3-1-4 应力分析_应力莫尔圆及应力平衡微分方程

10 3 10
l1=
10 1
m2= 10
最大切应力τmax=500MPa
金属塑性成形原理
解析法验证：
2 3 0
三个不变量： J1 x y z 4
J2
(x y
yz
zx )
2 xy
2 yz
2 zx
21
ij 3
0
6 0(100MPa) 0 0
J3
x
y z
2 xy
yz zx
( x
金属塑性成形原理
练习题1： 应用莫尔圆分析单向拉伸时的各横截面上的应力变化状态。
y B（ σy＝40 τyx＝0 ） θ
τ C (0,20)
2θ
A
A
（ σx＝0 τxy＝0 ）
Bσ
(40,0)
x
当2θ＝90°（θ＝45°）时，截面的剪切力 达到最大值20MPa
金属塑性成形原理
练习题2：物体中某点为平面应力状态，应力张量为：
试利用莫尔圆图解主应力,主方向和最大切应力
τ
τmax (0,5)
2 3 0
ij 3 6 0(100MPa)
0 0 0
2α2
B(6,3)
σ2 (-3,0) 2β2
A(-2,-3) σ2＝－3
2α1 σ1(7,0)
O(2,0) D
σ
2β1 σ1＝7
OD的长度＝1/2（6+2）＝4；R＝5；
y
B
以应力主轴为坐标轴，作一斜微分面，其方向
余弦为l，m，n，则有 :
金属塑性成形原理
l2 m2 n2 1
S1 1 l S2 2 m S3 3 n S 2 S12 S22 S32 12l 2 22m2 32n2
1l 2 2m2 3n2
金属塑性成形原理
3-1-4 应力分析 ——应力莫尔圆及应力平衡微分方程
内容提纲
一、应力莫尔圆 二、应力平衡微分方程
金属塑性成形原理
金属塑性成形原理
一、应力莫尔圆
应力莫尔圆：应力状态的几何表示法. 若已知某点的一组应力分量或主应力，就可以利用应力莫尔圆通 过图解法来确定该点任意方位平面上的正应力和切应力。 切应力的正、负规定：在作应力莫尔圆时，切应力的正、负号应按 材料力学中的规定而确定，即： 顺时针方向作用于单元体上切应力为正，反之为负。
以 xy＝－ yx
圆心：
(
x
y
,
0)
2
2α
σ2
O
C 2α
x y 1 2
2
2
σ1 σ
A(σx,τxy)
半径： R
(
x
2
y
)2
2 xy
分析：
莫尔圆是描述任意微分面上 ， 的变化规律，圆周上每一点代表了一个 物理平面上的应力。
圆与轴的两个交点即为主应力1，2。
金属塑性成形原理
平面应力状态下主应力1，2与x，y，xy 之间的关系：
1 x y
2
2
(
x
2
y
)2
2 xy
主应力1与x轴之间的夹角：
1 arctan 2 xy
2
x y
从应力莫尔圆上可得到主切应力：
12
1
2
2
注：应力莫尔圆上平面之间 的夹角是实际物理平面之间 夹角的两倍。
τ
τmax
B(σy,τyx)
2α
σ2
O
2α
x y 1 2
2
2
σ1 σ
A(σx,τxy)
2 yz
2
y zx
z
2 xy
)
0
代入应力状态特征方程得： 3 4 2 21 0
即( 7)( 3) 0
σ1＝7×100MPa σ2＝－3×100MPa
或直接公式：1 x y
2
2
( x
y
2
)2
2 xy
26 2
max
1 2
( max
min )
1 2
(
2
1)
500MPa
( 2 6)2 32 7 100MPa
x cos2 y sin2 2 xy cos sin
σx
1 2
(
x
y
)
1 2
(
x
y
) c os2
xy
sin
2
切应力 Sx sin Sy cos
x cos sin xy sin2 y sin cos xy cos2
1 2
( x
y
)sin 2
xy
c os2
N
σ
Sy
S
金属塑性成形原理
1. 平面应力状态下的应力莫尔圆
平面应力状态的基本特征是：
1）物体内所有质点在与某一方向垂直的平面上都没有应力如取该方向为坐
标的Z轴，则有σz=τzx=τzy=0,只留下σx、σy、τxy 等应力分量。Z 向必为主方向，
所有质点都是两向应力状态；
2）各应力分量都与Z无关，因此整个物体的应力分布可以在xy坐标平面上 表示出来。
设斜面AB的法线N与x轴的交角为φ，
则该斜面的三个方向的余弦为
l
cos,
m
cos(
2
)
sin
,
n
0
金属塑性成形原理
x、y方 向的应
Sx xl yxm x cos yx sin
力分量 Sy ym xyl y sin xy cos
y
正应力 Sx cos Sy sin
τxy
α1 σ2
β1 α2
σy＝6 τyx＝3 σ1
l = cosβ m = cosα
A
τxy＝-3 σx＝-2
β2
x
最大主应力σ1＝700MPa，最小主应力σ2 ＝－31＝2cos2α1－1＝4/5，所以m1 = cosα1 = 对于σ2主方向角度cos2β2＝2cos2β2－1＝4/5，所以 l2 = cosβ2 =
τ Sx
φ
σy
τyx
x
消去参数φ
(
x
y
2
)2
2
(
x
y
2
)2
2 xy
平面应力状态下的应力莫尔圆方程
金属塑性成形原理
在-坐标系内标出点A（x，xy）和点B（y， τ
yx），连接AB两点，以AB线与轴的交点C为
τmax
圆心，AC为半径做圆，即得应力莫尔圆。
B(σy,τyx)
注：在分析平面应力状态时，顺时针 切应力为正，逆时针切应力为负，所
2
3
主应力代入齐次方程组得：
(2 7)l 3m 0
3l
(6
7)m
0
l2 m2 1
l1
m1
1
10 3
10
(2 3)l 3m 0
3l
(6
3)m
0
l2 m2 1
l2
m2
3
10 1
10
2. 三向应力莫尔圆
是已知物体上一点的三个主应力1，2，3的前 提下得到的。对于三向应力状态，变形体某点的三 个主应力为1，2，3，且1 ≥ 2 ≥ 3。
塑性成形中的一些板料成形工序，例如拉延 等，由于壁厚或壁厚方向的应力相对很小，可 以忽略，所以一般也看成是平面应力状态。
x xy 0 ij yx y 0
0 0 0
金属塑性成形原理
平面应力状态下，已知x，y，xy (xy = yx) 用应力莫尔圆求任意斜面上的应力、主应力和主切应力。
平面应力状态 a）平面应力单元体 b)任意斜微分面上的应力