应力莫尔圆应力平衡微分方程

1 2!
f
''(x0 )(x x0 )2
x
应力平衡微分方程
➢由于单元体处于平衡状态
Fx 0
( x
x
x
dx)dydz
xdydz
( yx
yx
y
dy)dxdz
yxdxdz
( zx
zx
z
dz)dxdz
zxdxdz
0
x yx zx 0
x y z
应力平衡微分方程
同理，得平衡微分方程
第二章 金属塑性变形的力学基础
应力分析
河南科技大学材料学院
平面应力状态下的应力莫尔圆
➢若已知平面应力状态的三个应力分量 z xz yz 0，如何
求任意斜微分面AC上的正应力σ和切应力τ？
AC面的方向余弦
l cos
m cos sin 2
n cos 0 2
对于AC面 Sx xl xym x cos xy sin Sy xyl ym xy cos y sin
r
dr
rq
rq
r
dr
z
q
r
r
r
dr
z
dz
o
y
q
r
x
应力平衡微分方程
➢轴对称问题的平衡微分方程
r 1 qr zr r q 0
r r q z
r
rq 1 q zq 2 rq 0 r r q z r
rz 1 q z z rz 0 r r q z r
作业
1. 对于Oxyz直角坐标系，已知受力物体内一点的 应力状态为
应力平衡微分方程
➢应力分量是坐标的 连续函数。 ➢Q点: 坐标x，y，z， 应 力状态σij 。过Q点x面上的 正应力 x f (x, y, z)
➢Q′点: 坐标x+dx,y+dy,
zQ+′d点z,x应面力上状的态正σ应ij+力dσij。过y
x d x f (x dx, y, z)
f
(x, y, z) f dx x
1 2 f 2 x2
dx2
dz
x
x x
dx
z
z z
dz
zx
yx
zx z
xz
dz
xy
xz x
zy
zy z
dz
Q′
x
xz
dx
yz
yz y
y
dy
y y
dy
yz Q
xy
xy x
dx
x
x
zy x
dx
zx
yx
yx y
dy
dx
z
dy
z
y
泰勒级数
f
(x)
f
(x0 )
f
'(x0 )(x x0 )
莫尔圆上对应的是从相应的坐标点顺（逆）时旋
转2 处的点的坐标。
三向应力莫尔圆
对于三向应力状态，设变形体中某点的 三个主应力为 ， 1 2 ， 3 且 1 〉 2 〉 3 ， 三向应力莫尔圆为：
圆心的坐标和半径分别为：
三个圆的半径分别等于三个主切应力
三向应力莫尔圆
三个圆的方程为
每一个圆分别表示某方向余弦为零的斜面上的正 应力和切应力的变化规律。
10 0 10
ij
0
10
0
10 0 10
7 4 ij 4 1
0
0
（单位MPa）
0 0wk.baidu.com 4
1）画出该点的应力单元体；
2）求出该点的应力张量不变量、主应力、主 方向、主切应力、最大切应力、等效应力、应 力偏张量及应力球张量。
3）画出该点的应力莫尔圆，并将应力单元体 的微分面分别标注在应力莫尔圆上。
Sxm S yl ( xl yxm)m ( xyl ym)l
( x y )sin cos xy (sin2 cos2 )
x
2
y
sin
2
xy
cos 2
Sxl S ym x cos2 y sin 2 2 xy sin cos
x 2
(1
c os 2 )
x
x
xy
x
yx
y
y
y
zx
z
zy
z
0
0
xz
x
yz
y
z
z
0
即每个面上在x方向的应力对所在面偏导之和或一 个方向所有应力对各自所在平面求偏导的和为0。
简记为
ij 0
xi
应力平衡微分方程
➢轴对称问题的平衡微分方程
z
dq
dq dr
r
r qrr
q
q
drqz
rz zr
rz
dzrz
y 2
(1
c os 2 )
xy
sin
2
x
2
y
x
2
y
cos2
xy
sin
2
x
y
2
2
2
x
y
2
2
xy2
平面应力状态下的应力莫尔圆
➢主应力
1 2
x
2
y
x
2
y
2
2 xy
3 0
➢主应力σ1与x轴之间的夹角
1 arctan 2 xy
2
x y
➢从某一平面顺（逆）转 的任意斜面上应力在