高中数学第2课时 进位制
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a02（3）=a×32+2=9a+2. 所以2b+9=9a+2，即9a-2b=7. 故a=1，b=1.
例2 设计一个算法，把k进制数a(共有n位)化为十进 制数b. 解：(1)算法步骤: 第一步,输入a,k和n的值. 第二步,令b=0，i=1. 第三步,b=b+ai·ki-1，i=i+1. 第四步,判断i>n 是否成立.若是，则执行第五步；否 则，返回第三步. 第五步,输出b的值.
1.通过阅读进位制的算法案例，体会进位制的算法思想. 2.学习各种进位制转换成十进制的计算方法，
研究十进制转换为各种进位制的除k去余法， 并理解其中的数学规律.(重点) 3.能运用几种进位制之间的转换，解决一些有关的问题. (难点)
【课堂探究1】进位制的概念 思考1:什么是进位制？ 进位制是为了计数和运算方便而约定的记数系统， 如逢十进一，就是十进制；每七天为一周，就是七 进制；每十二个月为一年，就是十二进制；每六十 秒为一分钟，每六十分钟为一个小时，就是六十进 制等等.也就是说，“满几进一”就是几进制，几进 制的基数就是几.
第2课时 进位制
1.上一节学习的算法分别是什么？ 辗转相除法、更相减损术、秦九韶算法 2.它们的作用分别是什么？ 辗转相除法、更相减损术求两整数的最大公约数 秦九韶算法求多项式的值
进位制的由来 人类在长期的生产劳动中创造了数字,为了方 便读写和计算,逐渐地产生了进位制.古罗马人采 取60进制,玛雅人使用20进制,中国、埃及、印度 等国主要采取10进制，而近代由于计算机的诞生, 二进制应运而生.
3.二进制数101101（2）化为十进制数是什么数？ 【解析】101101（2）=25+23+22+1=45.
4.试将10101(2)化成十进制数. 【解析】 10101(2)=1×24+0×23+1×22+0×2+1 =16+4+1=21. 所以10101(2)=21.
1．进位制的概念及表示方法. 2．k进制数转化为十进制数. 3．十进制数转化为k进制数的方法.
(2)程序框图
开始
输入a，k，n
b=0 i=1 把a的右数第i位数字赋给t b=b+t·ki-1
i=i+1 否
i>n? 是
输出b 结束
(3)程序
INPUT“a，k，n=”；a，k，n b=0 i=1 t=a MOD 10
DO b=b+t*k∧（i-1） a=a\10 t=a MOD 10 i=i+1
计算机为何采用二进制？
1.二进制只有0和1两个数字,要得到表示两种不同稳 定状态的电子器件很容易,而且制造简单,可靠性高.
2.在各种计数中,二进制的算法逻辑简单,有布尔逻 辑代数做理论依据,简单的运算规则使得机器内部的 操作也变得简单,如加法法则只有4条： 0+0=0,0+1=1,1+0=1,1+1=10,而十进制加法法则从 0+0=0到9+9=18需要100条;乘法法则也是这样： 0×0=0,0×1=0,1×0=0,1×1=1,十进制的乘法法则 要由一张“九九表”来规定,比较复杂.
【课堂探究2】k进制化十进制的算法 例1 把二进制数110011（2）化为十进制数. 解：110011（2） =1×25+1×24+0×23+0×22+1×21+1×20 =32+16+2+1=51. 思考:二进制数右数第i位数字ai化为十进制数是什 么数？ ai×2i-1
【变式练习】 已知10b1（2）=a02（3）,求数字a，b的值. 解：10b1（2）=1×23+b×2+1=2b+9.
思考4：我们最熟悉的十进制数，它的数值部分是用 十个不同的数字符号0，1，2，3，4，5，6，7，8， 9来表示的。那么其他进制分别用哪些数值表示？
二进制只有0和1两个数字，七进制用0～6七个数字，十六进 制有0～9十个数字及ABCDEF六个字母.
注意:为了区分不同的进位制,常在数字的右下脚标明基数, 如111001(2)表示二进制数,34(5)表示5进制数.而十进制数一 般不标注基数.
思考5:一般地，如何将k(k>1,k∈Z)进制数anan-1 …a1a0(k)写成各数位上的数字与基数k的幂的乘 积之和的形式？ anan-1……a1a0(k) =an·kn+an-1·kn-1+……+a1·k1+a0·k0
一般地,若k是一个大于1的整数,那么以k为基数
的k进制数可以表示为一串数字连写在一起的形式 anan-1…a1a0(k) (0<an<k,0≤an-1,…,a1,a0<k)
2 89
2 44 2 22 2 11 25 22 21 0
余数 1 0 0 1 1
0 1
【变式练习】 将十进制数458分别转化为四进制数和六进制数.
4 458 4 114 4 28
47 41
0
余数
2 2 0 3 1
6 458 6 76 6 12
62 0
解：458=13022（4）=2042（6）
余数
2 4 0 2
例4 设计一个程序，实现“除k取余法”（k∈N， 2≤k≤9）. 解：第一步,输入十进制数a和基数k的值. 第二步,求出a除以k所得的商q，余数r. 第三步,把所得到的余数依次从右到左排列. 第四步,若q≠0，则a=q，返回第二步；否则，输出全 部余数r排列得到的k进制数.
程序框图：
【变式练习】 将五进制数30241（5）转化为七进制数. 30241（5）=3×54+2×52+4×5+1=1 946.
7 1 946 7 278 7 39
75 0
余数
0 5 4 5
30241（5）=5450（7）
1.下列写法正确的是（ A ）
A.751(16)
B.751(7)
C.095(12)
生命不等于是呼吸，生命是运动.
——卢梭
所以 89=2×(2×(2×(2×(2×2+1)+1)+0)+0)+1
=2×(2×(2×(2×(22+1)+1)+0)+0)+1 =…
=1×26+0×25+1×24+1×23+0×22+0×21+1×20 上述化=十10进1制10数01为(2二) 进制数的算法叫做除2取余法，
还可以用下面的除法算式表示：
D.901(2)
2.下面几个不同进制的数中，最小的数是( C )
A.1011100(2) C.47(8)
B.41 D.2EБайду номын сангаас18)
2.完成下列进位制之间的转化：
（1）10231（4）= （2）235（7）= （3）137（10）= （4）1231（5）=
301 124 345 362
（10）； （10）； （6）； （7）.
LOOP UNTIL i>n PRINT b END
【课堂探究3】 除k取余法 例3 把89化为二进制数. 解：根据二进制数“满二进一”的原则，可以 用2连续去除89或所得商，然后取余数.
具体计算方法如下： 因为 89=2×44+1,
44=2×22+0, 22=2×11+0, 11=2×5+1, 5=2×2+1, 2=2×1+0, 1=2×0+1,
思考2：最常见的进位制是什么？除此之外还有哪些 常见的进位制？请举例说明．
（1）最常见的进位制应该是我们数学中的十进制,比如一般 的数值计算，但是并不是生活中的每一种数字都是十进制的. （2）古人有半斤八两之说，就是十六进制与十进制的转换. （3）比如时间和角度的单位用六十进位制, 计算“一打” 数值时是12进制的. （4）电子计算机用的是二进制.
意思是:(1)第一个数字an不能等于0; (2)每一个数字an,an-1,…,a1,a0都须小于k.
k进制的数也可以表示成不同位上数字与基数k
的幂的乘积之和的形式,即
anan-1…a1a0(k)=an×kn+an-1×kn-1
注意这是一个n+1位数
+…+a1×k1+a0×k0
各进位制都有各自的计算方法，各 进位制之间是如何转换的呢？
思考3:十进制数4 528表示的数可以写成 4×103+5×102+2×101+8×100，依此类比，
二进制数110011（2）,八进制数7342（8）分别可以写 成什么式子？ 110011（2）=1×25+1×24+0×23+0×22+1×21+1×20 7342（8）=7×83+3×82+4×81+2×80.
开始
输入a，k 求a除以k的商q 求a除以k的余数r 把所得的余数依次从右到左排列
a=q 否
q=0？ 是
输出全部余数r排 列得到的k进制数
结束
程序：
INPUT“a, k=”；a，k b=0 i=0 DO
q=a\k r=a MOD k b=b+r*10∧i i=i+1 a=q LOOP UNTIL q=0 PRINT b END
例2 设计一个算法，把k进制数a(共有n位)化为十进 制数b. 解：(1)算法步骤: 第一步,输入a,k和n的值. 第二步,令b=0，i=1. 第三步,b=b+ai·ki-1，i=i+1. 第四步,判断i>n 是否成立.若是，则执行第五步；否 则，返回第三步. 第五步,输出b的值.
1.通过阅读进位制的算法案例，体会进位制的算法思想. 2.学习各种进位制转换成十进制的计算方法，
研究十进制转换为各种进位制的除k去余法， 并理解其中的数学规律.(重点) 3.能运用几种进位制之间的转换，解决一些有关的问题. (难点)
【课堂探究1】进位制的概念 思考1:什么是进位制？ 进位制是为了计数和运算方便而约定的记数系统， 如逢十进一，就是十进制；每七天为一周，就是七 进制；每十二个月为一年，就是十二进制；每六十 秒为一分钟，每六十分钟为一个小时，就是六十进 制等等.也就是说，“满几进一”就是几进制，几进 制的基数就是几.
第2课时 进位制
1.上一节学习的算法分别是什么？ 辗转相除法、更相减损术、秦九韶算法 2.它们的作用分别是什么？ 辗转相除法、更相减损术求两整数的最大公约数 秦九韶算法求多项式的值
进位制的由来 人类在长期的生产劳动中创造了数字,为了方 便读写和计算,逐渐地产生了进位制.古罗马人采 取60进制,玛雅人使用20进制,中国、埃及、印度 等国主要采取10进制，而近代由于计算机的诞生, 二进制应运而生.
3.二进制数101101（2）化为十进制数是什么数？ 【解析】101101（2）=25+23+22+1=45.
4.试将10101(2)化成十进制数. 【解析】 10101(2)=1×24+0×23+1×22+0×2+1 =16+4+1=21. 所以10101(2)=21.
1．进位制的概念及表示方法. 2．k进制数转化为十进制数. 3．十进制数转化为k进制数的方法.
(2)程序框图
开始
输入a，k，n
b=0 i=1 把a的右数第i位数字赋给t b=b+t·ki-1
i=i+1 否
i>n? 是
输出b 结束
(3)程序
INPUT“a，k，n=”；a，k，n b=0 i=1 t=a MOD 10
DO b=b+t*k∧（i-1） a=a\10 t=a MOD 10 i=i+1
计算机为何采用二进制？
1.二进制只有0和1两个数字,要得到表示两种不同稳 定状态的电子器件很容易,而且制造简单,可靠性高.
2.在各种计数中,二进制的算法逻辑简单,有布尔逻 辑代数做理论依据,简单的运算规则使得机器内部的 操作也变得简单,如加法法则只有4条： 0+0=0,0+1=1,1+0=1,1+1=10,而十进制加法法则从 0+0=0到9+9=18需要100条;乘法法则也是这样： 0×0=0,0×1=0,1×0=0,1×1=1,十进制的乘法法则 要由一张“九九表”来规定,比较复杂.
【课堂探究2】k进制化十进制的算法 例1 把二进制数110011（2）化为十进制数. 解：110011（2） =1×25+1×24+0×23+0×22+1×21+1×20 =32+16+2+1=51. 思考:二进制数右数第i位数字ai化为十进制数是什 么数？ ai×2i-1
【变式练习】 已知10b1（2）=a02（3）,求数字a，b的值. 解：10b1（2）=1×23+b×2+1=2b+9.
思考4：我们最熟悉的十进制数，它的数值部分是用 十个不同的数字符号0，1，2，3，4，5，6，7，8， 9来表示的。那么其他进制分别用哪些数值表示？
二进制只有0和1两个数字，七进制用0～6七个数字，十六进 制有0～9十个数字及ABCDEF六个字母.
注意:为了区分不同的进位制,常在数字的右下脚标明基数, 如111001(2)表示二进制数,34(5)表示5进制数.而十进制数一 般不标注基数.
思考5:一般地，如何将k(k>1,k∈Z)进制数anan-1 …a1a0(k)写成各数位上的数字与基数k的幂的乘 积之和的形式？ anan-1……a1a0(k) =an·kn+an-1·kn-1+……+a1·k1+a0·k0
一般地,若k是一个大于1的整数,那么以k为基数
的k进制数可以表示为一串数字连写在一起的形式 anan-1…a1a0(k) (0<an<k,0≤an-1,…,a1,a0<k)
2 89
2 44 2 22 2 11 25 22 21 0
余数 1 0 0 1 1
0 1
【变式练习】 将十进制数458分别转化为四进制数和六进制数.
4 458 4 114 4 28
47 41
0
余数
2 2 0 3 1
6 458 6 76 6 12
62 0
解：458=13022（4）=2042（6）
余数
2 4 0 2
例4 设计一个程序，实现“除k取余法”（k∈N， 2≤k≤9）. 解：第一步,输入十进制数a和基数k的值. 第二步,求出a除以k所得的商q，余数r. 第三步,把所得到的余数依次从右到左排列. 第四步,若q≠0，则a=q，返回第二步；否则，输出全 部余数r排列得到的k进制数.
程序框图：
【变式练习】 将五进制数30241（5）转化为七进制数. 30241（5）=3×54+2×52+4×5+1=1 946.
7 1 946 7 278 7 39
75 0
余数
0 5 4 5
30241（5）=5450（7）
1.下列写法正确的是（ A ）
A.751(16)
B.751(7)
C.095(12)
生命不等于是呼吸，生命是运动.
——卢梭
所以 89=2×(2×(2×(2×(2×2+1)+1)+0)+0)+1
=2×(2×(2×(2×(22+1)+1)+0)+0)+1 =…
=1×26+0×25+1×24+1×23+0×22+0×21+1×20 上述化=十10进1制10数01为(2二) 进制数的算法叫做除2取余法，
还可以用下面的除法算式表示：
D.901(2)
2.下面几个不同进制的数中，最小的数是( C )
A.1011100(2) C.47(8)
B.41 D.2EБайду номын сангаас18)
2.完成下列进位制之间的转化：
（1）10231（4）= （2）235（7）= （3）137（10）= （4）1231（5）=
301 124 345 362
（10）； （10）； （6）； （7）.
LOOP UNTIL i>n PRINT b END
【课堂探究3】 除k取余法 例3 把89化为二进制数. 解：根据二进制数“满二进一”的原则，可以 用2连续去除89或所得商，然后取余数.
具体计算方法如下： 因为 89=2×44+1,
44=2×22+0, 22=2×11+0, 11=2×5+1, 5=2×2+1, 2=2×1+0, 1=2×0+1,
思考2：最常见的进位制是什么？除此之外还有哪些 常见的进位制？请举例说明．
（1）最常见的进位制应该是我们数学中的十进制,比如一般 的数值计算，但是并不是生活中的每一种数字都是十进制的. （2）古人有半斤八两之说，就是十六进制与十进制的转换. （3）比如时间和角度的单位用六十进位制, 计算“一打” 数值时是12进制的. （4）电子计算机用的是二进制.
意思是:(1)第一个数字an不能等于0; (2)每一个数字an,an-1,…,a1,a0都须小于k.
k进制的数也可以表示成不同位上数字与基数k
的幂的乘积之和的形式,即
anan-1…a1a0(k)=an×kn+an-1×kn-1
注意这是一个n+1位数
+…+a1×k1+a0×k0
各进位制都有各自的计算方法，各 进位制之间是如何转换的呢？
思考3:十进制数4 528表示的数可以写成 4×103+5×102+2×101+8×100，依此类比，
二进制数110011（2）,八进制数7342（8）分别可以写 成什么式子？ 110011（2）=1×25+1×24+0×23+0×22+1×21+1×20 7342（8）=7×83+3×82+4×81+2×80.
开始
输入a，k 求a除以k的商q 求a除以k的余数r 把所得的余数依次从右到左排列
a=q 否
q=0？ 是
输出全部余数r排 列得到的k进制数
结束
程序：
INPUT“a, k=”；a，k b=0 i=0 DO
q=a\k r=a MOD k b=b+r*10∧i i=i+1 a=q LOOP UNTIL q=0 PRINT b END