高等数学(同济大学版)第三章练习(含答案)
高等数学(同济大学版)第三章练习(含答案)
第三章 微分中值定理与导数的应用一、要求：1、罗尔定理，拉格朗日定理应用；2、洛必达法则；3、函数单调性、极值、最值、凹凸性、拐点的判断，函数图形的描绘；4、简单不等式证明；5、最值在实际问题中的应用。
二、练习1. 在区间 [ 1,1] 上满足罗尔定理条件的函数是 ().A.1 B.f ( x ) | x | C. f ( x) 1 x 2D. f ( x ) x22 x 1.f ( x)x 22. 函数 f ( x) arctan x 在 [ 0 ,1] 上满足拉格郎日中值定理的值是 ().A.4B.41C. 1D. 4.11 3.4设函数 f ( x ) ( x 1)( x2)( x 3)，则方程 f ( x )0 有个零点，这些零点所在的范围是；.3. 设函数 f ( x ) ( x 1)( x 2)( x 3)，则方程 f ( x )0 有个零点，这些零点所在的范围是.4. 函数 f ( x ) ln xx2在(0,) 内的零点的个数为.e5. 曲线6. 函数yxe x 的拐点 ，凹区间，凸区间.yln x1x 2的单调区间.7. 曲线 f ( x) e x的渐近线为.x 18. 计算：5 x 4x11(12（2） lim (cos x )（1） limx 1xx) （3） limtan 2 xx1xe 1x 0arctan x x(1 x 2 )1 / 31 ；1（ 4） lim ；（5） lim（6） lim (cscx ) ；x 0x ln(1 2 x 2 )xcosx1x 0x（ 7） lim x 3 (sin 11 sin2 ) ；（ ） lim (tanx )2 x；（ 9） limx；exx2x8x ln xx29. 证明 2 arctanxarcsin2 xx1 .21 x10. 证明方程x5x10 在区间( 1, 0)内有且只有一个实根.11. 证明多项式f x3 3 x a 在0,1上不可能有两个零点 .x12. 证明：当0x时， x sin x 22x13.证明：当x0时，1x2arctan x xx14. 设 f x32bx在 x 1 处有极值-2，试确定系数 a , b ，并求x axy f x 的所有极值点与拐点.15. 求内接于椭圆x2y2221 而面积最大的矩形的各边之长.a b16.由直线 y0,x8及抛物线 y x2围成一个曲边三角形 ,在曲边 y x2上求一点 , 使曲线在该点处的切线与直线y0 及 x 8 所围成的三角形面积最大.17.描绘 (1)y 3 x2，(2) y21的图形 .2( x1) ( x 1) 2( x 1)18.要做一个容积为 2 的密闭圆柱形罐头筒，问半径和筒高如何确定才能使所用材料最省？19．要造一个长方体无盖蓄水池，其容积为500 立方米，底面为正方形。
同济大学《高等数学》(第四版)第三章习题课
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求极值的步骤: 求极值的步骤:
(1) 求导数 f ′( x ); ( 2) 求驻点，即方程 f ′( x ) = 0 的根; 求驻点，
( 3) 检查 f ′( x ) 在驻点左右的正负号或 f ′′( x ) 在 该点的符号 , 判断极值点;
(4) 求极值 .
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(3) 最大值、最小值问题 最大值、
做函数 f ( x )的驻点.
驻点和不可导点统称为临界点. 驻点和不可导点统称为临界点. 临界点
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定理(第一充分条件) 定理(第一充分条件) x (1)如 x∈(x0 −δ , x0),有f '(x) > 0;而 ∈(x0, x0 +δ ), 如 果 x 取 极 值 有f '(x) < 0， f (x)在 0处 得 大 . 则 x (2)如 x∈(x0 −δ , x0),有f '(x) < 0;而 ∈(x0, x0 +δ ) 如 果 x 取 极 值 有f '(x) > 0， f (x)在 0处 得 小 . 则 x (3)如 当x∈(x0 −δ , x0)及 ∈(x0, x0 +δ )时 f '(x) 符 如 果 , (x x 无 值 号 同则f (x)在 0处 极 . 相 ,则 定理(第二充分条件) 定理(第二充分条件)设f (x)在 0 处 有 阶 数 x 具 二 导 , 且f '(x0 ) = 0, f ''(x0 ) ≠ 0, 那 末 f ''(x0 ) < 0时 函 f (x)在 0 处 得 大 ; x 取 极 值 (1)当 , 数 当 '' x 取 极 值 (2)当f (x0) > 0时 函 f (x)在 0 处 得 小 . , 数 当
同济大学数学系《高等数学》(第7版)(上册)-课后习题详解-第三章 微分中值定理与导数的应用【圣才出
有且仅有三个实根，它们分别位于区间（1，2），（2，3），（3，4）
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6．证明恒等式： 证：取函数 f(x)＝arcsinx＋arccosx，x∈[－1，1]．因
所以 f(x)≡C．取 x＝0，得
．因此
7．若方程 正根 x＝x0，证明方程
即
，所以
（2）取函数
，因为函数 f(t)在[1，x]上连续，在（1，x）内可导，则由
拉格朗日中值定理知，至少存在一点 ξ∈（1，x），使
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即
．又 1＜ξ＜x，所以 eξ＞e，因此
即
ex＞x·e．
12．证明方程 x5＋x－1＝0 只有一个正根． 证：取函数 f(x)＝x5＋x－1，f(x)在[0，1]上连续，
的正根． 证：取函
有一个 必有一个小于 x0
数
．f(x)在[0，x0]
上连续，在（0，x0）内可导，且 f(0)＝f（x0）＝0，由罗尔定理知至少存在一点
ξ∈（0，x0），使
，即方程
正根．
必有一个小于 x0 的
8．若函数 f(x)在（a，b）内具有二阶导数，且 f（x1）＝f（x2）＝f（x3），其中
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a＜x1＜x2＜x3＜b．证明：在（x1，x3）内至少有一点 ξ，使得
．
证：根据题意知函数 f(x)在[x1，x2]，[x2，x3]上连续，在（x1，x2），（x2，x3）内可导
且
，所以由罗尔定理知至少存在点 ξ1∈（x1，x2），
同济大学《高等数学》第七版上、下册答案(详解),DOC
解得 z 14
9
即所求点为 M（0，0，14 ）.
9
7. 试证：以三点 A（4，1，9），B（10，-1，6），C（2，4，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形. 证明：因为|AB|=|AC|=7.且有 |AC|2+|AB|2=49+49=98=|BC|2. 故△ABC 为等腰直角三角形. 8. 验证： (a b) c a (b c) .
3 i 14
1 j 14
2 k.
14
14. 三个力 F1=(1,2,3), F2=(-2,3,-4), F3=(3,-4,5)同时作用于一点. 求合力 R 的大小和方向余弦.
解：R=（1-2+3，2+3-4，3-4+5）=（2，1，4）
| R | 22 12 42 21
cos 2 , cos 1 , cos 4 .
故 A 的坐标为 A(-2, 3, 0).
13. 一向量的起点是 P1（4，0，5），终点是 P2（7，1，3），试求：
（1） P1P2 在各坐标轴上的投影； （2） P1P2 的模；
（3） P1P2 的方向余弦；
（4） P1P2 方向的单位向量.
解：（1） ax Pr jx P1P2 3,
ay Pr jy P1P2 1,
练习 5-2
练习 5-3
练习 5-4
总习题五
练习 6-2
练习 6-3
(2) s 22 (3)2 (4)2 29
(3) s (1 2)2 (0 3)2 (3 4)2 67
(4) s (2 4)2 (1 2)2 (3 3)2 3 5 .
5. 求点（4，-3，5）到坐标原点和各坐标轴间的距离.
大一上学期同济版高数第三章习题课xgPPT课件
(2) 证明恒等式或不等式
(3) 证明有关中值问题的结论 5
3. 有关中值问题的解题方法
利用逆向思维 , 设辅助函数 . 一般解题方法: (1) 证明含一个中值的等式或根的存在 , 多用罗尔定理,
可用原函数法找辅助函数 . (2) 若结论中涉及到含中值的两个不同函数 , 可考虑用
高等数学
第二十一讲
1
整体概述
概述一
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பைடு நூலகம்
概述二
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2
习题课
第三章
中值定理及导数的应用
一、 微分中值定理及其应用 二、 导数应用
3
一、 微分中值定理及其应用
1. 微分中值定理及其相互关系
罗尔定理
f(a)f(b) 拉格朗日中值定理
(n 1 1 )!f(n 1 )()x ( x0)n 1 4
2. 微分中值定理的主要应用 微分中值定理是揭示函数及其导数之间的内在联系
的公式。 这些公式对于利用某函数导数所具有的性质 去推断函数本身应具有的性质是极为重要的。
微分中值定理也构成微分学基本理论的重要内容。 有关中值定理的证明题和计算题是它的重要组成部分。
xa
这表明左端点不取最小值：
同样 f b0, f b x l b im fx x b fb 0
由极限的保号性定理知，必存在 b2,b 使
fxfb0 则有 fxfb,
xb
12
这表明右端点也不取最小值：
fx C 1[a,b]必有最小值，且必有极小值 f ,
a,b. 由费马定理可知，f 0 a ,b .
同济大学线性代数课后答案 第三章
0 0
10⎟⎟⎠A⎜⎜⎝00
1 0
10⎟⎟⎠ = ⎜⎜⎝ 74
5 8
96⎟⎟⎠ ,
求 A.
解
⎜⎜⎝⎛100
1 0 0
100⎟⎟⎠⎞ 是初等矩阵 E(1, 2),
其逆矩阵就是其本身.
⎛1 0 1⎞ ⎜0 1 0⎟ 是初等矩阵 E(1, 2(1)), 其逆矩阵是 ⎜⎝0 0 1⎟⎠
⎛ 1 0 −1⎞
E(1, 2(−1))
⎜⎝0 0 0 1 4⎟⎠
⎛1 0 2 0 −2⎞
~
⎜ ⎜
0 0
1 −1 −1 00 1
−1⎟ 4⎟ (下一步: r2+r3. )
⎜ ⎝
0
0
0
0
0⎟⎠
~
⎜⎛
⎜ ⎜⎝
1 0 0 0
0 1 0 0
2 −1 0 0
0 0 1 0
−32⎟⎞
4 0
⎟ ⎟⎠
.
⎛0 1 0⎞ ⎛1 0 1⎞ ⎛1 2 3⎞
2.
设 ⎜⎜⎝ 10
0 0 0
0 0 3
0 1⎟
0 2
00⎟⎟⎠
~
⎜⎛
⎜ ⎜⎝
1 0 0 0
0 1 0 0
3 2 0 0
2 −1 0 0
70⎟⎞ 01⎟⎟⎠
,
0 7 −5 矩阵的秩为 3, 5 8 0 =70≠0 是一个最高阶非零子式.
32 0
10. 设 A、B 都是 m×n 矩阵, 证明 A~B 的充分必要条件是
R(A)=R(B). 证明 根据定理 3, 必要性是成立的.
解
⎜1 ⎜⎝ 1
−1 3
2 −4
−1⎟ 4⎟⎠
同济大学数学系《高等数学》第7版上册配套题库【课后习题(1-3章)】【圣才出品】
（4）
，故其定义域为（－2，2）．
（5）x≥0，故其定义域为[0，＋∞）．
（6）
，故其定义域为{x|x∈R 且
，k∈Z}．
（7）
，故其定义域为[2，4]．
（8）3－x≥0 且 x≠0，故其定义域为（－∞，0）∪（0，3]．
（9）
，故其定义域为（－1，＋∞）．
（10）x≠0，故其定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞）．
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第一章 函数与极限
习题 1-1 映射与函数 1．求下列函数的自然定义域：
解：（1）
，故其定义域为
．
（2）
，故其定义域为（－∞，－1）∪（－1，1）∪（1，＋∞）．
（3）x≠0 且
且|x|≤1，故其定义域为[－1，0）∪（0，1]．
故 G（x）为偶函数． 设 f（x）为偶函数，g（x）为奇函数，则 f（－x）＝f（x），g（－x）＝－g（x）．令 ，于是
故 H（x）为奇函数．
7．下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪些既非偶函数又非奇函数？
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令 F（x）＝f1（x）＋f2（x），于是 F（－x）＝f1（－x）＋f2（－x）＝f1（x）＋f2（x）＝F（x）
故 F（x）为偶函数． 设 g1（x），g2（x）均为奇函数，则 g1（－x）＝－g1（x），g2（－x）＝－g2（x）．令 ，于是 G（－x）＝g1（－x）＋g2（－x）＝－g1（x）－g2（x）＝－G（x）
故 G（x）为奇函数． （2）设 f1（x）,f2（x）均为偶函数，则 f1（－x）＝f1（x），f2（－x）＝f2（x）．令 ，于是 F（－x）＝f1（－x）·f2（－x）＝f1（x）f2（x）＝F（x）
同济大学数学习题及答案
⑵ 若 lim f ( x ) ⋅ g ( x ) 及 lim f (x ) 都存在，则 lim g ( x ) 也存在。
x→a x→a x→a
2． 求下列极限： ⑴ lim e ；
x → +∞ 1 x
⑵ lim e
x →0
−
100 x
；
⑶ lim−
x→0
1 1+ a
1 x
(a > 0) 。
sin αx (β ≠ 0) ； x → 0 sin β x
tan 5 x ； sin 3 x
⑵ lim 2 n sin
n→∞
x （ x 为不等于零的常数） ； 2n
⑶ lim
x→0
⑷ lim
x→0
x ； sin (sin x )
1 − cos 2 x ； x sin x
⑸ lim+ x cot x ；
⎧1 ⎪ x sin x, ⎪ ⑴ f ( x ) = ⎨k , ⎪ 1 ⎪ x sin + 1, x ⎩
x<0 x=0 x>0 0 ≤ x <1 ⎧2 x, ⑵ f (x ) = ⎨ 。 ⎩k − 3 x , 1 ≤ x < 2
3． 研究下列函数的连续性，并画出函数的图形。
⎧x2 , ⑴ f (x ) = ⎨ ⎩2 − x,
2
(
)
⑵ sin x ；
⑶
[ f (x )]y ( x ) ( f (x ) > 0) ；
4． 设 f ( x ) = e x ， f [φ ( x )] = 1 − x ，且 φ ( x ) ≥ 0 ，求 φ ( x ) 并写出它的定义域。
⎧1， x < 1 ⎪ 5． 设 f ( x ) = ⎨0， x = 1 ， g ( x ) = e 2 ，求 f [g ( x )] 和 g [ f ( x )] ，并作这两个函数的图形。 ⎪ ⎩− 1, x > 1 6． 收音机每台售价为 90 元，成本为 60 元，厂方为鼓励销售商大量采购，决定凡是订 购量超过 100 台以上的，每多订购一台，售价就降低 1 分，但最低价为每台 75 元， ⑴ 将每台的实际售价 P 表示为订购量 x 的函数； ⑵ 将厂方所获的利润 P 表示程订购量 x 的函数； ⑶ 某一商行订购了 1000 台，厂方可获利润多少？
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第三章 微分中值定理与导数的应用
一、要求：
1、罗尔定理，拉格朗日定理应用；
2、洛必达法则；
3、函数单调性、极值、最值、凹凸性、拐点的判断，函数图形的描绘；
4、简单不等式证明；
5、最值在实际问题中的应用。
二、练习
1. 在区间 [ 1,1] 上满足罗尔定理条件的函数是 (
).
A.
1 B.
f ( x ) | x | C. f ( x) 1 x 2
D. f ( x ) x
2
2 x 1
.
f ( x)
x 2
2. 函数 f ( x) arctan x 在 [ 0 ,1] 上满足拉格郎日中值定理的
值是 (
).
A.
4
B.
4
1
C. 1
D. 4
.
1
1 3.
4
设函数 f ( x ) ( x 1)( x
2)( x 3)
，则方程 f ( x )
0 有
个零点，这些零点
所在的范围是
；.
3. 设函数 f ( x ) ( x 1)( x 2)( x 3)
，则方程 f ( x )
0 有
个零点，这些零点所在
的范围是
.
4. 函数 f ( x ) ln x
x
2在(0,
) 内的零点的个数为
.
e
5. 曲线
6. 函数
y
xe x 的拐点 ，凹区间
，凸区间
.
y
ln x
1
x 2
的单调
区间
.
7. 曲线 f ( x) e x
的渐近线为
.
x 1
8. 计算：
5 x 4
x
1
1
(1
2
（2） lim (
cos x )
（1） lim
x 1
x
x
) （3） lim
tan 2 x
x
1
x
e 1
x 0
arctan x x
(1 x 2 )1 / 3
1 ；
1
（ 4） lim ；
（5） lim
（6） lim (csc
x ) ；
x 0
x ln(1 2 x 2 )
x
cos
x
1
x 0
x
（ 7） lim x 3 (sin 1
1 sin
2 ) ；（ ） lim (tan
x )
2 x
；（ 9） lim
x
；
e
x
x
2
x
8
x ln x
x
2
9. 证明 2 arctan
x
arcsin
2 x
x
1 .
2
1 x
10. 证明方程x5x10 在区间( 1, 0)内有且只有一个实根.
11. 证明多项式f x3 3 x a 在0,1上不可能有两个零点 .
x
12. 证明：当0x时， x sin x 2
2
x
13.证明：当x0时，1x
2arctan x x
x
14. 设 f x32bx在 x 1 处有极值-2，试确定系数 a , b ，并求
x ax
y f x 的所有极值点与拐点.
15. 求内接于椭圆x2
y
2
22
1 而面积最大的矩形的各边之长.
a b
16.由直线 y0,x8及抛物线 y x2围成一个曲边三角形 ,在曲边 y x2上求一点 , 使曲线在该点处的切线与直线y0 及 x 8 所围成的三角形面积最大.
17.描绘 (1)y 3 x2，(2) y21的图形 .
2( x1) ( x 1) 2
( x 1)
18.要做一个容积为 2 的密闭圆柱形罐头筒，问半径和筒高如何确定才能使所
用材料最省？
19．要造一个长方体无盖蓄水池，其容积为500 立方米，底面为正方形。
设底面与四壁所使用材料的单位造价相同，问底边和高为多少米时，才能使所用材料费最省？
20. 选做题：若函数 f ( x )有lim f ( x )0, lim f ( x )1,
x x x
lim[ f ( x)x] 2, lim
f ( x )
x x x
f ( x )0 ( x 2 ), 当 x (1 / 2, 2)
(1)函数 f ( x ) 的单调区间
0, lim f ( x),并且当 x(0 ,1)时 , f ( x ) 0 ,否则x 2
时, f ( x )0 ,否则 f ( x)0 ( x0), 则
(注明增减)是 _______.
(2)函数曲线的凹向和拐点是 _______ .
(3)当 x _______ 时,函数取得极大值_______ .
(4)函数的渐近线有 _______ .
(5) 设f (0 ) 5 / 4, f (1 / 2) 3 / 4 , f (1) 1 / 2, f ( 7 / 4) 0 , 试作出 y f ( x) 的描述性图形.。