导数在研究函数中的应用教案

第二章函数与导数第12课时导数在研究函数中的应用(对应学生用书(文)、(理)30～32页

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1. (选修22P28例1改编)函数f(x)＝x3－15x2－33x＋6的单调减区间为______________．

答案：(－1，11)

解析：f′(x)＝3x2－30x－33＝3(x－11)(x＋1)，由(x－11)(x＋1)<0，得单调减区间为(－1，11)．亦可填写闭区间或半开半闭区间．

2. (选修22P 34习题3改编)若函数f(x)＝e x －ax 在x ＝1处取到极值，则a ＝________．

答案：e

解析：由题意，f ′(1)＝0，因为f′(x)＝e x －a ，所以a ＝e.

3. (选修22P 34习题8)函数y ＝x ＋sinx ，x ∈[0，2π]的值域为________．

答案：[0，2π]

解析：由y′＝1＋cosx ≥0，所以函数y ＝x ＋sinx 在[0，2π]上是单调增函数，所以值域为[0，2π]．

4. (原创)已知函数f(x)＝－12x 2＋blnx 在区间[2，＋∞)上是减函

数，则b 的取值范围是________．

答案：(－∞，4]

解析：f′(x)＝－x ＋b x ≤0在[2，＋∞)上恒成立，即b ≤x 2在[2，

＋∞)上恒成立．

5. (选修22P 35例1改编)用长为90cm 、宽为48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻折90°角，再焊接而成，则该容器的高为________cm 时，容器的容积最大．

答案：10

解析：设容器的高为xcm ，即小正方形的边长为xcm ，该容器的容积为V ，则V ＝(90－2x)(48－2x)x ＝4(x 3－69x 2＋1080x)，0

V′＝12(x2－46x＋360)＝12(x－10)(x－36)，当00；当10

1. 函数的单调性与导数

在区间(a，b)内，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：

如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)为该区间上的增函数；

如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)为该区间上的减函数．

2. 函数的极值与导数

(1) 函数极值的定义

若函数f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都要小，f(a)叫函数的极小值．

若函数f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都要大，f(b)叫函数的极大值，极小值和极大值统称为极值．

(2) 求函数极值的方法

解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，

①如果在x0附近左侧单调递增，右侧单调递减，那么f(x0)是极大值．

②如果在x0附近左侧单调递减，右侧单调递增，那么f(x0)是极小值．

3. 函数的最值

(1) 最大值与最小值的概念

如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的x∈I，总有f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在定义域上的最大值．如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的x∈I，总有f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在定义域上的最小值．

(2) 求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤

①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值．

②将函数y＝f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较，其中值最大的一个是最大值，值最小的一个是最小值．

4. 生活中的优化问题

解决优化问题的基本思路是：

优化问题®

®用导数解决数学问题®优化问题答案

题型1导数与函数的单调性

例1已知函数f(x)＝x3－ax－1.

(1) 若a＝3时，求f(x)的单调区间；

(2) 若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；

(3) 是否存在实数a，使f(x)在(－1，1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．

解：(1) 当a＝3时，f(x)＝x3－3x－1，∴f′(x)＝3x2－3，

令f′(x)>0即3x2－3>0，解得x>1或x<－1，

∴ f(x)的单调增区间为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，

同理可求f(x)的单调减区间为(－1，1)．

(2) f′(x)＝3x 2－a.

∵ f(x)在实数集R 上单调递增，

∴ f ′(x)≥0恒成立，即3x 2－a ≥0恒成立，∴ a ≤(3x 2)min . ∵ 3x 2的最小值为0，∴ a ≤0.

(3) 假设存在实数a 使f(x)在(－1，1)上单调递减，

∴ f ′(x)≤0在(－1，1)上恒成立，即a ≥3x 2.

又3x 2∈[0，3)，∴ a ≥3.

∴ 存在实数a 使f(x)在(－1，1)上单调递减，且a ≥3.

备选变式（教师专享）

(1) 已知函数 f(x)＝12x 2－mlnx ＋(m －1)x ，当 m ≤0 时，试讨论

函数 f(x) 的单调性；

(2) 若函数f(x)＝－12()x －22＋blnx 在(1，＋∞)上是减函数，求

实数b 的取值范围．

解：(1)函数的定义域为(

)0，＋∞，f ′(x)＝x －m x ＋(m －1)＝x 2＋（m －1）x －m x ＝（x －1）（x ＋m ）x

. ①当－10，得01，

令f′(x)<0，得－m

∴ 函数 f(x)的单调递增区间是()0，－m 和()1，＋∞，单调递减