第九章 Laplace变换
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第9章拉普拉斯变换
我们来考察
T1
x(t ) e
0 t
dt
s j 处，拉氏变换收敛的情况。
0
( 0 ) 0
e
( 0 ) t
为减函数。
减函数
T1
x(t ) e dt
( 0 )T1
t
T1
T1
x(t ) e
0 t ( 0 ) t
9.1拉普拉斯变换的导出
本小节我们通过复指数信号激励LTI系统的 分析，导出拉普拉斯正变换，并且分析拉 普拉斯变换的收敛问题。 复指数信号通过LTI系统时，利用卷积积分， 可以得到：
y(t ) h( )e
s ( t )
d
e
st
h( )e d e
s
st
将零点和极点在s平面上标记出来而形成的图称为零极点图 (Pole-zero plots)。
Im
× -2
× -1
0 1
Re
例题9.3的零极点图和收敛域
例题9.4 求信号
的拉普拉斯变换 解：
16 t 1 2t x(t ) (t ) e u (t ) e u (t ) 3 3
(t ) 1
s j
X ( s) e
0
( a ) t jt
e
dt
a0
Re{s} a
时收敛。
e
0
( s a ) t
1 dt sa
拉普拉斯变换的解析式是一个无穷积分，这个无穷积分是存在收
敛性问题的。上面的例题也告诉我们，对于某些
T1
x(t ) e
0 t
dt
s j 处，拉氏变换收敛的情况。
0
( 0 ) 0
e
( 0 ) t
为减函数。
减函数
T1
x(t ) e dt
( 0 )T1
t
T1
T1
x(t ) e
0 t ( 0 ) t
9.1拉普拉斯变换的导出
本小节我们通过复指数信号激励LTI系统的 分析，导出拉普拉斯正变换，并且分析拉 普拉斯变换的收敛问题。 复指数信号通过LTI系统时，利用卷积积分， 可以得到：
y(t ) h( )e
s ( t )
d
e
st
h( )e d e
s
st
将零点和极点在s平面上标记出来而形成的图称为零极点图 (Pole-zero plots)。
Im
× -2
× -1
0 1
Re
例题9.3的零极点图和收敛域
例题9.4 求信号
的拉普拉斯变换 解：
16 t 1 2t x(t ) (t ) e u (t ) e u (t ) 3 3
(t ) 1
s j
X ( s) e
0
( a ) t jt
e
dt
a0
Re{s} a
时收敛。
e
0
( s a ) t
1 dt sa
拉普拉斯变换的解析式是一个无穷积分，这个无穷积分是存在收
敛性问题的。上面的例题也告诉我们，对于某些
信号与系统教学课件第九章拉普拉斯变换
其他数值计算方法简介
数值逆变换方法
介绍基于数值计算的拉普拉斯逆 变换方法，如直接数值积分法、
离散化方法等。
优缺点分析
比较各种数值计算方法的优缺点， 如计算精度、计算速度、ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ用范围 等。
应用场景
根据实际需求，选择适合的数值计 算方法进行拉普拉斯逆变换求解， 并给出具体应用场景和实例。
04 拉普拉斯变换在信号处理 中的应用举例
频移性质
时域函数的频移对 应频域函数的相移 和幅度变化。
积分性质
时域函数的积分对 应频域函数的除法 运算。
拉普拉斯变换与傅里叶变换关系
01
02
03
04
拉普拉斯变换是傅里叶变换的 推广，可以处理不收敛的信号
。
傅里叶变换是拉普拉斯变换在 虚轴上的特例，即s=jω时的拉
普拉斯变换。
拉普拉斯变换提供了更广泛的 信号分析工具，适用于更复杂
信号与系统教学课件第九章拉普拉 斯变换
目录
• 拉普拉斯变换基本概念 • 拉普拉斯变换在信号与系统中的应用 • 拉普拉斯逆变换及计算方法 • 拉普拉斯变换在信号处理中的应用举
例
目录
• 拉普拉斯变换在控制系统稳定性分析 中的应用
• 总结回顾与拓展延伸
01 拉普拉斯变换基本概念
拉普拉斯变换定义
拉普拉斯变换是一种线性积分变 换，用于将时间域函数转换为复
上升时间与峰值时间
上升时间是指系统响应从某一低电平上升到高电平所需的时间，峰值时间是指系统响应达到最大值所需的时 间。上升时间和峰值时间是评价系统快速性的重要指标之一。
超调量与调节时间
超调量是指系统响应在达到稳态值之前出现的最大偏离量，调节时间是指系统响应从瞬态过程进入稳态过程 所需的时间。超调量和调节时间是评价系统准确性和稳定性的重要参数。
第九章 Laplace变换
∫
所以
+ ∞ −( s − ik ) t e dt 0
1 , = s − ik
∫
+ ∞ −( s + ik ) t e dt 0
L [sin kt ] =
1 1 1 k , Re s > 0 − = 2 2 2i s − ik s + ik s + k
Laplace变换的存在定理 变换的存在定理 若函数f(t)满足下列条件： 若函数 满足下列条件： 满足下列条件
例7 计算积分
解 : 由于 L[e
∫
+∞
0
e − at − e − bt dt 。 t
− bt
− at
−e
] = L[ e
− at
] − L[ e
− bt
1 1 ]= − s+a s+b
+∞
利用像函数积分性质得 :
注意到 所以
L [1] =
L[t m ] =
∫
+∞
0
e
− st
1 dt = s
m! s m +1
(Re( s ) > 0)
例3. 求解微分方程
y′′( t ) + ω 2 y( t ) = 0,
y ( 0 ) = 0 , y ′( 0 ) = ω
变换， 解：对方程两端取Laplace变换，并利用线性性质 对方程两端取 变换 及微分性质， 及微分性质，有
(∗∗ )
+∞ f ( t ) ∞ f (t ) − st 事实上 ， L [ ]= ∫ e dt = ∫ F ( s )ds 0 s t t 令s = 0即得 。
一般地，有
第九章 拉普拉斯变换
L
例：
X ( s)
X ( s)
1 ( s 1)( s 2)
( s) 2
对X(s) 进行部分分式展开：
1 A B 1 1 ( s 1)( s 2) (s 1) (s 2) ( s 1) ( s 2)
X(s) 的零极点图和ROC如图所示：
A3 A j
* 2
1 j1 j1 X (s) s s (2 j1) s (2 j1)
x(t ) (1 je( 2 j1)t je( 2 j1)t )u(t )
jt jt e e 2t (1 2e ( ))u (t ) 2j
• 拉氏反变换公式表明：原函数x(t)可以由它们的 像函数X(s)乘以复指数信号est后积分求得。 • 拉氏反变换公式的积分路径是：收敛域内平行于 j 虚轴的一条自下而上的直线。
Im
s平面
×
×
j
Re
一、求解拉氏反变换的方法 1、留数定理；（这里不讨论） √ 2、由一些熟知的拉氏变换对，利用性质，求得 未知的拉氏变换，或它们的反变换。
s 2 6s 5 Re{s} 0 求x(t) 例：已知： X (s) s( s 2 4s 5)
将X(s)进行部分分式展开：
A3 A1 A2 X (s) s s (2 j1) s (2 j1) s 2 6s 5 A1 2 |s 0 1 s 4s 5 s 2 6s 5 A2 |s 2 j1 j s[s (2 j1)]
部分分式展开的第一步是把分母 D(s)进行因式分解， 然后区分极点的类型，选择求取待定系数的方法。
一、假设信号x(t)的拉氏变换X(s)没有多阶极点，且
例：
X ( s)
X ( s)
1 ( s 1)( s 2)
( s) 2
对X(s) 进行部分分式展开：
1 A B 1 1 ( s 1)( s 2) (s 1) (s 2) ( s 1) ( s 2)
X(s) 的零极点图和ROC如图所示：
A3 A j
* 2
1 j1 j1 X (s) s s (2 j1) s (2 j1)
x(t ) (1 je( 2 j1)t je( 2 j1)t )u(t )
jt jt e e 2t (1 2e ( ))u (t ) 2j
• 拉氏反变换公式表明：原函数x(t)可以由它们的 像函数X(s)乘以复指数信号est后积分求得。 • 拉氏反变换公式的积分路径是：收敛域内平行于 j 虚轴的一条自下而上的直线。
Im
s平面
×
×
j
Re
一、求解拉氏反变换的方法 1、留数定理；（这里不讨论） √ 2、由一些熟知的拉氏变换对，利用性质，求得 未知的拉氏变换，或它们的反变换。
s 2 6s 5 Re{s} 0 求x(t) 例：已知： X (s) s( s 2 4s 5)
将X(s)进行部分分式展开：
A3 A1 A2 X (s) s s (2 j1) s (2 j1) s 2 6s 5 A1 2 |s 0 1 s 4s 5 s 2 6s 5 A2 |s 2 j1 j s[s (2 j1)]
部分分式展开的第一步是把分母 D(s)进行因式分解， 然后区分极点的类型，选择求取待定系数的方法。
一、假设信号x(t)的拉氏变换X(s)没有多阶极点，且
拉普拉斯变换l
➢积分的结果不再是 t 的函数，而是s的函 数。拉氏 变换是把一个时间域的函数f(t)变换到 s 域内的复变 函数F(s)。
➢变量 s 称为复频率。应用拉氏变换法进行电路分 析称为电路的一种复频域分析方法，又称运算法。
➢ 拉氏变换的积分从t=0-开始，可以计及t=0时f(t)包 含的冲激的情况，从而给计算存在冲激函数电压和 电流的电路带来方便。
例2 求单位冲激函数 (t)的拉普拉斯象函数。
解:
[ (t)]
(t )estdt
0
est
t0
1
收敛域包括整个s平面。
[ (t)] 1
例3 求单位阶跃函数 ( t )的拉普拉斯象函数。
解:
[ (t )] (t )estdt 0
estdt est 1
0
s s
0
[ (t)] 1
熟悉的变换 相量法 把时域的正弦运算变换为复数运算
正弦量 i1 i2 i
相量
拉氏变换：
时域函数f(t)(原函数)
I1 I2 I
对应 复频域函数F(s)(象函数)
二、拉普拉斯变换的定义
傅立叶变换
F ( j) f (t)e jtdt
条件：绝对可积 很难满足！！
乘以指数 衰减函数
f (t)ete jt dt
1 2
e
j t
(t
)
1 2
e
j t
(t
)
1 ejt (t) 1 ejt (t)
2
2
同理可得
11
1
s
( 2s
j
s
)
j
s2
2
[sint (t)]
s2
2
2. 微分定理 (differentiation theorem)
➢变量 s 称为复频率。应用拉氏变换法进行电路分 析称为电路的一种复频域分析方法，又称运算法。
➢ 拉氏变换的积分从t=0-开始，可以计及t=0时f(t)包 含的冲激的情况，从而给计算存在冲激函数电压和 电流的电路带来方便。
例2 求单位冲激函数 (t)的拉普拉斯象函数。
解:
[ (t)]
(t )estdt
0
est
t0
1
收敛域包括整个s平面。
[ (t)] 1
例3 求单位阶跃函数 ( t )的拉普拉斯象函数。
解:
[ (t )] (t )estdt 0
estdt est 1
0
s s
0
[ (t)] 1
熟悉的变换 相量法 把时域的正弦运算变换为复数运算
正弦量 i1 i2 i
相量
拉氏变换：
时域函数f(t)(原函数)
I1 I2 I
对应 复频域函数F(s)(象函数)
二、拉普拉斯变换的定义
傅立叶变换
F ( j) f (t)e jtdt
条件：绝对可积 很难满足！！
乘以指数 衰减函数
f (t)ete jt dt
1 2
e
j t
(t
)
1 2
e
j t
(t
)
1 ejt (t) 1 ejt (t)
2
2
同理可得
11
1
s
( 2s
j
s
)
j
s2
2
[sint (t)]
s2
2
2. 微分定理 (differentiation theorem)
拉普拉斯变换LAPLACE TRANSFORM
17
若 x(t ) 是右边信号,即 T 则有
t , 0 在ROC内，
绝对可积，即：
x(t )e
0t
T
T
x(t )e
0t
dt
若1
0 ，则
e
dt
T
x(t )e 1t dt
x(t )e e
( 1 0 )T 2 Re[ s] 1 此时 x(t ) 是双边信号。
26
27
作业5月8日
• 9.2 • 9.3 • 9.21（b）（h）
28
§9.3 拉氏反变换
The Inverse Laplace Transform
一. 定义： 由 X (s) x(t )e st dt
例2.反因果信号： x(t ) e at u(t )
X ( s ) e e dt e
at st
0
0
( s a )t
1 dt , Re[s] a sa
8
由以上例子，可以看出: 1. 拉氏变换与傅里叶变换一样存在收敛问题。并非 任何信号的拉氏变换都存在，也不是 S 平面上的任 何复数都能使拉氏变换收敛。 2.拉氏变换积分收敛的那些复数 S 的集合，称为拉
础可以用几何求值的方法从零极点图求得 X ( j ) 的特性。这在定性分析系统频率特性时有很大
用处。
34
作两个矢量 s 和 a ，则 1
矢量
X (s1 )
1.单零点情况： X ( s) s a 零点s a , 要求出 s s1 时的 X (s1 )，可以
X (s1 ) (s1 a)
拉普拉斯变换的性质
f (t ) 拉 s F ( s) d s [ t ]. 普 拉 斯 一般地，有 变 ds ds s F ( s) d s 换 s s
[
f (t ) ]. n t
n次
20
§9.2 Laplace 变换的性质 第 九 章 拉 普 拉 斯 变 换
9
§9.2 Laplace 变换的性质 第 二、延迟性质与位移性质 九 章 2. 位移性质
[e f ( t )] F ( s a ) . ( a 为复常数 ) 拉 普 拉 s 1 t 斯 [ e cos t ] . 例如 2 变 ( s 1) 1 换 1 [ e t sin t ] . 2 ( s 1) 1
2( s 6 24s 2 32) . 3 2 3 s ( s 4)
16
§9.2 Laplace 变换的性质 第 九 章 解 已知 拉 普 拉 斯 变 换2 [ sin 2 t ] 2 , 2 s 2 3t
根据位移性质有
[e
2 sin 2t ] , 2 ( s 3) 4
令 x t
0
f ( x ) e s x e s d x
e s F ( s ) .
6
§9.2 Laplace 变换的性质 第 二、延迟性质与位移性质 九 章 1. 延迟性质
( 为非负实数 )
[ f (t )] e s F ( s ) . f (t ) 0 , 则: 拉 性质 设 当 t < 0 时 普 拉 f ( t ) 0 这一约定。 斯 注意 性质中强调了当 t < 0 时 变 因此，本性质也可直接表述为： 换 [ f (t ) u(t ) ] e s F ( s ) .
[
f (t ) ]. n t
n次
20
§9.2 Laplace 变换的性质 第 九 章 拉 普 拉 斯 变 换
9
§9.2 Laplace 变换的性质 第 二、延迟性质与位移性质 九 章 2. 位移性质
[e f ( t )] F ( s a ) . ( a 为复常数 ) 拉 普 拉 s 1 t 斯 [ e cos t ] . 例如 2 变 ( s 1) 1 换 1 [ e t sin t ] . 2 ( s 1) 1
2( s 6 24s 2 32) . 3 2 3 s ( s 4)
16
§9.2 Laplace 变换的性质 第 九 章 解 已知 拉 普 拉 斯 变 换2 [ sin 2 t ] 2 , 2 s 2 3t
根据位移性质有
[e
2 sin 2t ] , 2 ( s 3) 4
令 x t
0
f ( x ) e s x e s d x
e s F ( s ) .
6
§9.2 Laplace 变换的性质 第 二、延迟性质与位移性质 九 章 1. 延迟性质
( 为非负实数 )
[ f (t )] e s F ( s ) . f (t ) 0 , 则: 拉 性质 设 当 t < 0 时 普 拉 f ( t ) 0 这一约定。 斯 注意 性质中强调了当 t < 0 时 变 因此，本性质也可直接表述为： 换 [ f (t ) u(t ) ] e s F ( s ) .
第九章Laplace变换
9.1 The Laplace transform Example 9.5
4 t 1 e u t e 2t u t 3 3 determine Laplace transform of x( t ) x t t
LT t 1
1 e u t S 1 1 LT 2t e u t S2
e at u t e jwt dt
at
1 jw a
0
2 X S e
at
u t e dt
st
e
s a t
dt
1 Sa
e
LT
Re S a
Re S a 1 S Re S 0
9.1 The Laplace transform Example 9.1
x t e at u t
1 if a 0, determine Fourier transform 2 determine Laplace transform
Answer :
1 X jw
LT
Re S a
Copyright by UESTC
9.1 The Laplace transform Region of convergence (ROC)
Im S-plane Im S-plane
-a
Re
-a
Re
The ROC of a right-sided signal
The ROC of a left-sided signal
x t e 2 t u t e t (cos 3 t )u t determine Laplace transform of x( t )
复变函数第九章拉式变换
+∞ x≠0 0, ρ (t ) = 且m = ∫ ρ(t )dt = 1 −∞ + ∞, x = 0
δ函数的筛选性质 — — ∫ δ (t ) f (t )dt = f (0),
−∞
+∞
∫
∫
−∞
+∞
−∞
δ (t-t0 ) f (t )dt = f (t0 ) ,∫ δ (t ) f (t-t0 )dt = f (−t0 )
例1
求下列函数的拉普拉斯变换
0, t < 0 (1) u(t ) = ; (2) f (t ) = ekt ; (3) f (t ) = sin kt 1, t > 0
解：(1)
L[u (t )] = ∫ u (t )e dt = ∫
− st 0
+∞
+∞
0
1 − st +∞ e dt = e 0 s
( n = 1, 2,L ) ( Re( s ) > c )
特别当 f ( 0 ) = f ′ ( 0 ) = L = f ( n −1) ( 0 ) = 0 时，有
Lf
(n )
( t )
= s n F (s )
此性质可以将f (t)的微分方程转化为F(s)的代数方程. 的代数方程.
例2
ε →0
类似地， 类似地，可以得到另外两个性质
δ函数的导数 — —
∫ ∫
解：
+∞
−∞
δ' (t ) f (t )dt = − f ' (0) ,
+∞
−∞
δ ( n ) (t ) f (t )dt = (−1) ( n ) f ( n ) (0)
δ函数的筛选性质 — — ∫ δ (t ) f (t )dt = f (0),
−∞
+∞
∫
∫
−∞
+∞
−∞
δ (t-t0 ) f (t )dt = f (t0 ) ,∫ δ (t ) f (t-t0 )dt = f (−t0 )
例1
求下列函数的拉普拉斯变换
0, t < 0 (1) u(t ) = ; (2) f (t ) = ekt ; (3) f (t ) = sin kt 1, t > 0
解：(1)
L[u (t )] = ∫ u (t )e dt = ∫
− st 0
+∞
+∞
0
1 − st +∞ e dt = e 0 s
( n = 1, 2,L ) ( Re( s ) > c )
特别当 f ( 0 ) = f ′ ( 0 ) = L = f ( n −1) ( 0 ) = 0 时，有
Lf
(n )
( t )
= s n F (s )
此性质可以将f (t)的微分方程转化为F(s)的代数方程. 的代数方程.
例2
ε →0
类似地， 类似地，可以得到另外两个性质
δ函数的导数 — —
∫ ∫
解：
+∞
−∞
δ' (t ) f (t )dt = − f ' (0) ,
+∞
−∞
δ ( n ) (t ) f (t )dt = (−1) ( n ) f ( n ) (0)
第九章拉普拉斯变换
i
s1 i X(s1) M i s1 i
i
X (s 1 ) s 1 i s 1 i
i
i
第九章拉普拉斯变换
33
即：从所有零点向 点s 1 作零点矢量，从所有极点 向 点s 1作极点矢量。所有零点矢量的长度之积除以
换不收敛而它的拉氏变换存在。这表明拉氏变换比
傅里叶变换有更广泛的适用性。
第九章拉普拉斯变换
7
例1. x(t)eatu(t)
X (s) e a te std t e (s a )td t1
0
0
s a
在 Re[s]时，a 积分收敛。
当 a 时0 ， 的x ( 傅t ) 里叶变换存在
X(j)0eatejtdta1j (a 0)
括 j 轴时，以s j代入 X ( s ) ，就可以得
到 X ( j ) 。以此为基础可以用几何求值的方法 从零极点图求得 X ( j ) 的特性。这在定性分析 系统频率特性时有很大用处。
第九章拉普拉斯变换
30
1. 单零点情况： X(s)sa
零点 s,要a求出 时s的 s1 ，可X以( s作1 ) 两个矢量
（Region of Convergence）对拉氏变换是非常重
要的概念。
第九章拉普拉斯变换
10
3. 不同的信号可能会有完全相同的拉氏变换表达 式，只是它们的收敛域不同。
4. 只有拉氏变换的表达式连同相应的收敛域，才 能和信号建立一一对应的关系。
5. 如果拉氏变换的ROC包含 j 轴，则有
X(j)X(s) sj
1
(s1)(s2)
确定其可能的收敛域及所对应信号的属性。
极点：s1, s2
j
j
j
s1 i X(s1) M i s1 i
i
X (s 1 ) s 1 i s 1 i
i
i
第九章拉普拉斯变换
33
即：从所有零点向 点s 1 作零点矢量，从所有极点 向 点s 1作极点矢量。所有零点矢量的长度之积除以
换不收敛而它的拉氏变换存在。这表明拉氏变换比
傅里叶变换有更广泛的适用性。
第九章拉普拉斯变换
7
例1. x(t)eatu(t)
X (s) e a te std t e (s a )td t1
0
0
s a
在 Re[s]时，a 积分收敛。
当 a 时0 ， 的x ( 傅t ) 里叶变换存在
X(j)0eatejtdta1j (a 0)
括 j 轴时，以s j代入 X ( s ) ，就可以得
到 X ( j ) 。以此为基础可以用几何求值的方法 从零极点图求得 X ( j ) 的特性。这在定性分析 系统频率特性时有很大用处。
第九章拉普拉斯变换
30
1. 单零点情况： X(s)sa
零点 s,要a求出 时s的 s1 ，可X以( s作1 ) 两个矢量
（Region of Convergence）对拉氏变换是非常重
要的概念。
第九章拉普拉斯变换
10
3. 不同的信号可能会有完全相同的拉氏变换表达 式，只是它们的收敛域不同。
4. 只有拉氏变换的表达式连同相应的收敛域，才 能和信号建立一一对应的关系。
5. 如果拉氏变换的ROC包含 j 轴，则有
X(j)X(s) sj
1
(s1)(s2)
确定其可能的收敛域及所对应信号的属性。
极点：s1, s2
j
j
j
信号与系统教学第九章拉普拉斯变换PPT课件
80%
幂级数展开
一个解析函数可以展开为幂级数 。
复数域的微积分
01
02
03
导数
复数域函数的导数定义为 函数值的增量与自变量增 量的比值。
积分
复数域函数的积分是函数 值的累积。
微分方程
在复数域中，微分方程是 描述函数行为的一种重要 工具。
03
拉普拉斯变换的求解方法
直接法
定义法
根据拉普拉斯变换的定义， 通过积分计算得出函数的 拉普拉斯变换。
02
01
03
定义法
根据卷积的定义，通过积分计算得出函数的卷积。
表格法
利用卷积表，查表得出函数的卷积。
性质法
利用卷积的性质，简化计算过程。
04
拉普拉斯变换的性质与定理
线性性质
总结词
线性性质是指拉普拉斯变换具有类似于线性代数中的线性性质，即对于两个函 数的和与积，其拉普拉斯变换可以分别通过各自拉普拉斯变换的和与积来获得。
拉普拉斯变换在控制系统稳定性分析中的应用，有 助于设计更加稳定、可靠的控制系统，提高工程实 践中的控制效果。
信号处理中的拉普拉斯变换
在信号处理中，拉普拉斯变换 用于分析信号的频域特性。通 过将信号从时域转换到频域， 可以更好地理解信号的频率成 分和频率特性。
拉普拉斯变换在信号处理中的 应用包括：信号的频谱分析、 滤波器设计、信号调制与解调 等。
如果f(t)的拉普拉斯变换为F(s)， 那么f(at)的拉普拉斯变换为 |a|F(s/a)。
如果f(t)的拉普拉斯变换为F(s)， 那么f(t-b)的拉普拉斯变换为 e−bF(s)。
如果f(t)的拉普拉斯变换为F(s)， 那么f'(t)的拉普拉斯变换为 sF(s)-f(0)。
第九章 拉普拉斯变换
t
0
f ( τ )d 0 F ( p)
t F ( p) L f ( )d p
0
例题
解
求 LC 串联电路的电流 i(t) 。 由基尔霍夫定律知
q C
t
q0 q0
C
L
L
di dt
q i ( )d q0
0
t
9.2 拉普拉斯变换的基本性质
线性
若 L f 1 ( t ) F1 ( p), L f 2 ( t ) F2 ( p) 则 L 1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t ) 1 F1 ( p) 2 F2 ( p)
e i t e i t 可推得：L sint L 2i 1 i t i t Le Le 2i
Re p 0
例题
求 L (e
t
)
解 L ( e t )
0
e
pt
e dt
t
0
e
( p ) t
p
0
1
e
( p ) t
d [ ( p )t ]
1 p
e
( p ) t 0
1 1 0 p p
Re p Re
例题
解
求 L (sin t ),
为常数。
sin t e
pt
L (sin t )
0
dt
1 2i
e
0
i t
e
i t
电路原理第九章拉普拉斯变换
稳定性分析方法
利用拉普拉斯变换，通过计算系统的极点和零点，判 断系统的稳定性。
电路系统的频率响应分析
频率响应定义
电路系统在不同频率下的输入与输出关系称为频率响应。
频率响应分析方法
通过拉普拉斯变换将时域函数转换为复频域函数，进而分析频率 响应。
频率响应特性
频率响应具有幅度和相位特性，这些特性决定了电路系统在不同 频率下的性能表现。
到该函数的拉普拉斯变换。
拉普拉斯变换具有线性性和时移性等性质，使得复杂电路的分
03
析变得简单。
拉普拉斯变换的性质
1 2 3
线性性
如果函数$f(t)$和$g(t)$的拉普拉斯变换分别为 $F(s)$和$G(s)$，那么对于任意实数$k$和$l$， 有$(kf(t)+lg(t))的拉普拉斯变换=kF(s)+lG(s)$。
04
拉普拉斯变换的逆变换
逆变换的定义和性质
逆变换的定义
如果一个函数f(t)的拉普拉斯变换存在，那么就存在另一个函数g(s)的拉普拉斯 变换等于f(t)，并且g(s)可以通过一定的积分运算从f(t)得到，这个过程就是逆 变换。
逆变换的性质
逆变换具有线性、时移、频移、微分、积分等性质，这些性质在求解逆变换时 非常有用。
时移性
如果函数$f(t)$的拉普拉斯变换为$F(s)$，那么 对于任意实数$a$，有$(f(t-a))的拉普拉斯变换 =e^{-as}F(s)$。
频移性
如果函数$f(t)$的拉普拉斯变换为$F(s)$，那么 对于任意实数$b$，有$(f(t)e^{bt})的拉普拉斯 变换=F(s-b)$。
拉普拉斯变换的应用
拉普拉斯变换的微分性质
微分性质
如果函数f(t)的拉普拉斯变换存在，那么对于实数a，函数f''(t)的拉普拉斯变换等于函数f(t)的拉普拉斯变换乘以 s^2。
利用拉普拉斯变换，通过计算系统的极点和零点，判 断系统的稳定性。
电路系统的频率响应分析
频率响应定义
电路系统在不同频率下的输入与输出关系称为频率响应。
频率响应分析方法
通过拉普拉斯变换将时域函数转换为复频域函数，进而分析频率 响应。
频率响应特性
频率响应具有幅度和相位特性，这些特性决定了电路系统在不同 频率下的性能表现。
到该函数的拉普拉斯变换。
拉普拉斯变换具有线性性和时移性等性质，使得复杂电路的分
03
析变得简单。
拉普拉斯变换的性质
1 2 3
线性性
如果函数$f(t)$和$g(t)$的拉普拉斯变换分别为 $F(s)$和$G(s)$，那么对于任意实数$k$和$l$， 有$(kf(t)+lg(t))的拉普拉斯变换=kF(s)+lG(s)$。
04
拉普拉斯变换的逆变换
逆变换的定义和性质
逆变换的定义
如果一个函数f(t)的拉普拉斯变换存在，那么就存在另一个函数g(s)的拉普拉斯 变换等于f(t)，并且g(s)可以通过一定的积分运算从f(t)得到，这个过程就是逆 变换。
逆变换的性质
逆变换具有线性、时移、频移、微分、积分等性质，这些性质在求解逆变换时 非常有用。
时移性
如果函数$f(t)$的拉普拉斯变换为$F(s)$，那么 对于任意实数$a$，有$(f(t-a))的拉普拉斯变换 =e^{-as}F(s)$。
频移性
如果函数$f(t)$的拉普拉斯变换为$F(s)$，那么 对于任意实数$b$，有$(f(t)e^{bt})的拉普拉斯 变换=F(s-b)$。
拉普拉斯变换的应用
拉普拉斯变换的微分性质
微分性质
如果函数f(t)的拉普拉斯变换存在，那么对于实数a，函数f''(t)的拉普拉斯变换等于函数f(t)的拉普拉斯变换乘以 s^2。
第九章 拉普拉斯变换分解
L
X ( s) L{x(t )}
几个典型信号的拉氏变换
(1) x(t ) e u(t )
at
1 X ( s) sa 1 X ( s) sa
Re{ s} a Re{ s} a
(2) x(t ) e u(t )
at
1 (3) x(t ) u (t ) X ( s ) s
例
1 X (s ) (s 1)(s 2)
求其可能有的所有的收敛域
Im s平面 Im s平面 Re
× × -2 -1
× × -2 -1
Re
1 X (s ) (s 1)(s 2)
Im s平面
Im
s平面
Re × × -2 -1 Re
× × -2 -1
1 X (s ) (s 1)(s 2)
能应用拉氏变换分析具体电路。
9.0 引言 Introduction
连续时间对应的复频域是用直角坐标 s j 表示的复数平面，简称为S平面或 连续时间复频域（s域）.
• S平面上的每一个点s都代表一个复指数信号 e st , 整个S平面上所有的点代表了整个复指数信号集。
S平面
j 0
0
Im s平面 Re
• 性质5：如果x(t)是左边信号，而且如果 • Re{s} 0 这条线位于ROC内，那么 • Re{s} 0 的全部s值都一定在ROC内。
Im x(t) e-1t e-0t
0
s平面 Re
T2
t
性质6：如果x(t)是双边信号，而且如果 Re{s} 0 这条线位于ROC内，那么ROC 就一定是由s平面的一条带状区域所组成， Re{s} 0 直线 位于带中。
X ( s) L{x(t )}
几个典型信号的拉氏变换
(1) x(t ) e u(t )
at
1 X ( s) sa 1 X ( s) sa
Re{ s} a Re{ s} a
(2) x(t ) e u(t )
at
1 (3) x(t ) u (t ) X ( s ) s
例
1 X (s ) (s 1)(s 2)
求其可能有的所有的收敛域
Im s平面 Im s平面 Re
× × -2 -1
× × -2 -1
Re
1 X (s ) (s 1)(s 2)
Im s平面
Im
s平面
Re × × -2 -1 Re
× × -2 -1
1 X (s ) (s 1)(s 2)
能应用拉氏变换分析具体电路。
9.0 引言 Introduction
连续时间对应的复频域是用直角坐标 s j 表示的复数平面，简称为S平面或 连续时间复频域（s域）.
• S平面上的每一个点s都代表一个复指数信号 e st , 整个S平面上所有的点代表了整个复指数信号集。
S平面
j 0
0
Im s平面 Re
• 性质5：如果x(t)是左边信号，而且如果 • Re{s} 0 这条线位于ROC内，那么 • Re{s} 0 的全部s值都一定在ROC内。
Im x(t) e-1t e-0t
0
s平面 Re
T2
t
性质6：如果x(t)是双边信号，而且如果 Re{s} 0 这条线位于ROC内，那么ROC 就一定是由s平面的一条带状区域所组成， Re{s} 0 直线 位于带中。
9.1拉普拉斯变换的概念
0
1 e e dt Re s s
t st
L[e ]
0
1 e e dt Re s 0 s j
jt st
从上述例子可以看出
(1) 即使函数以指数级增长，其 Laplace 变换仍然存在； (2) 即使函数不同，但其 Laplace 变换的结果可能相同。
特点 变换的结果均为分式函数。
记为 f (t )
1
[ F ( s )] .
t 注 f ( t ) 的 Laplace 变换就是 f ( t )u( t ) e 的 Fourier 变换。
例
P213 例 9.1
[1]
0
1 1 st s t , e 1 e dt s s 0
0
(Re s 0) (Re s 0) (Re s 0)
使得函数在 t < 0 的部分补零(或者充零)；
(2) 将函数再乘上一个衰减指数函数 e t ( 0) ， 使得函数在 t > 0 的部分尽快地衰减下来。
t 这样，就有希望使得函数 f ( t ) u( t ) e 满足 Fourier
变换的条件，从而对它进行 Fourier 变换。
1. Fourier 变换的“局限性”？ 广义 Fourier 变换的引入，扩大了古典 Fourier 变换的适 用范围，使得 “缓增” 函数也能进行 Fourier 变换，而且 将周期函数的 Fourier 级数与 Fourier 变换统一起来。 广义 Fourier 变换对以指数级增长的函数如 eat (a 0) 等 仍然无能为力；而且在变换式中出现冲激函数，也使人 感到不太满意。
拉普拉斯逆变换(D)
2. 反演积分公式 根据上面旳推导，得到如下旳 Laplace 变换对:
定义 称 (B) 式为反演积分公式。 注 反演积分公式中旳积分途径是
s 平面上旳一条直线 Re s ,
该直线处于 F (s)旳存在域中。
P227 ( 9.16 )式
j
c
j
4
第九章 拉普拉斯变换
§9.3 Laplace 逆变换
二、求 Laplace 逆变换旳措施
1. 留数法
利用留数计算反演积分。
定理 设函数 F (s) 除在半平面 Re s c 内有有限个孤立奇点
P227 定理
s1, s2 ,sn 外是解析旳，且当 s 时，F (s) 0 , 则
9.2
f (t) 1
j
F
(
s)
est
d
s
2π j j
证明 (略)
14
§9.3 Laplace 逆变换
第九章 拉普拉斯变换
解 措施二 利用留数法求解(略讲)
(1) s1 3 , s2,3 1 2i 为 F (s) 旳一阶极点，
Res[ F (s)est, 3 ] 2e3t,
Res[ F (s)est, 1 2i ] 1 i e(1 2i)t.
2
(2) f (t ) 2e3t 1 i e(1 2i)t 1 i e(1 2i)t
但假如仅在实数范围内进行分解，这两种情况还不够。
因为实系数多项式旳复零点总是互为共轭地成对出现旳， 即假如复数 z a jb 为 Q(s) 旳零点，那么它旳共轭复数 z a jb 也必为 Q(s) 旳零点。 所以，Q(s)必具有(实旳) 二阶因子 (s z)(s z ) (s a)2 b2 .
令 s 3, 得 A 2; 令 s 1 2i , 得 (2 2i)2 (2i B 2C )(2i 2),
定义 称 (B) 式为反演积分公式。 注 反演积分公式中旳积分途径是
s 平面上旳一条直线 Re s ,
该直线处于 F (s)旳存在域中。
P227 ( 9.16 )式
j
c
j
4
第九章 拉普拉斯变换
§9.3 Laplace 逆变换
二、求 Laplace 逆变换旳措施
1. 留数法
利用留数计算反演积分。
定理 设函数 F (s) 除在半平面 Re s c 内有有限个孤立奇点
P227 定理
s1, s2 ,sn 外是解析旳，且当 s 时，F (s) 0 , 则
9.2
f (t) 1
j
F
(
s)
est
d
s
2π j j
证明 (略)
14
§9.3 Laplace 逆变换
第九章 拉普拉斯变换
解 措施二 利用留数法求解(略讲)
(1) s1 3 , s2,3 1 2i 为 F (s) 旳一阶极点，
Res[ F (s)est, 3 ] 2e3t,
Res[ F (s)est, 1 2i ] 1 i e(1 2i)t.
2
(2) f (t ) 2e3t 1 i e(1 2i)t 1 i e(1 2i)t
但假如仅在实数范围内进行分解，这两种情况还不够。
因为实系数多项式旳复零点总是互为共轭地成对出现旳， 即假如复数 z a jb 为 Q(s) 旳零点，那么它旳共轭复数 z a jb 也必为 Q(s) 旳零点。 所以，Q(s)必具有(实旳) 二阶因子 (s z)(s z ) (s a)2 b2 .
令 s 3, 得 A 2; 令 s 1 2i , 得 (2 2i)2 (2i B 2C )(2i 2),
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t 注 f (t ) 的 Laplace变换就是 f ( t )u( t ) e 的 Fourier 变换。
3
例
P213 例 9.1
[1]
0
1 e
s t
1 1 st , e dt s s 0
s t
(Re s 0) (Re s 0)
[u(t )]
20
部分基本性质汇总
位移性质 微分性质
[ ea t f ( t ) ] F ( s a ) .
[ f (t ) ] sF ( s) f (0) .
[ f ( n ) ( t )] s n F ( s ) s n1 f (0) s n 2 f (0) f ( n1) (0) .
1. 延迟性质
P222
P222
性质 设当 t < 0 时 f (t ) 0 , 则对任一非负实数 有
[ f (t )] e s F ( s ) .
注意 在延迟性质中专门强调了当 t < 0 时 f ( t ) 0 这一约定。
因此，本性质也可以直接表述为：
[ f (t ) u(t ) ] e s F ( s ) .
0
u( t ) e
dt 0 1 e
s t
1 dt , s
P216 例 9.3
[e ]
at
a t s t e e 0
1 ( a s )t 1 e , (Re s Re a ) dt a s 0 sa
要点 进行积分时，确定 s 的取值范围，保证积分存在。
8
四、几个常用函数的 Laplace 变换
(1)
(2) (3) 解 (5)
1 [1] = [ u(t ) ] ; s
(4)
[ ea t ]
1 ; sa
[ (t ) ] 1; [ tm]
m! s m 1
(5)
(6)
s ; 2 2 s a a [ sin a t ] 2 . 2 s a
[ cos a t ]
ja t s t 1 jat s t e dt ) [ cos a t ] ( e e dt e 0 2 0
1 ( 2
[ e ja t ]
[ e jat ] )
1 1 1 s ( ) 2 . 2 2 s ja s ja s a
22
§9.3 Laplace 逆变换
一、反演积分公式 —— Laplace 逆变换公式 二、求 Laplace 逆变换的方法
23
一、反演积分公式 —— Laplace 逆变换公式
1. 公式推导 推导 (1) 由 Laplace 变换与 Fourier 变换的关系可知， 函数 f (t ) 的 Laplace 变换 F ( s ) F ( j ) 就是函数 f ( t ) u( t ) e t 的 Fourier 变换，
如果函数满足：当 t 0 时，f1 (t ) f 2 (t ) 0 , 则有
f1 (t ) f 2 (t ) f1 ( ) f 2 ( t ) d , ( t 0) .
0
t
Laplace变换中的 卷积形式。
19
g(t )] a F ( s) b G( s) ;
设 a , b 为常数， 则有
[ af (t ) bg(t ) ] aF( s) bG( s);
1
[ aF( s) bG( s) ] af (t ) bg(t ).
1 s [ f (at) ] F ( ). a a
2. 相似性质
P217
设a 0 为实数， 则有
12
例 已知像函数 F ( s )
1
[a F ( s ) b G( s )] a f (t ) b g(t ) .
相似性质
1 s [ f (a t ) ] F . a a
[ f (t )] e s F ( s ) .
1
延迟性质
[ e s F ( s ) ] f (t ) u(t ) .
F ( s ) F ( j ) [ f ( t ) u( t ) e t ] e j t d t . 即
(2) 根据 Fourier 逆变换，在 f (t ) 的连续点 t 处，有
m! s m 1
(5)
[ cos a t ]
s ; 2 2 s a
ja t s t 1 jat s t e dt ) [ cos a t ] ( e e dt e 0 2 0
1 ( 2
[ e ja t ]
[ e jat ] )
1 1 1 s ( ) 2 . 2 2 s ja s ja s a
9
四、几个常用函数的 Laplace 变换
(1)
(2) (3)
1 [1] = [ u(t ) ] ; s
(4)
[ ea t ]
1 ; sa
[ (t ) ] 1; [ tm]
m! s m 1
(5)
(6)
s ; 2 2 s a a [ sin a t ] 2 . 2 s a
s 的某一区域内收敛，则称 F (s ) 为 f (t ) 的 Laplace 变换
[ f ( t )] , 即
0
[ f ( t )]
f (t ) e s t d t .
相应地，称 f (t ) 为 F (s ) 的 Laplace 逆变换或像原函数，
记为 f (t )
1
[ F ( s )] .
m ( m 1) s2
[t
m2
m! ] m s
m! [ 1 ] m 1 . s
7
四、几个常用函数的 Laplace 变换
(1)
(2) (3) 解 (5)
1 [1] = [ u(t ) ] ; s
(4)
[ ea t ]
1 ; sa
[ (t ) ] 1; [ tm]
[ ea t ]
1 ; sa
[ (t ) ] 1; [ tm]
m
m! s m 1
m 0
[t ]
t e
s t
1 m s t dt 0 t d e s
[ t m 1 ]
m 1 m s t m m 1 s t t e dt t e 0 0 s s s
16
三、微分性质
▲
P217 P217
1. 导数的象函数 性质
[ f (t ) ] sF ( s) f (0) .
一般地，有
[ f ( n ) ( t )] s n F ( s ) s n1 f (0) s n 2 f (0) f ( n1) (0) .
Laplace 变换的这一性质非常重要，可用来求解微分 方程(组)的初值问题。（ §9.4 将专门介绍）
1 ; sa
根据延迟性质有
1
[ F ( s ) ] et 2 u( t 2)
et 2 , t 2 , 0, t 2 .
15
二、延迟性质与位移性质
1. 延迟性质
P222
P222
性质 设当 t < 0 时 f (t ) 0 , 则对任一非负实数 有
[ f (t )] e s F ( s ) .
F (s)
[ t f (t ) ];
F ( n ) ( s ) ( 1)n
练习
[ t n f (t ) ] .
3 t 求函数 f (t ) t e sin2t 的Laplace变换。
21
f (t ) t e3t sin2t 的Laplace变换。 练习 求函数 2 , 解 已知 [ sin 2 t ] 2 2 s 2 [ ea t f ( t ) ] F ( s a ) . 根据位移性质有
s
2 2
,
根据象函数的导数性质有
[ t sin t ]
d 2 s [ 2 ] 2 . 2 2 2 ds s (s )
18
四、卷积的概念 P224
按照上一章中卷积的定义，两个函数的卷积是指
f1 ( t ) f 2 ( t )
f1 ( ) f 2 ( t ) d .
[ cos a t ]
特点 变换的结果均为分式函数。
10
§9.2 Laplace 变换的性质
一、线性性质与相似性质 二、延迟性质与位移性质 三、微分性质 四、卷积的概念
11
一、线性性质与相似性质
记 F (s ) 1. 线性性质
P216
P216
[ f (t ) ] , G(s )
[ g( t ) ] .
1 , 求 f (t ) ( s 1)(s 2)
1
[ F ( s) ].
解 F ( s)
f (t )
1 1 , s 2 s 1
1
[ F ( s )]
1
[
1 ] s2
1
[
1 ] s 1
e2 t et .
1 ; [e ] sa
at
13
二、延迟性质与位移性质
2
一、Laplace 变换的定义
定义 设函数 f (t ) 是定义在 (0 , ) 上的实值函数，如果对于
P213 定义 9.1
复参数 s j , 积分 F ( s )