x ∈(1,2)上是减函数．∴4<y <5，∴－5<－4，∴m ≤－5.方法二设f (x )＝x 2＋mx ＋4，当x ∈(1,2)时，由f(x)<01)≤0，2)≤0，≤－5，≤－4，即m≤－5.15．若函数φ(x)＝x2＋m|x－1|在[0，＋∞)上单调递增，求实数m的取值范围．解当0≤x<1时，φ(x)＝x2－mx＋m，此时φ(x)单调递增，则m2≤0，即m≤0；当x≥1时，φ(x)＝x2＋mx－m，此时φ(x)单调递增，则－m2≤1，即m≥－2.综上，实数m的取值范围是[－2,0]．16．是否存在实数a∈[－2,1]，使函数f(x)＝x2－2ax＋a的定义域为[－1,1]时，值域为[－2,2]？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由．解f(x)＝(x－a)2＋a－a2，当－2≤a<－1时，f(x)在[－1,1]上为增函数，∴－1)＝－2，1)＝2，得a＝－1(舍去)；当－1≤a≤0a)＝－2，1)＝2，得a＝－1；当0<a≤1a)＝－2，－1)＝2，得a不存在；综上可得，存在实数a满足题目条件，a＝－1.。

高考数学一轮复习讲义第2章第3节二次函数与幂函数

第三节二次函数与幂函数1.了解幂函数的概念;结合函数y ＝x ,y ＝x 2,y ＝x 3,y ＝1x ,y ＝x 12的图象,了解它们的变化情况． 2.理解二次函数的图象和性质,能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题. 突破点一幂函数[基本知识]1．幂函数的定义形如y ＝x α(α∈R)的函数称为幂函数,其中x 是自变量,α为常数．对于幂函数,只讨论α＝1,2,3,12,－1时的情形．2．五种幂函数的图象3．五种幂函数的性质函数性质 y ＝x y ＝x 2 y ＝x 3 y ＝x 12y ＝x －1 定义域 R R R [0,＋∞) (－∞,0)∪(0,＋∞) 值域 R [0,＋∞) R [0,＋∞) (－∞,0)∪(0,＋∞)奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x ∈[0,＋∞)时,增;x ∈(－∞,0]时,减增增x ∈(0,＋∞)时,减;x ∈(－∞,0)时,减一、判断题(对的打“√”,错的打“×”)(1)函数f (x )＝x 2与函数f (x )＝2x 2都是幂函数．( ) (2)幂函数的图象一定经过点(1,1)和点(0,0)．( ) (3)当n >0时,幂函数y ＝x n 在(0,＋∞)上是增函数．( ) 答案:(1)× (2)× (3)√二、填空题1．(2019·贵阳监测)已知幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫133,则f ⎝⎛⎭⎫12＝________. 解析:设幂函数的解析式为f (x )＝x α,将⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫133代入解析式得3－α＝3,解得α＝－12,∴f (x )＝x-12,f ⎝⎛⎭⎫12＝ 2. 答案: 22．设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－11213,则使f (x )＝x α为奇函数且在(0,＋∞)上单调递减的α的值是________．解析:因为f (x )＝x α为奇函数,所以α＝－1,1,3. 又因为f (x )在(0,＋∞)上为减函数,所以α＝－1. 答案:－1 3．若y ＝ax12-2a 是幂函数,则该函数的值域是________．解析:由y ＝ax 12-2a 是幂函数,得a ＝1,所以y ＝x 12,所以y ≥0,故该函数的值域为[0,＋∞)答案:[0,＋∞)[典例感悟]1．与函数y ＝x 12－1的图象关于x 轴对称的图象大致是( )解析:选B y ＝x 12的图象位于第一象限且为增函数,所以函数图象是上升的,函数y ＝x12－1的图象可看作由y ＝x 12的图象向下平移一个单位得到的(如选项A 中的图象所示),将y ＝x 12－1的图象关于x 轴对称后即为选项B.2．已知a ＝345,b ＝425,c ＝1215,则a ,b ,c 的大小关系为( ) A ．b <a <cB ．a b >c ,故选C.3．(2019·河北保定调考)幂函数f (x )＝(m 2－4m ＋4)·x 2-6+8m m 在(0,＋∞)上为增函数,则m的值为( )A ．1或3B ．1C ．3D ．2解析:选B 由题知⎩⎪⎨⎪⎧m 2－4m ＋4＝1m 2－6m ＋8>0解得m ＝1,故选B.[方法技巧]幂函数图象与性质的应用(1)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性;(2)在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数,借助其单调性进行比较,准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．[针对训练]1．若a ＝⎝⎛⎭⎫1223,b ＝⎝⎛⎭⎫1523,c ＝⎝⎛⎭⎫1223,则a ,b ,c 的大小关系是( ) A ．a 0)是增函数,∴a ＝⎝⎛⎭⎫1223>b ＝⎝⎛⎭⎫1523.∵y ＝⎝⎛⎭⎫12x 是减函数 ,∴a ＝⎝⎛⎭⎫1223<c ＝⎝⎛⎭⎫1223,∴b <a <c . 2．若(2m ＋1)12>(m 2＋m －1)12,则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤－∞－5－12 B.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫5－12＋∞ C ．(－1,2)D.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫5－122 解析:选D 因为函数y ＝x 12的定义域为[0,＋∞), 且在定义域内为增函数,所以不等式等价于⎩⎨⎧2m ＋1≥0m 2＋m －1≥02m ＋1>m 2＋m －1.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－12m ≤－5－12或m ≥5－12－1<m <2即5－12≤m <2.故选D. 突破点二二次函数[基本知识]1．二次函数解析式的三种形式一般式f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0),图象的对称轴是x ＝－b2a ,顶点坐标是⎝⎛⎭⎪⎫－b 2a4ac －b 24a顶点式f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0),图象的对称轴是x ＝m ,顶点坐标是(m ,n )零点式f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0),其中x 1,x 2是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根,图象的对称轴是x ＝x 1＋x 22a >0a <0图象定义域 R值域 ⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫4ac －b 24a ＋∞ ⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤－∞4ac －b 24a 奇偶性b ＝0时为偶函数,b ≠0时既不是奇函数也不是偶函数单调性在⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤－∞－b 2a 上单调递减,在[ －b2a ,＋∞ )上单调递增在⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤－∞－b 2a 上单调递增,在[ －b2a,＋∞ )上单调递减最值当x ＝－b2a 时,y min ＝4ac －b 24a当x ＝－b2a 时,y max ＝4ac －b 24a一、判断题(对的打“√”,错的打“×”)(1)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ,x ∈R,不可能是偶函数．( ) (2)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ,x ∈[a ,b ]的最值一定是4ac －b 24a.( )(3)在y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中,a 决定了图象的开口方向和在同一坐标系中的开口大小．( )答案:(1)× (2)× (3)√ 二、填空题1．已知抛物线y ＝8x 2－(m ＋1)x ＋m －7的顶点在x 轴上,则m ＝________. 解析:∵抛物线y ＝8x 2－(m ＋1)x ＋m －7的顶点在x 轴上, ∴其顶点的纵坐标4×8×(m －7)－(m ＋1)24×8＝0,即m 2－30m ＋225＝0,∴(m －15)2＝0,∴m ＝15. 答案:152．若f (x )＝x 2＋(a ＋2)x ＋3,x ∈[a ,b ]的图象关于x ＝1对称,则b ＝________.解析:若f (x )＝x 2＋(a ＋2)x ＋3,x ∈[a ,b ]的图象关于x ＝1对称,则a ＋b ＝2,－a ＋22＝1.∴a＝－4,b ＝2－a ＝6.答案:63．函数f (x )＝2x 2－6x ＋1在区间[－1,1]上的最小值是________,最大值是________．解析:∵f (x )＝2⎝⎛⎭⎫x －322－72在[－1,1]上为减函数,∴当x ＝1时,f (x )min ＝－3;当x ＝－1时,f (x )max ＝9.答案:－3 9[全析考法]考法一求二次函数的解析式[例1] 已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1,f (－1)＝－1,且f (x )的最大值是8,试确定此二次函数的解析式．[解] 法一(利用一般式): 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由题意得⎩⎨⎧4a ＋2b ＋c ＝－1a －b ＋c ＝－14ac －b 24a ＝8解得⎩⎨⎧a ＝－4b ＝4c ＝7.∴所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.法二(利用顶点式): 设f (x )＝a (x －m )2＋n . ∵f (2)＝f (－1),∴抛物线的对称轴为x ＝2＋(－1)2＝12,∴m ＝12.又根据题意,函数有最大值8,∴n ＝8, ∴f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －122＋8. ∵f (2)＝－1,∴a ⎝⎛⎭⎫2－122＋8＝－1,解得a ＝－4, ∴f (x )＝－4⎝⎛⎭⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7. 法三(利用零点式):由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2,x 2＝－1, 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1), 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1. 又函数有最大值y max ＝8, 即4a (－2a －1)－a 24a ＝8.解得a ＝－4或a ＝0(舍)．∴所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. [方法技巧] 求二次函数解析式的方法根据已知条件确定二次函数解析式,一般用待定系数法,选择规律如下:考法二二次函数的图象与性质二次函数图象与性质在高考中单独考查的频率较低,与一元二次方程、一元二次不等式等知识交汇命题是高考的热点,多以选择题、填空题的形式出现,考查二次函数的图象与性质的应用．考向一二次函数的图象识别 [例2] (2019·甘肃武威模拟)如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分,图象过点A (－3,0),对称轴为直线x＝－1.给出下面四个结论:①b2>4ac;②2a－b＝1;③a－b＋c＝0;④5a<b.其中正确的结论是()A．②④B．①④C．②③D．①③[解析]∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于两点,∴b2－4ac>0,即b2>4ac,①正确;二次函数的图象的对称轴为直线x＝－1,即－b2a＝－1,2a－b＝0,②错误;结合图象知,当x ＝－1时,y>0,即a－b＋c>0,③错误;由对称轴为直线x＝－1知,b＝2a,又∵函数的图象开口向下,∴a<0,∴5a<2a,即5a<b,④正确．故选B.[答案] B[方法技巧]识别二次函数图象应学会“三看”考向二二次函数的性质应用[例3](1)(2018·河南南阳二模)若函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)对任意实数x都有f(2＋x)＝f(2－x),则()A．f(2)<f(1)<f(4) B．f(1)<f(2)<f(4)C．f(2)<f(4)<f(1) D．f(4)<f(2)<f(1)(2)(2019·齐齐哈尔八中月考)“a＝1”是“函数f(x)＝x2－4ax＋3在区间[2,＋∞)上为增函数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[解析](1)∵函数f(x)＝ax2＋bx＋c对任意实数x都有f(2＋x)＝f(2－x),∴函数图象关于x＝2对称,由a>0知f(x)min＝f(2),由2－1<4－2,得f(1)<f(4),故选A.(2)由a＝1可得f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1,图象开口向上,图象的对称轴为直线x＝2,所以f(x)在区间[2,＋∞)上为增函数．由函数f(x)＝x2－4ax＋3在区间[2,＋∞)上为增函数,可得2a≤2,解得a≤1.所以“a＝1”是“函数f(x)＝x2－4ax＋3在区间[2,＋∞)上为增函数”的充分不必要条件,故选A.[答案] (1)A (2)A [方法技巧]解决二次函数图象与性质问题的2个注意点(1)抛物线的开口、对称轴位置、定义区间三者相互制约,常见的题型中这三者有两定一不定,要注意分类讨论;(2)要注意数形结合思想的应用,尤其是结合二次函数在该区间上的单调性或图象求解．考向三二次函数的最值问题 [例4] 已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3. (1)当a ＝2,x ∈[－2,3]时,求函数f (x )的值域;(2)若函数f (x )在[1,3]上的最大值为1,求实数a 的值． [解] (1)当a ＝2时,f (x )＝x 2＋3x －3＝⎝⎛⎭⎫x ＋322－214, 又x ∈[－2,3],所以f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫－32＝－214, f (x )max ＝f (3)＝15,所以所求函数的值域为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－21415.(2)对称轴为x ＝－2a －12. ①当－2a －12≤1,即a ≥－12时,f (x )max ＝f (3)＝6a ＋3, 所以6a ＋3＝1,即a ＝－13,满足题意;②当－2a －12≥3,即a ≤－52时,f (x )max ＝f (1)＝2a －3, 所以2a －3＝1,即a ＝2,不满足题意; ③当1<－2a －12<3,即－52<a <－12时, 此时f (x )max 在端点处取得,令f (1)＝1＋2a －1－3＝1,得a ＝2(舍去), 令f (3)＝9＋3(2a －1)－3＝1,得a ＝－13(舍去)．综上,可知a ＝－13.[方法技巧]求二次函数在给定区间上最值的方法二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (不妨设a >0)在区间[m ,n ]上的最大或最小值如下: (1)当－b2a∈[m ,n ],即对称轴在所给区间内时: f (x )的最小值在对称轴处取得,其最小值是f ⎝⎛⎭⎫－b 2a ＝4ac －b 24a ;若－b 2a ≤m ＋n2,f (x )的最大值为f (n );若－b 2a ≥m ＋n2,f (x )的最大值为f (m )．(2)当－b2a∉[m ,n ],即给定的区间在对称轴的一侧时: f (x )在[m ,n ]上是单调函数．若－b2a<m ,f (x )在[m ,n ]上是增函数,f (x )的最小值是f (m ),最大值是f (n );若n <－b2a,f (x )在[m ,n ]上是减函数,f (x )的最小值是f (n ),最大值是f (m )．(3)当不能确定对称轴－b2a是否属于区间[m ,n ]时:则需分类讨论,以对称轴与区间的关系确定讨论的标准,然后转化为上述(1)(2)两种情形求最值．[集训冲关]1.[考法一]二次函数f (x )的图象经过两点(0,3),(2,3),且函数的最大值是5,则该函数的解析式是( )A ．f (x )＝2x 2－8x ＋11B ．f (x )＝－2x 2＋8x －1C ．f (x )＝2x 2－4x ＋3D ．f (x )＝－2x 2＋4x ＋3解析:选D 二次函数f (x )的图象经过两点(0,3),(2,3),则图象的对称轴为x ＝1, 又由函数的最大值是5,可设f (x )＝a (x －1)2＋5(a ≠0),于是3＝a ＋5,解得a ＝－2, 故f (x )＝－2(x －1)2＋5＝－2x 2＋4x ＋3.故选D.2.[考法二·考向一]设abc >0,二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )解析:选D 当a <0时,b ,c 异号,排除A 、B 两项;当a >0时,b ,c 同号,排除C 项;D 项中,由图象知a >0,c <0,－b2a>0,故b <0,符合题意． 3.[考法二·考向二]已知函数f (x )＝2ax 2－ax ＋1(a <0),若x 1<x 2,x 1＋x 2＝0,则f (x 1)与f (x 2)的大小关系是( )A ．f (x 1)＝f (x 2)B ．f (x 1)>f (x 2)C ．f (x 1)<f (x 2)D ．与x 的值无关解析:选C 由题知二次函数f (x )的图象开口向下,图象的对称轴方程为x ＝14,因为x 1＋x 2＝0,所以直线x ＝x 1,x ＝x 2关于直线x ＝0对称, 由x 1<x 2,结合二次函数的图象可知f (x 1)<f (x 2)．4.[考法二·考向三]函数y ＝－x 2－2ax (0≤x ≤1)的最大值是a 2,则实数a 的取值范围是( )A ．[0,1]B ．[0,2]C ．[－2,0]D ．[－1,0]解析:选D y ＝－x 2－2ax ＝－(x ＋a )2＋a 2. ∵函数在[0,1]上的最大值是a 2, ∴0≤－a ≤1,即－1≤a ≤0.[课时跟踪检测][A 级基础题——基稳才能楼高]1．(2019·绵阳模拟)幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)x m 的图象过点(2,4),则m ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1D ．2解析:选D ∵幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)x m 的图象过点(2,4),∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＋3＝12m ＝4解得m ＝2.故选D.2．若函数f (x )＝x 2－2x ＋m 在[3,＋∞)上的最小值为1,则实数m 的值为( ) A ．－3 B ．2 C ．－2D ．1解析:选C 函数f (x )＝x 2－2x ＋m 图象的对称轴为x ＝1<3,二次函数图象的开口向上,所以f (x )在[3,＋∞)上是增函数,因为函数f (x )＝x 2－2x ＋m 在[3,＋∞)上的最小值为1,所以f (3)＝1,即9－6＋m ＝1,解得m ＝－2,故选C.3．(2019·江西赣州厚德外国语学校阶段测试)幂函数y ＝f (x )的图象经过点(3,33),则f (x )是( )A ．偶函数,且在(0,＋∞)上是增函数B ．偶函数,且在(0,＋∞)上是减函数C ．奇函数,且在(0,＋∞)上是增函数D ．非奇非偶函数,且在(0,＋∞)上是减函数解析:选C 设f (x )＝x a,将点(3,33)代入f (x )＝x a,解得a ＝13,所以f (x )＝x 13,可知函数f (x )是奇函数,且在(0,＋∞)上是增函数,故选C.4．(2019·许昌四校联考)设a ,b 满足0<a a b ,D 错误;A 中,指数函数y ＝a x (0<a <1)为减函数,因为a a b ,所以A 错误;B 中,指数函数y ＝b x (0b b ,所以B 错误．故选C. 5．(2019·重庆三校联考)已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋1的图象的对称轴方程是x ＝1,并且过点P (－1,7),则a ,b 的值分别是( )A ．2,4B ．－2,4C ．2,－4D ．－2,－4 解析:选C ∵y ＝ax 2＋bx ＋1的图象的对称轴方程是x ＝1, ∴－b2a＝1. ① 又图象过点P (－1,7),∴a －b ＋1＝7,即a －b ＝6, ② 联立①②解得a ＝2,b ＝－4,故选C.6．(2019·甘肃天水六校联考)若函数f (x )＝x 2－3x －4的定义域为[0,m ],值域为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－254－4,则m 的取值范围是( )A ．(0,4]B.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤324C.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤323 D.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫32＋∞ 解析:选C f (x )＝x 2－3x －4＝⎝⎛⎭⎫x －322－254,所以f ⎝⎛⎭⎫32＝－254.又f (0)＝－4,所以由二次函数的图象可知,m 的最小值为32,最大值为3,所以m 的取值范围是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤323,故选C.[B 级保分题——准做快做达标]1．(2019·衡水武邑中学开学考试)若存在非零的实数a ,使得f (x )＝f (a －x )对定义域上任意的x 恒成立,则函数f (x )可能是( )A ．f (x )＝x 2－2x ＋1B ．f (x )＝x 2－1C ．f (x )＝2xD ．f (x )＝2x ＋1解析:选A 由存在非零的实数a ,使得f (x )＝f (a －x )对定义域上任意的x 恒成立,可得函数图象的对称轴为x ＝a2≠0,只有f (x )＝x 2－2x ＋1满足题意,而f (x )＝x 2－1,f (x )＝2x ,f (x )＝2x＋1都不满足题意,故选A.2．(2019·安徽名校联考)幂函数y ＝x |m －1|与y ＝x 3m －m 2(m ∈Z)在(0,＋∞)上都是增函数,则满足条件的整数m 的值为( )A ．0B ．1和2C ．2D ．0和3解析:选C 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧|m －1|>03m －m 2>0m ∈Z解得m ＝2,故选C.3．(2019·浙江名校协作体考试)y ＝2ax 2＋4x ＋a －1的值域为[0,＋∞),则a 的取值范围是( )A ．(2,＋∞)B ．(－∞,－1)∪(2,＋∞)C ．[－1,2]D ．[0,2]解析:选D 当a ＝0时,y ＝4x －1,值域为[0,＋∞),满足条件;当a ≠0时,要使y ＝2ax 2＋4x ＋a －1的值域为[0,＋∞),只需⎩⎨⎧a >0Δ＝16－8a (a －1)≥0解得0<a ≤2.综上可知a 的取值范围为[0,2]．4．(2019·河南天一大联考)已知点(m,8)在幂函数f (x )＝(m －1)x n 的图象上,设a ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫⎝⎛⎭⎫1312,b ＝f (ln π),c ＝f (2-12),则a ,b ,c 的大小关系为( ) A ．a <c 1,c ＝f ⎝⎛⎭⎫2-12＝2-32＝122>a .故a ,b ,c 的大小关系是a <c 0时,f (x )＝(x －1)2,若当x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2－12时,n ≤f (x )≤m 恒成立,则m －n 的最小值为( )A.13B.12C.34D ．1解析:选D 当x <0时,－x >0,f (x )＝f (－x )＝(x ＋1)2,因为x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2－12,所以f (x )min ＝f (－1)＝0,f (x )max ＝f (－2)＝1,所以m ≥1,n ≤0,m －n ≥1.所以m －n 的最小值是1.6．(2019·湖北鄂东南联考)若幂函数y ＝x －1,y ＝x m 与y ＝x n 在第一象限内的图象如图所示,则m 与n 的取值情况为( )A ．－1<m <0<n <1B ．－1<n <0<mC ．－1<m <0<nD ．－1<n <0<m <1解析:选D 幂函数y ＝x α,当α>0时,y ＝x α在(0,＋∞)上为增函数,且0<α<1时,图象上凸,∴0<m <1;当α<0时,y ＝x α在(0,＋∞)上为减函数,不妨令x ＝2,根据图象可得2－1<2n ,∴－1<n <0,综上所述,选D.7．若(a ＋1) 12<(3－2a )12,则实数a 的取值范围是________．解析:易知函数y ＝x 12的定义域为[0,＋∞),在定义域内为增函数, 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥03－2a ≥0a ＋1<3－2a解得－1≤a <23.答案:⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫－1238．(2019·马鞍山月考)已知二次函数f (x )是偶函数,且f (4)＝4f (2)＝16,则函数f (x )的解析式为________．解析:由题意可设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0),则f (4)＝16a ＋c ＝16,4f (2)＝4(4a ＋c )＝16a ＋4c ＝16,所以a ＝1,c ＝0,故f (x )＝x 2.答案:f (x )＝x 29．(2019·泉州质检)若二次函数f (x )＝ax 2－x ＋b (a ≠0)的最小值为0,则a ＋4b 的取值范围为________．解析:由已知可得,a >0,且判别式Δ＝1－4ab ＝0,即ab ＝14,∴b >0,∴a ＋4b ≥24ab ＝2( 当且仅当a ＝1,b ＝14时等号成立 ),即a ＋4b 的取值范围为[2,＋∞)．答案:[2,＋∞)10．(2019·山西一模)已知函数f (x )＝x 2－m是定义在区间[－3－m ,m 2－m ]上的奇函数,则f (m )＝________.解析:由已知有－3－m ＋m 2－m ＝0, 即m 2－2m －3＝0, ∴m ＝3或m ＝－1;当m ＝3时,函数f (x )＝x －1,x ∈[－6,6], 而f (x )在x ＝0处无意义,故舍去．当m ＝－1时,函数f (x )＝x 3,此时x ∈[－2,2], ∴f (m )＝f (－1)＝(－1)3＝－1. 综上可得,f (m )＝－1. 答案:－111．(2019·成都诊断)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ,若x ∈[－2,2],f (x )≥0恒成立,求a 的取值范围．解:f (x )＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22－a24－a ＋3,令f (x )在[－2,2]上的最小值为g (a )． (1)当－a2<－2,即a >4时,g (a )＝f (－2)＝7－3a ≥0,∴a ≤73.又a >4,∴a 不存在．(2)当－2≤－a2≤2,即－4≤a ≤4时,g (a )＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝－a24－a ＋3≥0, ∴－6≤a ≤2.又－4≤a ≤4,∴－4≤a ≤2.(3)当－a2>2,即a <－4时,g (a )＝f (2)＝7＋a ≥0,∴a ≥－7.又a <－4,∴－7≤a <－4.综上可知,a 的取值范围为[－7,2]．12．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0,b ∈R,c ∈R)． (1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0,且c ＝1,F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )x >0－f (x )x <0求F (2)＋F (－2)的值;(2)若a ＝1,c ＝0,且|f (x )|≤1在区间(0,1]上恒成立,试求b 的取值范围．解:(1)由已知c ＝1,a －b ＋c ＝0,且－b2a＝－1, 解得a ＝1,b ＝2,∴f (x )＝(x ＋1)2,∴F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)2x >0－(x ＋1)2x <0.∴F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2－(－2＋1)2＝8.(2)由题可知,f (x )＝x 2＋bx ,原命题等价于－1≤x 2＋bx ≤1在(0,1]上恒成立, 即b ≤1x －x 且b ≥－1x －x 在(0,1]上恒成立．又1x －x 的最小值为0,－1x －x 的最大值为－2, ∴－2≤b ≤0,故b 的取值范围是[－2,0]．[C 级难度题——适情自主选做]1．(2019·衡水模拟)已知函数f (x )＝－10sin 2x －10sin x －12,x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π2m 的值域为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－122,则实数m 的取值范围是( )A.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π30 B.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π60 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3π6D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6π3解析:选B 由题意得f (x )＝－10⎝⎛⎭⎫sin 2x ＋sin x ＋14＋2,x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π2m ,令t ＝sin x ,则f (x )＝g (t )＝－10( t ＋12 )2＋2,令g (t )＝－12,得t ＝－1或t ＝0,由g (t )的图象,可知当－12≤t ≤0时,f (x )的值域为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－122,所以－π6≤m ≤0.故选B.2．若a >b >1,0<c <1,则( ) A ．a c b >1,0<c <1时,a c >b c ,选项A 不正确． ∵y ＝x α,α∈(－1,0)在(0,＋∞)上是减函数, ∴当a >b >1,0<c <1,即－1<c －1<0时, a c －1ba c ,选项B 不正确． ∵a >b >1,∴lg a >lg b >0,∴a lg a >b lg b >0, ∴a lg b >b lg a.又∵0<c <1,∴lg c <0. ∴a lg c lgb log b c ,选项D 不正确．3．已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在区间[0,1]上的最大值为2,则a 的值为( ) A ．2 B ．－1或－3 C ．2或－3D ．－1或2解析:选D 函数f (x )＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1图象的对称轴为x ＝a ,且开口向下,分三种情况讨论如下:①当a ≤0时,函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在区间[0,1]上是减函数, ∴f (x )max ＝f (0)＝1－a , 由1－a ＝2,得a ＝－1.②当0<a ≤1时,函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在区间[0,a ]上是增函数,在(a,1]上是减函数, ∴f (x )max ＝f (a )＝－a 2＋2a 2＋1－a ＝a 2－a ＋1, 由a 2－a ＋1＝2,解得a ＝1＋52或a ＝1－52, ∵0<a ≤1,∴两个值都不满足,舍去．③当a >1时,函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在区间[0,1]上是增函数, ∴f (x )max ＝f (1)＝－1＋2a ＋1－a ＝2,∴a ＝2. 综上可知,a ＝－1或a ＝2.4．(2019·上海长宁区一模)已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋1,如果使f (x )≤kx 对任意实数x ∈(1,m ]都成立的m 的最大值是5,则实数k ＝________.解析:设g (x )＝x 2＋(2－k )x ＋1,不等式g (x )≤0的解集为a ≤x ≤b .则Δ＝(2－k )2－4≥0,解得k ≥4或k ≤0.又因为函数f (x )＝x 2＋2x ＋1,且f (x )≤kx 对任意实数x ∈(1,m ]恒成立; 所以(1,m ]⊆[a ,b ],所以a ≤1,b ≥m , 所以g (1)＝4－k <0,解得k >4, m 的最大值为b ,所以有b ＝5.即x ＝5是方程g (x )＝0的一个根,代入x ＝5,解得k ＝365. 答案:365。

全国版高考数学一轮复习第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第3讲二次函数与幂函数课件理

方法技巧识别二次函数图象应学会“三看”
一看符号看二次项系数的符号,它的正负决定二次函数图象的开口方向.
二看对称轴看对称轴和最值,它们决定二次函数图象的具体位置.
三看特殊点
看函数图象上的一些特殊点,如函数图象与y轴的交点、与轴
的交点,函数图象的最高点或最低点等.
从“三看”入手,能准确判断出二次函数的图象.反之,也能从图象中得到如
调递增.
上单调递.
在(-∞,0)和
(0,+∞)
上单调递减.
图象
过定点
(0,0),(1,1)
(1,1)
考点2 幂函数
规律总结 (1)幂函数在(0,+∞)上都有定义,且图象过定点(1,1).
(2)当α>0时,幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+∞)上单调递增.当
α<0时,幂函数的图象都过点(1,1),且在(0,+∞)上单调递减.
考情解读
考点内容
课标
要求
考题取样
情境
载体
对应
考法
预测
热度
核心
素养
逻辑推理
1.二次函数
掌握
2017浙江,T5 探索创新考法1,2 ★★★ 数学运算
直观想象
2.幂函数
了解
2020江苏,T7 课程学习考法3
★☆☆
逻辑推理
直观想象
考情解读
本讲在高考中很少单独命题,常与其他函数、不等式、方程
命题分
等知识综合考查,命题热点为二次函数的图象和性质,对幂函数
单调性
考点1 二次函数
奇偶性
当b=0时为偶函数,当b≠0时为非奇非偶函数.
顶点

2020届高考数学一轮复习第二章函数的概念与基本初等函数2.3二次函数与幂函数课件

评析本题考查幂函数和对数函数的图象与单调性,考查分类讨论思想和逻辑推理能力.
5.(2013重庆,3,5分) (3 a)(a 6) (-6≤a≤3)的最大值为 ( ) A.9 B. 9
2
2
∵t0∈(4,5),∴ 3 t0 ∈(3.5,4),
2
∴选B.
2.(2011北京文,8,5分)已知点A(0,2),B(2,0).若点C在函数y=x2的图象上,则使得△ABC的面积为2 的点C的个数为 ( )
A.4 B.3 C.2 D.1
答案 A 解法一:易知A、B所在直线的方程是x+y-2=0. 设C到直线x+y-2=0的距离为d,
2
x2+y2的最小值为(0,0)到直线x+y-1=0的距离的平方,即
| 1| 12 12
= 1 ,又易知(x2+y2)max=1,∴x2+y2
2
∈
1 2
,1
.
考点二幂函数
(2012北京文,5,5分)函数f(x)=
x
1 2
-
1 2
x
的零点个数为
(
)
A.0 B.1 C.2 D.3
答案 B 图所示:
.
答案
1 2
,1
解析解法一:由题意知y=1-x,
∵y≥0,x≥0,∴0≤x≤1,
则x2+y2=x2+(1-x)2=2x2-2x+1=2
x
1 2
2
+
1 2
.
当x= 1 时,x2+y2取最小值,最小值为 1 ,
2
2
当x=0或x=1时,x2+y2取最大值,最大值为1,∴x2+y2∈

高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ2.4二次函数与幂函数课件理新人教A版

(1)α 的正负：当 α>0 时，图象经过点(0,0)和点(1,1)，在第一象限的部分“上升”；当 α<0 时，图象不过点(0,0)，经过点(1,1)，在第一象限的部分“下降”；
(2)曲线在第一象限的凹凸性：当 α>1 时曲线下凹；当 0<α<1 时曲线上凸，当 α<0 时曲线下凹；
(3)函数的奇偶性：一般先将函数式化为正指数幂或根式形式，再根据函数定义域和奇偶性定义判断其奇偶性．
解析：(1)作出二次函数 y＝f(x)的图象(图略)，由图可知，当 f(x1)＝f(x2)时，
点 P(x1，f(x1))，Q(x2，f(x2))关于直线 x＝x1＋ 2 x2对称．由 x1，x2 的任意性，可得函数 y＝f(x)的图象关于直线 x＝ x1＋ 2 x2对称． (2)由(1)可知，y＝f(x)的图象关于直线 x＝a 对称(a 为常数).
A．y＝14(x＋3)2
B．y＝－14(x－3) 2
C．y＝－14(x＋3) 2 D．y＝14(x－3) 2
解析：由题图可知，对应的两条曲线关于 y 轴对称，AE∥x 轴，AB＝4 cm，最低点 C 在 x 轴上，高 CH＝1 cm，BD＝2 cm，所以点 C 的纵坐标为 0，横坐标的绝对值为42＋22＝3，即 C(－ 3,0)．因为点 F 与点 C 关于 y 轴对称，所以 F(3,0)，因为点 F 是右轮廓线 DFE 所在的二次函数图象的顶点，所以设该二次函数为 y＝a(x－3) 2 (a>0)，将点 D(1,1)代入得，a＝14，即 y＝14(x－3) 2.
当 n＝1 时，函数 f(x)＝x－2 为偶函数，其图象关于 y 轴对称，且 f(x)在(0，＋∞)上是减函数，所以 n＝1 满足题意；

高考数学一轮总复习专题2 函数概念与基本初等函数 2.

(n≥2,n∈N*),若关于x的函数y=x2+nfn(x)- 230 n+10(n∈N*)在区间(-∞,-2]上
的最小值为-3,则n的值为
.
解析由题意知, fn+1(x)=fn(x)+1,所以fn(x)=[fn(x)-fn-1(x)]+[fn-1(x)-fn-2(x)]+…+
[f2(x)-f1(x)]+f1(x)=n-1+f1(x)=x+n,因此y=x2+nx+n2- 230 n+10(n∈N*).
例2 (2018福建六校联考,13)若幂函数y=(m2-3m+3)·x m2m2 的图象不经
过坐标原点,则实数m的值为
.
解析由题意得m2-3m+3=1,解得m=1或2.当m=1时,y=x-2,其图象不过原点,符合题意; 当m=2时,y=x0,其图象不过原点,符合题意,∴m=1或2. 答案 1或2
在(k1,k2)内有且仅有一个根
(其中两种情况)
f(k1)f(k2)<0 或Δ=0且-2b a ∈(k1,k2)
或 f (k1) 0,

或 k1

b 2a

k1
k2 2
f
(
k
2
)

0,
k1
k2 2

b 2a

k2
二、幂函数 1.幂函数的定义一般地,形如y=xα(α∈R)的函数称为幂函数,其中x为自变量,α为常数.
方法技巧
方法1 解决一元二次方程根的分布问题的方法
对于方程根分布的问题,一般结合二次函数的图象从四个方面分析: (1)开口方向;(2)对称轴位置;(3)判别式;(4)端点函数值.

高考数学一轮复习第二章函数的概念及其基本性质二次函数课件

是其核心．因此，利用二次函数的图象数形结合是探求这类问题的基本策略.
8 撬点·基础点重难点
撬法·命题法解题法
撬题·对点题必刷题
学霸团 ·撬分法 ·高考数学·理
1．思维辨析 (1)形如 y＝ax2＋bx＋c 的函数一定是二次函数．( × )
(2)二次函数 y＝ax2＋bx＋c，x∈R，不可能是偶函数．( × ) (3)二次函数 y＝ax2＋bx＋c，x∈[m，n]的最值一定是4ac4－a b2.( × )
学霸团 ·撬分法 ·高考数学·理
第二章函数的概念及其基本性质
1 撬点·基础点重难点
撬法·命题法解题法
撬题·对点题必刷题
学霸团 ·撬分法 ·高考数学·理
第4讲二次函数与幂函数
2 撬点·基础点重难点
撬法·命题法解题法
撬题·对点题必刷题
学霸团 ·撬分法 ·高考数学·理
3 撬点·基础点重难点
∴f(x)＝13x2＋1，x∈－23，23，
其值域为y1≤y≤2371
.
11 撬点·基础点重难点
撬法·命法解题法
撬题·对点题必刷题
学霸团 ·撬分法 ·高考数学·理
撬法·命题法解题法
12 撬点·基础点重难点
撬法·命题法解题法
撬题·对点题必刷题
学霸团 ·撬分法 ·高考数学·理
[考法综述] 高考中以考查二次函数的图象、单调性、最值为主，有二次不等式恒成立问题以及二次方程根的分布问题等．
13 撬点·基础点重难点
撬法·命题法解题法
撬题·对点题必刷题
学霸团 ·撬分法 ·高考数学·理
命题法二次函数的图象及性质的应用典例 (1)如图是二次函数 y＝ax2＋bx＋c 图象的一部分，图象过点 A(－3,0)，对称轴为 x＝－1.给出下面四个结论：①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a<b.

2025版高考数学一轮总复习第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第4讲幂函数与二次函数pptx课件

A．y＝x－1
1 B．y＝x－2
1 C．y＝x3
1 D．y＝x2
[解析] 选项A中函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，选项B中函数的定义域为(0，＋∞)，选项C中函数的定义域为R，选项D中函数的定义域为[0，＋∞)，故选C.
11
8．(2018·上海，7)已知 α∈－2，－1，－2，2，1，2，3.若幂函数
2
[解析] ∵f(x)的图象过点2， 2 ，
21
1
1
∴2α＝ 2 ＝2－2，∴α＝－2，∴f(x)＝x－2.
由 f(x)的图象可知，f(x)的减区间是(0，＋∞)．
3．(必修1P100T5改编)已知函数f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3是幂函数，且x∈(0，＋∞)时，f(x)单调递减，则m的值为( A )
m－3＝－3<0，符合题意，故m＝－1.故选A.
4．(必修1P53T2改编)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，确定下列各式的正负：b___>___0，ac___<___0，a－b＋c___<___0.
b [解析] ∵a<0，－2a>0，∴b>0.
c ∵a＝x1x2<0，∴ac<0，a－b＋c＝f(－1)<0.
顶点坐标奇偶性对称轴
___－__2_ba_，__4_a_c4_－a__b_2_ _ 当___b_＝__0__时为偶函数
b 函数的图象关于直线 x＝－2a成轴对称
归纳拓展 1．二次函数解析式的三种形式： (1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)； (2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)； (3)零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． 2．一元二次不等式恒成立的条件： (1)“ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a>0，且Δ<0”． (2)“ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a<0，且Δ<0”．

高考数学一轮复习第二章函数的概念及其基本性质2.4.2幂函数课件理

命题法幂函数的图象及性质的应用典例 (1)在同一直角坐标系中，函数 f(x)＝xa(x>0)，g(x)＝logax 的图象可能是( )
(2)若
a＝21
2 3
，b＝51
2 3
，c＝21
1 3
，则
a，b，c
的大小关系是(
)
A．a<b<c
B．c<a0，所以 f(x)＝xa 在(0，＋∞)上为增函数，故 A 不符合；在 B 中，由 f(x)的图象知
第二章函数的概念及其基本性质
第4讲二次函数与幂函数
考点二幂函数
撬点·基础点重难点
1 幂函数的定义一般地，形如 y＝xα (α∈R)的函数称为幂函数．
2 五种幂函数图象的比较
3 幂函数的性质比较
注意点 α 的大小对幂函数图象的影响
幂函数在第一象限的图象中，以直线 x＝1 为分界，当 0<x<1 时，α 越大，图象越低(即图象越靠近 x 轴，可记为“指大图低”)；当 x>1 时，α 越大，图象越高(即图象离 x 轴越远，不包含 y＝x0).
a>1，由 g(x)的图象知 0<a<1，矛盾，故 B 不符合；在 C 中，由 f(x)的图象知 0<a<1，由 g(x)的图象知 a>1，
矛盾，故 C 不符合；在 D 中，由 f(x)的图象知 0<a<1，由 g(x)的图象知 0<a<1，相符．
(2)因为
y＝x2Biblioteka 3在第一象限内是增函数，所以
a＝21

2017版高考数学一轮总复习第2章函数的概念与基本初等函数第三节二次函数与幂函数课件文

－4a＋3 （a≤1）， ∴m(a)＝－1 （a>1）.
[ 点评 ]
在研究二次函数在闭区间上的最值或值域问题时，
最好是作出二次函数的大致图象.特别是遇到对称轴固定而区间变化或对称轴变化而区间固定这两种情形时，要利用函数
图象，找出讨论时的分类标准.
幂函数的图象和性质问题的突破方法
比较幂值大小的常见类型及解决方法 (1)同底不同指，可以利用指数函数单调性进行比较； (2)同指不同底，可以利用幂函数单调性进行比较；
(0，0)，(1，1)
►(3)[幂函数概念易误点：系数为 1，指数为常数]已知幂函数 f(x) 1 的图象过点(27，3)，则 f8＝________. 1 α α 解析设 f(x)＝x ，则 3＝27 ，解得 α＝， 3
1 1 11 1 所以 f(x)＝x3，f8＝83＝2.
第三节二次函数与幂函数
知识点一二次函数 1.二次函数解析式的三种常用表达形式
2 (1)一般式：f(x)＝ ax ＋bx＋c(a≠0) ；
(2)顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)，(h，k)是顶点； (3)两根式(或因式分解式 )：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中 x1，x2分别是f(x)＝0的两实根.
(3)既不同底又不同指，常常找到一个中间值，通过比较两
个幂值与中间值的大小来判断两个幂值的大小.
在解决幂函数与其他函数的图象的交点个数、对应方程根的个数及近似解等问题时，常用数形结合的思想方法，即在同一坐标系下画出两函数的图象，数形结合求解.
【例 3】 (1)(2016· 湖南长沙一中检测)已知幂函数 f(x)＝k· xα 的 1 2 图象过点，，则 k＋α＝( ) 2 2

数学(理)一轮复习第二章基本初等函数、导数及其应用第讲二次函数与幂函数

第4讲二次函数与幂函数1．幂函数(1)定义：形如y＝xα(α∈R）的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y＝x，y＝x2,y＝x3,y＝x错误!，y＝x－1.（2)性质①幂函数在（0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点（1，1）和(0，0),且在(0,＋∞）上单调递增；③当α〈0时，幂函数的图象都过点(1，1），且在（0，＋∞）上单调递减．2．二次函数(1）二次函数解析式的三种形式①一般式:f(x)＝ax2＋bx＋c（a≠0）．②顶点式:f（x）＝a(x－m）2＋n（a≠0)．③零点式:f（x)＝a（x－x1）(x－x2）（a≠0)．(2)二次函数的图象和性质解析式f（x）＝ax2＋bx＋c(a〉f（x)＝ax2＋bx＋0)c(a<0）图象定义域(－∞，＋∞）（－∞，＋∞）值域错误!错误!单调性在错误!上单调递减；在错误!上单调递增在错误!上单调递增；在错误!上单调递减对称性函数的图象关于x＝－错误!对称1．辨明两个易误点（1）对于函数y＝ax2＋bx＋c，要认为它是二次函数,就必须满足a≠0，当题目条件中未说明a≠0时，就要讨论a＝0和a≠0两种情况．(2）幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内,要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．2．会用两种数学思想（1)数形结合是讨论二次函数问题的基本方法．特别是涉及二次方程、二次不等式的时候常常要结合图形寻找思路．(2)含字母系数的二次函数问题经常使用的方法是分类讨论．比如讨论二次函数的对称轴与给定区间的位置关系,讨论二次方程根的大小等．1.错误!幂函数y＝f(x）经过点(2，错误!），则f(9）为( )A．81 B．错误!C。

错误!D．3D 设f（x）＝xα，由题意得错误!＝2α，所以α＝错误!。