高等数学第三章小结
高数习题(第三章)第三章重难点总结复习
再来说说2展开,对比3我们发现它少了 1 x3 1= 1 x3的这样一个三阶项,所以就是展开的
3!
3!
少了。
那么3就是正确的.首先我们能够找到所有的三阶及比其低阶的量,其次由于sin x的泰勒展开
起步为x, 所以两式相乘时e x只需要展开到二阶即可得到三阶项.类似的,e x泰勒展开起步为1, 所以我们的sin x展开到三阶就可以得到最后的三阶项.这个就是开头说的所有的意思.
2.ex 1 x x2 o x2 2
sin x x o x
3.ex 1 x x2 o x2 2
sin x x 1 x3 o x3 3! 对于1展开,错误在于没有和第一种加的情况相区分,这样如果两式相乘,导致 x3 与sin x任意
3! 一项展开都不是我们所需要的,因为是比三阶高.即展开多了.
a
lim
n
n2 n2
n
a
、
注：第四种方法虽然结果正确，但是我们一般不采取这种方法。
7.若 lim x0
sin 6x xf x3
x
0, 则 lim x0
6 f x
x2
解析：恒等变形后使用洛必达法则
lim
x0
6x
xf x3
x
lim
x0
6
x
sin 6x x3
sin
6x xf x3
x
lim 6x sin 6x lim 6 6 cos 6x 36
分析：令F x f x g x F x在a,b上连续，在a,b内可导，在题设条
件下，要证存在 a,b，F '' =0.已知F a F b =0,只需再证c a,b, F c =0.
1由题设x1 a,b, M
数学必修三第三章总结
[例 4] 已知 ABCD 为长方形，AB＝2，BC＝1，O 为 AB 的中
点，在长方形 ABCD 内随机取一点 P，则取到的点 P 到 O 的距离
大于 1 的概率为( )
A.4π
B．1－4π
π C.8
D．1－8π
25
[解析] 如图所示，设取到的点 P 到 O 的距离大于 1 为事件 M，则点 P 应在阴影部分内，阴影部分的面积为 2×1－12×π×12 ＝2－π2，所以 P(M)＝2－2 π2＝1－4π.
23
当一随机试验的可能结果有无数个，并且每个结果的出现都是 等可能的，我们把这样的试验称为几何概型．由于试验的结果 不能一一列举出来，所以在计算概率时可利用试验的全部结果 构成的区域和所求事件的结果构成的区域的几何度量的比值来 计算．常用的几何度量有长度，面积，体积和角度等，解题时 要适当选择．
24
射击次数n 10 20 50 100 200 500 击中靶心次数m 8 19 44 92 178 455 击中靶心的频率 0.8 0.95 0.88 0.92 0.89 0.91
(1)该射击运动员射击一次，击中靶心的概率大约是多少？ (2)假设该射击运动员射击了300次，则击中靶心的次数大约是 多少？ (3)假如该射击运动员射击了300次，前270次都击中靶心，那11
18
专题 3 古典概型 古典概型是一种最基本的概率模型，也是学习其他概率模型 的基础．在高考题中；经常出现此种概率模型的题目．解题时要 抓住古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性．在应用公 式 P(A)＝mn 时，关键是正确理解基本事件与事件 A 的关系，求出 n、 m.在求较为复杂的事件的概率时通常有两种方法：一是将所求事 件的概率化成一些彼此互斥的事件的概率的和；二是先求此事件 的对立事件的概率，再利用公式 P(A)＝1－P(－A )就可以求出所求 事件的概率．
高等数学3知识点总结（精选3篇）
高等数学3知识点总结（精选3篇）高等数学3知识点总结篇1第一章：函数与极限1.理解函数的概念，掌握函数的表示方法。
2.会建立简单应用问题中的函数关系式。
3.了解函数的奇偶性、单调性、周期性、和有界性。
4.掌握基本初等函数的性质及图形。
5.理解复合函数及分段函数的有关概念，了解反函数及隐函数的概念。
6.理解函数连续性的概念(含左连续和右连续)会判别函数间断点的类型。
7.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左右极限间的关系。
8.掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。
9.掌握极限性质及四则运算法则。
10.理解无穷孝无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。
第二章：导数与微分1.理解导数与微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描写一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系。
2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握初等函数的求导公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求初等函数的微分。
3.会求隐函数和参数方程所确定的函数以及反函数的'导数。
4.会求分段函数的导数，了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。
第三章：微分中值定理与导数的应用1.熟练运用微分中值定理证明简单命题。
2.熟练运用罗比达法则和泰勒公式求极限和证明命题。
3.了解函数图形的作图步骤。
了解方程求近似解的两种方法：二分法、切线法。
4.会求函数单调区间、凸凹区间、极值、拐点以及渐进线、曲率。
第四章：不定积分1.理解原函数和不定积分的概念，掌握不定积分的基本公式和性质。
2.会求有理函数、三角函数、有理式和简单无理函数的不定积分3.掌握不定积分的分步积分法。
4.掌握不定积分的换元积分法。
第五章：定积分1.理解定积分的概念，掌握定积分的性质及定积分中值定理。
人教A版高中数学必修三课件：第三章章末小结
等于(
).
1
2
3
4
A.5 B.5 C.5 D.5
【方法指导】选出的两球只与颜色有关,与顺序无关,可把不
同颜色的小球分别进行编号,无序列举出基本事件,利用古典概
型计算.
【解析】把 1 个红球记为 a,2 个白球分别记为 b1,b2,3 个黑
满足两球颜色为一红一黑的基本事件有(a,c1),(a,c2),(a,c3),共
3 1
3 个,故所求事件的概率为15 =5,故选 A.
【答案】A
【小结】在进行摸球活动中,所求概率一般只与球的颜色有
关,而与先后顺序无关,列举时只需把摸出的球的编号列举出来
即可,无需再颠倒顺序.如果按照有序性列举基本事件,那么个数
两种,则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率
为
.
【解析】将四种水果每两种分为一组,有 6 种方法,则甲、乙
1
两位同学各自所选的两种水果相同的概率为6.
1
【答案】
6
3.(2015 年福建卷)如图,矩形 ABCD 中,点 A 在 x 轴上,点 B 的坐标
+ 1, ≥ 0,
为(1,0),且点 C 与点 D 在函数 f(x)= 1
函数.
(2)Excel 软件产生区间[0,1]上的均匀随机数的函数为
“rand()”.
题型一:概率与频率
某险种的基本保费为 a(单位:元),继续购买该险种的投保人
称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如
下:
上年度
出险次 0 1 2 3 4 ≥5
数
1.2 1.5 1.7
0.8
高中数学 必修三 章末总结3
[解析] (1)由题意，击中靶心的频率与0.9接近，故概率约 为0.9.
(2)击中靶心的次数大约为300×0.9＝270(次)． (3)由概率的意义，可知概率是个常数，不因试验次数的变 化而变化．后30次中，每次击中靶心的概率仍是0.9，所以不一 定不击中靶心． (4)不一定.
第三章 章末总结
高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修3
[规律总结] 本题利用分类讨论思想，把甲、乙抽题情况 先分为四类，即“甲抽到选择题，乙抽到判断题”、“甲抽到 判断题，乙抽到选择题”、“甲、乙都抽到选择题”和“甲、 乙都抽到判断题”这四个互斥事件，而在每个互斥事件中，又 按抽某个具体题目分类，从而写出了所有可能的基本事件．第 (2)问利用对立事件求解更为方便．
专题5 概率与统计的综合问题 概率与统计相结合，是新课标数学高考试题的一个亮点， 其中所涉及的统计知识是基础知识，所涉及的概率是古典概 型，虽然是综合题，但是难度不大，属于中档以下难度．
第三章 章末总结
高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修3
[例5] (2015·四川模拟)某班同学利用国庆节进行社会实
(1)该射击运动员射击一次，击中靶心的概率大约是多少？ (2)假设该射击运动员射击了300次，则击中靶心的次数大 约是多少？ (3)假如该射击运动员射击了300次，前270次都击中靶心， 那么后30次一定都击不中靶心吗？
第三章 章末总结
高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修3
(4)假如该射击运动员射击了10次，前9次中有8次击中靶 心，那么第10次一定击中靶心吗？
(2)求摸出两张牌面图形都是中心对称图形的纸牌的概率．
高数小结3-X
.
(2)
lim
x→0
x2 − sin2 x
.
2. 已知 f(x) 在 (−∞, +∞) 内可导, 且
lim f ′(x) = e,
( x + a )x
(
)
lim
= lim f(x) − f(x − 1) .
x→∞
x→∞ x − a
x→∞
求 a 的值.
8/9
Taylor 公式的应用
1. (1) 计算 lim n sin(2πe · n!). (2) 证明: e 是无理数.
4/9
导数应用
1. 研究函数的性态: 单调性, 极值, 凸性, 拐点, 渐近线. 2. 解决最大值与最小值问题. 3. 其它应用: 求不定式极限; 证明不等式; 研究方程实根.
5/9
研究函数或导数的性态
3-1: B-8. 1. 设 f(x) 在 (−∞, +∞) 上二阶可导 f ′′(x) > 0, lim f ′(x) = ±A,
x→±∞
A > 0, 且 f(0) < 0. 求 f(x) 在 (−∞, +∞) 上零点的个数.
6/9
证明有关中值问题的结论
3-1: A-8∼12, B-2∼5, 11. 3-2: B-3.
7/9
求不定式极限
1. 求下列极限
(1 + x)1/x − e
cos
x
−
e−
x2 2
(1) lim
x→0
x
n→∞
2. 设 f(x) 在 [0, 1] 中二阶可导, |f(x)| a, |f ′′(x)| b, a, b 0,
证明: |f ′(x)|
高等数学第三章知识要点
如果存在着点x0的一个邻域,对于这邻域内的 任何点x,除了点x0外, f ( x) f ( x0 )均成立,就称 f ( x0 )是函数f ( x)的一个极大值;
如果存在着点x0的一个邻域,对于这邻域内的 任何点x,除了点x0外, f ( x) f ( x0 )均成立,就称 f ( x0 )是函数f ( x)的一个极小值.
2) 求驻点
令 f ( x) 0 , 得驻点 x1 1, x2 0 , x3 1 3) 判别
因 f (0) 6 0 , 故
为极小值 ;
又 f (1) f (1) 0 , 故需用第一判别法判别.
y
1 O 1 x
四、函数的最大、最小值
1、最值的求法
若函数 f ( x) 在 [a, b] 上连续，则 f ( x) 在 [a, b]上的
定理(第一充分条件)
(1)如果 x ( x0 , x0 ),有 f '( x) 0;而 x ( x0 , x0 ),
有 f '( x) 0，则 f ( x)在 x0处取得极大值.
(2)如果 x ( x0 , x0 ),有 f '( x) 0;而 x ( x0 , x0 )
但在(, 0)内, y 0, 曲线在(, 0]上是凹的;
在(0, )内, y 0, 曲线在[0, )上是凸的.
点(0, 0)是曲线 y 3 x的拐点.
注意: 若 f ( x0 ) 不存在, 点 ( x0 , f ( x0 )) 也可能
是连续曲线 y f ( x) 的拐点.
三. 函数的极值及其求法
最大值与最小值存在 .
如果函数除个别点外处处可导,并且至多有有限个
高二数学学案：第三章本章小结含解析
第三章本章小结一、复数的概念及分类复数的概念是复数的基本内容，是解决复数问题的基础．在解决与复数概念相关的问题时,复数问题实数化是求解的基本策略，“桥梁”是设z＝x＋y i(x，y∈R)，依据是“两个复数相等的充要条件”．此外，这类问题还常以方程的形式出现，与方程的根有关，这时将已知根代入（或设出后代入)，利用复数相等的充要条件再进行求解．【例1】已知m∈R，复数z＝错误!＋(m2＋2m－3）i，当m为何值时，（1）z∈R；（2）z是纯虚数；（3）z对应的点位于复平面的第二象限；(4)z对应的点在直线x＋y＋3＝0上．【解】（1）由m2＋2m－3＝0且m－1≠0得m＝－3，故当m＝－3时，z∈R.（2)由错误!解得m＝0或m＝2。
∴当m＝0或m＝2时，z为纯虚数．（3)由错误!解得m<－3或1<m〈2，故当m〈－3或1<m<2时，z对应的点位于复平面的第二象限．(4）由错误!＋（m2＋2m－3)＋3＝0，得错误!＝0。
解得m＝0或m＝－1±错误!.∴当m＝0或m＝－1±错误!时,z对应的点在直线x＋y＋3＝0上．【评析】掌握复数的分类是解此题的关键，复数与复平面上的点是一一对应的，这为形与数之间的相互转化，为解决形或数的问题提供了一条重要思路．二、复数的几何意义1．复数的几何意义包括三个方面：复数的表示(点和向量）、复数的模的几何意义及复数运算的几何意义．复数的几何意义充分体现了数形结合这一重要的数学思想方法，即通过几何图形来研究代数问题．2．任何一个复数z＝a＋b i与复平面内一点Z(a，b）对应，而任一点Z（a，b）又可以与以原点为起点，点Z(a，b）为终点的向量错误!对应，这些对应都是一一对应，由此得到复数的几何解法，特别注意｜z｜、｜z－a|的几何意义——距离．3．复数加、减法几何意义的实质就是平行四边形法则和三角形法则．由减法的几何意义知｜z－z1|表示复平面上两点Z、Z1间的距离．4．复数形式的基本轨迹：(1)当｜z－z1|＝r，表示复数z对应的点的轨迹是以z1对应的点为圆心，半径为r的圆；单位圆｜z|＝1.(2)当｜z－z1｜＝｜z－z2|，表示以复数z1、z2的对应点为端点的线段的垂直平分线．(3）当｜z－z1｜＋｜z－z2|＝2a(2a>｜错误!｜〉0），则表示以复数z1、z2的对应点为焦点的椭圆．（4)当｜|z－z1|－|z－z2||＝2a（0〈2a〈｜错误!|），则表示以复数z1、z2的对应点为焦点的双曲线．【例2】已知复数z的模为2，则｜z－i|的最大值为( ) A．1 B．2C。
高一数学必修一第三章 小结
B组 1. 经济学家在研究供求关系时, 一般用纵轴表示 产品价格 (自变量), 而用横轴表示产品数量 (因变量). 下列供求曲线, 哪条表示厂商希望的供应曲线, 哪条 表示客户希望的需求曲线? 为什么? 答: 图(A)中的 曲线是厂商希望的. 因为产品数量随着 o o 数量 数量 单价的增加而增大, (A) (B) 产值就有很大的增加. 图(B)中的曲线是客户希望的. 因为产品数量随着 单价的降低而增加, 客户可降低购买成本.
2.5 2.75 2.625 2.5625
-0.002 0.08 0.04 0.02
|2.5-2.5625|≈0.06 <0.1, ∴交点的横坐标为 x≈2.5.
7. 如图, 有一块半径为 2 的半圆形钢板, D 计划剪裁成等腰梯形ABCD形状, 它的下底AB 是⊙O的直径, 上底CD的端点在圆周上. 写出 A E 这个梯形周长 y 和腰长 x 间的函数解析式, 并 求出它的定义域.
6. 借助计算器或计算机, 用二分法求函数 f(x) = lgx 和 f(x) = 1 的交点的横坐标 (精确到 0.1). x 解: 设 f ( x ) = lg x - 1 , x f(3)≈0.14>0, f(2)≈-0.2<0,
区间 中点 f(中点)
(2, 3) (2.5, 3) (2.5, 2.75) (2.5, 2.625) (2.5, 2.5625)
区间 中点 f(中点)
(2, 3) 2.5 -0.25 (2.5, 3) 2.75 4.09 (2.5, 2.75) 2.625 1.74 (2.5, 2.625) 0.70 2.5625 0.21 2.53125 (2.5, 2.5625) (2.5, 2.53125) 2.515625 -0.02 (2.515625, 2.53125) 2.5234375 0.09 (2.515625, 2.5234375)
高二年级数学必修三第三章知识点总结
高二年级数学必修三第三章知识点总结数学好的人却往往能在很多事情处理上思路清晰，逻辑连贯，主观能动上更胜人一筹。
小编准备了高二年级数学必修三第三章知识点，希望你喜欢。
一.随机事件的概率及概率的意义1、基本概念：(1)必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫相对于条件S的必然事件;(2)不可能事件：在条件S下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S的不可能事件;(3)确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S 的确定事件;(4)随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S的随机事件;(5)频数与频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数;对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率。
(6)频率与概率的区别与联系：随机事件的频率，指此事件发生的次数nA与试验总次数n的比值，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小。
我们把这个常数叫做随机事件的概率，概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。
频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率二.概率的基本性质1、基本概念：(1)事件的包含、并事件、交事件、相等事件(2)若AB为不可能事件，即AB=ф，那么称事件A与事件B 互斥;(3)若AB为不可能事件，AB为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件;(4)当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(AB)=P(A)+若事件A与B为对立事件，则AB为必然事件，所以P(AB)=P(A)+P(B)=1，于是有P(A)=1P(B)2、概率的基本性质：1)必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此01;2)当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(AB)=P(A)+3)若事件A与B为对立事件，则AB为必然事件，所以P(AB)=P(A)+P(B)=1，于是有P(A)=14)互斥事件与对立事件的区别与联系，互斥事件是指事件A 与事件B在一次试验中不会同时发生，其具体包括三种不同的情形：(1)事件A发生且事件B不发生;(2)事件A不发生且事件B发生;(3)事件A与事件B同时不发生，而对立事件是指事件A 与事件B有且仅有一个发生，其包括两种情形;(1)事件A发生B不发生;(2)事件B发生事件A不发生，对立事件互斥事件的特殊情形。
高中数学选修第三章本章小结课件
• 三、空间向量与空间角 • 1．纵观近几年高考发现，对于空间角的考查，每年都有．不论
在选择，还是填空中均有考查，而解答题中更是考查重点，因此 空间角必是高考的一个生长点． • 2.对于空间角中线线角、线面角及二面角，一是利用传统解法， 如平移法，利用定义求解等，但向量法求解更能体现解题的优越 性．
高中数学选修第三章本章小结
• (分2)别解为：x由轴(、1)知y轴，、以z轴点，B为建坐立标如原图点7所，示以的BC空，间B直A，角B坐B1标所系在，的直线
图7
高中数学选修第三章本章小结
• 【评析】 要建立空间直角坐标系，先要有三条互相垂直且交于 一点的直线．
• 四、空间向量与空间距离 • 空间距离在高考中考查较多的是两点距和点面距．两点距主要利
高中数学选修第三章本章小结
• 【评析】 用已知向量表示未知向量，一定要结合图形，以图形 为指导是解题的关键．
• 二、空间向量与线面位置关系 • 证明平行问题，除了应用传统的线面平行的判定定理外，还可以
利用向量共线及平面的法向量进行证明．
高中数学选修第三章本章小结
• 证明垂直问题，除了应用传统的垂直问题的判定定理外，还可利 用向量数量积进行判断，是非常有效的方法．
高中数学选修第三章本章小结
• 【证法一】 (1)∵EP⊥矩形ABCD所在的平面，且P、Q均为AB， DC的中点，∴PQ⊥AB，故以P为坐标原点，以PA，PQ，PE分别 为x轴，y轴，z轴建系如右图3.
• 令AB＝2，PE＝a，则
• A(1,0,0)，Q(0,1,0)，E(0,0，a)，
• C(－1,1,0)．
高中数学选修第三章本章小结
图3
• 即AQ⊥PD，AQ⊥PE， • ∴AQ⊥面EPD，AQ⊂面AEQ， • ∴面AEQ⊥面DEP.
高中数学必修⑤第三章复习总结
高中数学必修⑤第三章复习精讲广东 谭渊一、不等式的基本性质1．不等式的性质是进行不等式的证明和解不等式的依据，它们都是不等式同解变形的基础．2．在运用不等式的性质时，一定要严格掌握它们成立的条件．如两边同乘以（或除以）一个正数不等号不变，若是同乘以（或除以）一个负数则不等号反向．因此在分式不等式中，若不能肯定分母是正数还是负数，不要轻易去分母．又如，同向不等式相乘、不等式两边同时乘方（或开方）时，要求不等式两边均为正数．3．应用不等式的性质证明不等式一般是从已知的不等式出发，应用不等式的性质进行变形，直至变换出所要证的不等式．4．用不等式的性质求变量的范围时，是通过同向不等式相加或相乘来完成的．如果是有等号的，还应注意两端能否取“=”．5．实数的运算性质与作差比较法的一般步骤：（1）实数的运算性质与大小顺序之间的关系000a b a b a b a b a b a b >⇔->=⇔-=<⇔-<；；．（2）作差比较法是比较两个实数（代数式）大小的基本方法，它的一般步骤是：①作差；②变形；③判断．二、一元二次不等式及其解法1．一元二次不等式的代数解法当0a >时，若方程20ax bx c ++=的两实根12x x <，则不等式20ax bx c ++>的解集为{}12|x x x x x <>，或，不等式20ax bx c ++<的解集为{}12|x x x x <<；若方程20ax bx c ++=的两实根122b x x a==-，则不等式20ax bx c ++>的解集为|2b x x x a ⎧⎫∈≠-⎨⎬⎩⎭R ，且，不等式20ax bx c ++<的解集为∅；若方程20ax bx c ++=无实根，则不等式20ax bx c ++>的解集为R ，不等式20ax bx c ++<的解集为∅．2．用数形结合法解一元二次不等式解一元二次不等式20ax bx c ++>或20ax bx c ++<反映在图形上就是考查二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴的关系（在其上方还是在其下方），利用数学的基本思想——数形结合思想，理解、认识一元二次不等式，以帮助我们熟练解决问题，提高解决数学问题的速度．用数形结合法解一元二次不等式的步骤如下：（1）转化原不等式，使之通过变形后成为标准形式20(0)(0)ax bx c a ++>≥≤．（2）找到相应方程20ax bx c ++=的根．（3）通过相应的二次函数的图象，写出不等式解集．3．利用不等式的“解”求一元二次不等式利用不等式的“解”求一元二次不等式是解一元二次不等式的逆向思维的体现，主要是根据函数图象与x 轴的交点、一元二次方程的根与系数的关系，来求解．例 设不等式20ax bx c ++>的解集是{}|(0)x x αβαβ<<<<，求不等式20cx bx a ++<的解集．解：由题意可知0a <，b a αβ+=-，c a αβ=·， 由此可得0c <，11b c αβ+=-，11a c αβ=·， 故20cx bx a ++<的解集是11|x x x βα⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭，或． 三、二元一次不等式（组）与简单线性规划1．画不等式表示的平面区域图是线性规划的入门知识，也是必备知识，其要点是“以线定界、以点（原点）定域”，同时还要注意哪条线应画成实线，哪条线画成虚线．2．二元一次不等式组表示的区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．3．线性目标函数(0)z ax by b =+≠的几何意义：z b是直线0ax by z +-=在y 轴上的截距．4．简单的线性规划理论在实际问题中的应用一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该任务．常见问题有：①物资调运问题；②产品安排问题；③下料问题．解线性规划的实际问题，关键在于根据条件写出线性约束条件及线性目标函数，然后作出可行域，在可行域内求出最优解．5．线性规划中求整数解问题通常有以下解法：一是平移找解法；二是代入验证法；三是优值调整法． 四、基本不等式1．不等式222a b ab +≥(0)2a b a b +，≥成立的条件：前者只要a b ，都是实数，后者要求a b ，都是非负实数．这两个公式都是带有等号的不等式，当且仅当a b =时“=”成立，也就是说，当a b =时取等号． 2．两个正数，若它们的积为常数，则当且仅当这两个数相等时，它们的和有最小值．3．两个正数，若它们的和为常数，则当且仅当这两个数相等时，它们的积有最大值．4．用基本不等式求最值应注意：一“正”、二“定”、三“相等”三个条件．一“正”是指函数式中，各项（必要时，还要考虑常数项）必须都是正数，如不是，则进行变号转换；二“定”是指函数式中，含变量的各项和或积必须是常数，才能利用基本不等式求最值；如不是，则进行拆项或分解，务必使不等式的一端的和或积为常数；三“相等”是指函数式中，含变量的各项相等，才能利用基本不等式求最值．即相等时，变量字母有实数解，且解在定义域内．否则说明拆项、分解不当，应重新拆项、分解或改用其他方法．5．常见错例剖析例1 已知0x y >，，且1x y +=，求21x y+的最小值．解：2122x y +==≥ 21x y∴+的最小值为 例2 已知0a b c d m n >，，，，，，且222a b m +=，222c d n +=，m n ≠，ac bd p +≤，求p 的最小值．解：222222a c b d ac bd ++++Q ≤222222222a b c d m n +++=+=， p ∴的最小值为222m n +． 试问以上两题的解答是否正确，若正确，说明理由；若错误，请给出正确答案．分析：（1）不正确．在两次使用基本不等式时，前者取“＝”条件是21x y=，即2x y =；后者取“＝”条件是x y =，字母x y ，在同一变化过程中前后取值不一致，故为错解；（2）不正确．解答中用到222a c ac +≤，当且仅当a c =时取“＝”；222b d bd +≤，当且仅当b d =时取“＝”，由已知222a b m +=，222c d n +=，这样就推出m n =，与已知m n ≠矛盾，故也为错解．正解：（1）21212()33y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=+++ ⎪⎝⎭≥，当且仅当2y x x y=，即x =时取“=”，故21x y+的最小值为3+． （2）22222()2ac bd a c adbc b d +=++222222222222()()a c a d b c b d a b c d +++=++≤．等号成立的条件是ad bc =，即a cb d =或a bc d=， 这样与已知并不矛盾，ac bd mn ∴+==．由此得p 的最小值为mn ．（本题亦可用三角代换，设cos a m α=，sin b m α=，cos c n β=，sin d n β=，cos()ac bd mnmn αβ+=-·≤） 点评：①在同一变化过程中两次使用基本不等式时，必须注意取等号条件前后要一致；②要使p 不小于ac bd +的一切值，必须也只须p 的最小值就是ac bd +的最大值；③三角代换法是求函数最值或证明不等式的常用方法．。
大学高等数学 第三章典型例题及小结
f ( x0 ) 0, 即方程有小于 1 的正根
2) 唯一性 .
f (x) 在以 x0 , x1 为端点的区间满足罗尔定理条件 , 在 x0 , x1 之间
证明 e x (ax 2 bx c ) 0 至多有三个实根 证 记
f ( x ) e x (ax2 bx c )
直接证明有困难，采用反证法
设 f ( x ) 0 有四个实根 x1 x2 x3 x4
记 f ( x ) e (ax bx c ) 连续、可导 对 f ( x ) 在[ x1 , x2 ],[ x2 , x3 ],[ x3 , x4 ] 用罗尔定理得
x ln(1 x) x ( x 0) . 例3. 证明不等式 1 x 证: 设 f (t ) ln(1 t ) ,
中值定理条件, 因此应有
即
因为
故
例4. 设
至少存在一点 证: 结论可变形为 使
证明
设 F ( x) x 2 , 则 f ( x) , F ( x) 在 [0, 1] 上满足柯西中值 定理条件, 因此在 ( 0 , 1 ) 内至少存在一点 , 使
x
lim
x2 x
2
x 1
lim
x
1 1 1 1 2
思考: 如何求 lim
2
arctan n
1 n
n
( n 为正整数) ?
例3. 求
高等数学第三、四章 核心知识点
()()()0000'lim x x f x f x f x x x ++→-=-()()()0000lim x xf x f x f x x x --→-'=-第三章 导数知识及常用公式一、 导数 1.导数的概念()()()()()()()0000000000'lim lim =limx h x x f x x f x f x h f x f x f x f x x h x x ∆→→→+∆-+--===∆- 2.单侧导数 （1）左导 （2）右导()()()''000'f x f x f x -+，存在且相等则存在3.基本初等函数的导数公式（课本99页），必须熟练记忆！！！4高阶导公式： 高频：（1）()()n x x e e = (2)()()!n n x n =低频： (3)()()sin sin 2n x x n π⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭(4)()()cos cos 2n x x n π⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭5.函数可导性与连续性的关系：可导一定连续，连续不一定可导，不连续一定不可导. 6.导数的几何意义（1）曲线切线斜率0'()k f x =，切线方程：()()000y y f x x x '-=-； （2）切线与法线相互垂直（ =1k k -切法） 二、求导法则 1.导数四则运算：（1）()u v u v '''±=± （2）()uv u v uv ''=+'（3）()(C )u x u x C C ''=⎡⎤⎣⎦，为常数 （4）2,()u u v uv v o v v '''⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭- 2.复合函数求导法则:()()=dy dy duy f u x u x dx du dx'''==⎡⎤⎣⎦ 解题方法：从外到内逐级求导，所有项相乘. 3.反函数求导：()()1y f x ϕ'=' 口诀： ()1'='反（原）4.隐函数求导：方程两边同时求导，只要对y 求过导就在后面乘以'y 5.参数方程的导数：()()x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩一阶导数：()()t dy dx t ϕψ'='；二阶导数： 22()1=()()d y d t dx dt t t ϕψϕ'⎛⎫⋅ ⎪''⎝⎭. 6.对数求导法：等号两边取自然对数，隐函数求导法求导 三、微分()'dy f x dx =口诀：d 谁就对谁求导，再乘以dx .连续第四章 导数及微分的应用知识及常用公式一、 中值定理二、边际函数（1） 边际成本：总成本的导数； （2） 边际收益：总收益的导数； （3） 边际利润：总利润的导数. 三、导数的应用 1.函数单调性的判定法()'0f x ⇒＞ ()f x 单调递增； ()'0f x ⇒＜ ()f x 单调递减.2.极值：（1） 确定()f x 的定义域；（2） 令()'0f x =求出驻点及导数无意义的点； （3） 极值点：0x x =；极值：()0f x .注：一上一下中间为极大值，一下一上中间为极小值。
大一上学期《高等数学》知识整理-第三章 微分中值定理与导数的应用
大一上学期《高等数学》知识整理-第三章微分中值定理与导数的应用一、微分中值定理1.费马引理：若函数在区间内某一点取得极值且在该点可微，则f'(x)=0。
2.罗尔定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可微，且f(a)=f(b)，则至少可以找到一点ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)=0。
3.拉格朗日中值定理：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可微，则至少存在一点ξ∈(a,b)使得f'(ξ)=[f(b)-f(a)]/(b-a)。
4.拉格朗日中值定理的其他表示形式：①f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a),ξ∈(a,b)；②f(b)-f(a)=f'[a+θ(b-a)](b-a),0<θ<1；③f(x+Δx)-f(x)-f'(x)=f'(x+θΔx)Δx,0<θ<1。
其中③式也称为有限增量公式。
5.柯西中值定理：设函数f(x)和g(x)在闭区间[a,b]上都是连续的，在开区间(a,b)内可微，且对任意x∈(a,b)，g'(x)≠0，则在(a,b)内至少存在一点ξ，使得：[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]=f'(ξ)/g'(ξ),(a<ξ<b)6.以上三个定理之间的关系：罗尔定理推广得到拉格朗日中值定理，拉格朗日中值定理推广得到柯西中值定理。
反之，在柯西中值定理中，令g(x)=x即得拉格朗日中值定理；在拉格朗日中值定理中，令f(a)=f(b)即得罗尔定理。
7.对这系列定理的简单解释：这些定理其实都很好意会。
所谓极值，就是指函数增加（或减少）到了一定程度之后又开始减少（或增加），中间肯定有一个增加到最大或减小到最小的地方，这个地方对应的函数值就是极值，对应的自变量就是极值点。
注意极值点是函数取到极值时的自变量的值，是一个数。
在此基础上，费马引理很好解释。
高二数学第三章小结2
本章小结
【课标要求】
1.合情推理的意义与应用 (1)会利用归纳进行简单的推理与猜想, (2)会利用类比进行简单的推理与猜想! 2演绎推理的意义与应用 (1)体会演绎推理的重要性!并能进行简单的推理, (2)了解数学证明的几种基本方法"综合法分析法反证法!并能运用这些 方法进行一些简单的数学证明, (3)了解合情推理和演绎推理之间的联系差异和各自所起的作用
推理与证明
2
推理与证明
3
Байду номын сангаас
例题讲解
推理与证明
4
推理与证明
5
推理与证明
6
课堂练习
推理与证明
7
推理与证明
8
推理与证明
9
推理与证明
10
11
课堂小结
1. 学到了哪些知识？ 2. 运用到了哪些方法？
推理与证明
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作业
1. 2. 3.
推理与证明
12
高中数学 五 第三章复习小结 素材
第三章 小结与复习（学案）【知识归类】(一）不等式与不等关系1、应用不等式(组）表示不等关系； 不等式的主要性质： (1）对称性:a b b a <⇔>.（2）传递性：c a c b b a >⇒>>,.（3)加法法则：c b c a b a +>+⇒>；d b c a d c b a +>+⇒>>,. (4）乘法法则：bc ac c b a >⇒>>0,;bc ac c b a <⇒<>0,。
bd ac d c b a >⇒>>>>0,0.（5）倒数法则：baab b a 110,<⇒>>.(6)乘方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b ab a n n且。
（7）开方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n且.2、应用不等式的性质比较两个实数的大小；作差法3、应用不等式性质证明。
(二）一元二次不等式及其解法 一元二次不等式的解法. 一元二次不等式()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集：设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax的两根为2121x x x x ≤且、,ac b 42-=∆，则不等式的解的各种情况如下表：（让学生独立完成课本第86页的表格)0>∆0=∆0<∆二次函数cbx ax y ++=2（0>a ）的图象c bx ax y ++=2cbx ax y ++=2cbx ax y ++=2一元二次方程 ()的根002>=++a c bx ax有两相异实根)(,2121x x xx < 有两相等实根ab x x 221-==无实根的解集)0(02>>++a c bx ax{}21x x x x x ><或 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2R（三）线性规划1、用二元一次不等式（组)表示平面区域二元一次不等式Ax By C ++0>在平面直角坐标系中表示直线Ax By C ++0=某一侧所有点组成的平面区域。
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导数形式基本不变的函数，u取x n
2 . x (ln x、 arcsin x、 arctan x ) （n 0,1, 2,）
0 n
导数形式变化非常大的函数, v取x n
关于取u的经验性口决：反－对－幂－指－三
有理函数积分
有理函数 : 多项式之商
即
a0 x a1 x an1 x an b0 x m b1 x m 1 bm 1 x bm
o a x x dx b
x
( t )
其中 ( t ), ( t ) 在[ , ] 上具有连续导数
弧长 s
2 2 ( t ) ( t )dt
C．曲线弧为 r r ( ) 弧长 s
2
( )
2 r ( ) r ( )d
注意：
换元法的目的： 解决 sec 2 x tan 2 x 1
2 2 x a tan t ( t ) 2 2 x a sec t (0 t ) 2 x a sin t (
sin 2 x cos 2 x 1
1
0
a x
2
2
t
)
20 30
(1) 平面图形的面积
直角坐标情形
y
y f ( x)
y
y f2 ( x)
A
o
A
y f1 ( x )
a
b
b
x
o
b
a
b
x
A a f ( x )dx
A a [ f 2 ( x ) f1 ( x )]dx
参数方程所表示的函数
x (t ) 如果曲边梯形的曲边为参数方程 y (t )
曲边梯形的面积 A ( t ) ( t )dt t
1
t2
（其中t1 和t 2 对应曲线起点与终点的参数值）
在[t1 ,t 2 ]（或[t 2 t , 1 ]）上 x ( t ) 具有连续导数，
y ( t ) 连续.
极坐标情形
r ( )
d
r 1 ( )
r 2 ( )
o
x
o
x
1 A [ ( )]2 d 2
ห้องสมุดไป่ตู้
1 2 A [ 2 ( ) 12 ( )]d 2
(2) 体积
y
o
x
y
d
x dx
x
V a [ f ( x )]2 dx
b
x ( y)
V c [ ( y )]2 dy
a2 x2 x2 a2
40
R( x ,
n1
其他
其它 t
ax b n2 ax b ax b n , ), 令 t , n是n1 , n2的最小公倍数 cx d cx d cx d
分部积分法
ud v uv vd u
解决的基本目标： 10. x n (e x、 sin x、 cos x、a x ) （n 0,1, 2,）
一. 凑微分（第一类换元法）： 定理1
设 f ( u) 具有原函数，u g( x ) 可导，
则有换元公式
f [ g( x )]g( x )dx [ f (u)du]u g ( x ) F (u) c |u g ( x ) F ( g( x )) c
定理2 设 (t )可导且 (t ) 0, 则
(4) 旋转体的侧面积
y f ( x ) 0, a x b
y
y f ( x)
o
S侧
b
x
x dx
x
a
2 2f ( x ) 1 f ( x )dx
n
n 1
其中m 、n 都是非负整数； a 0 , a1 , , a n 及
b0 , b1 , , bm 都是实数，并且 a 0 0 ，b0 0
若 n m , 则为假分式
积分方法：
换元法： 设 f ( x ) C[a , b], x ( t )
若 10. ( ) a, ( ) b
第二类换元法
f ( x )dx |
x ( t )
f ( ( t )) ( t )dt
记f ( (t )) (t ) g(t ), 若g(t )存在原函数G(t ), 则
f ( ( t )) ( t )dt g( t )dt G( t ) c |t 1 ( x ) G( 1 ( x )) c
20. (t ) 在 [ , ](或 [ , ])上有连续的导数 且其值域 [a , b]
则
b
a
f ( x )dx f [ (t )]d (t )＝ f [ (t )] (t )dt
分部积分法：
a udv uv a a vdu
b b
b
定积分应用的常用公式
d
c
o
V 2 xf ( x )dx
a
b
x
平行截面面积为已知的立体的体积
A( x )
o
a
x x dx
b
x
V a A( x )dx
b
(3) 平面曲线的弧长
A．曲线弧为 y f ( x )
弧长 s a 1 y dx
2 b
y
dy
x (t ) B．曲线弧为 y (t )