25个高数定理证明
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14.设yoz坐标面内的曲线L的方程为 F（y, z）=0，求其绕z轴旋转一周所得到 的旋转曲面的方程为F（ x2+y2 , z）=0
15.设单连通区域D内P，Q 连续， y x
且满足 P Q，证明曲线积分 y x
L Pdx Qdy在D内与路径无关
16.设f ( x)在a, a上连续，
证明 a f ( x)dx a f ( x) f ( x) dx
2
b a
f
2
(x)dx
b a
g
2
(x)dx
21.f ( x) C a， a ，则x a， a ,有
x
奇函数,
F ( x) 0 f (t )dt 偶函数，
f ( x)为偶函数 f ( x)为奇函数
22.若（ f x）在a，b上连续，（ g x）在a，b上可积且不变号
则（1）
a，b，使得
2、如果已知级数通项的性质，如an 收敛，
有界等，要证明级数收敛，一般用比较判别法 的不等式形式.
如，nan有界 an2收敛
3、 如果已知级数的性质，如an收敛等，要证明 级数收敛，一般也用比较判别法，但是用不等 式形式居多. 如， an 收敛 an2收敛
四、需要掌握的定理证明和一些公式的推导：
3、 利用最大值，最小值证明不等式.
如，当x 0, )时，e x (1 x) 1
4、 常值不等式的证明转化成函数的单调性， 或函数不等式. 如，比较e ， e的大小
二、等式的证明思路
1、如果结论是不带导数的等式，一般用零点定理考虑 如，F（x0）=0
2、已知结论中含导数： （A）是一个点的导数，如f（ ）=0，用罗尔定理考虑 （B）是二个点的导数，如f（ ）+g（ ）=0，用两次拉 格朗日中值定理或一 次 拉 格 朗 日 中 值 定 理， 一次柯西中值定理
高等数学考研辅导
（题型思路与必证定理）
一、不等式的证明思路
1、如果区间上成立的不等式，一般用单调性证明. 如，当x (0, )时, (1+ 1 )x e x
2、已知条件中导数的阶数是二阶以上，又知道最 高阶导数的符号，一般要用泰勒公式考虑. 如，已知f (x)在(0, )内二阶可导, 且f (x) 0，lim f (x) =0. x0 x 证明：f (x) x
(
Q(x)e
p(x)dx
dx C )
3、 如果结论是函数值与某点的二阶导数的等式，
要用泰勒公式考虑.
如，结论是f
(b)
Байду номын сангаас
2
f
a
2
b
(b a)2 f (a)
4
f ()
或
f (b)
f (a)
f
a
2
b
(b
a)
(b
a)3 24
f ()
三、级数收敛的证明思路
1、如果涉及的级数的部分和是两项和或差 一般要用级数的部分和S n考虑. 如，(an1 an )
8.利用级数收敛的定义证明正项级数的比较法
9.叙述并证明正项级数收敛的比值法
9.绝对收敛级数本身是收敛的 10.若级数每一项取绝对值后的正项级数 用比值法判定是发散的，证明原级数发散 11.正项级数收敛的充要条件:部分和有界
12.交错级数收敛的阿贝尔定理
13.二阶欧拉微分方程化为常系数微分方程 的推导过程
b
a
（ f x）dx
（ f ）(b a )
（2）
a，b，使得
b
a
（ f x）（ g x）dx
（ f ）b （ g x）dx a
23.多元函数可微的必要条件（连续，可偏导） 24.多元函数取得极值的必要条件（偏导数为零）
25.证明微分方程y p( x) y Q( x)的通解为
y e
p(x)dx
所围成，用微元法证明D绕y轴旋转所得的旋转体的
体积是:
b
2xf ( x)dx
a
19.证明：（1）I= 2 sinn xdx 2 cosn xdx
0
0
n!
（2）I=
n 1!!
n!
n 1!! 2
， n为奇数 ， n为奇数
20. f, g连续，则
b a
f(x)g(x)dx
1.介值定理的证明 2.可导与可微等价 3.斜渐近线公式的推导 4.一元函数取得极值的必要条件是什么？给出证明 5.三个中值定理的证明
6.设y （ f x）满足f（ x0）=0，f （ x0） 0， 证明x0是极值点
7.设y （ f x）满足f （ x0）=0，f （ x0） 0，
证明 x0，（ f x0） 是拐点
a
0
=
2
a 0
f ( x)dx，若f ( x)是偶函数
0 ， 若f ( x)是偶函数
17 .设f(x)是以T为周期的连续函数，
证明对a,
a+T
f(x)dx =
T
f(x)dx =
a
0
T
2 -T
f(x)dx
2
18.设D是由y=f ( x)( f 0), x a, b和x a, x b, y 0
15.设单连通区域D内P，Q 连续， y x
且满足 P Q，证明曲线积分 y x
L Pdx Qdy在D内与路径无关
16.设f ( x)在a, a上连续，
证明 a f ( x)dx a f ( x) f ( x) dx
2
b a
f
2
(x)dx
b a
g
2
(x)dx
21.f ( x) C a， a ，则x a， a ,有
x
奇函数,
F ( x) 0 f (t )dt 偶函数，
f ( x)为偶函数 f ( x)为奇函数
22.若（ f x）在a，b上连续，（ g x）在a，b上可积且不变号
则（1）
a，b，使得
2、如果已知级数通项的性质，如an 收敛，
有界等，要证明级数收敛，一般用比较判别法 的不等式形式.
如，nan有界 an2收敛
3、 如果已知级数的性质，如an收敛等，要证明 级数收敛，一般也用比较判别法，但是用不等 式形式居多. 如， an 收敛 an2收敛
四、需要掌握的定理证明和一些公式的推导：
3、 利用最大值，最小值证明不等式.
如，当x 0, )时，e x (1 x) 1
4、 常值不等式的证明转化成函数的单调性， 或函数不等式. 如，比较e ， e的大小
二、等式的证明思路
1、如果结论是不带导数的等式，一般用零点定理考虑 如，F（x0）=0
2、已知结论中含导数： （A）是一个点的导数，如f（ ）=0，用罗尔定理考虑 （B）是二个点的导数，如f（ ）+g（ ）=0，用两次拉 格朗日中值定理或一 次 拉 格 朗 日 中 值 定 理， 一次柯西中值定理
高等数学考研辅导
（题型思路与必证定理）
一、不等式的证明思路
1、如果区间上成立的不等式，一般用单调性证明. 如，当x (0, )时, (1+ 1 )x e x
2、已知条件中导数的阶数是二阶以上，又知道最 高阶导数的符号，一般要用泰勒公式考虑. 如，已知f (x)在(0, )内二阶可导, 且f (x) 0，lim f (x) =0. x0 x 证明：f (x) x
(
Q(x)e
p(x)dx
dx C )
3、 如果结论是函数值与某点的二阶导数的等式，
要用泰勒公式考虑.
如，结论是f
(b)
Байду номын сангаас
2
f
a
2
b
(b a)2 f (a)
4
f ()
或
f (b)
f (a)
f
a
2
b
(b
a)
(b
a)3 24
f ()
三、级数收敛的证明思路
1、如果涉及的级数的部分和是两项和或差 一般要用级数的部分和S n考虑. 如，(an1 an )
8.利用级数收敛的定义证明正项级数的比较法
9.叙述并证明正项级数收敛的比值法
9.绝对收敛级数本身是收敛的 10.若级数每一项取绝对值后的正项级数 用比值法判定是发散的，证明原级数发散 11.正项级数收敛的充要条件:部分和有界
12.交错级数收敛的阿贝尔定理
13.二阶欧拉微分方程化为常系数微分方程 的推导过程
b
a
（ f x）dx
（ f ）(b a )
（2）
a，b，使得
b
a
（ f x）（ g x）dx
（ f ）b （ g x）dx a
23.多元函数可微的必要条件（连续，可偏导） 24.多元函数取得极值的必要条件（偏导数为零）
25.证明微分方程y p( x) y Q( x)的通解为
y e
p(x)dx
所围成，用微元法证明D绕y轴旋转所得的旋转体的
体积是:
b
2xf ( x)dx
a
19.证明：（1）I= 2 sinn xdx 2 cosn xdx
0
0
n!
（2）I=
n 1!!
n!
n 1!! 2
， n为奇数 ， n为奇数
20. f, g连续，则
b a
f(x)g(x)dx
1.介值定理的证明 2.可导与可微等价 3.斜渐近线公式的推导 4.一元函数取得极值的必要条件是什么？给出证明 5.三个中值定理的证明
6.设y （ f x）满足f（ x0）=0，f （ x0） 0， 证明x0是极值点
7.设y （ f x）满足f （ x0）=0，f （ x0） 0，
证明 x0，（ f x0） 是拐点
a
0
=
2
a 0
f ( x)dx，若f ( x)是偶函数
0 ， 若f ( x)是偶函数
17 .设f(x)是以T为周期的连续函数，
证明对a,
a+T
f(x)dx =
T
f(x)dx =
a
0
T
2 -T
f(x)dx
2
18.设D是由y=f ( x)( f 0), x a, b和x a, x b, y 0