高等数学第三章小结

(4) 旋转体的侧面积
y f ( x ) 0, a x b
y
y f ( x)
o
S侧
b
x
x dx
x
a
2 2f ( x ) 1 f ( x )dx
(1) 平面图形的面积
直角坐标情形
y
y f ( x)
y
y f2 ( x)
A
o
A
y f1 ( x )
a
b
b
x
o
b
a
b
x
A a f ( x )dx
A a [ f 2 ( x ) f1 ( x )]dx
参数方程所表示的函数
x (t ) 如果曲边梯形的曲边为参数方程 y (t )
d
c
o
V 2 xf ( x )dx
a
b
x
平行截面面积为已知的立体的体积
A( x )
o
a
x x dx
b
x
V a A( x )dx
பைடு நூலகம்
b
(3) 平面曲线的弧长
A．曲线弧为 y f ( x )
弧长 s a 1 y dx
2 b
y
dy
x (t ) B．曲线弧为 y (t )
20. (t ) 在 [ , ](或 [ , ])上有连续的导数 且其值域 [a , b]
则

b
a
f ( x )dx f [ (t )]d (t )＝ f [ (t )] (t )dt


分部积分法：
a udv uv a a vdu
b b
b
定积分应用的常用公式
r 2 ( )
o

x
o

x
1 A [ ( )]2 d 2
1 2 A [ 2 ( ) 12 ( )]d 2
(2) 体积
y
o
x
y
d
x dx
x
V a [ f ( x )]2 dx
b
x ( y)
V c [ ( y )]2 dy
a2 x2 x2 a2
40
R( x ,
n1
其他
其它 t
ax b n2 ax b ax b n , ), 令 t , n是n1 , n2的最小公倍数 cx d cx d cx d
分部积分法
ud v uv vd u
解决的基本目标： 10. x n (e x、 sin x、 cos x、a x ) （n 0,1, 2,）
导数形式基本不变的函数，u取x n
2 . x (ln x、 arcsin x、 arctan x ) （n 0,1, 2,）
0 n
导数形式变化非常大的函数, v取x n
关于取u的经验性口决：反－对－幂－指－三
有理函数积分
有理函数 : 多项式之商
即
a0 x a1 x an1 x an b0 x m b1 x m 1 bm 1 x bm
第二类换元法
f ( x )dx |
x ( t )
f ( ( t )) ( t )dt
记f ( (t )) (t ) g(t ), 若g(t )存在原函数G(t ), 则

f ( ( t )) ( t )dt g( t )dt G( t ) c |t 1 ( x ) G( 1 ( x )) c
n
n 1
其中m 、n 都是非负整数； a 0 , a1 , , a n 及
b0 , b1 , , bm 都是实数，并且 a 0 0 ，b0 0
若 n m , 则为假分式
积分方法：
换元法： 设 f ( x ) C[a , b], x ( t )
若 10. ( ) a, ( ) b
曲边梯形的面积 A ( t ) ( t )dt t
1
t2
（其中t1 和t 2 对应曲线起点与终点的参数值）
在[t1 ,t 2 ]（或[t 2 t , 1 ]）上 x ( t ) 具有连续导数，
y ( t ) 连续.
极坐标情形

r ( )
d

r 1 ( )
o a x x dx b
x
( t )
其中 ( t ), ( t ) 在[ , ] 上具有连续导数
弧长 s

2 2 ( t ) ( t )dt
C．曲线弧为 r r ( ) 弧长 s

2
( )
2 r ( ) r ( )d
注意：
换元法的目的： 解决 sec 2 x tan 2 x 1
2 2 x a tan t ( t ) 2 2 x a sec t (0 t ) 2 x a sin t (
sin 2 x cos 2 x 1
1
0
a x
2
2

t

)
20 30
一. 凑微分（第一类换元法）： 定理1
设 f ( u) 具有原函数，u g( x ) 可导，
则有换元公式

f [ g( x )]g( x )dx [ f (u)du]u g ( x ) F (u) c |u g ( x ) F ( g( x )) c
定理2 设 (t )可导且 (t ) 0, 则