(完整版)高数中需要掌握证明过程的定理(一)
高三数学几何证明知识点
高三数学几何证明知识点数学几何是高中数学中的一大重要内容，对于高三学生来说，掌握好数学几何证明知识点不仅可以提高解题能力，还可以帮助他们更好地理解数学的本质和思维方式。
本文将介绍一些高三数学几何证明的重要知识点。
一、线段延长线在线段AB上取一点C，在延长线AC上取一点D，若有AD=BC，则可得证明：线段AB平分线段CD。
证明：根据题意可得AD=BC，要证明线段AB平分线段CD，即证明CD=2BD。
连接线段AB，并且作线段BE║AC，交延长线AD于E点。
根据平行线性质可得：∠AEB=∠ACB（对应角）因为∠AEB和∠ACB都是与切线AB相对应的所以他们之间也相等。
同理可得∠BED=∠ACB根据等角性质可得∠AEB=∠BED所以ΔABE与ΔBDE全等。
根据全等三角形的性质可知：AE=BE=BD根据延长线分割线段的性质可得：BD=CD-BD所以 CD=2BD。
因此，线段AB平分线段CD。
二、等腰三角形的性质等腰三角形是指两边相等、两底角相等的三角形，对于高三数学几何证明来说，等腰三角形的性质是常见的知识点。
定理1：等腰三角形的底角（两边非等边所对应的角）相等。
证明：设三角形ABC为等腰三角形，其中AB=AC。
假设∠B=∠C=x，∠A=y因为∠A+∠B+∠C=180°所以 y+x+x=180°化简可得：y=180°-2x又因为∠B=∠C=x所以∠BAC=180°-2x根据等差定理可知∠BAC=y所以∠BAC=∠BAC，即底角相等。
定理2：等腰三角形中，等腰边所对角相等。
证明：设三角形ABC为等腰三角形，其中AB=AC。
假设∠B=∠C=x，∠A=y又因为∠B=∠C=x根据等差定理可知∠ABC=∠ACB所以∠ABC=y所以∠ABC=∠ACB，即等腰边所对角相等。
三、勾股定理勾股定理是几何证明中使用频率非常高的一个知识点，该定理表明在直角三角形中，直角边的平方等于两个直角边所对应的两个锐角的正弦和余弦乘积的和。
考研高等数学有哪些重要定理证明
考研高等数学有哪些重要定理证明考研高等数学有哪些重要定理证明考生们在进行考研高等数学的复习阶段时，有很多重要定理证明需要去掌握。
店铺为大家精心准备了考研高等数学定理证明的复习指导，欢迎大家前来阅读。
考研高等数学重要的定理证明高数定理证明之微分中值定理:这一部分内容比较丰富，包括费马引理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理和泰勒中值定理。
除泰勒中值定理外，其它定理要求会证。
费马引理的条件有两个：1.f'(x0)存在2.f(x0)为f(x)的极值，结论为f'(x0)=0。
考虑函数在一点的导数，用什么方法?自然想到导数定义。
我们可以按照导数定义写出f'(x0)的极限形式。
往下如何推理?关键要看第二个条件怎么用。
“f(x0)为f(x)的极值”翻译成数学语言即f(x)-f(x0)<0(或>0)，对x0的某去心邻域成立。
结合导数定义式中函数部分表达式，不难想到考虑函数部分的正负号。
若能得出函数部分的符号，如何得到极限值的符号呢?极限的保号性是个桥梁。
费马引理中的“引理”包含着引出其它定理之意。
那么它引出的定理就是我们下面要讨论的罗尔定理。
若在微分中值定理这部分推举一个考频最高的，那罗尔定理当之无愧。
该定理的条件和结论想必各位都比较熟悉。
条件有三：“闭区间连续”、“开区间可导”和“端值相等”，结论是在开区间存在一点(即所谓的中值)，使得函数在该点的导数为0。
该定理的证明不好理解，需认真体会：条件怎么用?如何和结论建立联系?当然，我们现在讨论该定理的证明是“马后炮”式的：已经有了证明过程，我们看看怎么去理解掌握。
如果在罗尔生活的时代，证出该定理，那可是十足的创新，是要流芳百世的。
闲言少叙，言归正传。
既然我们讨论费马引理的作用是要引出罗尔定理，那么罗尔定理的证明过程中就要用到费马引理。
我们对比这两个定理的结论，不难发现是一致的：都是函数在一点的导数为0。
话说到这，可能有同学要说：罗尔定理的证明并不难呀，由费马引理得结论不就行了。
（word完整版）高等数学公式定理整理
（word完整版）⾼等数学公式定理整理⾼等数学公式定理整理1.01版本定理，公式整理仅⽤于参考，具体学习请多做题⽬以增进对知识的掌握。
蓝⾊为定理红⾊为公式三⾓函数恒等公式：两⾓和差tan αanα·ta+tan βanβ)-(tan α=β)-tan(αtan αanα·ta-(1tan βa +(tan α=β)+tan(αcos αosα·s±sin αinα·c =β)±sin(αsin αinα·s +cos αosα·c =β)-cos(αβsin αsin βcos αcos )βαcos(?-?=+和差化积]2β)-(α]sin[2β)+(α-2sin[=cos β-cos α]2β)-(α]cos[2β)+(α2cos[=cos β+cos α]2β)-(α]sin[2β)+(α2cos[=sin β-sin α]2β)-(α]cos[2β)+(α2sin[=sin β+sin α积化和差β)]-cos(α-β)+[cos(α21-=sin αinα·s β)]-cos(α+β)+[cos(α21=cos αosα·c β)]-sin(α-β)+[sin(α21=cos αosα·s β)]-sin(α+β)+[sin(α21=sin αinα·c倍⾓公式（部分）：很重要！αtan -1αtan 2=tan2αα2sin -1=1-α2cos =αsin -αcos =α2cos cot αo +(tan α22sin αsinα·=sin2α22222⼀、函数函数的特性： 1.有界性：假设函数在D 上有定义，如果存在正数M ，使得对于任何的x ∈D 都满⾜|f(x)|≤M 。
则称f （x ）是D 的有界函数。
如果正数M 不存在，则称这个函数是D 上的⽆界函数。
数学高数定理定义总结
数学高数定理定义总结高中数学中的高数定理是指一套基本定理和公式，包括中值定理、洛必达法则、微分学基本定理、积分学基本定理、拉格朗日中值定理、罗尔中值定理、柯西中值定理等，这些定理和公式可以帮助我们简化和解决复杂的数学问题。
下面将对这些定理进行定义和总结。
1.中值定理：中值定理是微分学中的一个重要定理，包括拉格朗日中值定理、柯西中值定理和罗尔中值定理。
这些定理都与函数在一些区间内取得特定值或通过其中一点的斜率有关。
-拉格朗日中值定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，则在(a,b)内至少存在一点c，使得f'(c)等于[f(b)-f(a)]/(b-a)。
-柯西中值定理：设函数f(x)和g(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导且g'(x)不为零，则在(a,b)内至少存在一点c，使得[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]=f'(c)/g'(c)。
-罗尔中值定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，且f(a)=f(b)，则在(a,b)内至少存在一点c，使得f'(c)=0。
2.洛必达法则：洛必达法则是一种求极限的方法，用于计算形如[0/0]、[∞/∞]、[0*∞]、[∞-∞]等不定型的极限。
- 洛必达法则：设函数f(x)和g(x)在特定点x=a附近都可导，且g'(x)不为零，若lim[x→a]f(x) = lim[x→a]g(x) = 0或∞，则lim[x→a]f(x)/g(x) = lim[x→a]f'(x)/g'(x)。
- 微分学基本定理：设函数f(x)在[a, b]上连续，则函数F(x) = ∫[a,x]f(t)dt在(a, b)内可导且F'(x) = f(x)，其中[a,x]表示对f(t)在区间[a,x]上的积分。
- 积分学基本定理：设函数f(x)在[a, b]上连续，则该区间上的定积分∫[a,b]f(x)dx可以通过求该函数的一个原函数F(x)在区间[a, b]上的差F(b) - F(a)来求得。
25个高数定理证明
a
0
=
2
a 0
f ( x)dx，若f ( x)是偶函数
0 ， 若f ( x)是偶函数
17 .设f(x)是以T为周期的连续函数，
证明对a,
a+T
f(x)dx =
T
f(x)dx =
a
0
T
2 -T
f(x)dx
2
18.设D是由y=f ( x)( f 0), x a, b和x a, x b, y 0
14.设yoz坐标面内的曲线L的方程为 F（y, z）=0，求其绕z轴旋转一周所得到 的旋转曲面的方程为F（ x2+y2 , z）=0
15.设单连通区域D内P，Q 连续， y x
且满足 P Q，证明曲线积分 y x
L Pdx Qdy在D内与路径无关
16.设f ( x)在a, a上连续，
证明 a f ( x)dx a f ( x) f ( x) dx
3、 利用最大值，最小值证明不等式.
如，当x 0, )时，e x (1 x) 1
4、 常值不等式的证明转化成函数的单调性， 或函数不等式. 如，比较e ， e的大小
二、等式的证明思路
1、如果结论是不带导数的等式，一般用零点定理考虑 如，F（x0）=0
2、已知结论中含导数： （A）是一个点的导数，如f（ ）=0，用罗尔定理考虑 （B）是二个点的导数，如f（ ）+g（ ）=0，用两次拉 格朗日中值定理或一 次 拉 格 朗 日 中 值 定 理， 一次柯西中值定理
3、 如果结论是函数值与某点的二阶导数的等式，
要用泰勒公式考虑.
如，结论是f
(b)
2
f
a
2
b
(b a)2 f (a)
高数中需要掌握证明过程的定理(一).
高数中的重要定理与公式及其证明（一）考研数学中最让考生头疼的当属证明题，而征服证明题的第一关就是教材上种类繁多的定理证明。
如果本着严谨的对待数学的态度，一切定理的推导过程都是应该掌握的。
但考研数学毕竟不是数学系的考试，很多时候要求没有那么高。
而有些定理的证明又过于复杂，硬要要求自己掌握的话很多时候可能是又费时又费力，最后还弄得自己一头雾水。
因此，在这方面可以有所取舍。
应深受大家敬佩的静水深流力邀，也为了方便各位师弟师妹复习，不才凭借自己对考研数学的一点了解，总结了高数上册中需要掌握证明过程的公式定理。
这些证明过程，或是直接的考点，或是蕴含了重要的解题思想方法，从长远来看都是应当熟练掌握的。
由于水平有限，总结不是很全面，但大家在复习之初，先掌握这些公式定理证明过程是必要的。
1）常用的极限0ln(1)lim 1x x x →+=，01lim 1x x e x →-=，01lim ln x x a a x →-=，0(1)1lim a x x a x →+-=，201cos 1lim 2x x x →-= 【点评】：这几个公式大家在计算极限的过程中都再熟悉不过了，但有没有人想过它们的由来呢？事实上，这几个公式都是两个重要极限1lim(1)xx x e →+=与0sin lim1x xx →=的推论，它们的推导过程中也蕴含了计算极限中一些很基本的方法技巧。
证明： 0ln(1)lim 1x x x →+=：由极限10lim(1)x x x e →+=两边同时取对数即得0ln(1)lim 1x x x→+=。
01lim 1x x e x →-=：在等式0ln(1)lim 1x x x→+=中，令ln(1)x t +=，则1t x e =-。
由于极限过程是0x →，此时也有0t →，因此有0lim11tt te →=-。
极限的值与取极限的符号是无关的，因此我们可以吧式中的t 换成x ，再取倒数即得01lim1x x e x→-=。
高数重要定理(高数上下)汇编
( x→∞)
则
lim
f (x) =
lim
f ′( x).
x→a F ( x) x→a F ′( x)
( x→∞)
( x→∞)
等价无穷小量替换（代换）定理： 在同一个极限过程,若α ∼α′, β ∼β′，则
limαβ
=limα β
′′=limαβ′=limβα′.
注：等价无穷小量代换一般只能用在整体乘、 除关系，而不能用在局部乘、除关系和整体加、 减关系.
和最小值.
(2)有界性:若 f (x)在[a,b]上连续，则 f (x)在[a,b]上有界. (3)介值性:若 f (x)在[a,b]上连续, 则 f (x)在[a,b]上可取到介于 它在[a,b]上最小值与最大值之间的一切值. (4) 零 点 定 理 ( 或 根 的 存 在 定 理 ): 若 f (x) 在 [a,b] 连 续 , 且 f (a)⋅ f (b)<0,则必∃ξ∈(a,b)，使 f (ξ )=0.
若C = 1，称α ( x), β ( x)是等价无穷小，记为α ( x) ∼ β ( x);
（4）无穷小量的阶:
若lim
α(x) [β ( x)]k
=C
≠ 0，称α ( x)是β ( x)
的k 阶无穷小量.
宝典公式： (1) limg(x)=0, lim gf ((xx))= A，则lim f (x)=0； (2) lim f (x)=0, lim f (x)= A≠0，则limg(x)=0；
α⎛
⎜⎜⎝
<β
⎞ ⎟⎟⎠
所围成的曲边扇形的面积
∫ A =
1 2
βr 2 (θ )dθ
α
.
高中数学基本定理证明
1三角函数的定义证明•已知锐角厶ABC中，AB=c , AC=b,BC=a，利用三角函数的定义证明：c=acosB+bcosA解：作CD丄AB于点D在Rt△ BCD 中，由cosB=BD/BC，得BD=acosB,在Rt△ ACD 中，由cosA=AD/AC，得AD=bcosA，所以c=AB=BD+AD=acosB+bcosA 逐步提示：1、根据待证明的条件中存在三角函数，而题目本身图形为锐角三角形，所以要在原图形中通过添加辅助线来构造直角三角形。
2、根据求【c的表达式，既是求AB的三角函数表达式】，因此添加辅助线时考虑【将AB 线段变为直角三角形的边】，可以作【CD丄AB于点D ,】接下来考虑如何在在直角三角形中利用直角三角形三角函数来求解边角关系。
3、接下来分别在Rt△ ACD和Rt△ BCD中利用三角函数来表示AD的长度向待证靠近2点P ABC内任意一点，求证点P到厶ABC距离和为定值点P ABC外时，上述结论是否成立，若成立，请证明。
若不成立h1,h2,h3 与上述定值间有何关系【设点p 到AB,BC,CA三边距离为h1,h2,h3】证明：连接PA、PE、PC,过C作AE上的高AD,交AE于G。
过P作AE、EC、CA 的重线交AE、EC、CA 于D、E、F 三角形ABC面积=AE*CG/2三角形ABC面积=三角形ABP+BCP+CAP面积=AB*PD/2+BC*PE/2+CA*PF/2 =AB(PD+PE+PF)/2故: AB*CG/2=AB*(PD+PE+PF)/2CG=PD+PE+PF即：点P到厶ABC距离和为三角形的高，是定值。
(2)若P在三角形外，不妨设h1>h3,h2>h3 ，则有：h1+h2-h3=三角形边上的高3棱长为的正四面体内任意一点到各面距离之和为定值，则这个定值等于多少？简证如下：设M为正四面体P -ABC内任一点，M到面ABC，面PAB，面PAC，面PBC的距离分别为h 1,h 2 , h 3 , h 4 .由于四个面面积相等，则VP - ABC = VM - ABC + VM - PAB + VM -PAC + VM - PBC=(1/3 ) -S^ABC • (h 1 + h 2 +h 3+h 4).而S^ABC= (V 3/4)a A2 ,VP -ABC= (V2/12归人3 ,故h 1 +h 2 +h 3 +h 4 = V3/3a (定值).4正弦定理的证明过程步骤1.在锐角△ ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。
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高数中的重要定理与公式及其证明（一）考研数学中最让考生头疼的当属证明题，而征服证明题的第一关就是教材上种类繁多的定理证明。
如果本着严谨的对待数学的态度，一切定理的推导过程都是应该掌握的。
但考研数学毕竟不是数学系的考试，很多时候要求没有那么高。
而有些定理的证明又过于复杂，硬要要求自己掌握的话很多时候可能是又费时又费力，最后还弄得自己一头雾水。
因此，在这方面可以有所取舍。
应深受大家敬佩的静水深流力邀，也为了方便各位师弟师妹复习，不才凭借自己对考研数学的一点了解，总结了高数上册中需要掌握证明过程的公式定理。
这些证明过程，或是直接的考点，或是蕴含了重要的解题思想方法，从长远来看都是应当熟练掌握的。
由于水平有限，总结不是很全面，但大家在复习之初，先掌握这些公式定理证明过程是必要的。
1）常用的极限0ln(1)lim 1x x x →+=，01lim 1x x e x →-=，01lim ln x x a a x →-=，0(1)1lim a x x a x →+-=，201cos 1lim 2x x x →-= 【点评】：这几个公式大家在计算极限的过程中都再熟悉不过了，但有没有人想过它们的由来呢？事实上，这几个公式都是两个重要极限1lim(1)xx x e →+=与0sin lim1x xx →=的推论，它们的推导过程中也蕴含了计算极限中一些很基本的方法技巧。
证明： 0ln(1)lim 1x x x →+=：由极限10lim(1)x x x e →+=两边同时取对数即得0ln(1)lim 1x x x→+=。
01lim 1x x e x →-=：在等式0ln(1)lim 1x x x→+=中，令ln(1)x t +=，则1t x e =-。
由于极限过程是0x →，此时也有0t →，因此有0lim11tt te →=-。
极限的值与取极限的符号是无关的，因此我们可以吧式中的t 换成x ，再取倒数即得01lim1x x e x→-=。
01lim ln x x a a x →-=：利用对数恒等式得ln 0011lim lim x x a x x a e x x →→--=，再利用第二个极限可得ln ln 0011limln lim ln ln x a x a x x e e a a x x a →→--==。
因此有01lim ln x x a a x→-=。
0(1)1lim a x x a x→+-=：利用对数恒等式得 ln(1)ln(1)ln(1)00000(1)111ln(1)1ln(1)lim lim lim lim lim ln(1)ln(1)a a x a x a x x x x x x x e e x e x a a a x x a x x a x x+++→→→→→+---+-+====++上式中同时用到了第一个和第二个极限。
201cos 1lim 2x x x →-=：利用倍角公式得22220002sin sin1cos 1122lim lim lim 222x x x x x x x x x →→→⎛⎫ ⎪-=== ⎪ ⎪⎝⎭。
2）导数与微分的四则运算法则'''''''''22(), d()(), d()(), d()(0)u v u v u v du dv uv u v uv uv vdu udvu vu uv u vdu udv v v v v v ±=±±=±=+=+--==≠【点评】：这几个求导公式大家用得也很多，它们的证明需要用到导数的定义。
而导数的证明也恰恰是很多考生的薄弱点，通过这几个公式可以强化相关的概念，避免到复习后期成为自己的知识漏洞。
具体的证明过程教材上有，这里就不赘述了。
3）链式法则设(),()y f u u x ϕ==，如果()x ϕ在x 处可导，且()f u 在对应的()u x ϕ=处可导，则复合函数(())y f x ϕ=在x 处可导可导，且有：[]'''(())()()dy dy duf x f u x dx du dxϕϕ==或【点评】：同上。
4）反函数求导法则设函数()y f x =在点x 的某领域内连续，在点0x 处可导且'()0f x ≠，并令其反函数为()x g y =，且0x 所对应的y 的值为0y ，则有：'0''00111()()(())dx g y dy f x f g y dydx===或 【点评】：同上。
5）常见函数的导数()'1x xααα-=，()'sin cos x x =，()'cos sin x x =-， ()'1ln x x =，()'1log ln a x x a=， ()'x xe e =，()'ln x x a e a =【点评】：这些求导公式大家都很熟悉，但很少有人想过它们的由来。
实际上，掌握这几个公式的证明过程，不但可以帮助我们强化导数的定义这个薄弱点，对极限的计算也是很好的练习。
现选取其中典型予以证明。
证明：()'1x x ααα-=：导数的定义是'0()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-=∆，代入该公式得 ()'1100(1)1(1)1()lim lim x x x x x x x x x x x x x x x xxααααααααα--∆→∆→∆∆+-+-+∆-====∆∆∆。
最后一步用到了极限0(1)1lima x x a x→+-=。
注意，这里的推导过程仅适用于0x ≠的情形。
0x =的情形需要另行推导，这种情况很简单，留给大家。
()'sin cos x x =：利用导数定义()'0sin()sin sin lim x x x x x x ∆→+∆-=∆，由和差化积公式得002cos()sinsin()sin 22lim lim cos x x x xx x x x x x x ∆→∆→∆∆++∆-==∆∆。
()'cos sin x x =-的证明类似。
()'1ln x x =：利用导数定义()'00ln(1)ln()ln 1ln lim lim x x x x x x x x x x x∆→∆→∆++∆-===∆∆。
()'1log ln a x x a =的证明类似（利用换底公式ln log ln a x x a=）。
()'x xe e=：利用导数定义()()'001lim lim x x x xx x x x x e e e ee e x x+∆∆∆→∆→--===∆∆。
()'ln x x a e a =的证明类似（利用对数恒等式ln x x a a e =）。
6）定积分比较定理如果在区间[,]a b 上恒有()0f x ≥，则有()0ba f x dx ≥⎰推论：ⅰ如果在区间[,]a b 上恒有()()f x g x ≥，则有()()b baaf x dxg x dx ≥⎰⎰；ⅱ设M m 和是函数()f x 在区间[,]a b 上的最大值与最小值，则有：()()()ba mb a f x dx M b a -≤≤-⎰【点评】：定积分比较定理在解题时应用比较广，定积分中值定理也是它的推论。
掌握其证明过程，对理解及应用该定理很有帮助。
具体的证明过程教材上有。
7）定积分中值定理设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，则在积分区间[,]a b 上至少存在一点ξ使得下式成立：()()()baf x dx f b a ξ=-⎰【点评】：微积分的两大中值定理之一，定积分比较定理和闭区间上连续函数的推论，在证明题中有重要的作用。
考研真题中更是有直接用到该定理证明方法的题目，重要性不严而喻。
具体证明过程见教材。
8）变上限积分求导定理如果函数()f x 在区间[,]a b 上连续，则积分上限的函数()()xa x f x dx Φ=⎰在[,]ab 上可导，并且它的导数是'()()(),xa d x f x dx f x a xb dx Φ==≤≤⎰设函数()()()()u x v x F x f t dt =⎰，则有'''()(())()(())()F x f u x u x f v x v x =-。
【点评】：不说了，考试直接就考过该定理的证明。
具体证明过程见教材。
9）牛顿-莱布尼兹公式如果函数()f x 在区间[,]a b 上连续，则有()()()ba f x dx Fb F a =-⎰，其中()F x 是()f x 的原函数。
【点评】：微积分中最核心的定理，计算定积分的基础，变上限积分求导定理的推论。
具体证明过程见教材。
设函数()f x 在点0x 的某领域0()U x 内有定义，并且在0x 处可导，如果对任意的0()x U x ∈，有00()()()()f x f x f x f x ≤≥或，那么'0()0f x =【点评】：费马引理是罗尔定理的基础，其证明过程中用到了极限的保号性，是很重要的思想方法。
具体证明过程见教材。
11）罗尔定理： 如果函数()f x 满足（1）在闭区间[,]a b 上连续； （2）在开区间(,)a b 上可导（3）在区间端点处的函数值相等，即()()f a f b =那么在(,)a b 内至少存在一点()a b ξξ<<，使得'()0f ξ=。
【点评】：罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理是一脉相承的三大定理；它们从形式上看是由特殊到一般，后面的定理包含前面的定理，但实际上却是相互蕴含，可以相互推导的。
这几个定理的证明方法也就是与中值有关的证明题主要的证明方法。
中值定理的证明是高数中的难点，一定要多加注意。
具体证明过程见教材。
12）拉格朗日中值定理： 如果函数()f x 满足（1）在闭区间[,]a b 上连续； （2）在开区间(,)a b 上可导那么在(,)a b 内至少存在一点()a b ξξ<<，使得'()()()f b f a f b aξ-=-。
【点评】：同上。
13）柯西中值定理： 如果函数()f x 和()g x 满足 （1）在闭区间[,]a b 上连续； （2）在开区间(,)a b 上可导那么在(,)a b 内至少存在一点()a b ξξ<<，使得''()()()()()()f f b f ag g b g a ξξ-=-。
【点评】：同上。
设函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 上可导。